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1 Assunto: Cálculo de Lajes Prof. Ederaldo Azevedo Aula 3 [email protected]

2 3.1. Conceitos preliminares: Estrutura é a parte ou o conjunto das partes de uma construção que se destina a resistir a carga.

3 3.1. Conceitos preliminares: Tipos de Elementos estruturais de acordo com as dimensões: Laje Paredes Estruturais Pilar Vigas

4 3.1. Conceitos preliminares: Lajes é o elemento estrutural de uma edificação responsável por transmitir as ações(carregamento perpendicular ao seu plano) que nela chegam para as vigas (ou diretamente para os pilares no caso de lajes cogumelos) que a sustentam, e destas para os pilares. Lajes são elementos estruturais bidimensionais, caracterizadas por ter a espessura muito menor do que as outras duas dimensões. As lajes são os primeiros elementos estruturais a receberem a carga a qual é destinada uma estrutura.

5 3.1. Conceitos preliminares: Maciças ou Simples TIPOS DE LAJES Cogumelo Nervuradas Em Concreto Protendido Pré-moldada

6 3.1. Conceitos preliminares: Lajes maciças ou comum

7 3.1. Conceitos preliminares: Lajes nervuradas

8 3.1. Conceitos preliminares: Lajes Cogumelo

9 3.1. Conceitos preliminares: Lajes Pré-moldadas

10 3.1. Conceitos preliminares: Lajes Protendidas(alveolares)

11 3.2. Lajes Maciças - Dimensionamento: Roteiro para Cálculo de lajes em CA: 1º Classificar as lajes; 2º Calcular as Cargas Atuantes; 3º Det. condições de apoio das lajes; 4º Pré-dimensionar a altura(espessura das lajes); 5º Verificar as flexas; 6º Calcular os momentos; 7º Determinar as armaduras longitudinais; 8º Calcular as reações das lajes nas vigas de apoio; 9º Verificar efeito das forças cortantes(cizalhamento); 10º Detalhar as armaduras.

12 3.2. Lajes Maciças - Dimensionamento: 1º Passo: Classificar a laje Classificação: a) Lajes armadas em uma direção; b) Lajes armadas em duas direções. a) Lajes armadas em uma direção: quando a relação entre o maior e o menor vão é maior que 2. ly > 2 ly= maior vão ; lx= menor vão lx b) Lajes armadas em duas direções(em cruz): quando a relação entre o maior e o menor vão é menor ou igual a 2. ly 2

13 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 2º Passo: Cálculo das Cargas/m² a) Carga Acidental TABELA 1 - CARGAS ACIDENTAIS NBR 6120 Local Carga acidental -Laje Carga Acidental (kn/m ²) Hall de banco 3 Sala de depósito de livro 4 Salão de danças de clubes 5 Edifícios residenciais: dorm itórios, sala, copa, cozinha e banheiro Edifícios residenciais: despensa, área de serviço e lavanderia 1,5 Forros 0.5 Escada, lajes de garagens 3 2

14 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 2º Passo: Cálculo das Cargas/m² b) Carga Permanente: TABELA 2 - PESO ESPECÍFICO DE MATERIAIS Material kgf/m³ kn/m³ Concreto Armado kgf/m³ 25 kn/m³ Concreto Simples kgf/m³ 24 kn/m³ Alvenaria tijolo barro maciço kgf/m³ 18 kn/m³ Alvenaria tijolo furado kgf/m³ 13 kn/m³ Alvenaria blocos de concreto kgf/m³ 14 kn/m³ Acabamento de piso 100 kgf/m³ 1 kn/m³ Acabamento de teto 30 kgf/m³ 0,3 kn/m³ Impermeabilização de laje 100 kgf/m³ 1 kn/m³

15 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 2º Passo: Cálculo das Cargas/m² b) Carga Permanente: b.1 Peso Próprio: (exercício de aplicação de cargas) Para achar o peso próprio é preciso determinar a altura(espessura) estimada da laje; Esta altura para edifícios comum varia entre 5cm a 12 cm; TABELA 3 - VALORES MÍNIMOS ESPESSURA LAJES - NBR 6118 CARACTERÍSTICA CONSTRUTIVA DA LAJE ESPESSURA MÍNIMA (cm) LAJES DE COBERTURA NÃO EM BALANÇO 5 cm LAJE DE PISO OU DE COBERTURA EM BALANÇOS 7 cm LAJES SUPORTE VEÍCULOS DE P.tot 30 kn LAJES SUPORTE VEÍCULOS DE P.tot > 30 kn 10 cm 12 cm

16 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 3º Passo: Determinaçao das Condições de apoio Definição de Quadros: Definir quadros de lajes é definir a geometria e as condições de apoio. Para isso cada laje deve ser tratada individualmente de acordo com a vinculação(condições de apoio) com as demais. Condições de apoio existente: Apoio simples (alvenaria ou vigas) Engastada (lajes adjacentes)

17 y SITUAÇÕES DE VINCULAÇÃO DAS PLACAS ISOLADAS CONSTANTES NOS QUADROS lx ly x

18 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje Para determinar a espessura estimada da laje usa-se a fórmula; d l Ψ2 Ψ3 l = vão menor e Ψ2 Ψ3 dados nas tabelas 4 e 5, a seguir h= d + c + 1,5Φ h= espessura da laje; c= cobrimento= 2cm;tabela 6 Φ= diâmetro da armadura.

19 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje Para encontrar o coeficiente correto neste e nos demais quadros é preciso cálcular o parãmetro λ, que reflete a geometria da laje, expresso por: λ= ly lx lx = a menor dimensão da placa; ly= a maior dimensão. Entrar com valor de λ nas tabelas 4 e 5, para det. Ψ2 Ψ3

20 Tabela 4 - Valores de Ψ2 utilizados no pré-dimensionamento da espessira das lajes λ caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8 caso 9 1,00 1,50 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00 2,00 2,20 1,05 1,48 1,67 1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,99 2,18 1,10 1,46 1,64 1,67 1,76 1,83 1,88 1,94 1,97 2,15 1,15 1,44 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91 1,96 2,13 1,20 1,42 1,58 1,64 1,72 1,76 1,86 1,88 1,94 2,10 1,25 1,40 1,55 1,63 1,70 1,73 1,85 1,85 1,93 2,08 1,30 1,38 1,52 1,61 1,68 1,69 1,84 1,82 1,91 2,05 1,35 1,36 1,49 1,60 1,66 1,66 1,83 1,79 1,90 2,03 1,40 1,34 1,46 1,58 1,64 1,62 1,82 1,76 1,88 2,00 1,45 1,32 1,43 1,57 1,62 1,59 1,81 1,73 1,87 1,98 1,50 1,30 1,40 1,55 1,60 1,55 1,80 1,70 1,85 1,95 1,55 1,28 1,37 1,54 1,58 1,52 1,79 1,67 1,84 1,93 1,60 1,26 1,34 1,52 1,56 1,48 1,78 1,64 1,82 1,90 1,65 1,24 1,31 1,51 1,54 1,45 1,77 1,61 1,81 1,88 1,70 1,22 1,28 1,49 1,52 1,41 1,76 1,58 1,79 1,85 1,75 1,20 1,25 1,48 1,50 1,38 1,75 1,55 1,78 1,83 1,80 1,18 1,22 1,46 1,48 1,34 1,74 1,52 1,76 1,80 1,85 1,16 1,19 1,45 1,46 1,31 1,73 1,49 1,75 1,78 1,90 1,14 1,16 1,43 1,44 1,27 1,72 1,46 1,73 1,75 1,95 1,12 1,13 1,42 1,42 1,24 1,71 1,43 1,72 1,73 2,00 1,10 1,10 1,40 1,40 1,20 1,20 1,40 1,70 1,70

21 Tabela 5 - Valores de Ψ3 utilizados no pré-dimensionamento da espessura das lajes Aço Vigas e Lajes nervuradas Lajes maciças CA CA CA CA CA Tabela 6 - Cobrimento mínimo da armadura "c" (cm) Classe de agressividade do ambiente Fraca Moderada Forte Muito forte 2,0 2,5 3,5 4,5

22 4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje Exercício: Sejam três lajes disposta no desenho abaixo, prédimensione a altura da laje 6,00 5,00 4,00 6,00 L1 L2 L3

23 4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje Exercício: Definição dos apoios: CASO 4 L1 CASO 3 L3 CASO 4 L2

24 4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje Exercício: Determinar λ : λ= ly lx lx = a menor dimensão da placa; ly= a maior dimensão. Entrar com valor de λ nas tabelas 4 e 5, para det. Ψ2 Ψ3

25 4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje Exercício: Determinar λ, Ψ2, Ψ3, d e h : Laje Caso lx ly λ Ψ2 Ψ3 d(m) h(m) L1 4 6,00 6,00 1,00 1, ,133 0,173 L2 4 4,00 6,00 1,50 1, ,100 0,14 L3 3 5,00 10,00 2,00 1, ,143 0,18 Vamos admitir inicialmente barras de mm: h= d + 2,5 + 1,0 = d + 4,0cm = d + 0,04 m, h maior será a altura da laje é de 18,3 cm; logo altura será de h= 18 cm

26 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje Cálculo Prático de espessura da laje p/ comparação: Para laje em cruz hmínimo= lx 40 Para laje em balanço hmínimo= l 15 lx menor vão da laje; l menor vão da laje;

27 4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje Cálculo Prático de espessura da laje p/ comparação: Exemplo: Determinar a espessura mínima da laje abaixo: 480 d h 390 lx= 390cm hminimo = 390 = 9,75 adotamos hmínimo = 10 cm 40 h espessura total (bruta) da laje;

28 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 5º Passo: Verificação de flexa Flexa(a): é o deslocamento(deformação)transversal máximo de uma barra reta(vigas) ou placa(lajes) e é dada pela fórmula: a = p.lx 4. α E. h p carregamento uniformemente distribuído sobre a laje; α Coeficiente da Tabela 8; lx menor vão da laje; E módulo de deformabilidade do concreto (E= kn/m²); h altura ou espessura da laje;

29 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 5º Passo: Verificação de flexa Flexa máxima(limite) de lajes: fazer comparação de a com a flexa limite encontrada. TABELA 7 - DESLOCAMENTO LIMITE (FLEXA) Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento - limite Deslocamentos visiveis em elementos estruturais Carga Total(permanente + acidental) l x/250 Vibrações sentidas no piso Carga Acidental l x/350 l x= menor vão da laje considerada

30 5º Passo: Verificação de flexa Tabela 8 -Coeficientes "α" para cálculo de flexas em lajes retangulares λ caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8 caso 9 1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46 1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60 1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74 1,15 6,09 4,47 3,82 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87 1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98 1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,10 1,30 7,36 5,77 4,35 3,73 4,48 2,69 3,16 2,42 2,20 1,35 7,76 6,21 4,50 3,92 4,92 2,72 3,36 2,48 2,30 1,40 8,14 6,62 4,65 4,08 5,31 2,75 3,56 2,56 2,37 1,45 8,51 7,02 4,78 4,23 5,73 2,80 3,73 2,62 2,45 1,50 8,87 7,41 4,92 4,38 6,14 2,84 3,91 2,68 2,51 1,55 9,22 7,81 5,00 4,53 6,54 2,86 4,07 2,53 2,57 1,60 9,54 8,17 5,09 4,65 6,93 2,87 4,22 2,87 2,63 1,65 9,86 8,52 5,13 4,77 7,33 2,87 4,37 2,78 2,68 1,70 10,15 8,87 5,17 4,88 7,70 2,88 4,51 2,79 2,72 1,75 10,43 9,19 5,26 4,97 8,06 2,88 4,63 2,81 2,76 1,80 10,71 9,52 5,36 5,07 8,43 2,89 4,75 2,83 2,80 1,85 10,96 9,82 5,43 5,16 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83 1,90 11,21 10,11 5,50 5,23 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85 1,95 11,44, 10,39 5,58 5,31 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88 2,00 11,68 10,68 5,66 5,39 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91 œ 15,35 15,35 6,38 6,38 15,35 3,07 6,38 3,07 3,07

31 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 5º Passo: Verificação de flexa Obs.: Para a não verificação da flexa(deformação), nas lajes de edifícios basta adotarmos como espessura mínima: Para laje em cruz hmínimo= lx 40 Para laje em balanço hmínimo= l 15 lx menor vão da laje; l menor vão da laje;

32 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. Os momentos fletores máximos existente, são os positivos representado pela letra m, e os negativos, pela letra x. São determinados pelas Equações abaixo, e pelas tabelas a seguir. mx e my - momentos máximos positivos por unidade de comprimento. mx= μx. p.lx my= μy. p.lx p carregamento uniformemente distribuído sobre a laje; μx Coeficiente da Tabela 9; μy Coeficiente da Tabela 9; lx menor vão da laje;

33 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. Xx e Xy - momentos máximos negativos por unidade de comprimento. Xx= μx. p.lx Xy= μy. p.lx p carregamento uniformemente distribuído sobre a laje; μx Coeficiente da Tabela 9; μy Coeficiente da Tabela 9; lx menor vão da laje;

34 6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. Tabela 9A - Coeficientes μ's,(caso 1, 2 e 3), Lajes retangulares uniformemente carregadas Caso 1 Caso 2 Caso 3 λ μx μy μx μy μ'y μx μ'x μy 1,00 4, ,05 4, ,10 5, ,90* ,15 5, ,20 5, ,25 6, ,10* , , , , , , , , , , , , , , , ,80* œ ,80* 12,20*

35 6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. Tabela 9B - Coeficientes μ's,(caso 4, 5 e 6), Lajes retangulares uniformemente carregadas Caso 4 Caso 5 Caso 6 λ μx μ'x μy μ'y μx μy μ'y μx μ'x μy 1, , , , ,80* , , , , , ,60* , , , , , , , , ,1, , , , , œ

36 6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. Tabela 9C- Coeficientes μ's,(caso 7, 8 e 9), Lajes retangulares uniformemente carregadas Caso 7 Caso 8 Caso 9 λ μx μ'x μy μ'y μx μ'x μy μ'y μx μ'x μy μ'y 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , œ

37 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Vimos como se calculam nas lajes os Momentos fletores no meio do vão e nos apoios. São nesses locais, seja nas lajes isoladas ou conjugadas, seja nas lajes em cruz, seja nas lajes armadas em uma só direção, que ocorrem os maiores Momentos Fletores positivos e os maiores Momentos Fletores Negativos. O processo de dimensionamento determina a área de aço(as)(armadura) necessária para resistir aos esforços tendo de posse dos momentos fletores e a espessura da laje.

38 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Para o dimensionamento das armaduras devem ser conhecidos o fck do concreto e o tipo de aço(ca-60 ou CA-50). Roteiro de cálculo: a) cálculo de k6 k6= b.d 2 M b 1 m (cálculo por metro) (faixa de 1m de laje); d distancia da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura(m); M - Momento em knm; M = (ou X)são valores calculados pela tabela; M momento fletor positivo; X momento fletor negativo.

39 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Para o dimensionamento das armaduras devem ser conhecidos o fck do concreto e o tipo de aço(ca-60 ou CA-50). Roteiro de cálculo: a) cálculo de k6 Encontrado o k6 pela fórmula anterior, faço a interação na tabela, pré-definindo o fck, e o tipo de aço e encontro o K3.

40 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais ξ = x/d Tabela 10A - Dimensionamento de lajes maciças armadas em cruz Valores de k6 para concreto Valores de k3 /aço fck = 20 Mpa fck = 25 Mpa fck = 30 Mpa CA25 CA50A CA60B 0, , ,269 0,02 726, ,271 0,03 486, ,04 366, ,05 294, ,06 246, ,660 0, ,07 212, ,08 186, ,09 166, ,10 150, ,280 0,11 137, ,12 126, ,13 117, , ,14 109, ,15 102, ,16 96,2 77, ,17 91, ,18 86, ξ = x/d Tabela 10B - Dimensionamento de lajes maciças armadas em cruz Valores de k6 para concreto Valores de k3 /aço fck = 20 Mpa fck = 25 Mpa fck = 30 Mpa CA25 CA50A CA60B , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 0, ,2 33, , , ,19 82, ,290 0,20 78, ,700 0, ,21 74, ,22 71, ,23 69, , , , , , , , , , ,

41 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Roteiro de cálculo: b) cálculo de As Conhecido k3, determino o As através da fórmula abaixo: As = k3 x M 10 d d distancia da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura(m); M - Momento em knm; M = (ou X)são valores calculados pela tabela; M momento fletor positivo; X momento fletor negativo.

42 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Cálculo de k6 e K3 e As Por exemplo: Seja M (ou X)= 1,8 knm e d= 9,5 cm, o concreto de fck =20 Mpa e seja o aço CA50A determine a area de armadura na faixa de um metro: k6= b.d 2 M k6= (0.095) 2 = 501 1,8

43 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Cálculo de k6 e K3 e As O valor mais próximo da Tabela é K6=486 K6 CA25 CA50A CA50B 486 0,652 0,326 0,272 Temos conhecido K3=0,326 e a área de armadura por metro é calculada como: Aplicando a fórmula: As = k3 x M Temos: 10 d As = 0,326 x 1,8 10 0,095 = 0,62 cm²/m K3

44 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Escolha das Barras e Espaçamentos: a) Bitola máxima das barras A bitola máxima nas lajes, definida pela NBR , é: Φmax= h 8 Recomenda-se utilizar como bitola mínima para armadura positiva φ = 5,0mm e utilizar para a armadura negativa, no mínimo φ = 8,0mm, para evitar que esta se amasse muito (pelo peso de funcionários) antes da concretagem, o que reduz a altura útil da laje.

45 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Escolha das Barras e Espaçamentos: b) Espaçamento das barras: Lajes armadas em cruz: O espaçamento máximo da armadura principal positiva é 20cm. Lajes armadas em 1 direção: O espaçamento máximo da armadura principal positiva é 20 cm ou 2h(o menor dos dois). Para facilitar a concretagem de uma laje, costuma-se utilizar o espaçamento s, entre as barras de no mínimo 8cm.

46 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Cont. exercício Cálculo da Quant. de barras por metro de laje: n= As As1 n número de barras por metro de laje; As Área total de aço; As1 = Área de uma barra.

47 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Cont. exercício Nosso As do exercício é As= 0,62 cm²/m; Assim aplicando a Tabela 11 abaixo, temos uma área inexistente, isso significa que podemos utilizar uma armadura mínima com espaçamento mínimo. Assim escolhemos Φ=5.0 e n= As = 0,62/0,196 = 3,16 u As1 Arredondando 4 barras que dividindo por 1m gera um espaçamento de 0,25m, não atendendo o espaçamento máximo da norma que é de 20cm. Assim o espaçamento será de 20 cm sendo então 5 Φ de 5.0 c. 20.

48 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Espaçamento (cm) Tabela11 - Área de Armadura para lajes Área em cm²/m de armadura Bitola da barra de aço em mm 5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 7, , ,00* ,00 9 2,22 3, , ,00 8, , , , ,00 6,40 10,00 16, , , , , , ,50 4, , , , , , , ,00 8, , ,

49 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Usos mais comuns Diâmetro (mm)/(pol) Peso linear (kgf/m) (10N/m) Tabela Mãe para Aços Área das seções das barras As (cm²) Número de Barras Estribos 5,0 / 3/16" 0,16 0,196 0,392 0,588 0,784 0,980 1,176 1,372 1,568 1,764 1,960 6,3 / 1/4" 0,25 0,315 0,630 0,945 1,260 1,575 1,890 2,205 2,520 2,835 3,150 Estribos, lajes, vigas e pilares 8,0 / 5/16" 0,40 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 10,0 / 3/8" 0,63 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00 12,5 / 1/2" 1,00 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50 Vigas e pilares Estruturas maiores p/ pilares 16,0 / 5/8" 1,60 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 20,0 / 3/4" 2,50 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50 25,0 / 1" 4,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 32,0 / 1.1/4" 6,30 8,00 16,00 24,00 32,00 40,00 48,00 56,00 64,00 72,00 80,00

50 7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais Exemplo 2: Seja M (ou X)= 18 knm e d= 9,5 cm, o concreto de fck =20 Mpa e seja o aço CA50A determine a área de armadura na faixa de um metro, a quantidade de barras e espaçamento das armaduras. k6= (0,095) 2 K6= 50,13 18 K6=50,13 tabela 10B, K3=0,371 As = 0,371 x 18 = 7,03 cm²/m 10 0,095 Da Tabela 11, conclui-se que podemos usar Φ 10.0 c/ 11cm Ou seja cada 1m de laje tem que existir 9 Φ 10.0 c/ 11cm.

51 3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 8º Passo: Calcular as reações das lajes nas vigas de apoio. Vimos como se calculam nas lajes os Momentos fletores no meio do vão e nos apoios. São nesses locais, seja...