Delineamento e Análise Experimental Aula 3

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1 Aula 3 Castro Soares de Oliveira

2 Teste de hipótese Teste de hipótese é uma metodologia estatística que permite tomar decisões sobre uma ou mais populações baseando-se no conhecimento de informações da amostra.

3 Teste de hipótese Teste de hipótese é uma metodologia estatística que permite tomar decisões sobre uma ou mais populações baseando-se no conhecimento de informações da amostra. A formulação de suposições ou de conjeturas acerca das populações são denominadas de Hipóteses Estatísticas, que podem ser:

4 Teste de hipótese Teste de hipótese é uma metodologia estatística que permite tomar decisões sobre uma ou mais populações baseando-se no conhecimento de informações da amostra. A formulação de suposições ou de conjeturas acerca das populações são denominadas de Hipóteses Estatísticas, que podem ser: HIPÓTESE NULA - É aquela Hipótese Estatística, prefixada, formulada sobre o parâmetro populacional estudado, e é sempre uma afirmativa. É representada por H 0.

5 Teste de hipótese Teste de hipótese é uma metodologia estatística que permite tomar decisões sobre uma ou mais populações baseando-se no conhecimento de informações da amostra. A formulação de suposições ou de conjeturas acerca das populações são denominadas de Hipóteses Estatísticas, que podem ser: HIPÓTESE NULA - É aquela Hipótese Estatística, prefixada, formulada sobre o parâmetro populacional estudado, e é sempre uma afirmativa. É representada por H 0. HIPÓTESE ALTERNATIVA - São quaisquer hipóteses que difiram da Hipótese Nula. Pode ser representada por H 1 ou H a

6 Teste de hipótese rejeita-se automaticamente H 1, e vice- Aceitando-se H 0 versa Para se decidir se aceitamos ou se rejeitamos uma hipótese deve-se utilizar uma regra de decisão. As regras de decisão são baseadas nas distribuições amostrais.

7 Teste de hipótese Tabela 1: Erros possíveis de se cometer no processo de tomada de decisão Decisões possíveis Estados possíveis Ho verdadeira Ho falsa Aceitação de Ho Decisão correta Erro do tipo II Rejeição de Ho Erro do tipo I Decisão correta

8 Teste de hipótese Ao testar uma hipótese estabelecida, a probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr o risco de um erro do tipo I é denominada de Nível de Significância do Teste e é representada por α. O nível de significância α. é geralmente determinado pelo pesquisador antes da coleta dos dados. Em muitas aplicações da estatística, o nível de significância é tradicionalmente fixado em 0,05 Assim a regra de decisão do teste de hipóteses poderá ser feita pela comparação do valor-p com o nível de significância Se o valor-p for maior que α então a hipótese nula será aceita. Se o valor-p for menor ou igual a α então a hipótese nula será rejeitada.

9 ANOVA A Análise de Variância (ANOVA) é um procedimento criado por R. A. Fischer, e é utilizada para comparar três ou mais tratamentos. A ideia para obter a ANOVA é decompor a variação total das observações de um experimento em partes que podem ser atribuídas a causas controladas Variação total=variação controlada+variação não controlada

10 ANOVA A forma de se obter a ANOVA depende do tipo de experimento realizado, que pode ser representado pelo modelo estatístico.

11 ANOVA A forma de se obter a ANOVA depende do tipo de experimento realizado, que pode ser representado pelo modelo estatístico. Definição (Modelo Estatístico) O Modelo estatístico é uma formula matemático para representar um resultado experimental sujeito a erros

12 ANOVA Considerando uma variável resposta representando por y j, em que e o índice j representa a repetição. Se não tivesse nenhuma interferência, teríamos uma variação das observações apenas devido as causas aleatórias, assim poderíamos representar as observações pelo seguinte modelo: y j = µ + e j em que µ significa a média geral e e j representa um erro aleatório. Assim, as observações diferem da média apenas pelo erro experimental.

13 ANOVA Se em cada observação for aplicado um tratamento, a variável resposta representada por y ij, em que o índice i é o tratamento e o índice j representa a repetição. Podemos incorporar no modelo um efeito de tratamento τ i, assim y ij = µ + τ i + e ij = µ i + e ij Assim, a variável resposta difere da média geral pelo erro experimental mais os efeitos dos tratamentos.

14 ANOVA O principio para aplicação da ANOVA é estabelecer um modelo que represente as Fontes de Variação No modelo y ij = µ + τ i + e ij = µ i + e ij temos que: τ i representa variação controlada e ij representa variação não controlada Assim, pode-se decompor da variação total em duas partes: Variação Total=Variação Tratamento+ Variação Erro A medida dessa variação é representada pela soma de quadrados (SQ)

15 ANOVA Assim, temos que: SQTotal = SQTratamento + SQErro A soma de quadrados total é definida como medida da variabilidade total dos dados A Soma de quadrados de Tratamento representa a variabilidade entre os diferentes níveis do tratamento. A Soma de Quadrados do Erro representa a variabilidade dentro de cada nível do tratamento.

16 ANOVA As somas de quadrado tem graus de liberdade (GL) associado: SQTotal GL = IJ 1 SQTratamento GL = I 1 SQErro GL = IJ I sendo I o numero de tratamentos e J o numero de repetições A ideia na ANOVA, é comparar a variação devida aos tratamentos com a variação devida ao acaso ou resíduo (erro). Esta comparação é feita por meio dos Quadrados médios, que representa é um estimador não viesado da variância

17 ANOVA Cada quadrado médio (QM) é obtido dividindo-se a soma de quadrados pelo respectivo número de graus de liberdade. Em geral calcula-se apenas para tratamento e erro QMTratamento = SQTratamento I 1 QMErro = SQErro IJ I A análise de variância é estruturada numa tabela especial denominada tabela da análise de variância

18 ANOVA Tabela 2: Estrutura de uma análise de variância FV GL SQ QM Fc Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento Erro IJ-I SQErro QMErro Total IJ-1 SQTotal QMTratamento QMErro

19 ANOVA O Teste F verifica se duas variâncias são iguais. Na ANOVA a estatística F é obtida pela razão do QMTratamento e o QMResduo. Essa razão tem uma distribuição F com n 1 graus de liberdade do numerador e n 2 =graus de liberdade do denominador. Quando se aplica um teste F na análise de variância as hipóteses que serão testadas são: { H0 : µ 1 = µ 2 =... = µ i H 0 : µ i µ j para pelo menos um par (i, j) com i j

20 ANOVA A partir do calculo de F c pode-se obter: o valor-p associado ao F c e compara-lo ao nível de significância α obter o dado na tabela de distribuição F para n 1 e n 2 graus de liberdade e compará-lo com o F c Rejeita-se H 0 se valor p < α ou F c > F

21 ANOVA - exemplo Em um estudo do efeito da glicose na liberação de insulina, 12 espécies de tecido pancreático idênticas foram subdivididas em três grupos de 4 espécies cada uma. Três níveis (baixo, médio e alto) de concentração de glicose foram aleatoriamente designados aos três grupos, e cada espécie dentro de cada grupo foi tratado com o nível de concentração de glicose sorteado a eles. A quantidade de insulina liberada pelos tecidos pancreáticos amostrados são as seguintes: Tratamento Repetição baixo 1,59 1,73 3,64 1,97 médio 3,36 4,01 3,49 2,89 alto 3,92 4,82 3,87 5,39

22 ANOVA - Exemplo Neste experimento temos: 3 Tratamentos - níveis de glicose (baixo, médio e alto) I = 3 4 repetições J = 4 Tratamento Repetição Total baixo 1,59 1,73 3,64 1,97 8,93 médio 3,36 4,01 3,49 2,89 13,75 alto 3,92 4,82 3,87 5,39 22,68 Total 8,87 10, ,25 40,68

23 ANOVA - Exemplo H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 Assumindo α = 0, 05 temos: FV GL SQ QM F c valor-p Tratamento 2 10,2967 5,1483 9,3054 0,0064 Erro 9 4,9794 0,5533 Total 11 15,2761 Como valor p < 0, 05, rejeita-se H 0, logo podemos concluir ao nível de 5% que a quantidade de insulina liberada é diferente para pelo menos dois níveis de glicose.

24 ANOVA - Exemplo Um experimento avaliou o efeito de diferentes doses de hcg no peso do útero ajustados para o peso vivo em camundongas. Foram utilizadas 30 camundongas, com 22 dias de idade, em que os animais foram divididos em 6 grupos. Cada grupo recebeu respectivamente 0, 10, 20, 30, 40 e 50 UI de hcg, via intra-peritoneal, no volume de 0,2mL, duas vezes ao dia, com um intervalo de 12 horas entre as aplicações, durante um dia. Aproximadamente 24 horas após a última injeção as camundongas foram individualmente pesadas e eutanasiadas em seguida foram obtidos os pesos dos úteros. Rep Doses ,52 0,99 1,28 1,37 1,27 1,02 2 0,52 0,99 1,29 1,40 1,31 0,98 3 0,52 0,97 1,30 1,41 1,26 1,06 4 0,50 0,99 1,29 1,40 1,33 0,97 5 0,48 1,02 1,28 1,43 1,33 0,98

25 ANOVA - Exemplo Neste experimento temos: 6 Tratamentos - Doses de HCG (0, 10, 20, 30, 40 e 50 UI) I = 6 5 repetições J = 5 Rep Doses ,52 0,99 1,28 1,37 1,27 1,02 2 0,52 0,99 1,29 1,40 1,31 0,98 3 0,52 0,97 1,30 1,41 1,26 1,06 4 0,50 0,99 1,29 1,40 1,33 0,97 5 0,48 1,02 1,28 1,43 1,33 0,98

26 ANOVA - Exemplo H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 Assumindo α = 0, 05 temos: FV GL SQ QM F c valor-p Tratamento 5 2,6817 0, ,73 <0,0001 Residuo 24 0,0148 0,00062 Total 29 2,6965 Como valor p < 0, 05, rejeita-se H 0, logo podemos concluir ao nível de 5% que o peso é diferente em pelo menos uma das doses de HCg.

27 ANOVA - Coeficiente de Variação A qualidade de um experimento pode ser avaliada pela magnitude do erro experimental. O erro experimental consiste na variação não controlada pelo pesquisador e ocorre de forma aleatória em cada Unidade Experimental O erro experimental é inevitável, mas pode ser controlado. A magnitude do erro experimental pode ser avaliada pelo coeficiente de variação (CV) CV = QMErro ˆm QMErro quadrado médio do erro obtido na análise de variância ˆm média geral do experimento.

28 ANOVA - Coeficiente de Variação O CV é um coeficiente sem unidade de medida, pode ser utilizado para comparar a precisão do experimento. Experimentos com CV alto tende a rejeitar H 0 com maior dificuldade, mesmo que existam diferenças entre os tratamentos.

29 ANOVA - Pressuposições do Modelo Ao aplicar o teste F numa análise de variância é necessário verificar as pressuposições do modelo, sem os quais os resultados da análise não tem validade. Assumindo que as observações y ij descritas pelo modelo são adequadamente y j = µ + τ i + e ij. O modelo tem as seguintes pressuposições Supondo as seguintes pressuposições para o modelo: Os resíduos têm distribuição Normal (normalidade), e ij N(0, σ 2 ); Os resíduos das observações não são correlacionados (independência); Os resíduos têm variância constante (homocedasticidade).

30 ANOVA - Pressuposições do Modelo A verificação das pressupossições básicas podem realizada pelo exame de resíduos. O resíduo para o tratamento i na repetição j dado por e ij = y ij ŷ ij em que ŷ ij é uma estimativa que corresponde as observações y ij, obtida a partir de ŷ ij = ˆµ + ˆτ i = ȳ.. + (ȳ i. ȳ.. ) = ȳ i.

31 ANOVA - Pressuposições do Modelo O resíduo padronizado d i corresponde ao resíduo dividido por seu desvio padrão, QMErro. d i = e i QMErro Se e i N(0, σ 2 ), então d i N(0, 1).

32 ANOVA - Pressuposições do Modelo No estudo do efeito da glicose na liberação de insulina, temos as seguintes médias dos tratamentos: Tratamento ȳ i. baixo 2,23 médio 3,44 alto 4,50

33 ANOVA - Pressuposições do Modelo Tabela 3: Resíduos do modelo ajustado para estudo do efeito da glicose na liberação de insulina Tratamento Repetição baixo -0,64-0,50 1,41-0,26 médio -0,08 0,57 0,05-0,55 alto -0,58 0,32-0,63 0,89

34 ANOVA - Pressuposições do Modelo Tabela 4: Resíduos padronizados do modelo ajustado para estudo do efeito da glicose na liberação de insulina Tratamento Repetição baixo -0,86-0,67 1,90-0,35 médio -0,11 0,77 0,07-0,74 alto -0,78 0,43-0,85 1,20

35 Teste de Normalidade O teste de Shapiro-Wilk W tem sido o mais utilizado para testar a normalidade e tem uma melhor performance em amostras reduzidas n < 30 As hipóteses geradas são: { H0 : A amostra provém de uma população com distribuição Normal H 1 : A amostra não provém de uma população com distribuição Normal

36 Teste de Normalidade O teste de Kolmogorov-Smirnov é utilizado para verificar a normalidade e baseia-se na máxima diferença entre a distribuição acumulada da amostra e distribuição acumulada esperada e deve ser utilizado em amostras grandes (n 30) As hipóteses geradas são: { H0 : A amostra provém de uma população com distribuição Normal H 1 : A amostra não provém de uma população com distribuição Normal Se o valor calculado de D é estatisticamente significativo (para α = 0, 05) rejeita-se a hipótese que a distribuição estudada é normal Ou seja: para a Distribuição ser considerada Normal o valor-p deve ser maior que 0,05

37 Teste de homogeneidade de variâncias O teste de Bartlett é utilizado para verificar se a variância de diferentes grupos são homogêneas H 0 : σ 2 1 = σ2 2 =... = σ2 i vsh a : i, jσ 2 i σ 2 j O teste de Bartlett é fortemente sensível à Normalidade das observações subjacentes Uma regra comum é considerar que o teste apenas deve ser usado quando cada grupo tiver 5 mais repetições n i > 5

38 Teste de homogeneidade de variâncias O teste de Levene é utilizado para verificar se a variância de diferentes grupos são homogêneas H 0 : σ 2 1 = σ2 2 =... = σ2 i vsh a : i, jσ 2 i σ 2 j Uma vantagem do teste de Levene é que ele não exige normalidade dos dados.

39 Teste de Independência dos Erros Para verificar a independência dos erros pode-se utilizar o teste de Durbin-Watson O teste de Durbin-Watson verifica a existência de autocorrelação nos erros Este teste tem a pressuposição de que a variável tem distribuição normal, e as hipóteses são: { H0 : Os erros são independentes H 1 : Os erros são dependentes ou autocorrelacionados A autocorrelação dos resíduos ocorre quando existe dependência dos valores sucessivos dos resíduos, e desta forma eles apresentam correlação entre si.

40 Teste de Independência dos Erros Para o exemplo da insulina temos os teste: Normalidade Shapiro-Wilk - valor-p=0,0865 Komogorov-Smirnov - valor-p=0,7177 Como no teste de Shapiro-Wilk valor p > 0, 05 temos evidências de que os erros seguem uma distribuição normal Homogeneidade: Bartlett - valor-p=0,5299 Levene - valor-p=0,6975 Como os grupos tinha 4 repetições deve-se optar pelo teste de Levene, assim valor-p>0,05, temos evidências de que as variâncias são homogêneas. Indepêndencia Durbin-Watson - valor-p=0,6420 Como o valor-p>0,05, temos evidências de que erros são independentes

41 Teste de Independência dos Erros Para o exemplo do HCG temos: Normalidade Shapiro-Wilk - valor-p=0,4491 Komogorov-Smirnov - valor-p=0,9162 Como no teste de Komogorov-Smirnov valor p > 0, 05 temos evidências de que os erros seguem uma distribuição normal Homogeneidade: Bartlett - valor-p=0,1282 Levene - valor-p=0,4904 Como o numero de repetições é igual 5 pode-se optar pelo teste de Bartlett, assim valor-p>0,05, temos evidências de que as variâncias são homogêneas. Independência Durbin-Watson - valor= 0,7380 Como o valor-p>0,05, temos evidências de que erros são independentes.