ÁLGEBRA. Aula 5 _ Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

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1 1 ÁLGEBRA Aula 5 _ Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora

2 2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma relação entre a variável dependente y e a variável independente x. EXEMPLOS: f(x) = 3x + 2; f(x) = ( ½).x f(x) = 5 2x f(x) = 7 Podemos observar que a forma algébrica é do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são números reais, x é a variável independente e y é a variável dependente de x. OBS: f(x) = y EXEMPLO: Encontre os valores de a e b nos exemplos acima.

3 3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU DEFINIÇÂO Uma função f: R R é do 1º grau (ou afim) quando a todo valor de x está associado um único valor y = f(x) = ax + b, com a e b sendo números reais e a 0 EXEMPLO: f(x) = 2x + 1; a = 2 e b = 1 OBS: Toda função do 1 o grau corta o eixo y no termo independente de x, ou seja, corta o eixo y na altura b. Função Linear Uma função recebe o nome de função linear quando a cada elemento x associa o elemento ax. Isto é: y = f(x) = ax, ou seja, b = 0. OBS: O gráfico da função linear f(x) = ax, passa sempre pela origem do plano cartesiano.

4 4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Outras importantes funções do 1º grau Função Constante Uma função recebe o nome de função constante quando a cada elemento x associa sempre o mesmo elemento c. Isto é, f(x) = c Função identidade Uma função recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x associa o próprio elemento x. Isto é, f(x) = x. OBS: O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1º e do 3º quadrante.

5 5 Coordenadas cartesianas PLANO CARTESIANO 2º Quadrante Q(-x, +y) y Eixo das ordenadas 1º Quadrante P(+x, +y) x Eixo das abscissas S(+x, -y) R(-x, -y) 3º Quadrante 4º Quadrante Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y);

6 6 Coeficiente Angular e linear A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de uma reta é dado por: y 2 1 y 2 y 1 tg y x 2 y x 1 x 1 x 2 Passando o denominador para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos: y2 y 1 = m.(x 2 x 1 ) x OBS: Na função do 1º grau f(x) = ax + b, o coeficiente a é denominado coeficiente angular, tem-se que tg Θ = a, e portanto a determina o grau de inclinação da reta. OBS: O coeficiente b é denominado coeficiente linear, ele determina o ponto em que a reta corta o eixo y.

7 Coeficiente Angular e linear EXEMPLO: Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x 1 e h(x) = 2x. Responda: a) Os gráficos tem algum ponto em comum? b) As retas são paralelas entre si? c) Quais os coeficientes angulares das funções? d) Quais os coeficientes lineares? y 7 x

8 8 Raiz da função do 1º grau É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0. Determinando o zero da função do 1º grau f(x) = ax + b, fazendo f(x) = 0, temos: f(x) = ax + b = 0 ax = b x = b/a EXEMPLO: f(x) = 2x 1 2x 1 = 0 2x = 1 x = ½ OUTROS EXEMPLOS: Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x+5 b) f(x) = -x+2 c) f(x) = (1/3)x+3 d) f(x) = 1-5x e) f(x) = 4x

9 9 Função Crescente ou Decrescente CRESCENTE A função é crescente se o coeficiente angular for positivo. Ex: y = 2x +1 a = 2 a > 0 FUNÇÃO CRESCENTE DECRESCENTE A função é decrescente se o coeficiente angular for negativo. Ex: y = x + 3 a = 3 a < 0 FUNÇÃO DECRESCENTE

10 10 Estudo do Sinal da Função do 1º Grau Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais valores de x temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0. EXEMPLO: Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está ao lado representado. SOLUÇÃO: Dizemos que nos pontos em que o gráfico se encontra no eixo x, y = 0. Ou seja, f(x) = 0 quando x = 1 ou x = 2 ou x = 4 ou x = 7. Na região do gráfico acima do eixo x, a função é positiva. Na região do gráfico abaixo do eixo x, a função é negativa.

11 11 Estudo do Sinal da Função do 1º Grau Para analisarmos o sinal da função do 1º grau precisamos observar primeiro se o coeficiente angular é positivo ou negativo. 1º CASO a > 0 FUNÇÃO CRESCENTE 2º CASO a < 0 FUNÇÃO DECRESCENTE OBS: De uma forma geral podemos dizer que a direita da raiz possui o mesmo sinal de a.

12 12 Inequação do 1º Grau DEFINIÇÃO Em sua definição mais simples e compreensível, uma inequação do 1º grau pode ser definida como uma função do 1º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0 EXEMPLO: Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a inequação 3x + 5 < 17

13 13 Inequação do 1º Grau EXEMPLO: Resolva em R a seguinte inequação 6 2x 0. 2x 6 x 3 S = ], 3] Multiplicando-se ou dividido-se os dois membros da inequação por um número negativo, devemos inverter o sinal da inequação. EXEMPLO: Resolva em R a seguinte inequação 3x + 2 < x + 3 x + 4. A interseção desses dois conjuntos é S = [ ½ ; ¼ [ e x + 3 x + 4 2x 1 2x 1 x ½

14 14 Inequação Produto e Quociente São inequações do tipo: PRODUTO f(x).g(x) > 0 f(x).g(x) < 0 f(x).g(x) 0 f(x).g(x) 0 QUOCIENTE f(x) / g(x) > 0 f(x) / g(x) < 0 f(x) / g(x) 0 f(x) / g(x) 0 EXEMPLO: Resolva em R a inequação (x 3).( 2x + 4) > 0 SOLUÇÃO: 1º) Devemos determinar os zeros das funções: x 3 = 0 x = 3 e 2x + 4 = 0 x = 2 2º) Devemos estudar o sinal das funções: 3 + 3º) Verificamos a interseção: Solução: S = ] 2, 3 [ >

15 15 EXEMPLOS: Inequação Produto e Quociente

16 16 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00 o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda. a) Qual a lei dessa função? b) Para que valores de x temos f (x < 0)? Como pode ser interpretado este caso. c) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00? e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?

17 17 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 2 Certo dia de janeiro, a temperatura em São Leopoldo, situada no interior do Rio Grande do Sul, subiu uniformemente desde 23 C, às 10 h, até 38 C, às 15 h. Fazendo-se um gráfico cartesiano que representa tal situação térmica, no qual se marca os tempos (em horas) nas abscissas e as temperaturas (em graus centígrados) nas ordenadas, obtem-se o segmento de reta AB, como mostra a figura. a) Encontre uma função que indique a temperatura em São Leopoldo em função do tempo verificada no intervalo [10,15]. b) A partir de que horas a temperatura ultrapassa 32º?

18 18 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 Uma locadora de veículos apresenta, para aluguel de certo tipo de carro a seguinte tabela: Em uma diária, com percurso não superior a 100 km, para que a 2ª opção seja menor em reais, é necessário que o número de quilômetros percorridos pelo locatário pertença ao intervalo: a) [60, 100] c) ]60, 100] e) [0, 60[ b) ]60, 100[ d) [0, 60]

19 19 TESTANDO OS CONHECIMENTOS Resolva os exercícios do livro: P.124 _ 1 P.128 _ 9, 10 e 11 P.129 _ 14, 15, 16 e 18 P.130 _ 21 e 22 P.135 _ 24 e 25 P.145 _ 27, 28, 30 e 31 P.146 _ 38 e 40 P.147 _ 43 P.149 _ 48 P.150 _ 51 P.152 _ 54 e 55 OBS: Foram selecionados 23 exercícios de um total de 58 exercícios do referente capítulo do livro.

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