Medidas de Tendência Central. Introdução Média Aritmética Moda Mediana
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- Maria de Abreu Palha
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1 Medidas de Tendência Central Introdução Média Aritmética Moda Mediana
2 Introdução A maioria dos dados apresenta uma tendência de se concentrar em torno de um ponto central Portanto, é possível selecionar um valor que melhor descreva o conjunto Este valor é uma medida de tendência central
3 Introdução Há vários tipos de medidas utilizadas como medida de tendência central. Nós estudaremos as medidas: Média aritmética Moda Mediana
4 Média Aritmética Simples Tipo de medida de tendência central mais utilizada É a soma dos valores de todas as observações dividida pelo número de observações envolvidas Perigo: um ou mais valores bastante discrepantes do conjunto podem distorcer a tendência apresentada pela média Esta distorção pode ser amenizada aplicando-se pesos às observações (média aritmética ponderada)
5 Média Aritmética Simples A média aritmética pode ser escrita como: X1 + X n Ou, de forma simplificada: X n3 X = X n i = 1 = n X i
6 Média Aritmética Simples OBS: normalmente trabalha-se com a média da amostra X e não com a média da população μ devido ao custo e dificuldade de cálculo desta medida
7 Média Aritmética Simples Exercícios Dada uma amostra das notas dos alunos da disciplina de estatística, calcule a média aritmética: {5.0, 6.5, 5.5, 8.0, 7.5, 6.0, 5.1, 7.0} O que aconteceria com a média se a nota 0.1 fosse incluída na amostra?
8 Média Aritmética Simples Propriedades 1- A soma dos desvios em relação à média é sempre igual a zero xi 5 6,5 5,5 8 7,5 6 5,1 7 d i = x i 1,675 = 8-6,325 0,675 = 7-6,325 x -1,325 = 5-6,325 0,175 = 6,5-6,325-0,825 = 5,5-6,325 1,175 = 7,5-6,325-0,325 = 6-6,325-1,225 = 5,1-6,325 d i = 0
9 Média Aritmética Simples Propriedades 2- A soma do quadrado dos desvios em relação à média é chamado desvio mínimo, valor utilizado em otimizações e regressões xi 5 6,5 5,5 8 7,5 6 5,5 7 d i = x i x -1,325 = 5-6,325 0,175 = 6,5-6,325-0,825 = 5,5-6,325 1,675 = 8-6,325 1,175 = 7,5-6,325-0,325 = 6-6,325-1,225 = 5,1-6,325 0,675 = 7-6,325 2 d i 1,75 0,03 0,68 2,8 1,38 0,11 1,5 0,45 d i 2 8,7
10 Média Aritmética Simples Propriedades 3- Se for somada (ou subtraída) uma constante K a cada elemento da amostra, a média aritmética será também somada (ou subtraída) a esta constante x i 6,5 x i 10 11,5 5,5 8 7,5 6 5,1 7 x=6,325 10, , ,1 12 x=11,325
11 Média Aritmética Simples Propriedades 4- Se for multiplicada (ou dividida) uma constante K a cada elemento da amostra, a média aritmética será também multiplicada (ou dividida) por esta constante Exercício: demonstre esta propriedade!
12 Média Aritmética Ponderada Caso os dados se repitam, para calcular a média pode-se fazer a somatória da multiplicação de cada valor pela respectiva freqüência e dividir pelo total de valores x= x i f i f i Esta fórmula é uma média aritmética ponderada pela freqüência É equivalente à média aritmética simples
13 Exercícios: Média Aritmética Demonstre que a média aritmética simples e a ponderada (por freqüência) são equivalentes Insira nos dados da tabela do exercício anterior um valor repetido e calcule a média aritmética simples e a ponderada
14 Moda Moda é o valor que aparece mais freqüentemente em um conjunto de dados Ao contrário da média aritmética, a moda não é afetada por valores extremos É utilizada para fins descritivos apenas, uma vez que é, dentre as medidas de tendência, a mais variável de amostra para amostra
15 Moda Moda em dados não tabulados X={4, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9} Moda=6 OBS: Amostras podem possuir apenas uma moda (unimodal), duas modas (bimodal), mais de duas modas (multimodal), ou nenhuma moda (amodal) Exercício: Dê exemplos dos casos citados acima
16 Moda Moda em dados tabulados Método de Czuber (considerado o mais preciso) M 0 = i + c 2 f mo f mo ( f ant f + ant f post ) onde: l i é o limite inferior da classe modal c é o intervalo de classe f mo é a freqüência da classe modal f ant é a freqüência anterior à classe modal f post é a freqüência posterior à classe modal
17 Moda Moda em dados tabulados Exemplo Idades Freqüência M 0 = *40 ( ) M 0 = 34,5
18 Moda Exercício: Alterado os dados da tabela, recalcule a moda Idades Freqüência
19 Mediana Medida de tendência central que divide uma série ordenada de dados (ROL) em duas partes iguais Ocupa a posição central em um ROL A mediana também não é afetada por valores extremos
20 Mediana Mediana em dados não tabulados Amostra com número ímpar de elementos X={1, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13,14}, onde n=9 Calcula-se o elemento central (E) E = n = = 5 Logo a mediana corresponde ao 5º elemento da amostra: M d = 8
21 Mediana Mediana em dados não tabulados Amostra com número par de elementos X={1, 3, 5, 7, 9, 11}, onde n=6 Calcula-se os elementos centrais (E) E= n 2 = 6 2 =3 Os elementos centrais são 5 e 7. Logo a mediana é a média aritmética dos mesmos: M d = 6
22 Mediana Mediana em dados tabulados Amostra com dados discretos pares e não agrupados em classes Custo de produção (em milhões) Freqüência Freqüência acumulada E = n 2 Os elementos centrais são 25 e 26 (já que se trata de uma amostra par), que estão entre 15 e 30. Logo a mediana é a média aritmética: M d = = 50 2 = 25
23 Mediana Mediana em dados tabulados Amostra com dados discretos ímpares e não agrupados em classes Custo de produção (em milhões) Freqüência Freqüência acumulada E = n + 2 = 48 2 = O elemento central é 24, que está entre 15 e 30. Logo a mediana é a média aritimética: M d = 6
24 Mediana Mediana em dados tabulados Amostra com dados contínuos agrupados em classes M d = i + c E f f md ant ac onde: l i é o limite inferior da classe mediana c é o intervalo de classe f md é a freqüência da classe mediana f ant ac é a freqüência acumulada anterior à classe mediana
25 Mediana Mediana em dados tabulados Amostra com dados contínuos agrupados em classes Custo de produção (em milhões) Freqüência Freqüência acumulada E = n 2 = = 55 M d = = 30 31,5
26 Mediana Exercício Calcule a mediana para o rol de dados Custo de produção (em milhões) Freqüência Freqüência acumulada
27 Mediana Exercício: Vamos coletar a idade de 30% dos alunos desta sala, tabulá-los e dividi-los em classes. Em seguida, vamos calcular a média, moda, mediana, e comparar estes valores. OBS: A partir do resultado obtido, vamos introduzir o conceito de simetria.
28 Moda, Mediana e Média A comparação de média, mediana e moda define a simetria dos dados A distribuição de dados é simétrica quando a moda, média e mediana são coincidentes A distribuição é assimétrica à esquerda (negativamente assimétrica) quando a média e a mediana estão à esquerda da moda A distribuição é assimétrica à direita (positivamente assimétrica) quando a média e a mediana estão à direita da moda
29 Moda, Mediana e Média Exercícios: Ilustre graficamente as medidas de tendência central e verifique se há assimetria ou simetria A distribuição de rendas anuais de um país tende a ter uma assimetria positiva ou negativa?
30 Obrigado! Até a próxima aula!
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