Teorema do Limite Central
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- Nathalie Arantes Amorim
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1 Teorema do Limite Central Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2014 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
2 Objetivos da Aula Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
3 Objetivos da Aula Objetivos da Aula Soma de Variáveis Aleatórias O objetivo principal desta aula é estudar empiricamente a distribuição da soma de variáveis aleatórias quantitativas e enunciar o principal teorema da Estatística Teorema do Limite Central. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
4 Objetivos da Aula Notação Soma de Variáveis Aleatórias Vamos supor X 1,...,X n variáveis aleatórias independentes com mesma distribuição de média µ e variância σ 2 finitas. Vamos estudar a distribuição da soma X = X 1 + +X n à medida que n cresce. Ou seja, vamos construir histogramas para a distribuição de X para diferentes valores de n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
5 Distribuição Binomial Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
6 Distribuição Binomial Distribuição Binomial Distribuição Binomial A distribuição binomial pode ser obtida através de n ensaios independentes de Bernoulli. Isto é, se X i Be(p) (i = 1,...,n), então X = X 1 + +X n B(n, p). Temos ainda que E(X) = np e Var(X) = np(1 p). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
7 Distribuição Binomial Histogramas Distribuição Binomial Descrição A seguir serão construídos histogramas para a distribuição de X B(n, p) variando-se o número de ensaios n e também a probabilidade de sucesso p. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
8 Distribuição Binomial Histogramas B(n, p) para n = 10 p=0,10 p=0, p=0, p=0, MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
9 Distribuição Binomial Histogramas B(n, p) para n = 30 p=0,10 p=0, p=0,50 p=0, MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
10 Distribuição Binomial Histogramas B(n, p) para n = p=0, p=0, p=0,50 p=0, MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
11 Distribuição Binomial Conclusões Conclusões Nota-se pelos gráficos que à medida que n cresce a distribuição de X B(n, p) se aproxima da distribuição de Y N(µ X,σX 2 ) em que µ x = np e σx 2 = np(1 p). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
12 Distribuição de Poisson Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
13 Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Definição Se X segue distribuição de Poisson de parâmetro λ. Isto é, se X P(λ), então a função de probabilidade de X fica dada por P(X = x) = e λ λ x, x! em que x = 0, 1,... Temos ainda que E(X) = λ e Var(X) = λ. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
14 Distribuição de Poisson Histogramas Distribuição de Poisson Descrição A seguir serão construídos histogramas para a distribuição de X = X 1 + +X n P(nλ), variando-se m = nλ, em que X i P(λ) independentes (i = 1,...,n). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
15 Distribuição de Poisson Histogramas P(m) m=1 m=5 Densidade Densidade x x m=10 m=30 Densidade Densidade x x MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
16 Distribuição de Poisson Conclusões Conclusões Nota-se pelos gráficos que à medida que m cresce a distribuição de X P(m) se aproxima da distribuição de Y N(µ X,σX 2 ) em que µ x = m e σx 2 = m. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
17 Distribuição Uniforme Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
18 Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme Definição Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b] (X U[a, b]), então f(x) = e f(x) = 0 em caso contrário. 1 (b a), a x b, MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
19 Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme Definição Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b] (X U[a, b]), então f(x) = e f(x) = 0 em caso contrário. 1 (b a), a x b, Esperança e Variância Temos que E(X) = a+b 2 e Var(X) = (b a)2. 12 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
20 Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme U[1, 5] f(x) x MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
21 Distribuição Uniforme Histogramas Distribuição Uniforme Descrição Vamos supor que X i U[1, 5] independentes (i = 1,...,n). A seguir serão construídos histogramas para a distribuição de X = X X n variando-se o tamanho amostral n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
22 Distribuição Uniforme Histogramas Soma de Uniformes n=10 n=30 Densidade Densidade Soma Soma n=50 n=100 Densidade Densidade Soma Soma MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
23 Distribuição Uniforme Conclusões Conclusões Nota-se pelos gráficos que à medida que n cresce a distribuição de X = X 1 + +X n, se aproxima da distribuição de Y N(µ X,σX 2 ) em que µ x = n(1+4) 2 = 5n 2 σ 2 X = n(4 1)2 12 = 9n 12 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
24 Distribuição Exponencial Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
25 Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Definição Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0, a função densidade de probabilidade de X é definida por f(x) = λe λx, em que x > 0. Notação X Exp(λ). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
26 Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Definição Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ > 0, a função densidade de probabilidade de X é definida por f(x) = λe λx, em que x > 0. Notação X Exp(λ). Esperança e Variância Temos que E(X) = 1 λ e Var(X) = 1 λ 2. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
27 Distribuição Exponencial Histogramas Distribuição Exponencial Definição Vamos supor que X i Exp(λ) independentes (i = 1,...,n). A seguir serão construídos histogramas para a distribuição de X = X X n variando-se λ e o tamanho amostral n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
28 Distribuição Exponencial Distribuição Exponencail λ = 1 f(x) x MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
29 Distribuição Exponencial Histogramas Soma de Exponenciais com λ = 1 n=10 n=30 Densidade Densidade Soma Soma n=50 n=100 Densidade Densidade Soma Soma MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
30 Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial λ = 3 f(x) x MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
31 Distribuição Exponencial Histogramas Soma de Exponenciais com λ = 3 n=10 n=30 Densidade Densidade Soma Soma n=50 n=100 Densidade Densidade Soma Soma MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
32 Distribuição Exponencial Conclusões Conclusões Nota-se pelos gráficos que à medida que n cresce a distribuição de X = X 1 + +X n, se aproxima da distribuição de Y N(µ X,σX 2 ) em que µ x = n 1 λ = n λ σ 2 X = n 1 λ 2 = n λ 2 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
33 Teorema do Limite Central Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
34 Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Enunciado para a Soma Amostral Para variáveis aleatórias X 1,...,X n independentes e com mesma distribuição de média µ e variância σ 2 finitas, a distribuição da soma X = X 1 + +X n se aproxima à medida que n cresce da distribuição de Y N(µ X,σ 2 X ), em que µ x = nµ e σ 2 X = nσ2. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
35 Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Aproximação para n Grande em que Z N(0, 1). P(a X b) = P(a Y b) ( a nµ = P σ n Z b nµ ) σ, n MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
36 Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Média Amostral Para a média amostral X = X 1+ +X n n temos que E( X) = E(X 1)+ +E(X n ) n = nµ n = µ e Var( X) = Var(X 1)+ +Var(X n ) n 2 = nσ2 n 2 = σ2 n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
37 Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Enunciado para a Média Amostral Para variáveis aleatórias X 1,...,X n independentes e com mesma distribuição de média µ e variância σ 2 finitas, a distribuição da média amostral X = X 1 + +X n n se aproxima à medida que n cresce da distribuição de Y N(µ X,σ 2 X), em que µ X = µ e σ 2 X = σ2 n. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
38 Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Aproximação para n Grande em que Z N(0, 1). P(a X b) = P(a Y b) ( a µ = P σ/ n Z b µ ) σ/, n MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
39 Exemplos Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Distribuição Binomial 3 Distribuição de Poisson 4 Distribuição Uniforme 5 Distribuição Exponencial 6 Teorema do Limite Central 7 Exemplos MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
40 Exemplos Exemplo 1 Exemplo 1 Uma loja recebe em média 16 clientes por dia com desvio padrão de 4 clientes. Calcule aproximadamente a probabilidade de num período de 30 dias a loja receber mais do que 500 clientes. Calcule também a probabilidade aproximada de nesse mesmo período a média de clientes ultrapassar a 18 clientes. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
41 Exemplos Exemplo 1 Dados do Problema Seja U:número de clientes que a loja recebe num dia. Temos que E(U) = µ = 16 Var(U) = σ 2 = 4 2 = 16. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
42 Exemplos Exemplo 1 Dados do Problema Seja U:número de clientes que a loja recebe num dia. Temos que E(U) = µ = 16 Var(U) = σ 2 = 4 2 = 16. Soma Amostral Seja X:número de clientes que a loja recebe em 30 dias. Temos que µ X = n µ = = 480 σx 2 = n σ 2 = = 480 σ X = 480 = 21, 91. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
43 Exemplos Exemplo 1 Média Amostral Seja X:número médio de clientes que a loja recebe em 30 dias. Temos que µ X = µ = 16 σ 2 X = σ2 n = = 0, 533 σ X = 0, 533 = 0, 73. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
44 Exemplos Exemplo 1 A probabilidade da loja receber mais do que 500 clientes em 30 dias fica dada por ( P(X 500) = P Z 500 µ ) X σ X ( = P Z ) 21, 91 = P(Z 0, 91) = 1 P(Z 0, 91) = 1 A(0, 91) = 1 0, 8186 = 0, 1814(18, 14%). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
45 Exemplos Exemplo 1 A probabilidade da média de clientes ultrapassar 18 clientes em 30 fica dada por ) P( X 18) = P (Z 18 µ X σ X ( = P Z ) 0, 73 = P(Z 2, 74) = 1 P(Z 2, 74) = 1 A(2, 74) = = 0, 0031(0, 31%). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
46 Exemplos Exemplo 2 Exemplo 2 Sabe-se que numa corrida de revesamento de 42 km com 8 atletas (cada um correndo 5,25 km) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 30 minutos e desvio padrão de 8 minutos. Se 8 atletas são escolhidos ao acaso para um prova, qual a probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 3 horas? E em mais de 4 horas? Qual é tempo que apenas 5% das equipes farão abaixo dele? MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
47 Exemplos Exemplo 2 Dados do Problema Seja T :tempo que um atleta demora para completar o percurso. Temos que E(T) = µ = 30 Var(T) = σ 2 = 8 2 = 64. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
48 Exemplos Exemplo 2 Dados do Problema Seja T :tempo que um atleta demora para completar o percurso. Temos que E(T) = µ = 30 Var(T) = σ 2 = 8 2 = 64. Soma Amostral Seja X:tempo que a equipe (de 8 atletas) demora para completar o percurso. Temos que µ X = n µ = 8 30 = 240 σ 2 X = n σ 2 = 8 64 = 512 σ X = 512 = 22, 63. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
49 Exemplos Exemplo 2 A probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 3 horas (180 minutos) fica dada por ( P(X < 180) = P Z < 180 µ ) X σ ( X = P Z < ) 22, 63 = P(Z < 2, 65) = P(Z > 2, 65) = 1 P(z 2, 65) = 1 0, 996 = 0, 004(0, 4%). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
50 Exemplos Exemplo 2 A probabilidade da equipe completar o percurso em mais de 4 horas (240 minutos) fica dada por ( P(X > 240) = P Z > 240 µ ) X σ ( X = P Z > ) 22, 63 = P(Z > 0) = 0, 5(50%). MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
51 Exemplos Exemplo 2 Seja t 0 o tempo superado por 95% das equipes (apenas 5% das equipes fazem abaixo desse tempo). Temos que ( P(X < t 0 ) = P Z < t ) 0 µ X σ ( X = P Z < t ) , 63 = P(Z < a) = 0, 05, em que a = (t 0 240)/22, 63. Pela tabela normal a = 1, 64. Assim, obtemos t 0 = 240 1, 64 22, 63 = 203 minutos. MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre / 47
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