Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari

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1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari

2 Distribuições Discretas Uniforme Bernoulli Binomial Poisson Distribuições Contínuas Uniforme Normal Exponencial Gama

3 Definição: Uma va discreta X definida nos pontos x 1, x 2,...,x n tem distribuição uniforme discreta se assume cada um dos n valores possíveis com igual probabilidade. Temos: f ( x i ) 1, n 0, para i 1,..., caso contrário n

4 Teorema: Seja X uma va discreta que se distribui uniformemente nos pontos definidos pela seqüência de números inteiros consecutivos 1,2,...,n. Então : E[ X ] n 2 1 Var[ X ] 2 n 12 1 m X ( t) E[ e tx ] i n 1 e ti 1 n

5 OBS: Se o espaço amostral é um conjunto enumerável e infinito ( +, por exemplo), então não é possível definir um experimento uniformemente distribuído neste conjunto. Se o espaço amostral for um conjunto não-enumerável, finito, tal como o intervalo real [0,1], utilizamos a distribuição uniforme contínua.

6 Exemplo 1:Geração de números aleatórios Seja X uma va com fdp dada por f(x), onde x pertence ao conjunto{x 1, x 2, x 3 } e f(x1) = 1/2, f(x2) = 1/3 e f(x3) = 1/6. Caso 1: Geração de números inteiros aleatórios num conjunto inteiro definido. conjunto {1, 2,...,6}: x 1 : se resultar 1,2 ou 3 x 2 : se resultar 4 ou 5 x 3 : se resultar 6 Caso 2: Geração de números reais aleatórios no intervalo [0,1]. r [0,1] R = 6r +1 {1,...6}

7 Conseqüência do chamado experimento de Bernoulli : 1. Um experimento aleatório em que há apenas dois possíveis resultados: sucesso e fracasso. 2. A probabilidade de ocorrer sucesso vale p, enquanto para fracasso, vale 1-p. X = resultado do experimento ~ Bernoulli (p).

8 Definição: Uma va discreta X tem distribuição de Bernoulli se sua fdp é dada por: f ( x) p 0, x q 1-x, para x 0,1 caso contrário onde 0 p 1 e q=(1-p)

9 Teorema: Seja X uma va discreta que tem distribuição de Bernoulli. Então: tx t E [ X ] p Var [ X ] pq m ( t) E[ e pe q X ]

10 Um medicamento cuja probabilidade de curar uma determinada doença é de 0,9 é administrado a um paciente. Os resultados possíveis são curado ou não-curado. Definindo X = resultado após medicação, então: X ~ Bernoulli (p=0,9)

11 Suponha que o experimento de Bernoulli seja repetido n vezes, de forma que sejam válidas: 1. Hipótese de Independência: Cada repetição do experimento é independente do anterior. 2. Hipótese de Estacionariedade: A probabilidade p de sucesso permanece constante para todos os experimentos. O mesmo vale para a probabilidade de fracasso, dada por q = 1-p. X = número de sucessos obtidos nos n experimentos, então: X ~ Binomial (n, p).

12 Definição: Uma va discreta X tem distribuição Binomial se sua fdp é dada por: f ( x) n x p x q n-x, para x 0,1,..., n 0, caso contrário onde 0 p 1 e q=(1-p)

13 Teorema: Seja X uma va discreta que tem distribuição binomial. Então: E [ X ] np Var [ X ] npq tx m X ( t) E[ e ] pe t q n

14 Alguns experimentos que podem ser modelados como uma va Binomial: Um medicamento cuja probabilidade de curar uma determinada doença é de 0,9 é administrado a 100 pacientes. Os resultados possíveis para cada paciente são curado ou não-curado. X = número de pacientes curados~ Binomial (100; 0,9). Pesquisas revelam que há 20% de chance de que uma pessoa adulta sofra de algum tipo de desordem psiquiátrica. Um grupo de 25 pessoas é selecionado aleatoriamente. X= no. de pessoas com desordem psiquiátrica ~ Binomial (25; 0,20). Um fabricante de chips de computador acredita que, em média, 5% dos itens produzidos são defeituosos. A fim de monitorar o processo de fabricação, toma uma amostra de 75 itens. Se a amostra contiver mais do que 5 chips defeituosos, o processo é interrompido. X = número de chips defeituosos encontrados ~ Binomial (75;0,05)

15 Pesquisas revelam que há 20% de chance de que uma pessoa adulta sofra de algum tipo de desordem psiquiátrica. Um grupo de 25 pessoas é selecionado aleatoriamente. Definindo: X = nº de pessoas que apresentam uma desordem psiquiátrica, temos que X ~ Binomial (25; 0,20). Qual a probabilidade de que no máximo 3 pessoas do grupo selecionado tenham a desordem?

16 Solução Manual: Queremos P(X 3): mas, p ( x) n x p x q n-x P( X 3) p(0) p(1) p(2) p(3) p(0) ,2 0.0,8 25 3, p(1) p(2) ,2.0, ,2.0, , , P(X 3) 0,234 p(3) ,2 3.0,8 22 0,136

17 Suponha que a aspirina comum seja usada como medicamento para curar dor de cabeça e seja eficiente em 60% dos casos. Um fabricante desenvolveu uma nova aspirina contendo um componente adicional, que alega aumentar a eficiência do medicamento. Teste para a veracidade da informação: Hipótese alternativa: afirmação do fabricante Hipótese nula: o componente adicional não aumenta eficiência

18 Temos, então: Ho: p = 0,6 Ha: p>0,6 (onde p é a probabilidade de que a nova aspirina seja eficiente). Queremos encontrar um número m (valor crítico) tal que rejeitamos Ho se pelo menos m pessoas forem curadas. Do contrário, não podemos rejeitar Ho. Como determinar m?

19 Binomial: contagem do número de sucessos em um nº determinado de experimentos. Outros experimentos em que uma contagem é envolvida: O número de erros tipográficos encontrados em uma página. O número de aeronaves que chegam a um aeroporto em um dia. O número de paradas de uma máquina em uma planta industrial num determinado intervalo de tempo. Contagem de ocorrências num determinado intervalo.

20 Suponha que estamos observando a ocorrência de um determinado fenômeno no tempo ou espaço: Ex: o recebimento de chamadas telefônicas em um call-center. Seja o evento: A = recebimento de x chamadas em um certo intervalo de tempo. X X X X X X X X 0 t 1 x

21 Vamos considerar: 1. A probabilidade de exatamente uma ocorrência em um pequeno intervalo de comprimento h é proporcional ao comprimento do intervalo: P[uma ocorrência no intervalo de comprimento h] = vh +o(h) 2. A probabilidade de mais de uma ocorrência no intervalo de comprimento h é desprezível, se comparada à probabilidade de apenas uma ocorrência no mesmo intervalo: P[duas ou mais ocorrências no intervalo de comprimento h] = o(h) 3. O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são independentes entre si. v = taxa média de ocorrências por unidade X = número de ocorrências num intervalo de comprimento t, então: X ~ Poisson ( = vt).

22 Definição: Uma va discreta X tem distribuição de Poisson se sua fdp é dada por: f ( x) e 0, x! x, para x 0,1,... caso contrário, onde >0

23 Teorema: Seja X uma va discreta que tem distribuição de Poisson. Então: t E [X ] Var [X ] tx ( e 1) m ( t) E[ e ] e X

24 Suponha que acidentes de trânsito ocorram em um determinado cruzamento de forma que satisfaça as condições de um processo de Poisson, com taxa de 2 acidentes por semana. Definindo: X = nº de acidentes em 2 semanas, temos que X ~ Poisson ( = 2.2 = 4). Qual a probabilidade de que no máximo 3 acidentes ocorram nas próximas 2 semanas?

25 Solução Manual: Queremos P(X 3): mas, (3) (2) (1) (0) 3) ( p p p p X P! ) ( x e x p x - 0, (3) 0, (2) 7, (1) 1, (0) e p e p e p e p 0,4335 3) P(X

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27 Definição: Uma va contínua X definida no intervalo [a,b] tem distribuição uniforme se sua fdp é dada por: f ( x) b 1 a para a x b, onde - <a<b<

28 Teorema: Se X é uma va contínua que se distribui uniformemente no intervalo [a,b]. Então : E[ X ] b a 2 Var[ X ] ( b a) 12 2 m X ( t) tb e ( b ta e a) t

29 OBS: X ~ Uniforme (a,b): X = resultado do experimento em que um número real é aleatoriamente escolhido dentro do intervalo [a,b]. Embora a distribuição uniforme tenha sido definida no intervalo [a,b], também poderia ser igualmente definida nos intervalos (a,b], [a,b) ou (a,b), verificando-se a não unicidade da fdp de uma va contínua.

30 Processo de Poisson: P x>1 (h) = 0 P 1 (h) = vh +o(h) Independência. VA ~ Poisson: Contagem do número de ocorrências num determinado intervalo. VA ~ Exponencial: Tempo transcorrido entre duas ocorrências; Tempo de espera até a primeira ocorrência.

31 Suponha que estamos observando a ocorrência de um determinado fenômeno no tempo ou espaço: Ex: o recebimento de chamadas telefônicas em um call-center. Sejam o eventos: A = recebimento de x chamadas em um certo intervalo de tempo. X ~ Poisson B = tempo t transcorrido entre duas chamadas consecutivas. T ~ Exponencial X X X X X X X X 0 t 1 x

32 Definição: Uma va contínua X tem distribuição exponencial se sua fdp é dada por: f ( x) e x, para 0 x< e >0

33 Teorema: Se X é uma va contínua que se distribui exponencialmente, então: 1 1 E[X ] Var[X ] 2 m X ( t), t t

34 Suponha que ao comprar um computador com um determinado tipo de disco rígido, o vendedor afirmou que a durabilidade média de um disco destes é de 30 meses. Definindo: X = durabilidade (tempo de vida) do disco X ~ Exponencial ( = 1/30). Suponha que o computador já esteja funcionando há 15 meses e o disco rígido original continua funcionando. Quanto tempo espera-se que ele continue funcionando?

35 Quanto tempo espera-se que ele continue funcionando? Alguém poderia esperar que ele fosse durar, em média, mais 15 meses. O tempo de vida restante seria, então, representado por Y =X-15. Podemos simular valores de Y no computador...

36 Comentários: Valor médio simulado de Y = 29, 74 (mais próximo do valor médio original para o tempo de vida do disco rígido, X, ao invés dos 15 meses que se poderia imaginar) Distribuição do Y simulado é bem semelhante à de X. Na verdade, também Y ~ Exponencial ( =1/30). Esta é uma ilustração da chamada Propriedade de Ausência de Memória.

37 Teorema: (Propriedade de Ausência de Memória) Se X é uma va contínua que se distribui exponencialmente, então: P( X t h X t) P( X h) para t>0 e h>0

38 OBS: Se X = tempo de vida de um determinado componente P[durar t+h já durou t] = P[durar h] Isso significa que o tempo de vida de um componente velho tem a mesma distribuição de probabilidade de um novo ; o componente não se desgasta ou sofre fadiga. Essa propriedade não se verifica na prática, mas funciona como boa aproximação para va s que medem tempo de vida de vários produtos.

39 Teorema: Se as va s X 1,..., X n formam uma amostra aleatória de uma distribuição exponencial de parâmetro, então: Y = min{x 1,..., X n } ~ Exponencial (n )

40 Exemplo (Testes de Vida): Suponha que n lâmpadas sejam postas a funcionar num teste para determinar seu tempo de vida. As lâmpadas funcionam independentemente entre si. Seja: X i = tempo de vida da i-ésima lâmpada, i=1,...,n Xi ~ Exponencial ( ). Temos: Y 1 = intervalo de tempo até que a primeira lâmpada falhe Y 1 ~ Exponencial (n )

41 Processo de Poisson: P x>1 (h) = 0 P 1 (h) = vh +o(h) Independência. VA ~ Exponencial: Tempo transcorrido entre duas ocorrências; Tempo de espera até a primeira ocorrência. VA ~ Gama: Tempo de espera até a r-ésima ocorrência.

42 Definição: Uma va contínua X tem distribuição Gama se sua fdp é dada por: f ( x) r ( r) x r 1 e x, para 0 x<, r >0 e >0 r 1 x Onde: ( r) x e dx, para r >0 0 ( r) ( r 1)!, para r

43 Teorema: Se X é uma va contínua e apresenta distribuição Gama, então: E X ] r [ Var[ X ] 2 r mx ( t), t r t

44 OBS: Sejam X 1,...,X n v.a.i.i.d. com distribuição Exponencial. Y = X X n ~ Gama Se r Se r = 1 distribuição de Erlang. distribuição Exponencial. Se r = n + ½, para n e = ½ distribuição Quiquadrado

45 Definição: Uma va contínua X tem distribuição normal se sua fdp é dada por: f ( x) 2 1 e ( x ) 2 2 2, para - < < e >0

46 Teorema: Se X é uma va contínua e apresenta distribuição Normal, então: 2 E[X ] Var[X ] m X ( t) exp t 2 t Teorema: Se X ~ N(, 2 ) e Y = ax +b, então Y ~ N(a +b, a 2 2 ).

47 Se X ~ N( =0, 2 =1), então X é uma va normal padronizada. A fdp e FDA desta va são representadas como: x ( x ) e e ( x) ( u) du 2 x OBS: Os valores de probabilidade para a distribuição normal não podem ser obtidos analiticamente, apenas através de aproximações numéricas ou valores tabelados para (x).

48 Teorema: Se X ~ N(, 2 ), então: P [ a X b] b a OBS: (-x) = 1- (x)

49 Teorema: Se X ~ N(, 2 ), então P( X - k ) = g(k). OBS: k = 1: P( X - ) = 0,6826 k = 2: P( X - 2 ) = 0,9544 k = 3: P( X - 3 ) = 0,9974

50 Exemplo: Um professor acredita que as notas dos alunos sejam normalmente distribuídas com média e variância 2. O professor decide passar uma curva tal que as correspondências na tabela abaixo sejam válidas. Quais as proporções para cada conceito? D I R B MB L X< -2-2 <X< - - <X< <X< + + <X< +2 X> +2

51 Se para cada n +, X 1,..., X n são vaiid com média X e variância X2, então, para cada z: F Zn ( z) ( z) conforme n onde: Z n X n E[ X var[ X n n ] ] X n X X n pois: 2 E [ X n ] X e var[ X ] n n X

52 OBS: O TLC afirma que para uma série de vaiid X 1,..., X n,..., com média e variância connhecidas, temos ~ N(0,1) Corolário: Z n Sejam as vaiid X 1,..., X n,..., com média X e variância 2. Então: X n X P a b ( b) ( a) n X Nos dá valores aproximados para as probabilidades dos eventos.

53 Aplicações em Estatística: Pesquisas eleitorais são realizadas a fim de estimar a proporção de pessoas em uma certa população que votam a favor de um candidato A ou B.