Tópicos em Inferência Estatística. Frases. Roteiro. 1. Introdução

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1 Tópicos em Inferência Estatística Frases Torture os dados por um tempo suficiente, e eles contam tudo! fonte: mcrsoft@aimnet.com (Barry Fetter) Um homem com um relógio sabe a hora certa. Um homem com dois relógios só sabe a média. Anônimo 1. Introdução Roteiro 2. Distribuição Normal 3. Conceitos de Inferência 4. Gráficos de Controle 5. Intervalo de Confiança 6. Teste de Hipóteses 7. Referências

2 Introdução Variável Aleatória Contínua Toma um número infinito não-enumerável de valores. Esses valores podem ser associados a medições em uma escala contínua (sem lacunas ou interrupções). Função de Densidade Gráfico de uma distribuição de probabilidade contínua A área total sob a curva deve ser 1, A curva não deve estar abaixo do eixo das abscissas (x) Há correspondência entre probabilidade e áreas da função de densidade (área total 1)

3 Função de Densidade Parâmetros Esperança (Média): Variância: Desvio padrão: µ = σ 2 σ = R X x f ( x) dx = ( x µ ) R X 2 σ 2 f ( x) dx Distribuição Normal Distribuição Normal Variável aleatória contínua Função de densidade: f ( x) = x µ exp 2π σ 2 σ A curva tem forma de um sino e é simétrica µ Valor

4 Exemplo Alturas de mulheres e homens adultos Mulheres: µ = 1,615 σ = 0,5635 Homens: µ = 1,753 σ = 0,5711 1,615 Alturas (m) 1,753 Regra Empírica 99,7% estão dentro de 3 desvios-padrão a contar da média 95% estão dentro de 2 desvios-padrão 68% estão dentro de 1 desvio-padrão 34% 34% 2,9% 2,9% 0,6% 0,6% 13,5% 13,5% x - 3s x - 2s x - s x x + s x + 2s x + 3s Distribuição Normal Padronizada Distribuição normal com: Média: 0 Desvio padrão: 1 Área = 0,8413 Área lida na Tabela 0, z = 1,58 Escore (z) = 1

5 Tabela da Distribuição Normal Padrão s = 1 µ = 0 z z 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,5,5000,5398,5793,6179,6554,6915,7257,7580,7881,8159,8413,8643,8849,9032,9192,9332,9452,9554,9641,9713,9772,9821,9861,9893,9918,9938,9953,9965,9974,9981,9987 Tabela A-2 Distribuição Normal Padrão (z),50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,5040,5438,5832,6217,6591,6950,7291,7611,7910,8186,8438,8665,8869,9049,9207,9345,9463,9564,9649,9719,9778,9826,9864,9896,9920,9940,9955,9966,9975,9982,9987,5080,5478,5871,6255,6628,6985,7324,7642,7939,8212,8461,8686,8888,9066,9222,9357,9474,9573,9656,9726,9783,9830,9868,9898,9922,9941,9956,9967,9976,9982,9987,5120,5517,5910,6293,6664,7019,7357,7673,7967,8238,8485,8708,8907,9082,9236,9370,9484,9582,9664,9732,9788,9834,9871,9901,9925,9943,9957,9968,9977,9983,9988,5160,5557,5948,6331,6700,7054,7389,7704,7995,8264,8508,8729,8925,9099,9251,9382,9495,9591,9671,9738,9793,9838,9875,9904,9927,9945,9959,9969,9977,9984,9988,5199,5596,5987,6368,6736,7088,7422,7734,8023,8289,8531,8749,8944,9115,9265,9394,9505,9599,9678,9744,9798,9842,9878,9906,9929,9946,9960,9970,9978,9984,9989,5239,5636,6026,6406,6772,7123,7454,7764,8051,8315,8554,8770,8962,9131,9279,9406,9515,9608,9686,9750,9803,9846,9881,9909,9931,9948,9961,9971,9979,9985,9989,5279,5675,6064,6443,6808,7157,7486,7794,8078,8340,8577,8790,8980,9147,9292,9418,9525,9616,9693,9756,9808,9850,9884,9911,9932,9949,9962,9972,9979,9985,9989,5319,5714,6103,6480,6844,7190,7517,7823,8106,8365,8599,8810,8997,9162,9306,9429,9535,9625,9699,9761,9812,9854,9887,9913,9934,9951,9963,9973,9980,9986,9990,5359,5753,6141,6517,6879,7224,7549,7852,8133,8389,8621,8830,9015,9177,9319,9441,9545,9633,9706,9767,9817,9857,9890,9916,9936,9952,9964,9974,9981,9986,9990 Comandos no Excel DIST.NORMP(x) Retorna a probabilidade acumulada de normal padrão DIST.NORM(x;média;desv_padrão;Verdadeiro) Retorna a probabilidade acumulada de normal qualquer INV.NORMP(probabilidade) Retorna o inverso da distribuição acumulada de normal padrão INV.NORM(probabilidade; média;desv_padrão) Retorna a probabilidade acumulada de normal qualquer

6 Simetria da Curva Pela simetria, estas áreas são iguais, 0,9925 0,9925 z = - 2, z = 2,93 Distâncias iguais a contar de 0 Área à Direita de z Valor tabelado 0, ,8980 = 0, z = 1,77 Notação P(a < Z < b): probabilidade de o valor de z estar entre a e b P(Z > a): probabilidade de o valor de z ser maior do que a P (Z < a): probabilidade de o valor de z ser menor do que a

7 maior do que x pelo menos x não menos que x menos do que x no máximo x não maior do que x Interpretação das Áreas Subtrair de 1 x Tabela x Subtrair de 1 x Tabela x entre x 1 e x 2 B A C B A C Tomar C = A - B x 1 x 2 x 1 x 2 Determinação Quantil (1) Determinação do 95º percentil 95% 5% 0,55 0 z = 1,645 (valor de z será positivo ) Determinação Quantil (2) Determinação do 10º percentil 10% 90% 0,60 0,90 0,50 z = -1,78 0 (valor de z será negativo )

8 Outras Distribuições Normais Padroniza-se a variável, utilizando-se a tabela da normal padrão para os cálculos de interesse Para padronização: µ Z = X σ µ: média s : desvio padrão Conversão para a Normal Padrão Z = X µ σ P P µ x 0 z Exemplo (1) Peso população feminina µ = 65 kg e s = 12,5 kg Probabilidade de peso entre 65 e 90 kg Tabela 47,72% das mulheres têm peso entre 64,9 e 91,7 kg 0,50 0, Peso z 0 2,50

9 Exemplo (2) Duração de carga de bateria de celular: µ = 20 h e s = 0,5 h Probabilidade durar mais de 21 h 0,9772 P ( x > 2,50 ) = 0, ,78% de baterias duram mais de 21 horas Distribuição Amostral da Média É a distribuição de probabilidade das médias amostrais, com todas as amostras de mesmo tamanho n, da mesma população Teorema Central do Limite Hipóteses A variável aleatória X tem uma distribuição qualquer (normal, ou não), com média µ e desvio padrão s ; Amostras aleatórias de tamanho n extraídas dessa população.

10 Teorema Central do Limite Quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais X tende para uma distribuição normal; A média das médias amostrais será a média populacional µ, O desvio padrão das médias amostrais é s / n Notação Média das médias amostrais: µ X = µ Desvio padrão das médias amostrais: (erro-padrão da média) s X = s n Exemplo Peso população feminina µ = 65 kg e s = 12,5 kg Probabilidade de peso maior que 68 kg 68,5 65,5 z = 12,5 = 0,74 1 0,5948 = 0,9052 0,5948 µ = 65 s?= 12,5 68,5 0 0,74

11 Exemplo Em amostras de tamanho 36, probabilidade de peso médio maior que 68 kg 68,5 65,5 z = 2,58 = 1,94 1 0,9251 = 0,5749 0,9251 µ x = 65 s x = 2,58 68,5 0 1,94 Comparação Probabilidade do peso de uma mulher ser maior que 68,5 kg: 0,9050 Probabilidade da média de peso de 36 mulheres ser maior que 68 kg: 0,5749 É mais fácil um elemento se desviar da média da população do que um grupo de 36 elementos. Conceitos de Inferência

12 Parâmetro e Estimativa Parâmetro: um número que descreve a população É fixo, mas em geral não conhecemos seu valor Estimador: um número que descreve a amostra Conhecido após a extração da amostra Pode variar de uma amostra para outra Usado para estimar o valor de um parâmetro Variabilidade Amostral Valor de um estimador (estimativa) varia de uma amostragem aleatória repetida para outra. Ex.: Simulação de amostras de tamanho 100 de uma população com parâmetro populacional, com probabilidade de sucesso p=0,60 Calcula-se a proporção de amostral de sucessos Simulação com Amostras de Tamanho Densidade 5 4 s = 0, ,4 5 0, amost ra s d e t aman ho , 55 0,60 Proporção amos tral Média de todas proporções amostrais: 0,59942 Desvio-padrão de todas as médias: 0,5495 0,6 5 0,7 0 0, 75

13 Distribuição Amostral Distribuição dos valores que o estimador assume em todas as amostras possíveis, de mesmo tamanho, extraídas da mesma população. Simulação com Amostras de Tamanho Densidade s = 0, ,5 7 0,5 8 0, amostras de tamanho ,6 0 0, 61 Proporção A mostral Média de todas proporções amostrais: 0,60049 Desvio-padrão de todas as médias: 0, ,62 0,6 3 0, 64 Comparação das Simulações 4 0 0,4 5 0, 50 0,5 5 0, 60 0,6 5 0,7 0 0, 75 n = n = Dens idade ,45 0,5 0 0,55 0,6 0 0,65 0,7 0 0,7 5 Média Desvio-padrão n = 100 0, ,5495 n = , ,50947

14 Viés de um Estimador Um estimador é não viesado se a média de sua distribuição amostral é igual ao verdadeiro valor do parâmetro que está sendo estimado Não há tendência para sobreestimar ou subestimar o parâmetro; pˆ é um estimador não viesado para p X é um estimador não viesado para µ Variabilidade de um Estimador É descrita pela dispersão de sua distribuição amostral É determinada pelo planejamento amostral e pelo tamanho n da amostra Amostras maiores apresentam dispersão menor Se a população for muito maior que a amostra: A dispersão para um amostra de tamanho n fixo é a mesma para qualquer tamanho populacional. Analogia do milho Viés Variabilidade Viés Exatidão Dispersão Precisão Não se pode saber qual a verdadeira distância entre a estimativa efetuada e o verdadeiro valor, mas pode-se calcular as probabilidades associadas

15 Inferência Não se pode saber qual a verdadeira distância entre a estimativa efetuada e o verdadeiro valor, mas pode-se calcular as probabilidades associadas Gráficos de Controle Controle de Processo Há situações em que se deseja manter variável constante ao longo do tempo: Controle de peso; Controle de pressão; Controle industrial; etc. Observação de variação Modificação de comportamento

16 Estabilidade Estatística Todo processo tem variabilidade Estabilidade Estatística: Há variação na medida, mas o padrão de variação permanece estável Controle estatístico: Variável continua sendo representada pela mesma distribuição ao longo do tempo. Gráficos de Controle (1) Monitoramento de processos: Avisa quando sofre alguma perturbação Sinaliza para busca e correção da causa da perturbação Gráficos de Controle (2) Funcionamento: Distinguem entre variação natural do processo e variação adicional Sugestão de ocorrência de perturbação Soa alarme quando enxerga variação demasiada Combina descrição gráficas e numéricas Ponte entre Análise Exploratória de Dados e inferência formal

17 Gráficos de Controle (3) Aplicações: Desempenho de processo industrial; Monitoramento de nível de poluição atmosférica; Consumo de combustível etc. Gráfico de Controle de X Média do processo (µ): Valor médio a longo prazo de variável quantitativa Centro do processo - Média amostral (x): Estimativa de µ Permite julgar se o centro do processo se afastou de seu valor apropriado; Em geral são pequenas amostras coletadas em intervalos regulares de tempo. Exemplo Processo de fabricação de monitores de computador: Característica de qualidade: tensão tela de visão Valor alvo: 275 mv Desvio padrão: 43 mv (processo sob controle) A cada hora mede-se a tensão em 4 monitores Conjunto com 20 médias consecutivas Planilha: tensão

18 Gráfico das médias amostrais vs. ordem de coleta Média amos tral (mv) Linha central: valor-alvo Número da amostra As últimas médias estão acima da linha: A média do processo pode ter se desviado, ou Reflexo de variação natural do processo Suposições do Gráfico de Controle Espera-se que a média tenha distribuição aproximadamente normal; Pelo Teorema central do Limite: Médias estarão mais próximas da normal do que as medidas individuais. Gráfico de controle é medida de alerta: (não precisa ser exato) Objetivo: Limites de Controle qualquer média fora dos limites de controle é evidência de que o processo está descontrolado Uso da regra prática: 68; 95; 99,7 Linha de Controle Superior (LCS): µ + 3σ X Linha de Controle Inferior (LCI): µ 3σ X

19 Exemplo Construção do Gráfico Desvio-padrão da média amostral σ 43 σ = = = 21, mv X n 4 5 Limite de Controle Superior: µ + 3 σ = ,5 = 339, 5 mv X Limite de Controle Inferior: µ 3 σ = ,5 = 210, 5 mv X Gráfico de X UCL=33 9,5 Média amos tral (mv) _ X= LCL=2 10, Número da A most ra Se o processo estiver controlado, é pouco provável que um ponto fique fora dos limites de controle; Probabilidade < 0,503 Comentário Procura-se uma perturbação no processo tão logo detecta-se um ponto fora de controle No exemplo: Se a média do processo for µ = 275 mv Pr{ponto acima do LSC} = 0,5015 Média do processo deslocada para µ = 339,5 mv Pr{ponto acima do LSC} = 0, 50

20 Controle Estatístico de Processos Gráficos de controle focalizam o processo e não o produto; Asseguram alta qualidade a um custo mais baixo do que a inspeção de todos os produtos; Pequenas amostras (4 ou 5 itens) em intervalos regulares costumam ser suficientes para o controle do processo. Controle Estatístico de Processos (2) Um processo sob controle é estável ao longo do tempo; Estabilidade por si só não garante boa qualidade A variação natural do processo pode ser tão grande que muitos produtos sejam insatisfatórios; Vantagens do CEP A observação do funcionamento do processo livre de perturbações permite avaliar se sua qualidade é satisfatória; Um processo sob controle pode ser predito; Processo sob controle permite verificar claramente os efeitos de tentativas para sua melhoria;

21 Comentários Um processo controlado funciona tão bem quanto possível em seu estado atual; Se o processo sob controle não é capaz de produzir qualidade adequada, deve-se efetuar intervenção de vulto. Novas máquinas, retreinamento, etc. Média e Desvio-padrão do Processo Na prática, raramente conhecemos a média (µ) e o desvio-padrão (s ) do processo; Devemos nos basear em dados passados; Deve-se certificar se o processo já estava sob controle quando os dados foram coletados. Tipos de Gráficos de Controle Há uma ampla variedade: Gráfico da média amostral Gráfico da amplitude amostral Gráfico da proporção amostral Gráfico da quantidade de defeituosos Gráfico da soma acumulada (CUSUM) etc.

22 Objetivo: Gráfico de Controle de p Monitora processo em que a característica de qualidade é a proporção de itens produzidos Ex.: defeituosos Linha central: p Linha de Controle Superior (LCS): p + 3 p(1 p) n Linha de Controle Inferior (LCI): p 3 p(1 p) n Regras Suplementares de Decisão Sinal: seqüência de 9 pontos consecutivos acima (ou abaixo) da Linha Central UCL=33 9,5 Média amostral ( mv) _ X= LCL=2 10, Número da A most ra Seqüência de 9 Pontos Se o processo estiver centrado em µ, a probabilidade de 9 pontos consecutivos acima (ou abaixo) da Linha Central é: No exemplo: 1 9 = 0,002 2 Sinal 1 ponto fora : avisa na amostra 14 Sinal seqüência de 9 pontos : avisa na amostra 20

23 Regras Suplementares de Decisão (2) Sinal: 2 dentre 3 pontos além do nível 2 s X LSC = µ 0 + 3σ0 / n LSA = µ 0 + 2σ0 / n LM = µ 0 LIA = µ 2σ / n 0 0 LIC = µ 0 3σ 0 / n Minutos Intervalo de Confiança Propriedades Importantes de um Bom Estimador Consistência: Estimativa se aproxima do verdadeiro valor do parâmetro à medida que o tamanho da amostra aumenta θ ˆ θ

24 Propriedades Importantes de um Bom Estimador Exatidão: Relacionada com o vício do estimador ( ) θ Bias θ ˆ = θ ˆ Precisão: Relacionada com a variabilidade do estimador Var( θˆ ) Quanto menor a variabilidade, mais preciso é o estimador Intervalo de Confiança Estimação intervalar do verdadeiro valor de parâmetro populacional Menor # < parâmetro populacional < Maior # Exemplo: Menor # < µ < Maior # Grau de Confiança É a freqüência relativa de vezes que o processo de estimação gerar á intervalo que contenha o parâmetro populacional. É denotado por 1 a; Geralmente: Grau de confiança 90% 95% 99% a 10% 5% 1%

25 Correto: Estamos 95% confiantes que o intervalo de 98,58 a 98,82 contenha o verdadeiro valor de µ. Se construíssemos intervalos de confiança a partir de muitas amostras de mesmo tamanho, 95% deles conteriam o parâmetro µ. Errado: 98,58 o < µ < 98,82 o É de 95% a probabilidade de o verdadeiro valor µ estar entre 98,58 e 98,82. Exemplo Intervalo de Confiança de 20 Amostras Valor Crítico É o número na fronteira que separa os valores das estatísticas amostrais prováveis de ocorrer, dos valores que têm pouco chance de ocorrer.

26 O Valor Crítico z α/2 Considerados: Normalidade da estatística de teste Fronteira bilateral α/2 α/2 -z α/2 z=0 z α/2 Lido na Tabela z α/2 para 95% de Confiança α = 0,55 α/2 = 0,525 0,9750 0,525 Tabela z α/2 = + 1,96-0,525 0,525-1,96 1,96 z a/2 para vários Grau de Confiança Grau de Confiança 90% a 10% Valor Crítico 1,645 95% 5% 1,960 99% 1% 2,575

27 Margem de Erro É a máxima diferença provável entre o estimador e o verdadeira valor do parâmetro populacional.? ^ - E? ^ - E? ^ <? <? + E? ^ + E Limite inferior Limite superior Margem de Erro da Média Amostral Também chamada de erro máximo da estimativa E = z α / 2 σ n x - E µ x + E Intervalo de Confiança para a Média Populacional x - E < µ < x + E µ = x + E (x + E, x - E)

28 Exemplo Estimação da renda média do primeiro ano de trabalho de um bacharel. Determinar tamanho amostral para um nível de 95% de confiança para que a média da amostra esteja a menos de $500 da média populacional? Sabe-se por estudos prévios que s = $ Exemplo (2) 2 zα / 2σ n = E 1, n = = 600,25 Amostras de tamanho 601 oferecem 95% de confiança que sua média difiram em menos de $500 da verdadeira média populacional. Distribuição t de Student Se a distribuição de uma população é essencialmente normal, então a distribuição de X µ t = s n é uma Distribuição t de Student para todas amostras de tamanho n. Valores críticos denotados por t a/2.

29 Graus de Liberdade Corresponde ao número de valores amostrais que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. No caso da t-student: gl = n 1 Tabela Distribuição t Graus de liberdade Grande (z).005 (unilateral).01 (bilateral) 63,657 9,925 5,841 4,604 4,532 3,707 3,500 3,855 3,750 3,669 3,606 3,554 3,512 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2, (unilateral).02 (bilateral) 31,821 6,965 4,541 3,747 3,865 3,643 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,625 2,602 2,584 2,567 2,552 2,540 2,528 2,518 2,508 2,500 2,992 2,985 2,979 2,973 2,967 2,962 2, (unilateral).05 (bilateral).05 (unilateral).10 (bilateral).10 (unilateral).20 (bilateral).25 (unilateral).50 (bilateral) 12,706 6,814 3,578 1,500 4,803 2,920 1,886,816 3,682 2,853 1,638,765 2,776 2,632 1,533,741 2,571 2,515 1,976,727 2,947 1,943 1,940,718 2,865 1,895 1,915,711 2,806 1,860 1,897,706 2,762 1,833 1,883,703 2,728 1,812 1,872,700 2,701 1,796 1,863,697 2,679 1,782 1,856,696 2,660 1,771 1,850,694 2,645 1,761 1,845,692 2,632 1,753 1,841,691 2,620 1,746 1,837,690 2,610 1,740 1,833,689 2,601 1,734 1,830,688 2,593 1,729 1,828,688 2,586 1,725 1,825,687 2,580 1,721 1,823,686 2,574 1,717 1,821,686 2,569 1,714 1,820,685 2,564 1,711 1,818,685 2,560 1,708 1,816,684 2,556 1,706 1,815,684 2,552 1,703 1,814,684 2,548 1,701 1,813,683 2,545 1,699 1,811,683 1,960 1,645 1,782,675 Propriedades É diferente de acordo com o tamanho da amostra. Tem a mesma forma geral que a distribuição normal padrão (forma de sino, com média 0)

30 Propriedades (2) Reflete a maior variabilidade da média amostral, esperada em pequenas amostras (caudas mais pesadas). Seu desvio-padrão varia com o tamanho da amostra, sendo sempre superior ao da normal padrão (1). Propriedades (3) A distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal padrão à medida em que n cresce Em geral, para valores n > 30, as diferenças são tão pequenas que podemos utilizar os valores da normal padrão Distribuição t Student para n = 3 e n = 12 Normal padrão t Student ( n = 12) t Student (n = 3) 0

31 Exemplo Objetivo: avaliação de tempo de treinamento foi selecionada Amostra: 15 empregados Resultados amostrais: Média: 53,87 dias Desvio-padrão: 6,82 dias Determinar intervalo com 95% de confiança para µ (tempo médio para treinamento de todos os empregados da empresa) x = 53,87 s = 6,82 t a/2 = 2,645 Exemplo (2) tα / s 2,145.6,82 = = = 3, 78 n 15 E 2 x - E < µ < x + E 53,87 3,78 < µ < 53,87 + 3,78 50,59 < µ < 57,65 Estamos 95% confiantes que este intervalo contenha a média de tempo de treinamento de todos os empregados. Teste de Hipóteses

32 Exemplo Médias Amostrais Objetivo: verificar se a amostra é originária de população com média: 98,6 Média da amostra obtida: 98,7 Suposição: a amostra é suficientemente grande para a aplicação do Teorema Central do Limite Exemplo - Médias Amostrais Dados amostrais: z = - 6,64 ou x = 98,70 Médias amostrais prováveis µ x = 98,6 z = - 1,96 ou x = 98,98 z = 1,96 ou x = 98,72 Teste de Hipóteses Componentes Hipótese Nula; Hipótese Alternativa Estatística de Teste Região Crítica Nível de Significância

33 Hipótese Nula H 0 Afirmação sobre valor de parâmetro populacional Deve conter uma condição de igualdade =,, ou Testar diretamente a Hipótese Nula: Rejeitar H 0 ou não rejeitar H 0 Hipótese Alternativa H 1 Deve ser verdadeira se H 0 é falsa?, <, > oposto da Hipótese Nula. Hipótese de Pesquisa Para montar um teste de hipótese para apoiar de pesquisa, ela deve ser formulada de maneira a ser a hipótese alternativa.

34 Estatística de Teste Valor baseado nos dados amostrais que é usado para tomar uma decisão sobre a rejeição da hipótese nula. Exemplo: Para testar afirmações sobre médias populacionais, através de grandes amostras x µ z = σ n X Região Crítica Conjunto de todos os valores da estatística de teste que levam à rejeição de H 0. Região Crítica Região de Aceitação Valores da estatística de teste que não levam à rejeição de H 0 É o conjunto complementar à região crítica.

35 Nível de Significância É a probabilidade de rejeitar H 0 quando ela é verdadeira. É tipicamente pré-determinado, sendo comum as escolhas: 0,55; 0,51 e 0,60 Notação a Valores Críticos Valor(es) que separa(m) a região crítica da região de aceitação. Rejeita H 0 Não rejeita H 0 Valor Crítico (escore z ) Tipos de Teste As caudas em uma distribuição são as regiões extremas delimitadas por valores críticos. Tipos de teste: Bilateral Unilateral esquerdo Unilateral direito

36 Teste Bilateral H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ µ 0 menor ou maior que Rejeita H 0 Não Rejeita H 0 Rejeita H 0 µ 0 Valores que são significativamente distantes de µ 0 α é dividido igualmente entre as duas caudas da região crítica Teste Unilateral Direito H 0 : µ µ 0 vs H 1 : µ > µ 0 Pontos à direita Não rejeita H 0 Rejeita H 0 Valores significativamente distantes de 100 µ 0 Teste Unilateral Esquerdo H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ < µ 0 Pontos à esquerda Rejeita H 0 Não rejeita H 0 Valores significativamente distantes de µ 0 µ 0

37 Terminologia das Conclusões Finais Início A afirmação original contém Sim a condição de (A afirmação original igualdade? contém a igualdade e se torna H 0) Não (A afirmação original não contém a igualdade e se torna H 1) Sim Rejeitar H 0? (Rejeitar H 0) Não (Não rejeitar H 0) Sim Rejeitar H 0? (Rejeitar H 0) Não (Não rejeitar H 0) Há evidência suficiente (Único caso em para garantir a que a afirmaç ão rejei ção da afirmação de original é que... (afirmação original). rejeitada). Não h á evidência suficiente para garantir a rejei ção da afirmação de que... (afirmação original). Os dados amostrais (Único caso em ap óiam a afirmação de que que a afirmaç ão...(afirmação original). original é apoiada Não h á evidência amostral para apoiar a afirmação de que... (afirmação original). Erro Tipo I O erro de rejeitar a H 0 quando ela é verdadeira. O nível de significância a é a probabilidade de um erro tipo I. Exemplo: Rejeitar a afirmação de que a temperatura do corpo é 37ºC, quando ela é, de fato, 37ºC. Erro Tipo II Erro de não rejeitar H 0 quando ela é falsa. A probabilidade do erro tipo II é ß. Exemplo: Não rejeitar a afirmação de que a temperatura do corpo é 37ºC, quando ela é, de fato, falsa (a média não é 37ºC).

38 Erros Tipo I e Tipo II Estado da Natureza H 0 Verdadeira H 0 Falsa Decisão Rejeição de H 0 Não rejei ção de H 0 Erro tipo I (a) Acerto (1 a) Acerto (1 ß) Erro tipo II (ß) Controle dos Erros Tipo I e Tipo II Para a fixo, aumentar o tamanho da amostra n reduz o valor de ß; Para n fixo, diminuir a leva a um aumento de ß (ou, vice-versa); Para redução de a e ß, deve-se aumentar n. Poder do Teste É a probabilidade (1 - ß) de rejeitar uma H 0 falsa É calculada para: um nível de significância a, e um valor do parâmetro que seja alternativa para o valor de H 0.

39 Teste de Hipóteses Método Clássico Utiliza uma estatística de teste (função dos dados da amostra), comparado-a com um valor crítico. Exemplo: Estatística de teste para Afirmações sobre µ (suposição de normalidade) x µ z = σ n X Passos do Teste Identificar as hipóteses a ser testada; Colocá-las em forma simbólica; H0 contém a condição de igualdade; Escolher o nível de significância a, baseandose na gravidade de um erro tipo I (Em geral, 0,55 e 0,51):. Tomar a pequeno se as conseqüências da rejeição de uma H0 verdadeira são sérias. Passos do Teste (2) Escolher a estatística relevante para este teste e determinar sua distribuição amostral. Determinar os valores críticos e a região crítica. Critério de Decisão: Rejeitar H0 se a estatística de teste está na região crítica, caso contrário, não rejeitar H0. Concluir sobre o texto no contexto do problema

40 Método do Valor p Similar ao método tradicional; Procedimento para tomada de decisão: Determinar a probabilidade (Valor p) de se obter um resultado mais favorável contra H 0, Se o Valor p é muito baixo rejeita-se H 0. Valor p Definição É a probabilidade de se obter um valor da estatística de teste pelo menos tão extremo como o observado, supondo-se que H 0 seja verdadeira. Valor P Interpretação Valor p pequeno ( =0,55) Resultados amostrais incomuns. Diferença significante de H 0. Valor p grande (> 0,55 ) Resultados amostrais não são incomuns. Não há diferença significante de H 0.

41 Teste de Hipóteses Razão Subjacente Dada uma suposição observada, se a probabilidade de obtermos a amostra observada é pequena, então provavelmente a suposição não é correta. Ao se testar uma afirmação (H 0 ), supõe-se que ela contenha a igualdade. Essa suposição é comparada com os dados amostrais. Teste de Hipóteses Conclusões Se os resultados amostrais podem ocorrer facilmente quando a suposição (H 0 ) é verdadeira, atribue-se ao acaso a diferença pequena encontrada entre a suposição e os resultados amostrais. Se os resultados amostrais são improváveis de ocorrer (sob H 0 ), explica-se a diferença (relativamente grande) entre H 0 e os resultados amostrais supondo-se que ela não seja verdadeira. Referências

42 Bibliografia Recomendada Moore, D. S. e McCabe, G. P. (LTC) Introdução à prática da estatística. Wild, C. J. e Seber, G. A. (LTC) Encontros com o acaso.