2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB.

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1 2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 1) Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou contínuas. X : o número de acidentes de automóvel por ano na rodovia BR 116. Y : o tempo que leva para jogar uma partida de xadrez. M : o diâmetro de uma peça cilíndrica. N : o número de apartamentos construídos por ano em uma cidade. O : a altura de uma pessoa. P : o número de falhas que um sistema apresenta em um determinado período de tempo. 2) De uma caixa contendo 4 bolas pretas e 2 bolas verdes, 3 bolas são retiradas sucessivamente sem reposição. ( a ) Encontre a distribuição de probabilidade do número de bolas verdes retiradas. ( b ) Calcule a expectância e a variancia da distribuição encontrada. ( c ) Considere um jogo no qual você ganha 10 u.m. cada vez que sair uma bola preta e perde 5 cada vez que sair uma bola verde. Até quanto vale a pena pagar para entrar neste jogo? 3) Uma moeda é viciada de tal forma que cara é duas vezes mais provável de ocorrer que coroa. Se a moeda é jogada três vezes, encontre a distribuição de probabilidade do número de caras. Construa um histograma de probabilidade para a distribuição. 4) Uma v.a. discreta X tem função de probabilidade dada por: p( x ) = P( X = x ) = k 2 -x, x = 0, 1, 2,... ( a ) Encontre k ( b ) Encontre P( X ser maior ou igual a 3) ( c ) Encontre P( 3 < X < 7 ) 5) Dois dados são lançados. Determinar a função de probabilidade da v.a. igual à soma dos pontos obtidos. Encontre a expectância e a variancia da distribuição da soma. Faça um gráfico da função de probabilidade encontrada. 6) Considere uma v.a. X com valores possíveis 0, 1, 2,... e suponha que : p( x ) = P( X = x ) = ( 1-a ) a x, x = 0, 1, 2,... ( a ) Para que valores de a o modelo acima tem sentido? ( b ) Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos s e t :P(X > s + t/x > s)=p(x t).

2 2 ESTATÍSTICA 7) Uma v.a. contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade: 3x 2, para 0 <x < 1 f(x) 0, para outros valores de x ( a ) Verifique as propriedades de f e esboce um gráfico. ( b ) Encontre a função de distribuição acumulada F(x). ( c ) Calcule a probabilidade dessa variável assumir um valor maior do que 1/3. ( d ) Se forem observados 2 valores independentes de X, digamos X1 e X2, qual a probabilidade de que ambos sejam maiores que 1/3 se soubermos que pelo menos um deles é maior do que 1/3. ( e ) Calcule a expectância e a variancia da v.a. X. 8) É dado o gráfico abaixo da função densidade de probabilidade de uma v.a. X contínua. ( a ) Equacione a função f (x). ( b ) Encontre F (x). ( c ) Use F( x ) para calcular P ( 1 < X < 4 ). f (x) 1/ x 9) Uma v.a. T contínua tem função densidade de probabilidade dada por : f (x) = a e -at, t 0, onde a > 0 é o parâmetro. ( a ) Mostre que f(t) tem as propriedades de uma função densidade de probabilidade. ( b ) Encontre a função de distribuição acumulada F (t). ( c ) Faça um gráfico para f (x) e outro para F (t). ( d ) Encontre um valor T = Me tal que P( T < Me) = 0,5. Me é uma medida de posição chamada de mediana da distribuição.

3 ESTATÍSTICA 3 _ 10) Uma v.a. X contínua tem a seguinte função de distribuição acumulada : 0, x < 0 F(x) = kx 4, 0 x 1 1, x > 1 ( a ) Determine a constante k. ( b ) Qual a função densidade de probabilidade f (x)? 11) Dada a função densidade de probabilidade f(x) = 2(1 - x), para 0 < x < 1 0, para outros valores de x Encontre: ( a ) E(X) ( b ) E(X2) ( c ) E[(X + 10)2] ( d ) V(X) ( e ) Desvio Padrão de X 12) Mostre que E(X - µ) = 0 13) Uma v.a. X assume valores 0, 1,..., n com probabilidade constante P(x) = 1/(x+1), x=0,...,n. Calcular a expectância e a variancia de X. 14) Mostre as propriedades 1, 2 e 3 vistas para a variancia. 15) Se X é uma v.a. com µ = E(X) e σ2 = V(x), verifique que a v.a. Y= (X- µ)/σ possui E(Y) = 0 e V(Y) = 1. 16) Seja X uma v.a. discreta assumindo valores no conjunto { -n, -n+1,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., n-1, n }. Se considerarmos a v.a. Y = X, determine: ( a ) O conjunto de valores de Y ( b ) Se X tem probabilidades iguais para todos os valores que assume, escreva a função de probabilidade de X ( c ) Considerando a função de probabilidade de X, escreva a função de probabilidade de Y. ( d ) Qual a expectância de X? e de Y?

4 4 ESTATÍSTICA 17) A temperatura de um congelador, em graus centígrados, é uma v.a. T com função densidade de probabilidade dada por: f(t) = -k (t + 10) (t + 20), -20 < t < -10 0, para outros valores de t ( a ) Determinar o valor da constante k ( b ) Calcule µ = E(X) ( c ) Qual a expectância de F = 32 + (9/5) T (temperatura em graus Fahrenheit)? 18) Seja X uma v.a. que assume apenas os valores -1, 0, 1, com p(0) = P(X=0) = 1/2. Mostrar que -1/2 < E(X) < 1/2. 19) Dada a função 0, se x < 0 F(x) = (x + 1)/3, se 0 x 1 1, se x > 1 Verifique se F é uma função de distribuição acumulada para X. 20) Se uma pessoa recebe R$ 5,00 se aparecerem somente caras ou somente coroas na jogada de três moedas, e paga R$ 2,00 em caso contrário, qual seu ganho esperado? 21) X é uma v.a. discreta com a seguinte distribuição de probabilidade: x p(x) 1 /4 1/8 1 /4 1/8 1/4 ( a ) Determine E(X) ( b ) Determine E[(X + 1)/2] 22) Suponha que X seja uma v.a. com a seguintes distribuição de probabilidade: x p(x) 0,1 0,2 0,15 0,2 0,1 0,15 0,05 0,05 Determine as seguintes probabilidades: ( a ) X é negativo ( b ) X é par ( c ) X assume um valor entre 1 e 8 (inclusive) ( d ) P(X = -3 X 0) ( e ) P(X 3 X > 0)

5 ESTATÍSTICA 5 _ 23) Suponha que uma caixa contém 12 bolas numeradas de 1 a 12. Faz-se duas repetições independentes do experimento de selecionar aleatoriamente uma bola da caixa (experimento com reposição). Seja X o maior entre os dois números observados. Determine a função de probabilidade de X e a sua expectância. 24) Seja X o tempo até a desintegração de alguma partícula radioativa e suponha que a função de distribuição acumulada de X seja dada por: F(x) = 0, se x e -ax, x > 0 Suponha que a seja tal que P(X 0,01) = ½. Obtenha um número t tal que P(X t) = 0,9. 25) Os seguintes dados representam a duração de vida em anos de um amostra aleatória de 30 bombas de gasolina. 2,0 3,0 0,3 3,3 1,3 0,4 0,1 6,0 5,5 6,5 0,2 2,3 1,5 4,0 5,9 1,8 4,7 0,7 4,5 0,3 1,5 0,5 2,5 5,0 1,0 6,0 5,6 6,0 1,2 0,2 Usando 6 intervalos com o primeiro começando com 0,1 : ( a) Construa uma distribuição de freqüência relativa. ( b ) Construa um histograma. ( c ) Estime o valor abaixo do qual caem 2/3 dos valores.