Testes de Hipóteses para Mèdia de Populações Normais- Variância conhecida e desconhecida

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1 Testes de Hipóteses para Mèdia de Populações Normais- Variância conhecida e desconhecida Ivan Bezerra Allaman Considerando variância conhecida Introdução Nestes casos utiliza-se a seguinte estatística de teste: = X µ 0 σ/ n Uma vez calculada a estatística de teste, chegou-se a hora de tomarmos uma decisão. Há duas regras para tomadas de decisão: a regra de rejeição baseada no critério do valor crítico; a regra de rejeição baseada no critério do p-valor. Você pode optar por uma delas. Regra baseada no critério do valor crítico Obviamente que a tomada de decisão irá depender do tipo de hipótese estabelecida (bilateral, unilateral à direita ou a esquerda). Logo, teremos as seguintes regras de acordo com as hipóteses estabelecidas: Hipótese bilateral Rejeitar H 0 se α/2 ou se α/2 Exemplo: Hipótese bilateral 1. Considere o seguinte teste de hipóteses: H 0 : µ = 15 H a : µ 15 Uma amostra de tamanho 50 produziu a média amostral 14, 15. O desvio padrão da população é 3. Calcule o valor da estatística de teste. mu0 = 15 sigma = 3 n = 50 xbarra = = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n)) 1

2 [1] Qual o valor crítico considerando α = 0, 05? alpha = 0.05 alpha_2 = alpha/2 # pois o teste é bilateral alpha_2 = abs(qnorm(alpha_2)) # valor sem sinal! alpha_2 [1] 1.96 Hipótese bilateral RC 2 RC Resp: Como a estatística (-2) está dentro da região crítica ( < alpha/2 = 1, 96), então rejeita-se H 0 com 95% de confiança, ou seja, podemos inferir com 95% de confiança que a média da população é diferente de 15. Hipótese unilateral à direita Rejeitar H 0 se α Exemplo: Hipótese unilateral à direita 1. Considere o seguinte teste de hipóteses: H 0 : µ = 25 H a : µ > 25 Uma amostra de tamanho 40 produziu a média amostral 26, 4. O desvio padrão da população é 6. Calcule o valor da estatística de teste. mu0 = 25 sigma = 6 n = 40 xbarra = 26.4 = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n)) 2

3 [1] Qual o valor crítico considerando α = 0, 01? alpha = 0.01 alpha = abs(qnorm(alpha)) # valor sem sinal! alpha [1] Hipótese unilateral à direita 1.48 RC Resp: Como a estatística (1,48) está dentro da região de não-rejeição ( < alpha = 2, 33), então não rejeita-se H 0 com 99% de confiança, ou seja, podemos inferir com 99% de confiança que a média da população é menor ou igual a 25. Hipótese unilateral à esquerda Rejeitar H 0 se α 2.33 Exemplo: Hipótese unilateral à esquerda 1. Considere o seguinte teste de hipóteses: H 0 : µ = 20 H a : µ < 20 Uma amostra de tamanho 50 produziu a média amostral 19, 4. O desvio padrão da população é 2. Calcule o valor da estatística de teste. mu0 = 20 sigma = 2 n = 50 xbarra = 19.4 = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n)) 3

4 [1] Qual o valor crítico considerando α = 0.06? alpha = 0.06 alpha = abs(qnorm(alpha)) # valor sem sinal! alpha [1] Hipótese unilateral à esquerda RC Resp: Como a estatística (-2,12) está dentro da região de crítica ( < alpha = 1, 55), então rejeita-se H 0 com 94% de confiança, ou seja, podemos inferir com 94% de confiança que a média da população é menor do que 20. Regra baseada no p-valor O p-valor é a probabilidade de cometermos o erro do tipo I se a estatística de teste for utilizada como limite da região de rejeição. Podemos interpretar-lo como um indicador do peso da evidência contra a hipótese nula. Logo, tem-se a seguinte regra de decisão: Hipótese bilateral Rejeitar H 0 se o p-valor α/2 Exemplo: Hipótese bilateral 4. Considere o mesmo exemplo 1 e α = 0, 05. Calcule o valor da estatística de teste e o p-valor. 4

5 mu0 = 15 sigma = 3 n = 50 xbarra = = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n)) # estatística de teste [1] pvalor = pnorm() # p-valor pvalor [1] Hipótese bilateral Resp: Como o p-valor (0,023) foi menor do que α/2 (0,025), então rejeita-se H 0 com 95% de confiança, ou seja, podemos inferir com 95% de confiança que a média da população é diferente de 15. Hipótese unilateral à direita Rejeitar H 0 se o p-valor α Exemplo: Hipótese unilateral à direita 5. Considerando o mesmo exemplo 2 e α = 0, 01. Calcule o valor da estatística de teste e o p-valor. mu0 = 25 sigma = 6 n = 40 xbarra = 26.4 = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n)) 5

6 [1] pvalor_auxiliar = pnorm() pvalor = 1-pvalor_auxiliar pvalor [1] Hipótese unilateral à direita 0.07 Resp: Como o p-valor (0,07) é maior do que α (0,01), então não rejeita-se H 0 com 99% de confiança, ou seja, podemos inferir com 99% de confiança que a média da população é menor ou igual a 25. Hipótese unilateral à esquerda Rejeitar H 0 se o p-valor α 2.33 Exemplo: Hipótese unilateral à esquerda 6. Considere o mesmo exemplo 3 e α = 0, 06. Calcule o valor da estatística de teste e o p-valor. mu0 = 20 sigma = 2 n = 50 xbarra = 19.4 = (xbarra - mu0)/(sigma/sqrt(n)) [1] pvalor = pnorm() pvalor [1]

7 Hipótese unilateral à esquerda Resp: Como o p-valor (0,017) é menor do que α (0,06), então rejeita-se H 0 com 94% de confiança, ou seja, podemos inferir com 94% de confiança que a média da população é menor do que 20. Aplicações 1. As declarações do imposto de renda individuais entregues antes do dia 31 de março obtiveram uma média de restituição de R$ 1056,00. Considere a população de declarantes de última hora que entregam suas declarações durante os cinco últimos dias do período de entrega das declarações do imposto de renda. Um pesquisador sugere que uma razão para que as pessoas esperem até os cinco últimos dias é que em média essas pessoas têm menores restituições a receber do que aquelas que entregam as declarações primeiro. Desenvolva as hipóteses apropriadas de tal forma que a rejeição de H 0 sustente a argumentação do pesquisador. Para uma média de 400 indivíduos que entregaram suas declarações nos últimos cinco dias, a média amostral de restituição foi de R$ 910,00. Baseando-se na experiência anterior, pode-se supor um desvio padrão populacional σ = R$1600, 00. Qual é o p-valor? Com α = 0, 05, qual é a sua conclusão? 2. A Reis, Inc., uma firma de pesquisa imobiliária de Nova York, acompanha o custo do aluguel de apartamentos nos Estados Unidos. Em meados de 2002, o índice médio de aluguel por apartamento em todo o território nacional era de US$ 895 por mês. Suponha que, baseando-se em pesquisas trimestrais históricas, seja razoável considerar-se um desvio padrão populacional σ = U S$225. Em um estudo recente dos índices de aluguel de apartamentos, uma amostra de 180 apartamentos de todo o país produziu uma média amostral de US$ 915 por mês. Os dados amostrais possibilitam à Reis concluir que o índice médio populacional de aluguel de apartamentos agora ultrapasse o nível relatado em 2002? 3. A CNN e a ActMedia criaram um canal de televisão destinado a pessoas que esperam nas filas do caixa de supermercados. O canal apresentava notícias, entrevistas breves e anúncios. A duração do programa baseava-se na suposição de que o tempo médio que a população de compradores permanece em uma fila de supermercado é igual a 8 minutos. Uma amostra de 120 compradores apresentou uma média amostral de tempo de espera de 8, 5 minutos. Suponha um desvio padrão populacional σ = 3, 2 minutos. Os dados sustentam a evidência de que o tempo real de espera difere do padrão de 8 minutos? 7

8 Considerando variância desconhecida Introdução Neste caso só irá mudar a função densidade de probabilidade que será a t-student, pois todo o raciocínio anterior é válido. Lembrem-se que além da média você deverá também estimar a variância da amostra. Logo, tem-se a seguinte estatística de teste: t = X µ 0 S/ n Exemplo 1. De uma população normal cuja variância é desconhecida, extraiu-se uma amostra casual obtendo-se os seguintes valores: amostra = c(86,105,112,108,138,85,97,83,101,118,116,89,92,118,88,114,116,118,81,127,106,90, 93,102,92,85,94,115,99,117,105,90,99,90,91,94) * Ao nível de 5%, testar: # Retirando informações da amostra media = mean(amostra) # estimando a média { H0 : µ = 105 H 1 : µ < 105 desvpad = sd(amostra) # estimando o desvio padrão n = length(amostra) # tamanho da amostra erropad = desvpad/sqrt(n) # Resolvendo o problema alfa = 0.05 glib = n - 1 # graus de liberdade tcalc = (media - 105)/erropad pvalor = pt(tcalc, glib) pvalor [1] Resp: Como o pvalor é maior que alfa, não rejeita-se H_0 com 95% de confiança. 8

9 Aplicações 1. Uma máquina de misturar fertilizantes é adaptada para fornecer 10g de nitrato para cada 100g de fertilizante. Dez porções de 100g são examinadas, com as seguintes porcentagens de nitrato: [1] Há razões para crer que a porcentagem de nitrato não é 10g ao nível de 10%? 9