CAPÍTULO 4 Exercícios Resolvidos

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1 CAPÍTULO 4 Exercícios Resolvidos R4.1) Condição para concretização de uma venda Um certo tipo de componente é vendido em lotes de 1000 itens. O preço de venda do lote é usualmente de 60 u.m. Um determinado comprador propõe ao vendedor extrair de cada lote uma amostra com 20 itens; se não houver entre eles nenhum defeituoso, ele paga 70 u.m. pelo lote; se houver exatamente 1 item defeituoso, ele paga 60 u.m pelo lote; se houver 2 ou mais itens defeituosos, ele paga 50 u.m pelo lote. Se o vendedor sabe que em geral cerca de 5% desses itens são defeituosos, ele deverá aceitar ou não essa proposta? Seja X o número de itens defeituosos na amostra. Então X segue uma lei Binomial com n = 20 e p = 0,05. Por outro lado, o preço Y a ser pago segundo essa proposta é tal que 20 70, se X 0, o que ocorre com probabilidade 0,95 0, Y 60, se X 1, o que ocorre com probabilidade 20 0,05 0,95 0,378 50, se X 2, o que ocorre com probabilidade1-0,358-0,378 0,264 Então E(Y) 70 0, , ,264 60,94 u.m. Como o preço usual de venda é 60 u.m. por lote, isso mostra que em média a proposta é ligeiramente vantajosa para o vendedor, embora seja mais sujeita a riscos. Isto porque, segundo a proposta do comprador, há uma variabilidade envolvida no preço de venda. R4.2) Custo de estadia de navios Estima-se que o custo de estadia de um certo navio que faz transporte de carga, enquanto está parado em um porto, é da ordem de 30 mil dólares por dia. Admita que o tempo total de permanência desse navio em um determinado porto (incluindo esperas em filas, manobras para atracar e desatracar, descarga e carregamento, etc) segue uma lei de probabilidade exponencial com média de 5 dias. (a) Em quantos por cento das vezes o custo total de estadia é inferior a 200 mil dólares? (b) Admita agora que quando o tempo total de permanência do navio excede 8 dias a administração do porto é obrigada a pagar ao transportador uma multa no valor de 100 mil dólares. Nessas condições, qual é em média o custo líquido para o transportador de cada visita do navio a esse porto? Sejam X o tempo de estadia (em dias), Y o custo de estadia (em milhares de dólares) e Z o custo líquido de estadia (em milhares de dólares). Então: X é Exponencial com parâmetro λ = 1/5 = 0,2 Y = 30X (a) P(Y<200) = P(30X < 200) = P(X<6,667) = 1 exp( 0,2 6,667) = 0,736 (b) E(Z) = 30E(X) 100 P(X > 8) = 30 x exp( 0,2 8) = x 0, = 129,810. Ou seja, dólares.

2 R4.3) Transporte de carga Uma determinada empresa revende cimento ensacado. Como há permanentemente um grande movimento de entradas e saídas desses sacos de cimento no galpão da empresa, pode-se considerar que a quantidade de cimento estocada varia segundo uma distribuição Normal com média de 30 toneladas e desvio padrão de 10 toneladas. Para levar os sacos de cimento aos consumidores, a empresa utiliza um caminhão capaz de transportar até 40 toneladas. A demanda por cimento é muito grande e, por isso, tudo o que o caminhão levar acabará sendo vendido. Assim sendo, o caminhão sempre sai levando todo o cimento que houver em estoque naquele momento, desde que a sua carga máxima não seja ultrapassada. a) Calcule a média e o desvio padrão do peso da carga do caminhão em uma viagem com destino aos consumidores escolhida ao acaso. b) Admita agora que a empresa concluiu que não vale a pena o caminhão fazer essa viagem, se ele não levar uma carga mínima de 20 toneladas de cimento. Então, quando o caminhão chega vazio ao galpão para ser carregado, se a quantidade de cimento em estoque naquele momento for insuficiente, a empresa recorre imediatamente aos seus fornecedores para garantir que o caminhão saia carregando exatamente essa carga mínima de 20 toneladas de cimento. Como no item (a), calcule a média e o desvio padrão do peso da carga do caminhão em uma viagem escolhida ao acaso, sob as novas condições. c) Que conclusões podem ser extraídas deste exercício? Obs.: Note que a distribuição de probabilidade da v.a. aqui considerada é em parte contínua e em parte discreta. a) Seja Y = Estoque de cimento (em toneladas); Então Y~N(30,10 2 ). Seja X= peso da carga (em toneladas); Então, X ; E(X) = Seja. Fazendo, temos. Então, E(X) = 22, = 29,17 ton. = 22,82 Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = =. Fazendo novamente,, obtemos: Var(X) = A integral acima é igual a

3 I 2 = 900 = 900Ф(1) + Aplicando integração por partes a esta última integral I 3, com u = z e dv = z teremos: du = dz e v = Daí, I 3 = Portanto, I 2 = 900 Ф(1) + = = 1000 Ф(1) = 671,97. Concluindo, Var(X) = = 75,11 DP(X) = ton. b) Seja novamente X=peso da carga (em toneladas); Então X, onde Y~N(30,10 2 ). E(X) =. A integral acima é. Fazendo, mais uma vez,,, obtemos porque E(X) = (20+40) é uma função ímpar., ton.. Var(X) = E Aqui, já sabemos que = =. Por outro lado, fazendo novamente,, a integral acima passa a ser:. Mas também sabemos, via integração por partes, que Então,

4 Então, I 5 =. Substituindo esses resultados na expressão de Var(X), obtemos então Var(X) = 100 ( DP(X) = ton. c) No item (a), quando foi feito um truncamento superior na distribuição N(30,10 2 ) a partir de 40, como já era esperado, a média (centro de gravidade) caiu para de 30 para 29,17 e o desvio padrão também caiu de 10 para 8,67. Já no item (b), quando além desse truncamento superior, foi feito também um truncamento inferior abaixo de 20, a distribuição voltou a ser simétrica em torno de 30 e a dispersão (momento de inércia) diminuiu ainda mais. Assim, a média voltou a ser igual a 30, passando então o desvio padrão para 7,18. R4.4) Função Geradora de Momentos A função geradora de momentos (fgm) de uma v.a. X associa a cada número real t o valor esperado de e tx : M X (t) = E(e tx ). a) Mostrar que M X (t) é um mecanismo, como o próprio nome diz, de gerar momentos de ordem n, E(X n ). b) Usando a fgm M X (.), recalcular E(X) e Var(X), se X~Bin(n,p). c) Usando a fgm M X (.), recalcular E(X) e Var(X), se X~N(µ, σ 2 ). a) M X (t) funciona baseada na expansão em série de : Como, sob condições adequadas, o valor esperado da soma é a soma dos valores esperados; e t é uma constante: Note que a derivada de ordem n de M X (t) aplicada em t=0 resulta em E(X n ), ou seja,. Por exemplo, se n =1, o que implica que. Analogamente, se n = 2,, o que implica que. Esta dedução é válida tanto no caso discreto como no caso contínuo. b) Seja X ~ Bin(n,p)., Então, pelo Binômio de Newton, Assim,

5 o que implica que M X (0) = E(X) = np. Por outro lado, o que implica que Assim, Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = n 2 p 2 = np(1 p), c) Seja X ~ N(µ,σ 2 ). Usando a transformação z = (x µ)/σ x=z σ+ µ dx = σdz, temos: Completando o quadrado, temos Fazendo w =, dw = dz, obtemos. Daí: e sendo: e, o que implica que E(X) = µ e Var(X) = σ 2 + µ 2 µ 2 = σ 2. R4.5) Energia cinética de uma molécula No exercício anterior R3.5, vimos que a função de densidade da velocidade absoluta de uma molécula é dada pela distribuição de Maxwell, para x > 0 e f(x) = 0, para x 0, sendo α uma constante. Obtenha a média e a variância da energia cinética dessa molécula (cuja massa é m). Sugestão: Novamente, faça a mudança de variável, e use as propriedades da função gama. Lembre-se também que a energia cinética de um corpo de massa m que se move a uma velocidade v é dada por (1/2)mv 2. Var

6 Exercícios Propostos P4.1) Linha de produção Suspeita-se que o processo de produção de um certo tipo de componente esteja desregulado. Para decidir sobre a medida a ser adotada para sanar o problema, o departamento de produção resolveu conduzir um experimento em que 10 componentes serão sorteados ao acaso da linha de produção. Seja X o número de componentes fora das especificações entre eles. Se a proporção de componentes fora das especificações na linha de produção como um todo for de 30%: a) Qual o valor mais provável de X e qual a sua probabilidade? b) Admita que: Se X 5, será efetuado um gasto total de 1000 reais para aprimorar a qualidade da produção. Se 2 X 4, esse gasto será de 300 reais. Se X 1, não será efetuado nenhum gasto. Qual a média e o desvio padrão do gasto a ser efetuado? P4.2) Atendimento domiciliar O número de solicitações de atendimento domiciliar que um fisioterapeuta recebe em um dia varia segundo uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 4. Se ele cobra 100 reais por cada visita e é capaz de fazer no máximo 6 atendimentos por dia, qual a média e o desvio padrão da sua receita diária? P4.3) A consultoria sobre investimentos revisitada Considere novamente o Exercício Proposto 4 do Capítulo 2. Admita agora que os honorários a serem pagos à equipe de consultores importam no total em 80 u.m., e que cada decisão acertada implica em um ganho de 100 u.m. Qual a melhor opção: contratar ou não os consultores? P4.4) Erro de medição O erro de medição de uma certa grandeza pode ser considerado como uma v.a. com distribuição Normal de média = 0 e desvio padrão = 10. Considere uma função de perda que está associada à falta de precisão nessa medição e é tal que Perda = Determine a média e a variância da Perda. P4.5) Revisitando o diâmetro das porcas Considere novamente os dados do Exercício P3.5. Suponha que as porcas têm um custo unitário de fabricação de 50 centavos. Se elas se encontram dentro dos limites de tolerância, são vendidas a 1,50 reais cada. Caso contrário, são refugadas. Determine o lucro esperado e o desvio padrão desse lucro. Dê sua opinião sobre a eficiência desse processo. P4.6) Uma transformação da Uniforme

7 Sejam X e Y v.a. s tais que: X tem distribuição Uniforme no intervalo [0,1] ; e Y =. Então é possível provar que Y tem distribuição exponencial com parâmetro λ. Mostre que, sob essas premissas, de fato temos E(Y) = e Var(Y) = conforme preconiza a teoria do Capítulo 3. P4.7) Duração de uma chamada telefônica A duração de uma chamada telefônica, em minuto, é uma v.a. contínua X com densidade f(x) = e -X, x>0; f(x)=0 caso contrário. O custo Y da chamada, em reais, é dado por: Determine o custo esperado de uma chamada. P4.8) O raio de uma esfera O raio de uma esfera é uma v.a. contínua X uniformemente distribuída entre 1,9 e 2,1 centímetros. Encontre a esperança e a variância do volume da esfera. P4.9) Demanda por revistas A procura por uma determinada revista semanal numa banca de jornais segue uma lei de Poisson com média de 5,2 exemplares por semana. O valor pago pelo jornaleiro ao fornecedor é de R$15,00 por unidade e o preço de venda para o consumidor é de R$30,00 por unidade, se a venda é feita na semana em que ela foi publicada. Admita que, terminada a semana, o jornaleiro consegue vender todas as revistas que sobrarem pelo preço de R$8,00 por unidade. O contrato atual que ele fez com seu fornecedor prevê o recebimento de 5 unidades por semana. Ocorre que o jornaleiro tem verificado que em várias semanas ele deixa de vender essa revista, porque o estoque da semana já estava esgotado. Verifique se, economicamente, é mais vantajoso para o jornaleiro manter a quantidade que consta no contrato atual de 5 unidades por semana ou se seria melhor aumentá-la. Se for esse o caso, que quantidade semanal deveria constar no novo contrato? Por que? Sugestão: Note que as Vendas são apenas uma parte da Demanda. Isto porque quando um comprador vai até a banca à procura da revista e ela não está disponível, a venda não se concretiza. P4.10) Tarifa para estacionar Em um determinado estacionamento, quem quiser deixar seu veículo estacionado paga: R$10,00, pelas 2 primeiras horas R$2,00, por cada hora adicional até o limite de 6 horas R$50,00, se ficar mais de 6 horas João utiliza diariamente esse estacionamento e, cada vez que ele estaciona, o tempo durante o qual seu carro fica estacionado segue uma lei de probabilidade exponencial com média de 3 horas. Se Y representa o valor da tarifa que ele vai pagar em um certo dia escolhido ao acaso: (a) Qual a função de probabilidade de Y? (b) Faça um gráfico dessa função de probabilidade. (c) Qual o valor médio diário E(Y) da tarifa que João paga para estacionar? (d) Qual o desvio padrão DP(Y) da tarifa diária paga por ele?

8 P4.11) Re-deduzindo E(X) e Var(X), através de fgm, para diferentes modelos Usando a definição de fgm dada no Exercício R4.4, mostre para cada um dos seguintes modelos probabilísticos a função geradora de momentos Use agora a fgm para re-deduzir as expressões algébricas de E(X) e de Var(X), quando a v.a. X segue: (a) Poisson com parâmetros λ, para o qual (b) Uniforme no intervalo [a, b], para o qual (c) Exponencial com parâmetro λ, para o qual, t < λ P4.12) Coeficiente de Assimetria Dada uma variável aleatória X, define-se o seu coeficiente de assimetria pela expressão µ σ sendo µ = E(X) e σ = DP(X). É possível provar que: I. Se = 0, a função de densidade f da v.a. X é simétrica em relação à reta vertical x = µ, ou seja, f(µ y) = f(µ + y), para todo y > 0. II. Se > 0, a função de densidade f da v.a. X é assimétrica para a direita; III. Se < 0, a função de densidade f da v.a. X é assimétrica para a esquerda. Sejam U, V e W três v.a. s tais que: A distribuição de probabilidade de U é exponencial com λ = 1; V = exp ( U) W = exp (a) Obtenha os gráficos das funções de densidade de U, de V e de W. (b) Calcule o coeficiente de assimetria correspondente a cada uma dessas três variáveis. Sugestão: Use a função Gama.