Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

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1 Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

2 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória: quais são os resultados possíveis; qual é a probabilidade de cada resultado acontecer. Variável discreta: pares valores probabilidade. Variável contínua: função densidade de probabilidades 2

3 Modelo de Bernoulli Modelo teórico discreto Apenas dois resultados possíveis: sucesso, fracasso. x p(x) 0 p p Total E(X) = p V(X) = p ( p) F( x) 0 - p se se se x 0 0 x x 3

4 Modelo Binomial Modelo teórico discreto X terá distribuição binomial se: X = X + X X n X, X 2,..., X n variáveis aleatórias discretas INDEPENDENTES com distribuição de Bernoulli, com parâmetro p CONSTANTE. X: número de sucessos em n realizações de um experimento de Bernoulli Com probabilidade de sucesso p constante (0 < p < ) 4

5 Exemplo Lançamento de moeda honesta 4 vezes, identificação face voltada para cima: registro do número de caras (C). Sucesso = Cara; p = 0,5; p = 0,5 Independência P(X=0) = P(K K 2 K 3 K 4 ) = P(K ) P(K 2 ) P(K 3 ) P(K 4 ) P(X=0) = ( p) 4 = 0,0625 P(X=) = P[(C K 2 K 3 K 4 ) (K C 2 K 3 K 4 ) [(K K 2 C 3 K 4 ) [(K K 2 K 3 C 4 ) ] Cada sub-evento é M.E. com os outros. P(X=) = 4 p (-p) 3 = 0,25 5

6 Modelo binomial 6 x n p x p x n x X P ) ( (x = 0,,..., n)!!!, x x n n = x n C x n E(X) = n p V(X) = n p ( p)

7 Exemplo pelo modelo binomial n = 4; p = 0,5; p = 0,5 P( X 0) 4 0, ,5 0,0625 0, 0625 P( X ) 4 0,5 4 0,5 40,5 0,25 0, 25 7

8 Probabilidades Exemplo pelo modelo binomial 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 Distribuição binomial (n = 4; p = 0,5) X = Número de caras em 4 lançamentos da moeda E(X) = n p = 4 0,5 = 2 V(X) = n p ( p) = 4 0,5 0,5 = 8

9 Modelo de Poisson Modelo teórico discreto. Experimento aleatório com espaço amostral infinito enumerável. Número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço): distribuição de Poisson. Exemplos: chamadas telefônicas por minuto, mensagens que chegam a um servidor por segundo acidentes por dia, defeitos por m2, etc.. 9

10 Modelo de Poisson X = núm. de ocorrências em [t, t+] t t+ n intervalos de amplitude /n, com n p = probab. de ocorrência em cada intervalo P( X n x x nx x) p ( p) n p 0 n p > 0 P( X x) t x t e x! (x =0,, 2,...) 0

11 Modelo de Poisson P( X x) e t t x (x = 0,, 2,...) x! E( X ) t V ( X ) t

12 Exemplo 2 Estudos de tráfego mostram que cerca de 3 mensagens chegam a um servidor a cada milissegundo. Calcule a probabilidade de que pelo menos 4 mensagens cheguem em milissegundo. P( X 4) P( X 4) P( X 5)... P( X 4) P( X 4) P( X 4) P( X 0) P( X ) P( X 2) P( X 3) 2

13 Exemplo 2 3 x P(X=x) Resultado 0 0,0498 0, , ,224 0! 3 0) ( 0 3 e X P! 3 ) ( 3 e X P 2! 3 2) ( 2 3 e X P 3! 3 3) ( 3 3 e X P 0,3528 0,6472 4) ( X P

14 Modelo teórico contínuo. f(x) Modelo Uniforme f(x) = x 4

15 f(x) Modelo Uniforme a b x P(a < X < b) = b - a E( X ) Var( X )

16 Modelo Exponencial Relação com a Poisson. X: variável aleatória discreta com distribuição de Poisson número de ocorrências em um intervalo finito com uma taxa λ. T: variável aleatória contínua tempo entre as ocorrências seguirá uma distribuição exponencial com valor esperado /λ 6

17 Modelo Exponencial f(t) f(t) = e - t, λ e t > 0 E( T) Var( T) 2 P(T > t 0 ) = e - t 0 t 0 t 7

18 Exemplo 3 O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano? 8

19 Exemplo 3 = 0,75 P(T > t) = e - t P(T > ) = e -() = 0,4724 ou 47,24% 9

20 Frequências Modelo Normal Muitas variáveis aleatórias tem distribuições como: Alturas de homens adultos ,4,5,6,7 Alturas (m),8,9 2,0 20

21 Modelo Normal f(x) f ( x) x e 2 x ( ) 2 : média : desvio padrão 2 2

22 Características Área abaixo da curva é igual a (00% de probabilidade). A variável aleatória pode assumir valores de - a +. Área = x 22

23 Características Simetria em relação à média. 50% x 23

24 Exemplo área = 68,3%

25 Exemplo área = 95,4%

26 Exemplo área = 99,7%

27 Normal Padronizada z = x - z - variável normal padronizada x - variável normal - média - desvio padrão 27

28 Normal Padronizada x z 28

29 Aproximação da Binomial pela Normal Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média n p e variância n p (- p) x 29

30 Exemplo 4 Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 0 perguntas, seja X o número de respostas corretas. 30

31 Exemplo 4 Distribuição binomial: n=0 p=0,5 P(X) 0,205 0,246 0,205 0,7 0,7 0,044 0,00 0,0 0,044 0,0 0, número de respostas corretas (X) 3

32 Exemplo 4 Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas? P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(0)=0,7+0,044+0,00+0,00=0,72 0,205 0,246 0,205 P(X>6) = 0,72 0,7 0,7 0,044 0,00 0,0 0,044 0,0 0,

33 Exemplo 4 (de novo) Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas? (usando a normal) P(X>6,5) x 33

34 Exemplo 4 (de novo) P(X>6,5) 5 6,5 x 34

35 Exemplo 4 (de novo) = 5 =,5839 x = 6,5 x - 6,5-5 z = = = 0,95, ,95 0,7 Lembrando: a probabilidade. Exata (pela binomial) era de 0,720 z 35