Métodos Estatísticos II 1 o. Semestre de 2010 ExercíciosProgramados1e2 VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF)

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Therezinha Bastos Gameiro
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1 Métodos Estatísticos II 1 o. Semestre de 010 ExercíciosProgramados1e VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF) Esses exercícios abrangem a matéria das primeiras semanas de aula (Aula 1) Os alunos devem fazer todos os exemplos, exercícios resolvidos e exercícios propostos do livro. Discuta com eles a solução dos mesmos. 1. O comprimento real (em metros) de uma determinada barra de aço é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [10,1]. As barras com comprimento menor que 10,5m não se ajustam às necessidades e devem ser vendidas como sucata. As barras com comprimento maior que 11,5m têm que ser cortadas para se ajustarem às necessiades. Qual é a proporção de barras colocadas à venda como sucata? Qual é a proporção de barras que precisam ser cortadas? Qual é a proporção de barras perfeitas?. Considere a função f(x) dada na Figura 1. Figura 1: Função f(x) paraoexercício1 (a) Verifique que f(x) define uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X. (b) Encontre a expressão matemática para f(x). (c) Calcule a mediana da distribuição. (d) Calcule a função de distribuição acumulada. (e) Calcule as seguintes probabilidades: i. Pr(X >1, 5) ii. Pr( <X<4) iii. Pr(X >, 1 1 <X<, 5). O tempo de execução T (em minutos) de determinada tarefa pode ser descrito por uma variável aleatória com distribuição uiniforme no intervalo [0;40]. (a) Determine a função de densidade de probabilidade de T. (b) Qual é o tempo médio de execução desta tarefa? (c) Se uma pessoa já gastou 5 minutos na execução da tarefa, qual é a probabilidade de que ela gaste menos de 0 minutos para terminar? 1

Discuta com eles a solução dos mesmos. 1. O comprimento real (em metros) de uma determinada barra de aço é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [10,1].

2 4. Considere a seguinte função f(x) ½ 1 kx se 0 x 4 0 se x<0 ou x>4 (a) Determine o valor da constante k para que f(x) seja a função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X. (b) Determine a função de distribuição acumulada de X. (c) Calcule os três quartis de X. (d) Calcule as seguintes probabilidades: i. Pr(X >) ii. Pr(1, 5 <X<) iii. Pr(X > 1 <X<)

aleatória contínua X. (b) Determine a função de distribuição acumulada de X.

3 Solução dos Exercícios É importante chamar a atenção dos alunos para a necessidade de se definirem as variáveis e os eventos de interesse, estabelecendo as distribuições envolvidas. Isso facilita o cálculo das probabilidades. 1. Seja X o comprimento da barra. Então, X Unif(10; 1). Vamos definir os seguintes eventos: S barra vendida como sucata C barra tem que ser cortada P barra perfeita Temos as seguintes equivalências: 10, 5 10 Pr(S) Pr(X<10, 5) 0, , 5 Pr(C) Pr(X>11, 5) 0, , 5 10, 5 Pr(P ) Pr(10, 5 X 11, 5) 0, Nesse tipo de exercício, é importante chamar a atenção do aluno para as duas condições que uma função deve satisfazer para ser uma função de densidade; em geral, o aluno esquece de verificar que a função é não negativa e só calcula a área. Outro ponto importante é o processo de obtenção da expressão de f(x) :reta que passa por dois pontos. Estimule o aluno a fazer desenhos! (a) f(x) 0 - o gráfico da função encontra-se nos quadrantes superiores, correspondentes às ordenadas positivas. A área total sob f(x) é a área de um triângulo de altura 0,4 e base 5: A (b) Chame atenção para o fato de que dois pontos determinam uma reta. Estimule o aluno a pensar comoobteraequaçãodareta,semtentar lembrar de fórmulas decoradas. Para 0 x 4, f(x) é uma reta que intercepta o eixo vertical em y 0;logo, o intercepto é zero e ainclinaçãoé y x 0,4 4 0, 1. Logo, f(x) 0, 1x 0 x 4 Para 4 x 5, f(x) éumaretaquepassapelospontos(4; 0, 4) e (5, 0); isso nos dá o seguinte sistema de duas equações a duas incógnitas: 0, 4 a +4b 0 a +5b Subtraindoaprimeiradasegunda,obtemosque 0, 4 0(a a)+(4b 5b) 0, 4 b b 0, 4 Substituindo esse valor na segunda equação (poderia ser na primeira também!) obtemos que Logo Resumindo: 0a +5 ( 0, 4) a f(x) 0, 4x 4 x 5 f(x) ½ 0, 1x 0 x<4 0, 4x 4 x 5

Vamos definir os seguintes eventos: S barra vendida como sucata C barra tem que ser cortada P barra perfeita Temos as seguintes equivalências: 10, 5 10 Pr(S) Pr(X<10, 5) 0, 5 1 10 1 11, 5 Pr(C)

4 (c) Para x<0, F(x) 0eparax>5, F(x) 1. 0 x<4 - F (x) é a área do triângulo sombreado na Figura : F (x) 1 x(0, 1x) 0, 05x Figura : F (x) para 0 x<4 - Questão d 4 x<5 - F (x) a área sombreada na Figura, que é a soma da área do triângulo mais aáreadotrapézio: 0, 4+ 0, 4x F (x) 0, 8+ (x 4) 0, 8+(1, 0, x)(x 4) 0, 8+1, x 4, 8 0, x +0, 8x 4+x 0, x Resumindo (veja a Figura 4): Figura : F (x) para 4 x 5 - Questão d 0 se x<0 0, 05x F (x) se 0 x<4 4+x 0, x se 4 x<5 1 se x 5 (d) A mediana tem que ser menor que 4, pois a área abaixo de 4 é 0, 8 > 0, 5. Ilustre esse resultado em um gráfico! ComoaáreaabaixodeQ tem que ser 0,5 e essa área é a área de um triângulo, resulta que 0, 5 1 Q (0, 1Q ) 0, 1Q 1 Q 10 Q ± 10 4

da área do triângulo mais aáreadotrapézio: 0, 4+ 0, 4x F (x) 0, 8+ (x 4) 0, 8+(1, 0, x)(x 4) 0, 8+1, x 4, 8 0, x +0, 8x 4+x 0, x Resumindo (veja a Figura 4): Figura : F (x)

5 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, Figura 4: FDA - Questão d Figura 5: Cálculo da mediana - Exercício 5

6 Como Q > 0, resulta que Q + 10,. Uma dificuldadequesurgenestetipode exercício é a identificação do ponto (Q ; f(q )), ou seja, o aluno em geral tem dificuldade de ver que a interseção da reta vertical (altura do triângulo) com a reta que define afunção é f(q ). Pode-se resolver esse problema usando a função de distribuição acumulada: F (Q )0, 5 0, 05Q 0, 5 Q Q ± 10 (e). Pr(X >1, 5) 1 Pr(X 1, 5) 1 F (1, 5) (1.5) Pr( < X < 4) Pr( <X 4) Pr(X 4) Pr(X ) F (4) F () Pr(, 1 <X<4, 5) Pr(, 1 <X 4, 5) Pr(X >, 1 1 <X<4, 5) Pr(1 <X<4, 5) Pr(1 <X 4, 5) F (4, 5) F (, 1) F (4, 5) F (1) ( ) , Estimule o aluno a fazer desenhos! Figura 6: Função de densidade - Exercício (a) O comprimento do intervalo (base do retângulo) é 0; logo, para a área ser 1, temos que ter altura igual a 1 0 0, 05. Logo, ½ 0, 05 0 x 40 f(x) 0 caso contrário (b) Como a densidade é simétrica, a média é o ponto médio: E(X) 0minutos (c) O problema pede Pr(X <0 X 5) (veja a Figura 7 Pr(X <0 X 5) Pr(5 X<0) Pr(X 5) 5 0, ,

reta que define afunção é f(q ). Pode-se resolver esse problema usando a função de distribuição acumulada: F (Q )0, 5 0, 05Q 0, 5 Q 0.5 0.05 10 Q ± 10 (e). Pr(X >1, 5) 1 Pr(X 1, 5) 1 F (1, 5) 1 0.

7 Figura 7: Solução da questão c 4.. (a) Veja a Figura 8. A área sob a curva tem que ser 1; essa é a área de um trapézio: µ 1 4k k 1 k 1 8 Para este valor de k, ográfico de f se torna Figura 8: Função de densidade da questão 4 (b) Para x<0, F(x) 0eparax>4, F(x) 1. Para 0 x 4, F(x) é a área do trapézio sombreado na Figura 10. Esse trapézio tem altura x, base maior 1/ base menor igual a f(x) 1 x 8. Logo 0 se x<0 F (x) x x 8 x x se 0 x 4 1 se x>4 7

ográfico de f se torna Figura 8: Função de densidade da questão 4 (b) Para x<0, F(x) 0eparax>4, F(x) 1.

8 Figura 9: Função de densidade da questão 4 Figura 10: Função de distribuição acumulada - Questão 4b 8

9 (c). F (Q 1 ) 1 4 Q 1 Q Q 1 Q 1 40 Q 1 8Q Q 1 8 ± 64 8 ± 4 4± A solução dentro do domínio de definição de f é Q F (Q ) 1 Q Q 1 8Q Q 80 Q 8Q +80 Q 8 ± 64 8 ± 4 4± A solução dentro do domínio de definição de f é Q 4 1, 17. F (Q ) 4 Q Q 4 8Q Q 1 0 Q 8Q +10 Q 8 ± ± 4 4± A solução dentro do domínio de definição de f é Q 4. (d). µ Pr(X >) 1 Pr(X ) 1 F () Pr(1, 5 < X < ) Pr(1, 5 <X ) Pr(X ) Pr(X 1, 5) F () F (1, 5) µ Ã! Pr( <X<) Pr(X > 1 <X<) Pr(1 <X<) ³ ³ F () F () F () F (1)

F (Q ) 4 Q Q 4 8Q Q 1 0 Q 8Q +10 Q 8 ± 64 48 8 ± 4 4± A solução dentro do domínio de definição de f é Q 4. (d).

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