Probabilidades. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo

Transcrição

1 Probabilidades Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo 1 / 41

2 Noções Básicas Os métodos estatísticos para análise de dados estão associados ao conceito de incerteza. Uma forma de quantificar o grau de incerteza (ou aleatoriedade) é através do conceito de probabilidade. Qual a probabilidade de, encontrar uma pessoa com uma doença rara em uma população? a TV de 50 polegadas que acabou de comprar durar até a próxima copa do mundo? ocorrer um Tsunami no litoral de Portugal? ocorrer uma onda gigante (onda Draupner) próximo a uma plataforma de petróleo no Mar do Norte. ocorrer uma mutação que dá origem a uma super bactéria? um link de uma rede fique congestionado? um investidor perca todo o seu capital? 2 / 41

3 Algumas aplicações Cálculo de pensões em ciências atuariais. Precificação de ativos financeiros. Modelagem epidemiológica. 3 / 41

4 Região de influencia do furacão Rita 4 / 41

5 Terremoto de magnitude 8.7 seguido de Tsunami em Lisboa, 1 novembro de Número estimado de mortes: / 41

6 Ondas gigantes antes consideradas lendas de marinheiros. Hoje sabe-se que é um fenômeno natural nos oceanos. 6 / 41

7 Contágio Financeiro Aumento significativo da probabilidade de crise em um país condicional a crise em outro país. Por exemplo, a ocorrência de crise cambial em um país aumenta a probabilidade de ataques especulativos em outros países. 7 / 41

8 Indices de mercados financeiros. CAC40 FTSE DAX SP500 NIKKEI / 41

9 Diagramas de dispersão 1000 valores simulados 10 menores valores y x y x 10 maiores valores y x 9 / 41

10 Intuição, sem base teórica e reflexão em geral resulta em erro. Um modelo é uma simplificação da realidade (e alguns são úteis) 10 / 41

11 Experimento aleatório Definição: Qualquer experimento cujo resultado não pode ser previsto com certeza absoluta é chamado de experimento aleatório. Alguns exemplos, 1. Em uma linha de produção selecionar lotes de peças e contar o número de defeituosas. 2. Contar o número de chamadas que chegam a uma central telefônica por hora. 3. Medir o tempo de duração de lâmpadas selecionadas de uma linha de produção. 11 / 41

12 Espaço Amostral e Eventos O espaço amostral é conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório, aqui denotado por S. Qualquer subconjunto A S é chamado de evento. 12 / 41

13 Alguns exemplos Lançamento de uma moeda e observação da face superior. S = {cara, coroa} A = {cara}. Lançamento de um dado e observação da face superior. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6}. Contagem do número de peças defeituosas em um lote com 100 peças. S = {0, 1, 2,..., 100} A = {0, 1,..., 10}. Medição do tempo de vida de um equipamento eletrônico em horas. S = (0, ) A = (0, 100]. 13 / 41

14 Operações com eventos Para dois eventos A e B quaisquer, A união entre eles (A B) ocorre se somente se pelo menos um deles ocorre. Ou seja, se ocorre apenas o evento A, ou ocorre apenas o evento B, ou ambos ocorrem. Podemos dizer ainda que A ou B ocorrem. A interseção (A B) ocorre se somente se ambos ocorrem simultaneamente, ou seja A e B ocorrem. Em particular, se A B = dizemos que A e B são mutuamente exclusivos. Se A não ocorre dizemos que ocorre o seu complementar, A. 14 / 41

15 As operações de interseção e união são comutativas, A B = B A e A B = B A. A e B são iguais se somente se A B e B A. As definições valem para um conjunto enumerável de eventos A 1, A 2,... e A i. i=1 A i Por exemplo A 1 A 2 A 3 occorre se occorre A 1 ou A 2 ou A 3 ou A 1 A 2 ou A 1 A 3 ou A 2 A 3 ou A 1 A 2 A 3. i=1 15 / 41

16 Sejam A, B e C eventos quaisquer. Valem as propriedades, (A B) C = (A C) (B C). (A B) C = (A C) (B C). A B = A B. A B = A B. 16 / 41

17 Definições de Probabilidade A cada possível evento A S (espaço amostral) podemos associar um número real P(A) denominado probabilidade do evento A tal que, 1. 0 P(A) 1, 2. P(S) = 1, 3. P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) se A 1 A 2 =. 17 / 41

18 Definição Clássica de Probabilidade Neste caso, obter P(A) consiste em contar o número de resultados favoráveis ao evento A e dividir pelo número de resultados possíveis do experimento. P(A) = número de resultados favoráveis a A. número de resultados possíveis Esta definição só faz sentido quando o espaço amostral é finito, de modo que possamos fazer as contagens requeridas, e também se todos os possíveis resultados têm a mesma chance de ocorrer. 18 / 41

19 p n Proporção de caras (p) em n lançamentos de uma moeda honesta em um experimento simulado. 19 / 41

20 Métodos de Contagem Principio Multiplicativo. Um experimento é realizado em k estágios sendo n i resultados possiveis no i-ésimo estágio. O número de elementos do espaço amostral é, k i=1 Seja C = {c 1,..., c N }. Um subconjunto A = {a 1,..., a n } é chamado amostra de tamanho n. Se amostras com os mesmos elementos em ordenações distintas forem consideradas diferentes elas são chamadas amostras ordenadas. As amostras podem ser retiradas com ou sem reposição. n i 20 / 41

21 Quantas amostras ordenadas sem reposição de tamanho n podemos retirar de um conjunto com N elementos? (N) n = N(N 1) (N n + 1). Quantas amostras ordenadas com reposição de tamanho n podemos retirar de um conjunto com N elementos? Exemplo. Retira-se amostras de tamanho n ordenadas com reposição do conjunto C = {c 1,..., c N }. Seja o evento, A= amostra não tem elemento repetido. Então, N n P(A) = (N) n N n. 21 / 41

22 Permutação Uma amostra ordenada sem reposição de tamanho n retirada de um conjunto com n elementos é chamada permutação. Quantas permutações de n elementos podemos obter? (n) n = P n = n(n 1) (n n + 1) = n(n 1) 1 = n! 22 / 41

23 Fatoriais O número n! = n(n 1) 1 é o fatorial de n. Define-se 0! = / 41

24 Combinações Para qualquer inteiro positivo N, (x + y) N = N n=0 ( ) N x n y N n, x R, y R. n ( ) N N! = n n!(n n)! = (N) n = C N,n é chamado coeficiente P n binomial. ( ) N é o número de maneiras em que n elementos podem ser n selecionados dentre N sendo a ordem irrelevante. 24 / 41

25 Propriedades, ( ) ( ) N N 1. =. n N n ( ) ( ) ( ) N N 1 N 1 2. = +. n n 1 n Estamos obtendo um subconjunto com n elementos e outro com N n elementos. De quantas maneiras diferentes podemos selecionar 2 peças defeituosas de um lote com 100 peças? 25 / 41

26 De quantas maneiras podemos selecionar subconjuntos com n 1,..., n k elementos tais que n n k = N? Por exemplo, se k = 3, ( )( )( ) N N n1 N n1 n 2 = n 1 n 2 n 3 N! n 1!n 2!n 3!. No caso geral, ( )( ) ( ) N N n1 N n1 n k 1 = n 1 n 2 n k é chamado de coeficiente multinomial. N! n 1!... n k! 26 / 41

27 Exemplo. (Problema dos aniversários) Quantas pessoas devemos ter em uma sala para que seja vantajoso apostar que 2 pessoas fazem aniversário no mesmo dia? Assume-se que deve-se apostar neste evento se ele tem probabilidade maior do que 1/2. 27 / 41

28 Probabilidades de nenhuma duplicação de aniversário Numero de pessoas Probabilidade / 41

29 Propriedades de Probabilidade 1. Para eventos A 1, A 2,..., A n mutuamente exclusivos, A i A j =, para todo i j, P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ) 2. P(A) = 1 P(A) sendo A é o complementar de A. 3. P(A A) = 1 e P( ) = Se A B então P(A) P(B). 5. Se A e B são eventos quaisquer, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 6. Para eventos A 1, A 2,..., A n eventos quaisquer, P(A 1 A 2 A n ) = 1 P(A 1 A 2 A n ) 29 / 41

30 Probabilidade Condicional Para dois eventos A e B, sendo que P(B) > 0, P(A B) = P(A B). P(B) é a probabilidade condicional de ocorrer o evento A dado que o evento B ocorreu. Todas as propriedades continuam válidas. Por exemplo, P(A B) = 1 P(A B). 30 / 41

31 Regra do produto de probabilidades, P(A B) = P(A B)P(B). P(A B) ou P(A, B) ou P(AB) é a probabilidade conjunta dos eventos A e B. P(A) e P(B) são as probabilidades marginais. 31 / 41

32 Exemplo. Duas bolas são retiradas ao acaso de uma urna contendo 2 bolas brancas (B) e 3 vermelhas (V ), sem reposição. Os possíveis resultados do experimento são {BB, BV, VB, VV } e suas probabilidades são, P(B B) = P(B)P(B B) = = 2 20 P(B V ) = P(B)P(V B) = = 6 20 P(V B) = P(V )P(B V ) = = 6 20 P(V V ) = P(V )P(V V ) = = Se as retiradas são feitas com reposição a informação sobre a cor da bola na primeira retirada não altera as chances de obtermos uma bola branca na segunda retirada. Então, P(B V ) = P(B B) = P(B) e dizemos que as retiradas são independentes. 32 / 41

33 Regra do produto para n eventos P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 A 2 A n )P(A 2 A n ) = P(A 1 A 2 A n )P(A 2 A 3 A n )P(A 3 A n ). = P(A 1 A 2 A n )P(A 2 A 3 A n ) P(A n 1 A n )P(A n ) 33 / 41

34 Regra do produto para n eventos P(A 1 A 2 A n ) = P(A n A 1 A n 1 )P(A 1 A n 1 ) = P(A n A 1 A n 1 )P(A n 1 A 1 A n 2 )P(A 1 A n 2 ). = P(A n A 1 A n 1 )P(A n 1 A 1 A n 2 ) P(A 2 A 1 )P(A 1 ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 ) P(A n 1 A 1 A n 2 )P(A n A 1 A n 1 ) 34 / 41

35 Probabilidades Totais Sejam B 1,..., B n tais que B i B j = e n k=1 B k = S. Para qualquer evento A, A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B n ). Como os eventos (A B k ), k = 1,..., n são mutuamente exclusivos, P(A) = n P(A B k ) = k=1 n P(A B k )P(B k ). k=1 Ou seja, se as probabilidades P(A B k ) e P(B k ), k = 1,..., n forem conhecidas pode-se calcular P(A). 35 / 41

36 Teorema de Bayes Em muitas aplicações estaremos interessados em calcular a probabilidade de um dos eventos B i ocorrer dado que A ocorreu, P(B i A) = P(B i A) P(A) = P(A B i)p(b i ). n P(A B k )P(B k ) k=1 Chamamos esta última igualdade de teorema de Bayes ou regra de Bayes, que nos mostra como atualizar a nossa crença no evento A i após receber novas informações (i.e. que A ocorreu). 36 / 41

37 P(B i ) é a probabilidade a priori do evento B i, porque antecede a informação sobre o evento A. P(B i A) é a probabilidade a posteriori do evento B i porque é calculada após termos informação sobre A. Para um valor específico de B, P(A B i ) é chamada função de verossimilhança de B i. 37 / 41

38 Independência Dois eventos A e B são independentes se e somente se ou equivalentemente, P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B) P(A B) = P(AB) = P(A)P(B). O conceito de independência pode ser estendido a um número qualquer de eventos. 38 / 41

39 Os eventos A 1, A 2, A 3 são independentes se somente se, P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A 1 A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ) P(A 2 A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 ) P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) No caso geral, A 1,..., A n são independentes se somente se, Todos os subconjuntos de tamanho k tem eventos independentes, k = 2,..., n. 39 / 41

40 Riscos relativos de homicidio em bairros de Curitiba em / 41

41 Taxa de Desemprego por condado nos EUA, % 4 6% 6 8% 8 10% >10% 41 / 41