Análise Multivariada Aplicada à Contabilidade

Transcrição

1 Mestrado e Doutorado em Controladoria e Contabilidade Análise Multivariada Aplicada à Contabilidade Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp.br Turma: 2º /

2 Agenda Aula 2/15 Inferência Estatística: Amostragem; Tamanho da Amostra; Estimação; Testes de Hipóteses: Testes de Normalidade. 2

3 Distribuição de Probabilidade 3

4 Inferência Estatística Obter conclusões sobre uma população a partir de uma amostra A amostra deve ser representativa da população em estudo População é o conjunto de todos os elementos e resultados sob investigação e a amostra é qualquer subconjunto da população (BUSSAB; MORETTIN, 2006) 4

5 Principais Técnicas e Amostragem Fonte: Adaptado de Cabral (2006, apud FÁVERO et al, 2009) Simples Aleatória Estratificada Sistemática Técnicas de Amostragem Conglomerado Por conveniência Não-aleatória Por julgamento Por quotas Bola de Neve 5

6 Amostragem Probabilística ou Aleatória A probabilidade de cada elemento da população fazer parte da amostra é igual, e todas as amostras selecionadas são igualmente prováveis Amostragem Aleatória: Simples Estratificada Sistemática Conglomerado 6

7 Amostragem Aleatória Simples Em uma população com N elementos, da qual se deseja extrair uma amostra com n observações, N existem possíveis amostradas, com n probabilidade de 1/ N de cada amostra ser n selecionada Todos os elementos (N) são numerados (de 1 até N) e por meio de um procedimento aleatório, n observações são escolhidas 7

8 Amostragem Aleatória Simples Exemplo: deseja-se entrevistar n = 5 clientes de um cabelereiro que possui um total de 60 clientes cadastrados. Quantas amostras diferentes de tamanho n podem ser extraídas da população? Qual a probabilidade de que uma amostra seja selecionada? Extrair uma amostra aleatória. 60 Há 5 = 60! = = ! 60 5! 5! amostras diferentes 8

9 Amostragem Aleatória Simples A probabilidade de que determinada amostra seja selecionada é de 1/ Os clientes foram numerados de 1 a 60, por meio de um procedimento aleatório foram selecionados os seguintes números

10 Amostragem Estratificada A população é estratificada (dividida em um número de subpopulações que não se superpõem), chamadas de estratos ou camadas Se os elementos selecionados em cada estrato constituem amostras aleatórias simples, então temos a amostragem aleatória estratificada (simples) 10

11 Amostragem Estratificada Em uma população com tamanho N é dividida em k estratos de tamanhos N 1, N 2,..., N k Para cada estrato uma amostra é selecionada, resultando em k subpopulações de tamanhos n 1, n 2,..., n k. A alocação é proporcional se: n 1 = n 2 = = n k N 1 N 2 N k O tamanho da amostra pode ser obtido de acordo com: n 1 = N 1 n, para i = 1, 2,..., k N Em que n = n 1 + n n k 11

12 Amostragem Estratificada Exemplo: deseja-se realizar uma pesquisa sobre dieta e saúde com as mulheres do Rio de Janeiro. Para isso, a população é dividida em categorias de idade (5-14, 15-24, 25-34, 35-44, 45-54, 55-64, 65-74) e, para cada intervalo, 5% da população será entrevistada, ou seja, haverá um respeito à proporção de cada faixa etária na população total 12

13 Amostragem Sistemática Geralmente utilizada quando os elementos da população estão ordenados (se não estiverem ordenados a amostragem será de forma aleatória) Deve-se selecionar o intervalo da amostra (k) obtido pelo quociente entre o tamanho da população e o tamanho da amostra. A partir daí, deve-se escolher um elemento a cada k-ésimo elemento da lista, de forma sucessiva, até atingir o tamanho da amostra (n) A amostragem sistemática depende do primeiro elemento escolhido, que pode ser um elemento qualquer entre 1 e k 13

14 Amostragem Sistemática Exemplo: deseja-se verificar a qualidade de determinado produto em uma linha de produção. Neste caso, a cada 20 peças produzidas, selecionase determinado produto 14

15 Amostragem por Conglomerados, Grupos ou Áreas A população total é subdividida em várias partes relativamente pequenas, e algumas dessas subdivisões (ou conglomerados) são selecionados aleatoriamente para integrar a amostra global Dentro de cada conglomerado, podem-se selecionar todos os elementos ou apenas parte deles Se os conglomerados são subdivisões geográficas, este tipo de amostragem é chamada de amostragem por área A amostragem por conglomerados é frequentemente utilizada, uma vez que muitas populações já estão agrupadas em subgrupos naturais ou geográficos (baixo custo) 15

16 Amostragem por Conglomerados, Grupos ou Áreas Exemplo: deseja-se estudar a renda da população da cidade de Manaus e, para isso, a população foi dividida em bairros Alguns bairros (10% deles) foram selecionados aleatoriamente e, para cada bairro, selecionou-se de maneira aleatória 10% do total de moradores 16

17 Amostragem não-probabilística ou não-aleatória A probabilidade de cada elemento da população fazer parte da amostra não é igual, portanto, as amostras selecionadas não são igualmente prováveis Amostragem Aleatória: Por conveniência Por julgamento Por quotas Bola de neve 17

18 Amostragem por Conveniência Aplicado quando a participação é voluntária ou os elementos da amostra são escolhidos por uma questão de conveniência ou simplicidade, o que faz com que a amostra não seja representativa da população Em função disso, deve ser utilizada somente em casos especiais e com argumento bastante convincente que justifique sua utilização Porém, se a amostra estudada for homogênea, qualquer técnica de amostragem pode ser empregada, inclusive amostragem acidental ou por conveniência 18

19 Amostragem por Conveniência Exemplo: um pesquisador deseja estudar o comportamento dos preços dos imóveis residenciais em lançamento em Florianópolis e, para tanto, desenvolve sua amostragem por meio da coleta de dados publicados nos cadernos de imóveis de dois jornais da cidade Os jornais podem não apresentar todos os lançamento de imóveis, porém, devem ser significantes Cuidado com o viés de conveniência 19

20 Amostragem por Julgamento A amostragem é escolhida segundo a opinião (julgamento prévio) de um especialista Exemplo: pesquisa com alunos de mestrado e doutorado em Economia para identificar os livros mais relevantes e didáticos da área. Para selecionar os alunos, recorreu-se a um especialista no assunto Não é representativa da população nem científica 20

21 Amostragem por Quotas Difere da amostragem estratificada pelo fato da seleção dos elementos da população não ser aleatória. Os passos a serem aplicados Passo 1: selecionar as variáveis de controle ou características relevantes da população para o estudo em questão Passo 2: definir as quotas dividindo a população em categorias, em função das variáveis de controle definidas no passo anterior Passo 3: para cada categoria, selecionar os elementos Vantagens: rapidez, economia e facilidade de administração. Porém, nem sempre é garantido que a amostra é representativa da população 21

22 Amostragem por Quotas Exemplo: uma empresa deseja lançar um novo produto de emagrecimento e seu público-alvo são mulheres entre 15 e 40 anos das classes sociais A e B A população é dividida em categorias de acordo com as variáveis de controle) idade e classe social Uma amostra de 5% da população recebe uma amostra grátis do produto 22

23 Amostragem de Propagação Geométrica ou Bola de Neve (Snowball) Identificam-se um ou mais indivíduos da populaçãoalvo, e estes identificam outras observações que pertencem à mesma população O processo é repetido sucessivamente, até que a amostra final seja composta de todos os elementos identificados Bastante utilizado quando os elementos da população são raros ou de difícil acesso, sua vantagem é aumentar a possibilidade de localização da característica desejada da população e baixo custo Pode causar viés na identificação de amigos ou pessoas consideradas especialistas 23

24 Amostragem de Propagação Geométrica ou Bola de Neve (Snowball) Exemplo: uma escola de idiomas pretende atrair novos alunos e, para cada aluno matriculado, oferece um desconto na mensalidade se ele trouxer um novo aluno para a escola O processo se repete até que a escola consiga atingir um número mínimo de alunos matriculados 24

25 Tamanho da Amostra Amostra representativa da população para estimar a: Média de uma população infinita Média de uma população finita Proporção de uma população infinita Proporção de uma população finita Apenas para amostragem aleatória simples 25

26 Tamanho da Amostra para Estimar a Média da População Infinita Tamanho da Amostra Necessária n = z α σ 2 e Em que: z α = abscissa da distribuição normal padrão, fixado um nível de significância α σ = desvio padrão da população e = erro amostral (máxima diferença permitida entre a média populacional µ e a média amostral x) 26

27 Tamanho da Amostra para Estimar a Média da População Infinita Exemplo: determinar o tamanho de uma amostra para estudar o número médio de clientes que ficam inadimplentes todo mês em determinada empresa financeira A média amostral não deve ser afastar da média populacional por mais de 0,10, com grau de confiança de 90% (z α = 1,64) Desvio padrão de 7 clientes (populacional) n = 1, = ,10 27

28 Tamanho da Amostra para Estimar a Média da População Finita Tamanho da Amostra Necessária z 2 α σ 2 N n = e 2 N 1 + z 2 α σ 2 Em que: z α = abscissa da distribuição normal padrão, fixado um nível de significância α σ = desvio padrão da população N = tamanho da população e = erro amostral (máxima diferença permitida entre a média populacional µ e a média amostral x) 28

29 Tamanho da Amostra para Estimar a Média da População Finita Exemplo: mesmo exemplo anterior, imagine que a empresa financeira seja pequena com N = clientes (população) A média amostral não deve ser afastar da média populacional por mais de 0,10, com grau de confiança de 90% (z α = 1,64) Desvio padrão de 7 clientes (populacional) (1,64) 2 (7) n = (0,10) (1,64) 2 (7) 2 =

30 Tamanho da Amostra para Estimar a Média da População Finita É possível obter a população infinita ao multiplicar o valor obtido pelo fator de correção para populações finitas N N + n 1 Em que n é o tamanho da amostra para população infinita 30

31 Tamanho da Amostra para estimar a Proporção de População Infinita Se a variável for qualitativa (nominal ou ordinal) e a população infinita, a dimensão da amostra (n) aleatória simples pode ser calculada pela seguinte expressão n = z α 2 p q Em que: z α = abscissa da distribuição normal padrão, fixado um nível de significância α p = estimativa da proporção p q = 1 p e = erro amostral (máxima diferença permitida entre p e p) Comum o uso de p q = 0,25 (estimativa de p = 0,5) e 2 31

32 Tamanho da Amostra para estimar a Proporção de População Infinita Exemplo: um pesquisador deseja determinar o tamanho de uma amostra para estudar a proporção de eleitores que votarão em determinado candidato na eleição para presidente Deseja que a proporção amostral não se afaste da proporção populacional em mais de 2%, com probabilidade de 98% (z α =2,33) n = (2,33)2 0,25 (0,02) 2 =

33 Tamanho da Amostra para estimar a Proporção de População Finita Se a variável for qualitativa (nominal ou ordinal) e a população finita, a dimensão da amostra (n) aleatória simples pode ser calculada pela seguinte expressão z 2 α p q N n = e 2 (N 1) + z 2 α p q Em que: z α = abscissa da distribuição normal padrão, fixado um nível de significância α p = estimativa da proporção p q = 1 p N = tamanho da população e = erro amostral (máxima diferença permitida entre p e p) 33

34 Tamanho da Amostra para estimar a Proporção de População Finita Exemplo: um pesquisador deseja determinar o tamanho de uma amostra para estudar a proporção de eleitores que votarão em determinado candidato a prefeito em Bocaina (SP), que tem aproximadamente habitantes Para o mesmo erro e nível de confiança (2,33) 2 0, n = (0,02) ,33 2 0,25 = Podemos utilizar o mesmo fator de correção para populações finitas 34

35 Estimação 35

36 Estimação Tirar conclusões sobre uma população a partir de dados extraídos de uma amostra representativa dessa população Os parâmetros podem ser estimados pontualmente, por meio de um único ponto (estimação pontual) ou por meio de um intervalo (estimação por intervalos) 36

37 Estimação Parâmetro função do conjunto de valores da população Estatística função do conjunto de valores da amostra Estimativa valor assumido pelo parâmetro em determinada amostra 37

38 Estimação Estimação pontual: estimador dos momentos, método dos mínimos quadrados e o método da máxima verossimilhança Estimação intervalar ou intervalo de confiança (IC): IC para média populacional quando a variância é conhecida, IC para média populacional quando a variância é desconhecida, IC para variância populacional e IC para a proporção 38

39 Estimação Parâmetro Populacional Média Proporção Pontual A previsão do índice Ibovespa para o final de 2009 é de pontos Mato Grosso do Sul terá 4% da população obesa em 2010 Intervalar A previsão do índice Ibovespa para o final de 2009 está entre e pontos Mato Grosso do Sul terá entre 3,5% e 4,5% da população obesa em 2010 Fonte: Adaptado de Bruni (2007, apud FÁVERO et al, 2009) 39

40 Métodos de Estimação Pontual Estimador dos Momentos Método dos Mínimos Quadrados Método da Máxima Verossimilhança 40

41 Estimador dos Momentos Utiliza a média e variância amostral para estimar os parâmetros da população Média da variável aleatória x μ = x i n Estimador amostral x m = x i n 41

42 Estimador dos Momentos Os estimadores gerados nem sempre atendem a outras propriedades, já que, por exemplo, o estimador da variância (s 2 m) é tendencioso s 2 m = (x i x) 2 n s 2 = (x i x) 2 n 1 42

43 Método dos Mínimos Quadrados Deseja-se estimar os parâmetros de uma regressão linear simples (aula futura) como uma variável dependente (Y) e uma variável explicativa (X) Obtém a reta que melhor ajusta os pontos de um diagrama de dispersão 43

44 Método da Máxima Verossimilhança Deve-se conhecer o tipo de distribuição da população Entre as possíveis estimativas dos parâmetros da população são escolhidos os valores que maximizam a probabilidade (verossimilhança) de que os valores obtidos na amostra sigam a distribuição da população Uma v.a. x tem uma fdp dada por: f(x i ; θ k ) Em que θ i, i = 1, 2,..., k são parâmetros da função 44

45 Método da Máxima Verossimilhança Quando os parâmetros não são conhecidos, devem ser estimados a partir de valores de x obtidos de uma amostra Tem-se a função de verossimilhança: função de verossimilhança = L(θ k ; x i ) O método consiste em achar os valores do parâmetro θ k que maximizem a função de verossimilhança ou a probabilidade de que a amostra pertença a uma população cuja distribuição tenha função de densidade f 45

46 Estimativa Intervalar ou Intervalos de Confiança IC para média populacional quando a variância é conhecida IC para média populacional quando a variância é desconhecida IC para variância populacional IC para a proporção 46

47 Intervalo de Confiança para a Média Populacional (µ) quando a Variância Populacional (σ 2 ) é Conhecida Seja X ~ N(µ,σ 2 ) e σ 2 conhecido, considera-se que z = x μ 0 ~N(0,1) σ/ n P z c < z < z c = 1 α Em que z c é o valor crítico da variável aleatória z 47

48 Intervalo de Confiança para a Média Populacional (µ) quando a Variância Populacional (σ 2 ) é Conhecida α /2 α/2 RA z α/2 σ x µ z α/2 σ x x 48

49 Intervalo de Confiança para a Média Populacional (µ) quando a Variância Populacional (σ 2 ) é Conhecida Exemplo: uma v.a. com distribuição normal e variância conhecida de 25. Retira-se uma amostra de 16 valores e calcula-se a média amostral = 18. Construa um intervalo de confiança de 95% (z c = 1,96) para a média populacional P x z c σn < μ < x + z σ c n = 95% P 18 1, < μ < , = 95% P 15,55 < μ < 20,45 = 95% Logo o intervalo [15,55; 20,45] contém a média populacional com 95% de confiança 49

50 Intervalo de Confiança para a Média Populacional (µ) quando a Variância Populacional (σ 2 ) é Desconhecida Seja X ~ N(µ,σ 2 ) e σ 2 desconhecido, considera-se usar o estimador (s) que t = x μ 0 s/ n ~t n 1 P t c < t < t c = 1 α Em que t c é o valor crítico da variável aleatória t da distribuição t de Student 50

51 Intervalo de Confiança para a Média Populacional (µ) quando a Variância Populacional (σ 2 ) é Desconhecida α /2 α/2 RA µ t -t c t c 51

52 Intervalo de Confiança para a Média Populacional (µ) quando a Variância Populacional (σ 2 ) é Desconhecida Exemplo: uma v.a. com distribuição normal e variância desconhecida. Retira-se uma amostra de 16 valores e calcula-se a média amostral = 18 e a variância amostral = 25. Construa um intervalo de confiança de 95% (t c = 2,131) para a média populacional P x t c sn < μ < x + t s c n = 95% P 18 2, < μ < , = 95% P 15,34 < μ < 20,66 = 95% Logo o intervalo [15,34; 20,66] contém a média populacional com 95% de confiança 52

53 Intervalo de Confiança para a Variância Populacional Seja X ~ N(µ,σ 2 ) e como o estimador de σ 2 é s 2, considera-se que a v.a. (n 1) s2 2 ~χ σ 2 n P χ inf < χ n 1 < χ2 sup = 1 α Ou P (n 1) s2 χ 2 inf < σ 2 < (n 1) s2 χ 2 sup = 1 α 53

54 Intervalo de Confiança para a Variância Populacional α /2 RA α/2 X 2 inf X 2 sup X 2 54

55 Intervalo de Confiança para a Variância Populacional Exemplo: uma amostra de 12 elementos, extraída de uma população normal, forneceu variância = 9,14. construa um intervalo de confiança de 90% para a variância dessa população Tabela Qui-quadrado com 11 graus de liberdade, tem-se X 2 inf = 4,575 X 2 sup = 19,675 55

56 Intervalo de Confiança para a Variância Populacional Logo (n 1) s2 P σ 2 < σ 2 < (n 1) s2 σ 2 = 1 α P 11 9,14 19,675 < 11 9,14 σ2 < = 90% 4,575 P 5,11 < σ 2 < 21,98 = 90% Logo o intervalo [5,11; 21,98] contém a variância populacional com 90% de confiança 56

57 Intervalo de Confiança para Proporções Seja Y ~ binomial e a proporção amostral p = Y. n Logo p~n p, pq se n é grande. Considera-se que n z = p p ~N(0,1) pq n P z c < z < z c = 1 α Em que z c é o valor crítico da variável aleatória z 57

58 Intervalo de Confiança para Proporções α /2 α/2 RA z α/2 σ x µ z α/2 σ x x 58

59 Intervalo de Confiança para Proporções Exemplo: uma amostra de 100 peças foi retirada de uma máquina e verificou-se que quatro delas eram defeituosas. Construa um intervalo de confiança de 95% (z c = 1,96) para a proporção de produtos defeituosos produzidos nessa máquina p = Y n = = 0,04 pq P p z c n < p < p + z pq c n = 1 α P 0,04 1,96 0,04 0, < p < 0,04 + 1,96 0,04 0, = 95% P 0,03925 < p < 0,04075 = 95% Logo o intervalo [3,925%; 4,075%] contém a proporção de produtos defeituosos com 95% de confiança 59

60 Testes de Hipóteses 60

61 Testes de Hipóteses Testes de hipóteses podem ser utilizados para determinar se uma indicação sobre o valor de um parâmetro de população deve ou não ser rejeitado Quando os testes assumem premissas sobre a distribuição de parâmetros da população são chamados de testes paramétricos A hipótese nula, denotada por H 0, é uma suposição preliminar sobre um parâmetro populacional A hipótese alternativa, denotada por H 1, é o oposto do que é formulado na hipótese nula 61

62 Hipóteses A parte da igualdade das hipóteses sempre aparece na hipótese nula Em geral, um teste de hipótese sobre o valor de uma média populacional µ deve ter uma das seguintes três formas (onde µ 0 é o valor da hipótese da média populacional) H 0 : μ μ o H 1 : μ < μ o Unicaudal (cauda inferior) H 0 : μ μ o H 1 : μ > μ o Unicaudal (cauda superior) H 0 : μ = μ o H 1 : μ μ o Bicaudal 62

63 Erro do Tipo I Erro do Tipo I é rejeitar H 0 quando a hipótese é verdadeira A probabilidade de fazer um Erro do Tipo I quando a hipótese nula é verdadeira enquanto igualdade é chamado de nível de significância (α) 63

64 Erro do Tipo II Erro do Tipo II é aceitar H 0 quando a hipótese é falsa É difícil controlar a probabilidade de fazer um Erro do Tipo II Estatísticos evitam o risco de cometer um Erro do Tipo II usando a expressão "não rejeitar H 0 " ao invés de "aceitar H 0 64

65 Tipos de Erros Conclusão Não Rejeitar H 0 Condição da População H 0 Verdadeira Decisão Correta (1 α) H 0 Falsa Erro do Tipo II (β) Rejeitar H 0 Erro do Tipo I (α) Decisão Correta (1 β) 65

66 Tipos de Erros 66

67 Etapas do Teste de Hipóteses Método do p-value (p-valor ou valorp) Passo 1. Desenvolver as hipóteses nula e alternativa Passo 2. Definir o nível de significância α Passo 3. Escolher uma estatística de teste adequada Passo 4. Retirar uma amostra e calcular o valor da estatística do teste Passo 5. Determinar o p-value que corresponde à probabilidade associada ao valor observado da amostra Passo 6. Rejeitar H 0 se o p-value α (caso contrário, não rejeitar) 67

68 Etapas do Teste de Hipóteses Método do valor crítico Passo 1. Desenvolver as hipóteses nula e alternativa Passo 2. Definir o nível de significância α Passo 3. Escolher uma estatística de teste adequada Passo 4. Fixar a região crítica do teste (com base no α estabelecido) Passo 5. Retirar uma amostra e calcular o valor da estatística do teste Passo 6. Rejeitar H 0 se a estatística pertencer à região crítica (caso contrário, não rejeitar) 68

69 Testes Paramétricos Aplicados em situações em que se conhece a distribuição que melhor representa os dados analisados Exigem suposições específicas sobre a(s) população(ões) da(s) qual(ais) as amostras foram extraídas Exigem que duas hipóteses sejam satisfeitas: (1) que a variável dependente tenha distribuição normal; e (2) que as variâncias populacionais sejam homogêneas no caso da comparação de duas ou mais populações 69

70 Testes para Normalidade Univariada Kolmogorov-Smirnov (K-S) Shapiro-Wilk 70

71 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Teste de aderência que compara a distribuição de frequência acumulada de um conjunto de valores observados da amostra com uma distribuição esperada ou teórica Neste caso, determina se uma amostra é proveniente de uma população com distribuição normal Utilizado quando a média e o desvio padrão da população são conhecidos 71

72 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Seja F esp (X) uma função distribuição esperada (normal) de frequências relativas acumuladas da variável X, em que F esp (X) ~ N(µ,σ), e F obs (X) a distribuição de frequências relativas acumuladas observada da variável X Deseja-se testar se F obs (X) = F esp (X) contra a alternativa de que F obs (X) F esp (X) 72

73 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) A estatística do teste é D = max{ F esp X i F obs X i ; F esp X i F obs X i 1 } para i = 1,..., n Em que: F esp (X i ) = frequência relativa acumulada esperada na categoria i F obs (X i ) = frequência relativa acumulada observada na categoria i F obs (X i-1 ) = frequência relativa acumulada observada na categoria i

74 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Para uso do teste K-S para parâmetros estimados a partir de uma amostra (ao invés da população), perde-se poder explicativo Nessa situação utilizar a correção de Lilliefors (1967) 74

75 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Procedimento para aplicação do teste 1. Fixar a hipótese nula (H 0 ) e a hipótese alternativa (H 1 ). A hipótese nula afirma que a amostra provém de uma distribuição N(µ,σ). A hipótese alternativa afirma que a amostra não provém de uma distribuição N(µ,σ) 2. Fixar o nível de significância α do teste 3. A estatística escolhida é a de Komogorov- Smirnov 75

76 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Procedimento para aplicação do teste 4. Os valores críticos da estatística K-S (D) estão na tabela respectiva 5. Calcular o valor real da estatística K-S, conforme equação anterior 6. Decisão: se o valor da estatística pertencer a região crítica (D > D c ), rejeita-se H 0. Caso contrário, não se rejeita H 0 76

77 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Exemplo: considere os dados da tabela, relativos à produção mensal de máquinas de costura nos últimos 12 meses. Verifique se os dados seguem uma distribuição normal, com α =5%

78 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) X i F abs F ac Frac abs z i Frac esp F esp X i F obs X i F esp X i F obs X i ,08-1,43 0,0764 0,0036 0, ,25-1,20 0,1151 0,1349 0, ,33-0,85 0,1977 0,1323 0, ,42-0,39 0,3483 0,0717 0, ,58 0,30 0,6179 0,0379 0, ,67 0,41 0,6591 0,0109 0, ,75 0,53 0,7019 0,0481 0, ,83 0,76 0,7764 0,0536 0, ,92 1,10 0,8643 0,0557 0, ,0 1,68 0,9535 0,0465 0,

79 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Procedimento para realização do teste 1. A hipótese nula afirma (H 0 ) que a amostra provém de uma distribuição N(µ,σ). A hipótese alternativa (H 1 ) afirma que a amostra não provém de uma distribuição N(µ,σ) 2. O nível de significância α = 5% 3. A estatística escolhida é a de Komogorov- Smirnov 79

80 Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) Procedimento para realização do teste 4. Os valores críticos da estatística K-S para n = 12 e α = 5% na tabela o valor D = 0, O valor real da estatística K-S, conforme equação anterior, é D = 0, Decisão: como o valor da estatística não pertence a região crítica D < 0,375 (D c ), não se rejeita H 0. A amostra é obtida de uma distribuição normal 80

81 Teste de Shapiro-Wilk Testa se a variável em estudo possui ou não uma distribuição normal No caso de pequenas amostras (n < 30) o teste de Shapiro-Wilk é mais apropriado que o teste K-S W = b = b 2 (x i N/2 i=1, para i = 1,, n x) 2 a n 1+1 (x n i+1 x i ) Em que x i são os valores da variável x em ordem crescente x é a média de x a i são constantes geradas a partir da média, variância e covariância de n ordens com distribuição normal padrão 81

82 Teste de Shapiro-Wilk Valores pequenos de W indicam que a distribuição da variável não é normal 82

83 Teste de Shapiro-Wilk Procedimento para aplicação do teste 1. Fixar a hipótese nula (H 0 ) e a hipótese alternativa (H 1 ). A hipótese nula afirma que a amostra provém de uma distribuição normal. A hipótese alternativa afirma que a amostra não provém de uma distribuição normal 2. Fixar o nível de significância α do teste 3. Para n 30 a estatística escolhida é a de Shapiro- Wilk 83

84 Teste de Shapiro-Wilk Procedimento para aplicação do teste 4. Os valores críticos da estatística de Shapiro-Wilk (W) estão na tabela respectiva 5. Calcular o valor real da estatística de Shapiro- Wilk, conforme equação anterior 6. Decisão: se o valor da estatística pertencer a região crítica (W > W c ), rejeita-se H 0. Caso contrário, não se rejeita H 0 84

85 Teste de Shapiro-Wilk Exemplo: considere os dados da tabela (ordenados), relativos à produção mensal de máquinas de costura nos últimos 12 meses. Verifique se os dados seguem uma distribuição normal, com α =5%

86 Teste de Shapiro-Wilk Procedimento para realização do teste 1. A hipótese nula afirma (H 0 ) que a amostra provém de uma distribuição normal. A hipótese alternativa (H 1 ) afirma que a amostra não provém de uma distribuição normal 2. O nível de significância α = 5% 3. Como n 30 a estatística escolhida é a de Shapiro-Wilk 86

87 Teste de Shapiro-Wilk Procedimento para realização do teste 4. Os valores críticos da estatística de Shapiro-Wilk para n = 12 e α = 5% na tabela o valor W = 0, O valor real da estatística de Shapiro-Wilk, conforme equação anterior, b = 27,971 e W = 0, Decisão: como o valor da estatística não pertence a região crítica W > 0,859 (W c ), não se rejeita H 0. A amostra é obtida de uma distribuição normal 87

88 Teste de Levene para Homogeneidade de Variâncias Para comparar duas ou mais populações é necessário supor homogeneidade de variâncias A hipótese numa afirma que as variâncias populacionais estimadas a partir de k amostras representativas são homogêneas ou iguais A hipótese alternativa afirma que pelo menos uma variância populacional é diferente das demais H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 = = σ 2 n H 1 : i,j : σ 2 i σ 2 j (i, j = 1,, k) 88

89 Teste de Levene para Homogeneidade de Variâncias A estatística do teste de Levene (N k) W = (k 1) i=1 k ( Z i Z) 2 nj ( Z ij Z) ~ 2 sob H 0 F k 1,N k,α k i=1 j=1 Em que n i é a dimensão de cada uma das k amostras (i = 1,..., k) N é a dimensão da amostra global (N = n 1 + n n k ) Z ij = X ij X, i = 1,..., k e j = 1,..., n k X ij é a observação j da amostra i Z i é a média de Z i na amostra i Z é a média de Z i na amostra global 89

90 Teste de Levene para Homogeneidade de Variâncias Procedimento para aplicação do teste 1. Fixar a hipótese nula (H 0 ) e a hipótese alternativa (H 1 ). A hipótese nula afirma que as variâncias populacionais são homogêneas. A hipótese alternativa afirma que pelo menos uma das variâncias populacionais é diferente das demais 2. Fixar o nível de significância α do teste 3. A estatística escolhida é o teste W de Levene 90

91 Teste de Levene para Homogeneidade de Variâncias Procedimento para aplicação do teste 4. Fixar a região crítica com a Tabela F 5. Calcular o valor real da estatística W, conforme equação anterior 6. Decisão: se o valor da estatística pertencer a região crítica (W > F c ), rejeita-se H 0. Caso contrário, não se rejeita H 0 91

92 Teste de Levene para Homogeneidade de Variâncias Exemplo: uma empresa farmacêutica pretende comparar a satisfação dos consumidores segundo alguns critérios: qualidade do produto, preços, prazo de entrega, disponibilidade do produto, entre outros Para isso, foi aplicado um questionário a partir dos critérios listados, resultado em uma pontuação que varia de 1 a 100 Foram entrevistados 24 consumidores com o objetivo de comparar a satisfação entre homens e mulheres Teste a variância dos grupos ao nível de 5% de significância Dados na Plan2 da planilha Cap4-Exemplos.xlsx 92

93 Teste de Levene para Homogeneidade de Variâncias Cálculo do W W (24 2) = (2 1) 12 14,778 10, ,083 10, ,907 = 6,814 93

94 Teste de Levene para Homogeneidade de Variâncias Procedimento para realização do teste 1. A hipótese nula afirma (H 0 ) que as variâncias populacionais dos grupos são iguais. A hipótese alternativa (H 1 ) afirma que as variâncias são diferentes 2. O nível de significância α = 5% 3. A estatística escolhida é o teste W de Levene 94

95 Teste de Levene para Homogeneidade de Variâncias Procedimento para realização do teste 4. A região crítica, de acordo com a tabela é F c = F 2,9,5% = 4,26 5. O valor real da estatística W, conforme equação anterior, é W = 6, Decisão: como o valor da estatística não pertence a região crítica W > 4,26 (F c ), não se rejeita H 0. concluindo que as variâncias populacionais dos grupos são homogêneas 95

96 Obrigado pela Atenção!!! Até a próxima aula mbotelho@usp.br 96