Resoluções comentadas das questões de Estatística da prova para. ANALISTA DE GERENCIAMENTO DE PROJETOS E METAS da PREFEITURA/RJ

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1 Resoluções comentadas das questões de Estatística da prova para ANALISTA DE GERENCIAMENTO DE PROJETOS E METAS da PREFEITURA/RJ Realizada pela Fundação João Goulart em 06/10/ A idade média de todos os estudantes de uma universidade é de 20 anos. As idades médias dos estudantes dos sexos masculino e feminino são 21 e 18 anos, respectivamente. Neste caso, a percentagem de estudantes do sexo masculino da universidade é, aproximadamente, igual a: (A) 33,3% (B) 46,3% (C) 53,3% (D) 66,6% (E) 73,3% A melhor forma de resolver este tipo de questão, bem recorrente em concursos, é utilizar o que eu chamo de método das amplitudes. Torna fácil e rápida a resolução. A média do sexo masculino é 21 A distância (amplitude) entre as médias é 3 (21 18) A média do sexo feminino é 18 OBSERVEMOS QUE: A média geral (de todos os estudantes, sem distinção de sexo) é 20. Só com essa observação, já poderíamos eliminar as opções de resposta A e B, pois se a média geral está mais próxima da média do sexo masculino, isto significa que este sexo tem maior influência sobre a média geral e, portanto, a proporção de estudantes do sexo masculino será superior a 50%. Mas, concluindo: A média do sexo masculino é 21 MÉDIA GERAL = 20 A média do sexo feminino é 18 A amplitude entre a média do sexo masculino e a média geral é igual a 1 A amplitude entre a média geral e a média do sexo feminino é igual a 2 A proporção (fração) de estudantes do sexo feminino terá: como numerador a amplitude entre a média do sexo oposto (masculino) e a média geral; e como denominador a amplitude total entre as médias dos dois sexos. Portanto, o % feminino = ,3%; A proporção (fração) de estudantes do sexo masculino terá: como numerador a amplitude entre a média do sexo oposto (feminino) e a média geral; e como denominador a amplitude total entre as médias dos dois sexos. Portanto, o % masculino = ,6%. Gabarito: Letra D.

2 Considere o texto a seguir para responder às questões de números 42 e 43. A fim de incentivar os funcionários a participarem de um programa de emagrecimento, fez-se um levantamento dos pesos dos 150 funcionários de determinado departamento. Os resultados estão na tabela a seguir: Peso (kg) Percentagem O 20º percentil dessa distribuição é, aproximadamente, igual a: (A) 78,7 (B) 76,7 (C) 74,7 (D) 72,7 (E) 70,7 Basta acrescentar uma coluna de frequência acumulada crescente (Fac) na tabela dada e observar que: Peso (kg) Percentagem Fac A classe que conterá o 20º percentil (20%) da distribuição será a 2ª classe (70 80), pois até a 1ª classe temos apenas 8% da distribuição. A melhor maneira (sem usar fórmula) para encontrar o valor do P 20, é através de interpolação, fazendo uma simples proporção: = 18x = 120 x 6,7 10 x Explicando a proporção: a frequência na classe (18) está para a amplitude de classe (10) assim como a frequência procurada (12, é o que falta para chegar a 20, considerando a frequência acumulada da classe anterior) está para uma amplitude x (que desejamos descobrir). Para encontrar o valor do P 20, basta acrescentar o valor encontrado (x = 6,7) ao limite inferior da classe do P 20, que é igual a 70. Portanto: do P 20 = 76,7 Gabarito: Letra B.

3 43. A média aritmética dessa distribuição é, aproximadamente, igual a: (A) 80,8 (B) 82,8 (C) 84,8 (D) 86,8 (E) 88,8 A forma mais rápida de resolver a questão é usar o Método Simplificado para cálculo da média, criando uma variável reduzida (que vamos chamar de Z), fazendo: X X0 Z =, onde X é o ponto médio de cada classe, X 0 é o ponto médio da classe em que h iremos arbitrar o valor 0 (zero) e h é a amplitude de classe. OBS.: Esse método só pode ser utilizado quando as amplitudes das classes são iguais. Escolhendo a 3ª classe (quanto mais próximo da classe central, melhor), ficará: Peso (kg) Z Percentagem Z F Σ = 38 X 85 Z = A média da variável Z será: = 0, Para encontrar a média da variável X basta entender que, se a transformação de X em Z foi X X0 Z =, a de Z em X será: X = Z h + X 0. Aplicando as propriedades da média, teremos: h X = Z h + e, portanto: X = 0, X = 3, = 88,8. X 0 Gabarito: Letra E. 44. Somando-se 5 a cada um dos números do conjunto 4, 8, 3, 2, 7 e 6, a média aritmética e a variância ficarão aumentadas, respectivamente, de: (A) 5 e 0 (B) 5 e 5 (C) 5 e 25 (D) 1 e 0 (E) 1 e 5

4 Não necessita de cálculo. Basta saber as propriedades da média e da variância. Para a média: Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média ficará somada ou subtraída da mesma constante; Para a variância: Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua variância não se altera. Gabarito: Letra A. 45. Numa cidade, duas empresas A e B são responsáveis por 30% e 70% do volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada empresa, 30% e 5%, respectivamente, são contratos de longo prazo. Se um contrato, escolhido ao acaso, é de longo prazo, a probabilidade de ter sido negociado pela empresa A é, aproximadamente, igual a: (A) 32% (B) 42% (C) 52% (D) 62% (E) 72% Probabilidade Condicional, resolveremos fazendo a árvore de probabilidades e usando o Teorema de Bayes, que relaciona uma das probabilidades com a probabilidade total. Denominando de L o contrato de longo prazo, a probabilidade condicional pedida na questão é: qual a probabilidade do contrato ter sido negociado pela empresa A, sabendo que (dado que) esse contrato é de longo prazo. P ( A L) será igual a ( A L) P( L) P, ou seja, no numerador a probabilidade conjunta de A e L e no denominador a probabilidade total de ser L (sendo da empresa A ou da empresa B). 0,30 A 0,30 0,70 L A L = 0,090 (Probabilidade de o contrato ser da empresa A e ser de longo prazo) 0,70 B 0,05 L B L = 0,035 P(L) = 0,125 (Probabilidade total de que o contrato seja de longo prazo). 0,95 Gabarito: Letra E. ( ) ( L) P( L) P A P A L = = 0,090 0,125 = 0,72.

5 46. O peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem distribuição normal com média de 2.400g e desvio padrão de 40g. O 25º percentil desta distribuição é, aproximadamente, igual a: (A) g (B) g (C) g (D) g (E) g Até o ponto de abscissa em z = 0 (correspondente à média 2.400) teremos, debaixo da curva da Normal Padrão, 50% da distribuição. O 25º percentil acumulará à esquerda uma área de 0,25 da curva normal. Basta ver, na tabela dada na prova, que uma área de 0,75 à direita do 25º percentil corresponderá a uma abscissa em z de, aproximadamente, 0,67. Esta abscissa será negativa, pois estará antes da média. Portanto, z = 0,67. Substituindo os dados do enunciado na fórmula de padronização, dada por: µ z = X, onde z é σ a abscissa da tabela normal padronizada, σ é o desvio padrão, µ é a média e X é o valor procurado (correspondente à abscissa em z = 0,67). Logo: X ,67 = X = ( 0,67 40) X = 26, X = 2.373,2. 40 Gabarito: Letra E. 47. Em uma empresa, a probabilidade de o empregado A resolver uma tarefa é de 3/5, e a probabilidade de o empregado B resolver a mesma tarefa é de 1/4. Se ambos tentarem resolver a tarefa independentemente, a probabilidade de a tarefa ser resolvida é igual a: (A) 50% (B) 60% (C) 70% (D) 80% (E) 90% A probabilidade de a tarefa ser resolvida (por A, por B, ou pelos dois, A e B) será dada por: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Sabemos que P(A) = 3/5; P(B) = 1/4. E P(A B)? Como o enunciado fala em ambos tentarem resolver a tarefa independentemente, podemos aplicar o teorema para eventos independentes: Se A e B são independentes, P(A B) = P(A) P(B), ou seja, a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades individuais. Logo, P(A B) = = e P(A B) = + = = = 70%. 20 Gabarito: Letra C.

6 48. Um órgão do governo do estado deseja determinar padrões sobre a quantidade de lixo produzido pelas prefeituras. De um levantamento de oito cidades, foram obtidos os valores, em toneladas de lixo produzido (t), da tabela abaixo: Cidade Quantidade de lixo (t) 44,0 17,0 12,0 6,0 19,0 15,0 14,0 17,0 O valor mediano das quantidades de lixo observadas é igual a: (A) 12,5 t (B) 14,5 t (C) 16,0 t (D) 17,5 t (E) 18,0 t Fazendo o ROL (dados ordenados crescente ou decrescentemente) das quantidades, teremos: 6,0 ; 12,0 ; 14,0 ; 15,0 ; 17,0 ; 17,0 ; 19,0 ; 44,0. Como o número de observações é par, o valor mediano será a média aritmética entre a 4ª e a 5ª observações. Portanto, Md = = 16,0. Gabarito: Letra C. Considere o enunciado a seguir para responder às questões de números 49 e 50. A tabela que se segue resume dados amostrais, selecionados aleatoriamente, de 880 mortes de pedestres por acidente de trânsito, de acordo com a região de procedência e o grau de intoxicação por álcool do pedestre. Região de procedência Pedestre alcoolizado? Sim Não A B Se um elemento da amostra é selecionado aleatoriamente, a probabilidade de verificar-se um pedestre alcoolizado é, aproximadamente, igual a: (A) 17% (B) 24% (C) 31% (D) 39% (E) 61%

7 Façamos, na tabela dada, os totais de linhas e colunas: Região de procedência Pedestre alcoolizado? Sim Não TOTAIS A B TOTAIS A probabilidade de verificar-se um pedestre alcoolizado será: 39%. 880 Gabarito: Letra D. 50. Se um elemento da amostra é selecionado aleatoriamente e verifica-se que é da região B, a probabilidade de ser pedestre alcoolizado é, aproximadamente, igual a: (A) 17,3% (B) 35,2% (C) 61,0% (D) 74,6% (E) 82,7% A probabilidade condicional pedida na questão é: qual a probabilidade de ser pedestre alcoolizado, sabendo que (dado que) esse pedestre é da região B. P ( alcoolizado B) será igual a ( alcoolizado B) P( B) P, ou seja, no numerador a probabilidade conjunta de ser alcoolizado e ser da região B e no denominador a probabilidade total de ser da região B, sendo ou não alcoolizado. Logo, verificando os valores na tabela, teremos: 256 P ( alcoolizado B) = 35,2%. 728 Gabarito: Letra B. Prova fácil, mas bem elaborada, não havendo questões passíveis de recurso. Disponibilizo o meu (pedrobello@uol.com.br) para: dúvidas, críticas, sugestões, indicação de livros e aulas.