Análise Multivariada Aplicada à Contabilidade

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1 Mestrado e Doutorado em Controladoria e Contabilidade Análise Multivariada Aplicada à Contabilidade Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp.br Turma: 2º /

2 Agenda Aula 3/15 Inferência Estatística: Testes de Hipóteses: Testes Paramétricos; Testes Não-Paramétricos. 2

3 Testes de Hipóteses Paramétricos 3

4 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Para quando não se conhece a variância populacional e se tem como objetivo testar se uma média populacional assume ou não determinado valor O teste exige que a variável T tenha distribuição normal padrão 4

5 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Procedimento para aplicação do teste 1. Fixar a hipótese nula (H 0 ) e a hipótese alternativa (H 1 ). Para um teste bilateral, a hipótese nula afirma que a amostra provém de uma população com uma média (µ = µ 0 ). A hipótese alternativa contesta a hipótese nula (µ µ 0 ) 2. Fixar o nível de significância α do teste 3. A distribuição amostral depende do tamanho de N 1. Se N 30, a variável teste escolhida será T com v = n 1 graus de liberdade 2. Se N > 30, escolher a distribuição normal padrão (teorema do limite central) 5

6 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Procedimento para aplicação do teste 4. Para N 30, fixar a região crítica com a tabela da distribuição t de Student α /2 RA α/2 -t c µ t c t 6

7 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Procedimento para aplicação do teste 5. O valor real da variável T depende do tamanho de N 1. Quando N 30 T = x μ 0 s 2 /n Com variância corrigida s 2 = n n 1 s2 7

8 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Procedimento para aplicação do teste 5. O valor real da variável T depende do tamanho de N 2. Quando N > 30 T = x μ 0 s 2 /n 6. Conclusão: se o valor da estatística pertencer à região crítica, isto é, se T < t c ou T > t c, rejeita-se a hipótese nula. Se t c T t c, não se rejeita H 0 * O SPSS não considera o d.p. corrigido em N 30 8

9 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Exemplo: testar a hipótese que o tempo médio de pintura de um caminhão é de 690 minutos. Amostra de 12 elementos (tempo de pintura em minutos). Considerar α = 1%. 9

10 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Procedimento para aplicação do teste 1. Para um teste bilateral, a hipótese nula afirma que o tempo médio de pintura é 690 minutos (µ = 690). A hipótese alternativa contesta a hipótese nula (µ 690) 2. O nível de significância α = 1% 3. A distribuição amostral depende do tamanho de N 1. Como N 30, a variável teste escolhida será T com v = 12 1 graus de liberdade 10

11 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Procedimento para aplicação do teste 4. Para N 30, fixar a região crítica com a tabela da distribuição t de Student α /2 RA α/2-3,106 µ 3,106 t 11

12 Teste t de Student para Hipóteses sobre Uma Média Populacional (µ) a partir de 1 Amostra Aleatória Procedimento para aplicação do teste 5. O valor real da variável T 1. Quando N 30 T = x μ 0 s/ n = 875, ,662/ 12 = 4, Conclusão: como o valor pertence à região crítica, isto é, T > 3,106, o teste rejeita à hipótese nula 12

13 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Testes se as médias de duas amostras aleatórias (X 1,..., X n, Y 1,..., Y n ) extraídas da mesma população são ou não significativamente diferentes As dias amostras têm distribuição normal com variâncias desconhecidas, porém, iguais T = x y (μ x μ y ) s 1 n x + 1 n y 13

14 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Em que s = n x 1 s x 2 + n y 1 s y 2 n x + n y 2 Quando as variâncias são homogêneas, o número de graus de liberdade é dado por v = n x + n y 2 14

15 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Se as variâncias não forem homogêneas, temos T = x y (μ x μ y ) s x 2 n x + s 2 y n y E o número de graus de liberdade 2 s x n + s 2 2 y x n y v = (s 2 x /n x ) 2 n x 1 + (s y 2 /n y ) 2 n y 1 15

16 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Procedimento para aplicação do teste 1. Fixar a hipótese nula (H 0 ) e a hipótese alternativa (H 1 ). A hipótese nula afirma que as médias populacionais são iguais (µ x = µ y ). A hipótese alternativa que as médias são diferentes (µ x µ y ) 2. Fixar o nível de significância α do teste 3. A variável teste escolhida é T 16

17 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Procedimento para aplicação do teste 4. Fixar a região crítica com a tabela da distribuição t de Student α /2 RA α/2 -t c µ t c t 17

18 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Procedimento para aplicação do teste 5. Calcular o valor real da variável T (caso sejam homogêneas ou heterogêneas) 6. Conclusão: se o valor da estatística pertencer à região crítica, isto é, se T < t c ou T > t c, rejeita-se a hipótese nula. Se t c T t c, não se rejeita H 0 18

19 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Exemplo: tempo médio de fabricação de dois produtos plásticos (X e Y) com tempos semelhantes (em minutos) de uma amostra com n = 10 19

20 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula afirma que as médias populacionais são iguais (µ X = µ Y ). A hipótese alternativa que as médias são diferentes (µ X µ Y ) 2. O nível de significância α = 10% 3. A variável teste escolhida é T 20

21 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Procedimento para aplicação do teste 4. De acordo com o teste de Levene, pode-se concluir que as variâncias são homogêneas. O número de gl é = 18. A região crítica é α /2 RA α/2-1,734 µ 1,734 t 21

22 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Independentes Procedimento para aplicação do teste 5. Calcular o valor real da variável T T = 21,2 26,7 = 3, , , Conclusão: como o valor da estatística pertence à região crítica, isto é, T < 1,734 concluímos que as médias populacionais são diferentes 22

23 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Verifica se as médias de duas amostras relacionadas, com distribuição normal, extraídas da mesma população, são ou não significativamente diferentes Pressupõe normalidade dos dados de cada amostra e exige que as variâncias de cada amostra sejam iguais entre si (homocedasticidade) 23

24 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Estatística Em que D = s D = T = D μ d s / n i=1 n n Di e D i = X i Y i n i=1 D i D 2 n 1 24

25 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Procedimento para aplicação do teste 1. Fixar a hipótese nula (H 0 ) e a hipótese alternativa (H 1 ). A hipótese nula afirma que as médias populacionais são iguais (µ x = µ y ). A hipótese alternativa que as médias são diferentes (µ x µ y ) 2. Fixar o nível de significância α do teste 3. A variável teste escolhida é T 25

26 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Procedimento para aplicação do teste 4. Fixar a região crítica com a tabela da distribuição t de Student α /2 RA α/2 -t c µ t c t 26

27 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Procedimento para aplicação do teste 5. Calcular o valor real da variável T (caso sejam homogêneas ou heterogêneas) 6. Conclusão: se o valor da estatística pertencer à região crítica, isto é, se T < t c ou T > t c, rejeita-se a hipótese nula. Se t c T t c, não se rejeita H 0 27

28 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Exemplo: um grupo de funcionários foi submetido a um treinamento, o objetivo é verificar o desempenho deles antes e depois do curso. Foram atribuídas notas de 1 a 10 antes e depois do treinamento. Amostra de 11 funcionários. Considere α = 5%. 28

29 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula afirma que as médias populacionais são iguais (µ x = µ y ). A hipótese alternativa que as médias são diferentes (µ x µ y ) 2. O nível de significância α = 5% 3. A variável teste escolhida é T 29

30 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Procedimento para aplicação do teste 4. Fixar a região crítica com a tabela da distribuição t de Student α /2 RA α/2-2,228 µ 2,228 t 30

31 Teste t de Student para Comparação de Duas Médias Populacionais a partir de 2 Amostras Aleatórias Relacionadas Procedimento para aplicação do teste 5. Calcular o valor real da variável T T = D μ d s / n = 0,836 1,783/ 11 = 1, Conclusão: como o valor da estatística não pertence à região crítica, isto é, 2,228 T 2,228, não se rejeita H 0. Não houve melhora com o treinamento. 31

32 ANOVA para Comparação de Médias de Mais de Duas Populações ANOVA (Analysis of Variance ou Análise de Variância) compara a média de duas ou mais populações, a partir da variabilidade da amostra Pressupõe que as amostras sejam independentes, que as populações possuam distribuição normal e que as variâncias das populações sejam iguais ANOVA de um fator ANOVA fatorial 32

33 ANOVA de um fator (One-Way ANOVA) Permite verificar o efeito de uma variável independente de natureza qualitativa (fator) em uma variável dependente de natureza quantitativa A hipótese consiste em testar se as médias das populações são iguais H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k H 1 : i,j : μ i μ j, i j 33

34 ANOVA de um fator (One-Way ANOVA) Amostra ou grupos k y 11 y y 1k y 21 y y 2k y n1 y n2... y nk n = não necessariamente iguais entre as amostras 34

35 ANOVA de um fator (One-Way ANOVA) Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios F Entre os Grupos SQF = n i y i y 2 k 1 QMF = SQF k 1 F = QMF QME Dentro dos Grupos SQE = y ij y i 2 N k QME = SQE N k Total SQT = y ij y 2 N 1 35

36 ANOVA de um fator (One-Way ANOVA) Procedimento para aplicação do teste 1. Fixar a hipótese nula (H 0 ) e a hipótese alternativa (H 1 ). A hipótese nula afirma que as médias populacionais são iguais (µ 1 = µ 2 =... = µ k ). A hipótese alternativa que as médias são diferentes (µ i µ j ) 2. Fixar o nível de significância α do teste 3. A variável teste escolhida é F 4. Fixar a região crítica da tabela F 5. Calcular o valor real de F 6. Conclusão: se o valor da estatística pertencer à região crítica, isto é, se F > F c, rejeita-se a hipótese nula. Se F F c, não se rejeita H 0 36

37 ANOVA de um fator (One-Way ANOVA) Exemplo: uma amostra de 24 produtos foi coletada para analisar a qualidade do leite de três fornecedores. Para tanto, avaliou-se a densidade do leite (relação entre massa e volume), que normalmente está entre e gramas por litro Verifique se há diferenças na qualidade do leite dos três fornecedores, a um nível de significância de 5% 37

38 ANOVA de um fator (One-Way ANOVA) k = 3 grupos N = 24 observações Média amostral = 1028,875 SQF = 9 (1033, ,875) 2 +7 (1025, ,875) 2 +8 (1030, ,875) 2 = 117,411 QMF = SQF k 1 = 117,411 = 58,

39 ANOVA de um fator (One-Way ANOVA) Cálculo da soma dos quadrados dos erros (SQE) Fornecedor Densidade y ij y i (y ij y i ) ,667 2, ,333 1, ,750 0,563 SQE 173,214 QME = SQE N k = 173, = 8,248 F = QMF QME = 58,705 8,248 = 7,117 39

40 ANOVA de um fator (One-Way ANOVA) Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula afirma que as médias populacionais são iguais (µ 1 = µ 2 =... = µ k ). A hipótese alternativa que as médias são diferentes (µ i µ j ) 2. O nível de significância α = 5% 3. A variável teste escolhida é F 4. Fixar a região crítica da tabela F é F 2,18,5% = 3,55 5. Calcular o valor real de F, calculado é 7, Conclusão: como o valor da estatística pertence à região crítica, isto é, se F > F c, rejeita-se a hipótese nula. Ou seja, há diferença na qualidade do fornecedor 40

41 ANOVA Fatorial Extensão da ANOVA de um fator (com os mesmos pressupostos), considerando dois ou mais fatores A variável dependente de natureza quantitativa é influenciada por mais de uma variável independente qualitativa (fator) A ANOVA fatorial também testa as possíveis interações entre os fatores, por meio do efeito resultante da combinação do nível i do fator A com o nível j do fator B 41

42 ANOVA Fatorial Exemplo: estudo sobre a venda de eletrodomésticos de um grupo de 15 lojas com objetivo de verificar a relação entre a venda de eletrodomésticos e a localização da loja, entre a venda de eletrodomésticos e o principal tipo de pagamento oferecido pela loja e entre a localização e o tipo de pagamento Localização: zona norte (1), zona lesta (2), zona oeste (3), centro (4) e zona sul (5) Tipos de pagamento: à vista (1), 30 dias (2), 60 dias (3) e mais de 60 dias (4) Considere α = 5% 42

43 ANOVA com mais de Dois Fatores Pode ser aplicada com três ou ais fatores O modelo se torna muito complexo, com efeito de múltiplas interações que pode confundir o efeito dos fatores 43

44 Testes de Hipóteses Não-Paramétricos 44

45 Testes não-paramétricos Vantagens Não exigem suposições numerosas ou restringentes em relação à distribuição dos dados (não-exigência normalidade) Tratam dados de natureza nominal e ordinal São mais apropriados para tratar amostras obtidas de várias populações diferentes Envolvem cálculos mais simples e, consequentemente, apresentam maior facilidade de aprendizado e aplicação 45

46 Testes não-paramétricos Desvantagens Tendem a perder informação, já que frequentemente os dados quantitativos são reduzidos a uma escala qualitativa Possuem menor eficiência. Os testes paramétricos têm maior probabilidade de rejeição da hipótese nula quando ela é realmente falsa Geralmente necessitam de uma amostra maior ou de maiores diferenças para que ocorra a rejeição da hipótese nula 46

47 Testes não-paramétricos Dimensão Nível de Mensuração Teste não-paramétrico Uma amostra Nominal Binomial Duas amostras emparelhadas Duas amostras independentes K amostras emparelhadas K amostras independentes Nominal Ordinal Ordinal Nominal Ordinal Ordinal Qui-quadrado Teste de McNemar Teste dos sinais Teste de Wilcoxon Teste de Mann-Whitney Q de Cochran Teste de Friedman Teste de Kruskal-Wallis 47

48 Testes para Uma Amostra Teste Binomial Teste Qui-quadrado 48

49 Teste Binomial Amostra independente em que a variável é binária ou dicotômica (sucesso ou fracasso) Compara as frequências observadas com as frequências esperadas em uma distribuição binomial Para grandes amostras (N > 20), a distribuição binomial se aproxima da distribuição normal padrão 49

50 Teste Binomial Exemplo: uma moeda será lançada 40 vezes, espera-se que não tenha vícios. A tabela apresenta os resultados obtidos. Teste a hipótese nula ao nível de significância de 5% Eventos Cara (1) Coroa (0) Total Frequência Proporção 0,4 0,6 1,0 50

51 Teste Binomial Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é H 0 : p = ½, não existe diferença entra a probabilidade de cara (p) e coroa (q). A Hipótese alternativa é H 1 : p ½ 2. O nível de significância α = 5% 3. Como N > 20 e Np > 7, usar a tabela normal padrão 4. Fixar a região crítica da tabela Z é 1,96 5. Calcular o valor real de z z = N p Np 0,5 = Npq 40 0,4 40 0,5 0,5 40 0,5 0,5 = 1, Conclusão: como -1,96 z 1,96, não rejeitamos H 0. A moeda não é viciada 51

52 Teste Qui-quadrado Aplicado em uma amostra na qual a variável nominal assume duas ou mais categorias O teste compara as frequências observadas com as esperadas em cada categoria χ 2 (O i E i ) 2 = E i 52

53 Teste Qui-quadrado Exemplo: um dado é lançado 120 vezes. Teste a hipótese de que o dado não é viciado. A tabela apresenta os resultados obtidos. Considerar o nível de significância de 5% Eventos Frequência observada Frequência esperada

54 Teste Qui-quadrado Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é de que o dado não é viciado. A Hipótese alternativa afirma haver discrepância 2. O nível de significância α = 5% 3. Teste Qui-quadrado com v = 5 graus de liberdade 4. Fixar a região crítica da tabela é 11, Calcular o valor χ 2 = = (O i E i ) 2 E i (25 20) (14 20) (12 20) (26 20) (23 20)2 20 = 8, Conclusão: como 8,5 11,070, não rejeitamos H 0. O dado não é viciado 54

55 Testes para Duas Amostras Emparelhadas Teste de McNemar Teste dos sinais Teste de Wilcoxon 55

56 Teste de McNemar Testar contagens ou proporções em duas amostras relacionadas a partir de variáveis binárias ou dicotômicas Tem como objetivo verificar se houve mudanças significativas de antes para depois da ocorrência de determinado evento Depois Antes a b + c d 56

57 Teste de McNemar Calculado com base no Qui-quadrado χ 2 = ( b c 1)2 b+c com 1 grau de liberdade 57

58 Teste de McNemar Exemplo: um grupo de 60 estudantes do terceiro ano do ensino médio, a maioria (40 alunos) estava indecisa sobre o curso superior, enquanto o restante (20 alunos) não tinham dúvidas Todos os estudantes assistiram a uma palestra sobre direcionamento de carreira Verifique a hipótese de que os alunos mudaram de opinião ao nível de 5% de significância 58

59 Teste de McNemar Antes Depois Total Total

60 Teste de McNemar Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é de não houve mudança. A Hipótese alternativa significa que a opinião dos alunos mudou 2. O nível de significância α = 5% 3. Como o número é > 10 utilizar o teste de McNemar 4. Fixar a região crítica da tabela é 3,84 5. Calcular o valor χ 2 = ( b c 1)2 b + c = ( ) = 12, Conclusão: como 12,070 > 3,84, rejeitamos H 0. Houve mudança de opinião 60

61 Teste dos sinais Alternativa ao teste t para comparação de duas amostras dependentes, quando as hipóteses do teste t não se verificarem Utiliza os sinais + e em vez de medidas quantitativas Para cada par de observações, avalia se há uma alteração para mais (+), para menos ou negativa (-) ou nula (0) É aplicada a partir de variáveis ordinais Tem baixo poder, pois utiliza apenas a informação do sinal 61

62 Teste dos sinais Exemplo: em um grupo de 60 estudantes, verificouse o desempenho acadêmico antes e depois da prática regular de um exercício de concentração Os resultados mostram que 35 estudantes apresentaram melhora, 5 deles apresentaram piora e 20 não apresentaram alteração no desempenho Teste a hipótese de que o exercício tenha alterado o desempenho acadêmico dos 60 estudantes, ao nível de 5% de significância 62

63 Teste dos sinais Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é de que o exercício não alterou o desempenho. A Hipótese alternativa significa houve alteração 2. O nível de significância α = 5% 3. Como o N p + N n > 25, normal padrão 4. Fixar a região crítica da tabela é 1,96 5. Calcular o valor z = min N p, N n 0,5(N p + N n ) + 0,5 5 0, ,5 = = 4,585 0,5 N p + N n 0, Conclusão: como -4,585 < -1,96, rejeitamos H 0. Houve alteração no desempenho 63

64 Teste de Wilcoxon Alternativa ao teste t para comparar duas médias populacionais a partir de amostras emparelhadas com determinado valor teórico Caso a variável seja contínua e apresente distribuição normal, deve-se utilizar o teste t de Student por ser mais potente Se a variável for ordinal ou até mesmo contínua, porém não apresentar distribuição normal, deve-se utilizar o teste de Wilcoxon Extensão do teste dos sinais, considerando o sinal e a magnitude da diferença dentro dos pares 64

65 Teste de Wilcoxon Determinar a diferença D i entre os escores de cada par Atribuir postos, ou seja, colocar em ordem crescente os valores de D i obtidos no item anterior sem considerar os sinais. No caso de empates, atribuir a média dos postos empatados Em cada posto, identificar o sinal de D i (+ ou -) que ele representa Determine N, o número de D i s não nulos Determinar S p e S n, que correspondem à soma dos postos com sinal positivo e negativo, respectivamente. Os valores críticos de S c para o teste de Wilcoxon encontram-se na tabela 1 do livro 65

66 Teste de Wilcoxon Para N 15 utilizar a tabela específica Para N > 15, considerar a distribuição normal padrão N(N + 1) min S p, S n z = 4 N(N + 1)(2N + 1) (t3 i t i )

67 Teste de Wilcoxon Exemplo: uma turma de 17 estudantes obteve nota baixa no vestibular em Esse grupo foi matriculado em um cursinho para futura aprovação no vestibular do ano seguinte. Testar a hipótese de que não houve diferença significativa nas notas entre os anos de 2006 e Considerar α = 5% 67

68 Teste de Wilcoxon Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é de que não há diferenças nas notas entre os anos. A Hipótese afirma haver diferença 2. O nível de significância α = 5% 3. Como o N > 15, normal padrão 4. Fixar a região crítica da tabela é 1,96 5. Calcular o valor z = min S p, S n N(N + 1)(2N + 1) 24 N(N + 1) 4 (t3 i t i ) 48 = (2 3 2) 48 = 3, Conclusão: como -3,053 < -1,96, rejeitamos H 0. Há diferenças nas notas entre os anos 68

69 Teste para Duas Amostras Independentes Teste de Mann-Whitney 69

70 Teste de Mann-Whitney Testa se duas amostras independentes foram extraídas de populações com médias iguais É um dos testes não-paramétricos mais poderosos, sendo uma alternativa ao teste t para duas amostras independentes quando a amostra for pequena e/ou quando a hipótese de normalidade for violada A única exigência é que a variável deve ser medida em escala ordinal ou quantitativa 70

71 Teste de Mann-Whitney Estatística do teste (U N 1 N 2 /2) z = N 1 N 2 N(N 1) N 3 N 12 t3 i t i 12 71

72 Teste de Mann-Whitney Exemplo: 18 cursos de uma instituição de ensino foram divididos em 2 grupos. O primeiro grupo foi divulgado por folders e posters e o segundo grupo por mala-direta. Verifique se há diferença no volume de venda dos dois grupos Considere um nível de significância de 5% 72

73 Teste de Mann-Whitney Tem-se N 1 = 8, N 2 = 10, N = 18 Colocar os dados em ordem crescente por posição Tem-se que R 1 = 94 e R 2 = 77 Cálculo da estatística U 1 = N 1 N 2 + N 1 N R 2 1 = = 22 U 2 = N 1 N 2 + N 2 N R = = 58 2 U = min (U 1, U 2 ) =

74 Teste de Mann-Whitney Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é de que não há diferenças entre os grupos. A Hipótese afirma haver diferença 2. O nível de significância α = 5% 3. Considerando a tabela para R 1 = 94, N 1 = 8 e N 2 = 10 é 0,0610, bilateral = 0, Fixar a região crítica da tabela é 1,64 5. Calcular o valor z = N 1 N 2 N(N 1) (U N 1 N 2 /2) N 3 N 12 t3 i t i 12 = ( /2) = 1, Conclusão: como 0,122 > 0,05, não rejeitamos H 0. No caso da normal padrão -1,64 1,601 1,64, não rejeitamos H 0 74

75 Testes para k Amostras Emparelhadas Teste Q de Cochran Teste de Friedman 75

76 Teste Q de Cochran Extensão do teste de McNemar para k amostras relacionadas, testando a hipótese de que três ou mais conjuntos emparelhados diferem entre si Os dados são categóricos (escala nominal) ou binários 76

77 Teste Q de Cochran Exemplo: avaliar a didática de três professores, para isso, um grupo de 15 alunos é submetido a três cursos, cada um deles ministrado por um dos 3 professores avaliados. Os alunos analisam se o curso foi bom (escore 1) ou ruim (escore 0) Verifique a hipótese de que a probabilidade de uma boa avaliação por parte dos alunos é a mesma para os três cursos Considerar um nível de significância de 5% 77

78 Teste Q de Cochran Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é de que a probabilidade de sucesso é a mesma para os três professores. A Hipótese afirma haver diferenças 2. O nível de significância α = 5% 3. Escolher o teste Q de Cochram 4. Para um nível de significância e 2 graus de liberdade, a tabela Quiquadrado é 5,99 5. Calcular o valor Q = (K 1) K G2 j G j K L i L 2 i 2 = 3 1 [ ] Conclusão: como 7,091 > 5,99, rejeitamos H 0. Há diferença na avaliação por parte dos alunos = 7,091 78

79 Teste de Friedman Variáveis ordinais ou quantitativas Testa a hipótese de k amostras emparelhadas serem provenientes da mesma população, sendo uma alternativa á ANOVA quando o tamanho da amostra for pequeno ou as suposições exigidas pela ANOVA (normalidade e igualdade de variância) forem violadas, ou, ainda, quando a variável estiver em escala ordinal Para k = 2 o teste equivale ao teste de Wilcoxon 79

80 Teste de Friedman Exemplo: em um ensaio com 45 pacientes obesos, buscou-se avaliar o efeito de três dietas alimentares (dieta sanguínea, dieta dos carboidratos e dieta dos pontos), durante um período de 60 dias em um SPA Em cada quarto há três pacientes, de modo aleatório, onde cada paciente faz um dieta Verificar ao nível de 5% de significância, se a redução de peso é igual para as três dietas 80

81 Teste de Friedman Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é de que a redução de peso é igual para as três dietas. A Hipótese afirma que a redução depende da dieta 2. O nível de significância α = 5% 3. Escolher o teste de Friedman 4. Para um nível de significância e 2 graus de liberdade, como k =3 e N = 15, a tabela Qui-quadrado é 5, Calcular o valor F = 12 (R i) 2 3N 2 k(k + 1) 2 Nk k Nk (k 1) = 9,750 t3 ij = 12 38, , ( ) Conclusão: como 9,750> 5,99, rejeitamos H 0. Há diferenças na redução por dieta 81

82 Teste para k Amostras Independentes Teste de Kruskal-Wallis 82

83 Teste de Kruskal-Wallis Verifica a probabilidade de que k amostras (k > 2) independentes sejam provenientes da mesma população Deve ser aplicado nos casos em que a amostra for pequena e/ou as suposições exigidas pela ANOVA forem violadas A variável utilizada no teste deve ser medida em escala ordinal ou quantitativa Para k = 2 o teste é equivalente ao teste Mann- Whitney 83

84 Teste de Kruskal-Wallis Exemplo: um grupo de 36 pacientes com distúrbios de tireóide com o mesmo grau de risco foi submetido a três tipos de tratamento (A, B e C). Ao final do tratamento, cada paciente fez uma série de exames, resultado em uma classificação que varia entre 5 e 19, em que a categoria 5 significa nenhuma alteração e a categoria 19 significa altíssima alteração Verificar se os três tratamentos conduzem a resultados iguais Considerar nível de significância de 1% 84

85 Teste de Kruskal-Wallis Procedimento para aplicação do teste 1. A hipótese nula é de que os tratamentos têm a mesma distribuição. A Hipótese que os tratamentos não têm a mesma distribuição 2. O nível de significância α = 1% 3. Como N 1, N 2, N 3 > 5, escolher Qui-quadrado 4. Para um nível de significância e 2 graus de liberdade, a tabela Qui-quadrado é 9,210 85

86 Teste de Kruskal-Wallis Procedimento para aplicação do teste 5. Calcular o valor 12 R 2 i H = 3 N 1 N (N + 1) N i = = 22, Como há grupos empatados H H = 1 (t3 i t i ) (N 3 N) = 22, ( ) = 22, Conclusão: como 22,969> 9,210, rejeitamos H 0. Há diferenças nas distribuições das amostras 86

87 Obrigado pela Atenção!!! Até a próxima aula mbotelho@usp.br 87