MAE 116 Distribuição Binomial FEA - 2º Semestre de 2018

Transcrição

1 MAE 116 Distribuição Binomial FEA - 2º Semestre de

2 Vamos considerar alguns exemplos de experimentos aleatórios em que associamos a cada resultado possível um número

3 1. Lança-se uma moeda 10 vezes e anotase o número de caras. Este número pode ser 0, 1, Conta-se o número de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O número de acidentes em questão pode ser : 0, 1, 2 Como não temos um valor que limite esse número supomos que o número de acidentes é qualquer número inteiro (natural).

4 3. Conta-se o número de bactérias na seção de uma lâmina; este número pode ser também qualquer número inteiro. 4. Considera-se o número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo. Aqui também este número pode ser qualquer número inteiro.

5 5. Observa-se o número de glóbulos vermelhos num exame de sangue; este número pode ser qualquer inteiro não negativo. 6. Em uma pesquisa de mercado entrevistase um grupo de 200 pessoas sobre se compram um produto A; o número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200.

6 7. Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor encontrado pode ser um número real. Aqui também sabemos que esse número não passa de 2 metros, mas é conveniente considerar qualquer número real (positivo). 8. Em um exame físico para selecionar um jogador de futebol é medido o peso de cada candidato; aqui também consideramos que o resultado pode ser qualquer número real.

7 9. Em campanhas preventivas de hipertensão arterial é comum de tempos em tempos medirse o nível de colesterol.o valor de cada medida pode ser um número real não negativo. 10. Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira atitude é medirse a temperatura; o valor da temperatura um número real que pode-se considerar compreendido entre 35º e 42ºC. é

8 11. Retira-se uma lâmpada da linha de produção e coloca-se a mesma em um soquete acendendo-a; observa-se a mesma até que se queime. O tempo de duração da lâmpada é um número real não negativo. 12. Retorno de certo ativo financeiro em dado mês (ou dia, ou outra unidade de tempo): pode ser (em princípio) qualquer número real (positivo ou negativo ou nulo).

9 Nota-se que nos primeiros 6 exemplos, o número que foi observado ao realizar-se o experimento aleatório é um número inteiro, pertencente a um conjunto finito ou infinito de possibilidades, e resultante de um processo de contagem: moedas; acidentes automotivos; bactérias em uma lâmina; chamadas telefônicas; glóbulos vermelhos; consumidores.

10 Nos exemplos de 7 a 11 o número observado no experimento aleatório é um número real e resulta em geral de uma medição: altura das mulheres; peso do atleta; nível de colesterol; temperatura; tempo de duração da lâmpada. Com base nessas observações introduzimos a noção de variável aleatória.

11 Uma variável aleatória (v.a.) é uma função, que associa a cada elemento do espaço amostral, um número real. Espaço Amostral w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 X x 1 x 2 x 3 x 4

12 As variáveis aleatórias dos 6 primeiros exemplos, que resultam de uma contagem são denominadas discretas. Aquelas que encontramos nos exemplos de 7 a 11, que resultam de uma medição (numa escala contínua) são ditas contínuas.

13 Distribuição de probabilidades ( variável discreta ) A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta é uma tabela que associa a cada valor da variável sua probabilidade. valor probabilidade x 1 P[ X = x 1 ] x 2 P[ X = x 2 ].... x n P[ X = x n ]

14 Exemplos 1. Lançamento de um dado. X :número de pontos da face superior Valor de X Probabilidade 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6

15 2. Vamos considerar o experimento que consiste em retirar quatro bolas de uma urna contendo 6 brancas e 4 pretas repondo-as após cada retirada. O espaço amostral e as probabilidades associadas a cada um de seus pontos é representado a seguir:

16 Espaço amostral e probabilidades BBBB (0,6) 4 PBBB (0,6) 3.(0,4) BBBP (0,6) 3.(0,4) PBBP (0,6) 2.(0,4) 2 BBPB (0,6) 3.(0,4) PBPB (0,6) 2.(0,4) 2 BBPP (0,6) 2.(0,4) 2 PBPP (0,6).(0,4) 3 BPBB (0,6) 3.(0,4) PPBB (0,6) 2.(0,4) 2 BPBP (0,6) 2.(0,4) 2 PPBP (0,6).(0,4) 3 BPPB (0,6) 2.(0,4) 2 PPPB (0,6).(0,4) 3 BPPP (0,6).(0,4) 3 PPPP (0,4) 4

17 Vamos chamar de X o número de bolas brancas nas quatro retiradas. Distribuição de probabilidades de X: P [X = 0] = (0,4) 4 P [X = 1] = 4. (0,6).(0,4) 3 P [X = 2] = 6. (0,6) 2. (0,4) P [X = 3] = 4. (0,6) 3. (0,4) P [X = 4] = (0,6)

18 Valor Esperado O valor esperado (média, esperança matemática) de uma variável aleatória discreta é a média de seus valores ponderados pelas respectivas probabilidades. Valores x 1 x 2... x n Probab. P[X = x 1 ] P[X = x 2 ] P[X = x n ] E[X] = x 1 P[X = x 1 ] + x 2 P[X = x 2 ] x n P[X = x n ] Em outros símbolos: n i 1 E [ X ] x i P [ X x i ]

19 Exemplo Lançamento de 1 dado. Calcular o número médio de pontos. X : número de pontos 1 6 E[X] = = = 3,

20 Interpretação Física Ponto onde a distribuição de massa se equilibra: centro de gravidade.

21 Propriedades 1) Se X 1, X 2,., X n forem v.a. s de um mesmo experimento aleatório e X = X 1 + X 2 + X 3. + X n então: E(X) = E(X 1 ) + E(X 2 ) +. + E(X n ) 2) Se "c" for uma constante, então: E(cX) = c E(X)

22 Variância A variância de uma v.a. é o valor esperado do desvio ao quadrado da v.a. em relação a sua média. Em símbolos: Var (X) = E[(X - E[X]) 2 ] = E{X 2-2X.E(X) + [E(X)] 2 } = E(X 2 ) - 2[E(X)] 2 + [E(X)] 2 = E(X 2 ) - [E(X)] 2 Var (X) = E(X 2 ) - [E(X)] 2

23 Nas fórmulas anteriores E( X 2 ) n i 1 x 2 i P( X x i )

24 X : número de pontos observados quando lançamos um dado equilibrado ao acaso. Valores de X Prob. Val. de X 2 Prob. 1 1/6 1 1/6 2 1/6 4 1/6 3 1/6 9 1/6 4 1/6 16 1/6 5 1/6 25 1/6 6 1/6 36 1/6 E(X) = 3, E(X 2 )= 6 = 91 = 15,16 6 Var (X) = 15,16-3,5 2 Var (X) = 15,16-12,25 Var(X) = 2,91

25 Distribuição Binomial Esperança e Variância

26 Exemplos Os estudantes que cursam uma disciplina são aprovados ou reprovados; As peças produzidas em uma indústria são boas ou defeituosas; Pacientes submetidos a um tratamento são curados ou não; Lâmpadas produzidas por uma indústria duram mais que 200 horas ou não; Numa questão de exame, um estudante acerta ou erra a resposta.

27 Ensaios de Bernoulli Só há dois possíveis resultados em cada ensaio: sucesso (S) ou fracasso (F); a probabilidade de sucesso em cada ensaio é constante igual a p. Vamos considerar n ensaios de Bernoulli independentes.

28 BBBB (0,6) 4 PBBB (0,6) 3.(0,4) BBBP (0,6) 3.(0,4) PBBP (0,6) 2.(0,4) 2 BBPB (0,6) 3.(0,4) PBPB (0,6) 2.(0,4) 2 BBPP (0,6) 2.(0,4) 2 PBPP (0,6).(0,4) 3 BPBB (0,6) 3.(0,4) PPBB (0,6) 2.(0,4) 2 BPBP (0,6) 2.(0,4) 2 PPBP (0,6).(0,4) 3 BPPB (0,6) 2.(0,4) 2 PPPB (0,6).(0,4) 3 BPPP (0,6).(0,4) 3 PPPP (0,4) 4

29 Exemplo Considere uma prova com 5 questões em que cada questão tem três alternativas, uma e apenas uma das quais correta. Suponha que um estudante não conheça a matéria e resolva responder as 5 questões escolhendo em cada uma delas uma alternativa ao acaso. Qual a probabilidade de o estudante acertar duas questões?

30 Consideramos uma sequência de n ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p em cada ensaio. Seja X o nº de sucessos nos n ensaios. Para k = 0, 1, 2 n P [X=k] = ( n ) k k p (1-p) n-k X é dita ter distribuição binomial com parâmetros n e p. Em símbolos: X ~ B(n, p)

31 Observe que se fixarmos os k sucessos nos n primeiros ensaios, isto é, se o ponto amostral for S...S F...F, então a probabilidade deste ponto é k vezes (n-k) vezes k p (1-p) n-k n k espaço amostral tem k sucessos. O coeficiente ( ) conta quantos pontos do

32 Para os n ensaios de Bernoulli considere X 1, X 2, X n tais que: X 1 = 1 sucesso no primeiro ensaio 0 falha no primeiro ensaio X 2 = 1 sucesso no segundo ensaio 0 falha no segundo ensaio Então X n = 1 sucesso no n-ésimo ensaio 0 falha no n-ésimo ensaio X = X 1 + X X n conta o nº de sucessos nos n ensaios.

33 Esperança e Variância de X Valor de X 1 Prob. Val. de X 2 1 Prob. 0 1-p 0 1-p 1 p 1 p E(X 1 )= 0.(1-p) + 1.p = p E(X 12 )= 0.(1-p) + 1.p = p Var(X 1 )= E (X 12 ) - [E (X 1 )] 2 = p - p 2 = p(1 - p) EX = E(X 1 )+ E(X 2 )+ + E(X n ) = p + p + + p = np

34 Como X 1, X 2, X n são independentes: Var(X) = Var(X 1 )+ Var(X 2 )+ + Var(X n ) Var(X) = p(1- p) + p(1- p) +. + p(1- p) n vezes Var(X) = n p (1 - p)

35 Binomial with n = 12 and p = 0.25 x P( X = x )