AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017

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1 AULAS 6 e 7 ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017

2 Em aulas passadas vimos as funções de probabilidade de variáveis discretas e contínuas agora vamos ver propriedades e outras funções importantes dessas distribuições

3 O operador matemático VALOR ESPERADO ou ESPERANÇA

4 PARA VARIÁVEIS DISCRETAS =.

5 O valor esperado é a chamada MÉDIA Algumas propriedades:

6 E[X+Y]= E[X]+E[Y] E[cX]= c.e[x]

7 ESPERANÇA PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS

8 A esperança de uma variável aleatória X, com densidade de probabilidade é: =.. = µ E(X) = µ é a média da variável aleatória X

9 Calcular a média de X cuja função densidade de probabilidade é dada por: f x (x) = 2x para 0 0,5 f x (x) = +!"! 0,5 2 f x (x) = 0 no complementar Resposta : E(x) = 0,8333

10 VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA var(x)

11 $ = ( ). =!"!(! )*+",-! $ =...!"! (! +/0-í02!

12 Demonstra-se que: A variância fornece uma medida de dispersão dos valores da v.a. em relação à sua esperança. Enquanto que a média pode ser relacionada com o Centro de Gravidadeda distribuição da massa de probabilidades, a variância coincide com o valor do Momento de Inérciadessa distribuição em torno do seu centro de gravidade.

13 A raiz quadrada positiva da variância é o desvio padrão

14 Momentos

15 3 3 =. 3. A média E(x) é o momento de ordem k=1

16 Podemos também definir o momento centrado de ordem k como sendo: 3 = 3 O momento centrado de ordem 2 é a variância de x: $ =(!"()

17 A chamada Função Geradora de Momentos é dada por: - =, 5 =, 5. Para todo t, com <-<+ em que a esperança seja finita

18 Os Momentos são calculados para todas Distribuições de Probabilidade e esses Momentos serão muito importantes na Estatística

19 Mas nem sempre eles existem, exemplo.

20 Seja X uma v.a. com distribuição de Cauchy padrão, cuja densidade de probabilidade é dada por: = 8. ( 9 )!"! - < < + Calcular E(x) para qualquer valor de a, esta integral é igual a : : =.... ().+.., as duas integrais são iguais tendem a, portanto a integral diverge Ou seja, a distribuição de Cauchy não possui momentos!

21 Coeficientede Assimetria(Skewness) de Pearson ; =[( = > ) ]= Assimetria pode ser igual a zero, positiva ou negativa

22 REGRA Média Mediana(percentil 50%) Moda(maior probabilidade) Média < Mediana < Moda Assimetria Negativa Média > Mediana > Moda Assimetria Positiva

23 Curtose(Kurtosis) A = B[ = C ] (B[(=) 9 ]) 9 = = C > C Normal K=3 (as formas são definidas em relação à Distribuição Normal) Mesocúrtica(Normal) Leptocúrtica(Maior que a Normal) Platicúrtica(Menor que a Normal)

24 Função de ProbabilidadeBivariada (Bi dimensional) Vamos suporagora que temosduasvariáveisaleatóriasx e Y Função Densidade de Probabilidade Conjunta:,D,E (!F,G -//* /* +")-é")/*!0-,")/"g,0-, ()*-/*!,D,E..E =1! K,+ L =..,D.E. : O N M

25 Podemosentãodefiniragora as chamadas FunçõesMarginaisde Probabilidade Dada uma Função de Probabilidade Bivariada as Funções Marginais de X e Y serãodadaspor: =,D,E.E!"! < <+ D E =,D,E.!"! <E<+

26 Se X e Y foremindependentesa bivariada será:,d D AFunção deprobabilidadecondicionalde y dado x será dada por: D / E / = Q R,S(,D) Q R () <E<+

27 COVARIÂNCIA Quando temosduasvariáveisaleatóriasx e y podemosavaliaro quão forte é estarelação, define-se entãoa cov(x,y)dadapor: +/(,E = T. E T D Cov(x,y) = T. E T D.,D,E..E

28 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE X E Y R S Se x e Y são independentes então ρ = 0 mas isso não implica em independência!!! Podem serem muito dependentes!!! Se ρ = 1 ou -1 então Y=aX+b (correlação linear perfeita)

29 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DE V.A. DISCRETAS

30 Distribuiçãode Bernoulli Experimento: pode uma única vez sucesso ou fracasso: x=1 sucesso x=0 fracasso P(x=1)=peP(x=0)=1-p=q QualovalordeE(x)? EqualéaVar(x)? E(x)= p Var(x)=pq

31 Qual é o parâmetro que define a Bernoulli? Uma vez definido p, a distribuição esta definida, ou seja, a Bernoulli possui um parâmetro, p

32 Agora vamos ver uma Distribuição de Probabilidades de n eventos de Bernoulli: a Distribuição Binomial qual a probabilidade de ocorrer k sucessos em n tentativas de eventos de Bernoulli?

33 Probabilidade de ocorrer k sucessos em n tentativas de eventos de Bernoulli Distribuição Massa de Probabilidade Binomial =U = V 3. 3.W V3 /0, W =1, p é a probabilidade de sucesso Calcular E(x) e Var(x)? E(x) = np e Var(x) = np(1-p)

34 Quantos parâmetros tem a Binomial? Que parâmetros são esses? Dois: n e p Notação: B (n,p)

35 Distribuição Geométrica

36 Seja a V.A. xcorrespondente ao número de tentativas para ocorrer o primeiro sucesso de um evento de Bernoulli, a probabilidade de x é dada por: Admite-se que p é a probabilidade de sucesso e (1-p) é a probabilidade de fracasso, a Função Massa de Probabilidade é dada por: P(X=1) = p P(X=2) = (1-p).p P(X=3)= (1-p).(1-p).p.. P(X=n) = (1 ) V. com n=1,2. Qualé o valor de E[x] e de Var(x)? = ] ^!" = (]) ] 9

37 Distribuições Geométricas À esquerda para o número de tentativas até o primeiro sucesso (começa em 1) À direita para o número de falhas até o primeiro sucesso (começa em zero) ometric_distribution

38 Exemplo de Aplicação: Um pesquisador está produzindo um novo tipo de vacina para ser usada em seres humanos. Através de testes em animais ele chegou à conclusão de que esta vacina tem probabilidade de matar o usuário em 0,1% dos casos. Por causa das leis do país onde será aplicada, a vacina deve ter sua produção suspensa após ocorrer sua primeira morte. Se admitirmos como sendo a ocorrência da morte do paciente como um sucesso então p=0,001. Assim, se x é o número de pessoas que tomarão a vacina até a ocorrência da primeira morte, temos que x tem uma distribuição geométrica com parâmetro p, isto é, x tem Distribuição Geométrica e a probabilidade de que a primeira morte ocorra na k-ésima aplicação da vacina é: P(x=k) =(1 0,001) 3.0,001 Em média 1000 pessoas serão vacinadas sem ocorrência de morte, na medida que aumenta k aumenta a probabilidade de ocorrer a primeira morte

39 Exercício Estima-se que um terremoto de probabilidade 1/ a cada ano pode destruir uma cidade. Qual a probabilidade de que este terremoto só ocorra daqui a 100 anos? Qual a probabilidade de que este terremoto só ocorra daqui a anos? 10, 0, Qual a média de ocorrência deste terremoto?

40 Exercício Qual a probabilidade de ocorrer uma ou mais vezes este terremoto em 100 anos? Qual a probabilidade de ocorrer uma ou mais vezes este terremoto em anos?

41 Distribuição de Poisson

42 Poisson é uma das mais importantes distribuições, pois ela é própria para avaliar probabilidades que ocorrem no tempo e no espaço.ela tem relação com a Binomial e a Exponencial, como veremos adiante

43 Considerando a Binomial com: n tendendo a infinito e Média np(binomial) tendendo a um valor constante (número médio de sucessos) igual a λ, obtém-se a seguinte Função Massa de Probabilidade: = U =,b c 3 +/G 0 U! λé a taxa de ocorrência(no espaçooutempo) Importante: E[x]=λ e var(x) = λ

44 Exemplos de Aplicação: Número de usuários de computador ligados à Internet ou acesso a um site Número de clientes chegando ao caixa de um supermercado Acidentes com automóveis em uma determinada estrada Número de carros que chega num posto de gasolina Número de aviões sequestrados num dia Número de falhas em componentes eletrônicos por unidade de tempo Número de requisições num servidor em um intervalo de tempo t Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o primeiro ano de vida, etc...

45 Condições para considerar o experimento como sendo Poisson: Em todas os exemplos anteriores deveremos ter um conjunto de ocorrências que satisfazem as seguintes condições: o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo (espaço) é independente do número de ocorrências do evento em qualquer outro intervalo disjunto, ou seja, as ocorrências são independentes a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente zero o número médio de ocorrências por unidade de tempo (espaço) é constante ao longo do tempo (espaço) as ocorrências são distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado o número de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo; quanto maior o intervalo, maior o número de ocorrência

46 As diversasformasda Poisson

47 Diferentes Distribuições Massa de Poisson, de acordo com o valor do seu parâmetro λ m%c3%a9on_denis_poisson

48 Diferentes Distribuições Acumuladas de Poisson, de acordo com o valor do seu parâmetro λ m%c3%a9on_denis_poisson

49 Exercício O número de imperfeições em cabo de fibra ótica segue a Poisson. A taxa de imperfeições é de 1,2 por 50 metros de cabo. Pergunta-se: a) qual a probabilidade de 3 falhas em 150 m de cabo. b) pelo menos 2 falhas em 100 m de cabo e c) 1 falha nos primeiros 50 m de cabo e exatamente 1 falha nos 50 m seguintes. P(k=3) = ef@,g 3,6 =0,2125! P(k 2) = 1-P(k=0)-P(k=1) = 0,691 P(k=1) = efh,9! 1,2 =0, !* (,j,*: 0,3614 =0,1306

50 Exercício O número de acessos a um website segue Poisson, são 4 pessoas por minuto em média. Pergunta-se: a) qual a probabilidade de 2 ou menos acessos em 1 minuto? b) qual a probabilidade exata de 2 acessos em 30 segundos? P(k 2) = P(k=0)+P(k=1)+P(k=2) = efc l! 0,0183+0, ,1465= 0,2381 P(k=2) = ef9! 2 =0, l + efc! 4 + efc! (4 )=

51 Exercício Acredita-se que o número de reservas numa agência segue Poisson. Os dados indicam que são feitas em média 15 reservas por hora, com desvio padrão igual a 2,5. Verifique se Poisson é um modelo aceitável para este caso. Resposta: não. Porque??? Verificar média e variância

52 Rule of Thumb: Podemos aproximar a Binomial pela Poisson quando n 20 e p 0,05 Se n 100 e np 10 esta aproximação é excelente!

53 Exercício Sabe-se que 3% de placas (circuitos) de uma indústria apresenta defeito. Escolhem-se 120 placas ao acaso, usando a aproximação de Poisson estimar as seguintes probabilidades: a) exatamente duas placas com defeito. b) pelo menos duas placas com defeito. sucesso = 3% (com defeito) fracasso = 97% (sem defeito): Binomial(120,3%), mas vamos empregar Poisson com λ=120.3%=3,6: U =2 = ef@,g 3,6 =0,1771(se for via Binomial = 0,1766)! P(k 2)=1-P(k=0)-P(k=1) = 0,876 (se for via Binomial = 0,878)

54 Exercício para a próximaaula

55 Uma empresa de aluguel de automóveis tem 5 carros, dos quais 3 têm rádio. O proprietário estima que a metade dos clientes prefere alugar carro com rádio. Os carros são alugados por dia e a procura é sempre maior que 5, de modo que todos os carros estão sempre ocupados. Pergunta-se: A) que fração do tempo a procura de carros com rádio é superior ao número de carros com rádio? B) se o custo por dia do rádio é C, que sobretaxa mínima A deve ser cobrada para não haver prejuízo a longo prazo? Se o cliente não quer o rádio este é desligado a não é cobrada a sobretaxa.