Universidade Federal Fluminense

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1 Universidade Federal Fluminense INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA V Lista 9: Intervalo de Confiança. 1. Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão de 2 unidades. (a) Utilizando os valores observados: [1] valores obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança 1 α = 0, 90. (b) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, não seja superior a 0,5 unidades com probabilidade 0,90? 2. Uma amostra piloto da renda per capita de 10 domicílios de uma certa região apresentou os seguintes valores (em reais): [1] Se o interesse é estimar a renda per capita média dos domicílios dessa região com erro de 50 reais e confiabilidade de 95%, quantos domicílios deverão ser amostrados? 3. Explique se a amplitude de um intervalo de confiança aumentaria, diminuiria ou permaneceria a mesma como resultado das seguintes mudanças: (a) o tamanho da amostra é aumentado de 40 para 400 (b) o nível de confiança é diminuído de 95% para 90% homens sedentários foram estudados por um ano. 42 deles foram sorteados para o grupo dieta e os restantes para rotina com exercícios. O grupo em dieta perdeu em média 7,2 kg com desvio padrão de 3,7 kg. Os homens que fizeram exercícios perderam em média 4,0 kg com desvio padrão de 3,9 kg. Construa intervalo de 95% de confiança para a perda média populacional de cada grupo. 5. Informa-se que um intervalo de confiança de 95% para uma média da população é de 122 a 130. Se a média da amostra é de 126 e σ = 16, 07, que tamanho de amostra foi usado neste estudo? 6. Uma amostra de 51 assinantes da Business Week mostrou que o tempo médio que um assinante gasta usando a Internet é de 6,7 horas por semana com desvio padrão de 5,8 horas. Determine O intervalo de confiança de 95% para o tempo médio que a população de assinantes da Business gasta na Internet. 7. Uma substância cicatrizante foi testada em queimados graves na unidade de tratamento intensivo do Hospital de Clínicas. Mediu-se o tempo (em dias) de cicatrização de cada paciente selecionado na amostra. Para cada amostra a seguir, estime o tempo médio de cicatrização, bem como a variância do tempo de cicatrização em intervalo de confiança de 95% de confiança. (a) Amostra [1] [16] (b) Amostra [1] [16] (c) Amostra [1] O peso de componentes mecânicos produzidos por uma determinada empresa é uma variável aleatória que se supõe ter distribuição Normal. Pretende-se estudar a variabilidade do peso dos referidos componentes. Para isso, uma amostra de tamanho n foi obtida e foi obtido o peso em grama. Para cada amostra, construa um intervalo de confiança para a variância do peso, com um grau de confiança igual a 95%: (a) Amostra [1] (b) Amostra [1] (c) Amostra [1] De uma máquina foi extraída uma amostra de 8 peças, com os seguintes diâmetros: 54, 56, 58, 60, 60, 62, 63, 65. Construa um intervalo de confiança de 90% para a variância dos diâmetros.

2 10. Uma empresa está testando duas marcas de balança de precisão. Para isso realizou uma amostra de 5 medições em cada marca de balança, obtendo: Marca A: [1] Marca B: [1] (a) Construa o intervalo de confiança de 95% da variância do peso e indique qual das marcas é mais confiável quanto a precisão? (b) Construa o intervalo de confiança de 95% da média do peso e indique qual das marcas é mais confiável quanto ao valor médio sabendo que o produto de teste pesava 1kg? 11. O gerente de uma linha de produção deseja estimar a proporção de itens defeituosos de um lote produzido. para isso retirou uma amostra de 50 itens e observou 3 defeituosos. Estime o intervalo de confiança para a proporção de itens defeituosos do lote produzido com 95% de confiança. 12. Uma pesquisa junto a 80 usuários de transporte público obteve um percentual de 88% de pessoas que utilizam o bilhete único como forma de pagamento do transporte. Construa um intervalo de 90% de confiança para a proporção de usuários do bilhete único. 13. Para testar a preferência do público quanto a versão zero açucar de uma marca de refrigerante, 200 pessoas provaram a versão com açucar e sem açucar (em ordem aleatória e desconhecendo qual versão estavam tomando) e destas 120 preferiram a versão com açucar. Estime através de intervalo de confiança a proporção de pessoas que preferem refrigerante com zero açucar. Use 95% de confiança.

3 Gabarito 1. X N(µ, σ = 2). Logo X N(µ, 2/ n) (a) Média amostral: [1] Valor de z: [1] Erro padrão [1] Margem de erro [1] Assim intervalo de confiança será [1] (b) margem erro 0, 5 logo z σ/ n 0.5. assim n / X N(µ, σ). Logo X µ s/ n T n 1. Assim margem de erro = t n s/ n = 50. Logo n t 2 n s2 /50 2. Como t n depende de n, podemos encaminhar a solução por exemplo, utilizando t n quando n que é t 1.96 para 95% de confiança. Assim segue que n s 2 / s= [1] n / Explique se a amplitude de um intervalo de confiança aumentaria, diminuiria ou permaneceria a mesma como resultado das seguintes mudanças: (a) o aumento no tamanho da amostra diminui a amplitude do intervalo de confiança pois o erro padrão depende de n no denominador (b) diminuição no nível de confiança diminue a amplitude do intervalo pois o valor crítico associado será menor. 4. O valor de t n será: [1] Os intervalos serão: [1] [1] Amplitude do intervalo = = 8. Logo a margem de erro = 8/2=4. n = /4 2 = O valor de t e o intervalo é: [1] [1] (a) Média e desvio padrão: [1] [1] [1] [1] (b) Média e desvio padrão: [1] [1]

4 [1] [1] (c) Média e desvio padrão: [1] [1] [1] [1] (a) Média e desvio padrão: [1] [1] [1] (b) Média e desvio padrão: [1] [1] [1] (c) Média e desvio padrão: [1] [1] [1] Média e desvio padrão: [1] [1] [1] Marca A: média e desvio padrão [1] Marca B:média e desvio padrão [1] (a) Marca A: [1] [1] Marca B:

5 [1] [1] (b) Marca A: [1] Marca B: [1] estimativa de p e o intervalo de confiança: [1] 0.06 [1] estimativa de p e o intervalo de confiança: [1] 0.88 [1] estimativa de p e o intervalo de confiança: [1] 0.4 [1]