Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística:

Transcrição

1 Probabilidade 3-1 Aspectos Gerais 3-2 Fundamentos 3-3 Regra da Adição 3-4 Regra da Multiplicação: 3-5 Probabilidades por Meio de Simulações 3-6 Contagem 1

2 3-1 Aspectos Gerais Objetivos firmar um conhecimento sólido dos valores probabilísticos a serem utilizados desenvolver conhecimentos básicos necessários para a resolução de problemas simples de probabilidade. Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística: Se, sob determinada hipótese, a probabilidade de uma determinada amostra é excepcionalmente pequena, concluímos que a hipótese provavelmente não é correta 2

3 3-2 Fundamentos Definições Evento qualquer coleção de resultados de um experimento Evento simples resultado, ou um evento, que não comporta decomposição. Espaço amostral todos os eventos simples possíveis 3

4 Notação P - denota uma probabilidade A, B,... - denotam eventos específicos P (A) - denota a probabilidade de ocorrência do evento A. 4

5 Regras Básicas para Cálculo de Probabilidades Regra 1: Aproximação p/ Freqüência Relativa Realize (ou observe) um experimento um grande número de vezes e conte quantas vezes o evento A ocorre efetivamente. Então uma estimativa de P(A) é: P(A) = número de ocorrências de A número de repetições do experimento 5

6 Regras Básicas para Cálculo de Probabilidades Regra 2: Definição clássica (exige resultados igualmente prováveis) Se um experimento tem n eventos simples diferentes, cada um com a mesma chance de ocorrer e se s é o número de maneiras que o evento A pode ocorrer, então: P(A) = s n = número de maneiras como A pode ocorrer número de eventos simples diferentes 6

7 Regras Básicas para Cálculo de Probabilidades Regra 3: Probabilidades Subjetivas: P(A), a probabilidade de A, é determinada através de conjecturas ou estimada com base no conhecimento de circunstâncias relevantes. 7

8 Regra 1 O método da freqüência relativa fornece uma aproximação. Regra 2 O método clássico fornece o valor da probabilidade teórica. 8

9 Lei dos Grandes Números Se um experimento é repetido um grande número de vezes, a probabilidade pela freqüência relativa (Regra 1) de um evento tende para a probabilidade teórica. 9

10 Ilustração da Lei dos Grandes Números Figura

11 Exemplo: Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser atingida por um raio este ano. O espaço amostra consiste em dois eventos simples: a pessoa é atingida por um raio ou não. Como este eventos simples não são igualmente prováveis, devemos usar uma aproximação pela freqüência relativa (Regra 1) ou estimar subjetivamente a probabilidade (Regra 3). Usando a Regra 1, podemos pesquisar eventos passados. Em um ano recente 377 pessoas foram atingidas por raio nos EUA, que tem uma população de cerca de Portanto, P(ser atingido por um raio em 1 ano) 377 / /

12 Exemplo: Em um teste ACT ou SAT, uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas possíveis. Respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar errada? Há 5 resultados possíveis e 4 maneiras de responder incorretamente a questão. A aleatoriedade implica que os resultados do espaço amostral são igualmente possíveis; pela abordagem clássica (Regra 2) obtemos: P(resposta errada) = 4 / 5 = 0,8 12

13 Limites de Probabilidade A probabilidade de um evento impossível é 0. A probabilidade de um evento cuja ocorrência é certa é 1. 0 P(A) 1 Evento Impossível Evento Certo 13

14 Valores Possíveis para Probabilidades 1 Certo Provável 0, de Chance Figura Improvável Impossível 14

15 Eventos Complementares O complemento do evento A, denotado por A c, consiste of todos os resultados em que o evento A não ocorre. P(A) P(A c ) (leia não A ) 15

16 Exemplo: Testando Corvettes A General Motors quer testar um novo modelo do Corvette. Um grupo de 50 motoristas foi recrutado, 20 dos quais são homens. Quando a primeira pessoa deste grupo é selecionada, qual é a probabilidade de não ser um homem? Como 20 dessas 50 pessoas são homens, decorre que 30 são mulheres e, assim: P(não escolher um homem) = P(homem c ) = P(mulher) = 30 = 0,

17 Arredondamento de Probabilidades dar a expressão decimal ou a fração exata ou arredondar o resultado final para três algarismos significativos 17

18 Chances A chance contra a ocorrência do evento A é a razão P(A) P(A c ), comumente expressa na forma a:b (ou a para b ), com a e b inteiros, primos entre si. A chance a favor do evento A é o inverso da chance contra aquele evento, b:a (ou b para a ) 18

19 Chances Nas apostas, a chance contra o evento A representa a razão do ganho líquido (se você vencer) para a quantia apostada. Chance contra um evento A = (ganho líquido):(quantia apostada) 19

20 Definição Evento Composto Qualquer evento que combina dois ou mais eventos simples. Notação: P(A ou B) = P (ocorrência de A, ou de B, ou de ambos) 20

21 Eventos Compostos Regra Geral Ao determinar a probabilidade da ocorrência do evento A ou do evento B, devemos achar o total de maneiras como A pode ocorrer e o total de maneiras como B pode ocorrer, mas de modo que nenhum resultado seja contado mais de uma vez. 21

22 Evento Composto Regra Formal da Adição P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) onde P(A e B) denota a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B. Regra Intuitiva da Adição Para encontrar P(A ou B), somamos o números de ocorrências possíveis de A e o número de ocorrências possíveis de B, adicionando esses números de tal modo que cada resultado seja contado apenas uma vez. P(A ou B) é igual a essa soma, dividida pelo número total de resultados possíveis. 22

23 Definição Eventos A e B são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer simultaneamente. Área Total = 1 Área Total = 1 P(A) P(B) P(A) P(B) P(A e B) Eventos superpostos Figuras 3-5 e 3-6 Eventos não superpostos 23

24 Figura 3-7 Aplicação da Regra da Adição P(A ou B) Regra da Adição A e B são mutuamente exclusivos? Não Sim P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A ou B) = P(A)+ P(B) - P(A e B) 24

25 Tabela de Contingência Homem Mulher Menino Menina Total Sobreviveu Morto Total Achar a probabilidade de escolher ao acaso 1 homem ou um menino. P(homem ou menino ) = = 1756 = 0, * Mutuamente Exclusivos * 25

26 Tabela de Contingência Homem Mulher Menino Menina Total Sobreviveu Morto Total Achar a probabilidade de escolher ao acaso um homem ou alguém que tenha sobrevivido. P(homem ou sobrevivente) = = = 0,929 * NÃO são Mutuamente Exclusivos * 26

27 Eventos Complementares P(A) e P(A c ) são mutuamente exclusivos Todos eventos simples estão em A ou em A c. P(A) + P(A c ) = 1 27

28 Regras dos Eventos Complementares P(A) + P(A c ) = 1 P(A c ) = 1 - P(A) P(A) = 1 - P(A c ) 28

29 Figura 3-8 Diagrama de Venn para o Complemento do Evento A Área Total = 1 P (A) P (A c ) = 1 - P (A) 29

30 Notação P(A e B) = P(evento A ocorrer em uma 1ª prova e o evento B ocorrer em uma 2ª prova) 30

31 Diagrama em Árvore de Respostas de um Teste V F a b c d e a b c d e Va Vb Vc Vd Ve Fa Fb Fc Fd Fe P(V) = P(c) = P(V e c) =

32 P (ambos corretos) = P (V e c) = 1 5 Regra da Multiplicação EVENTOS INDEPENDENTES 32

33 Notação para Probabilidade Condicional P(B A) representa a probabilidade de ocorrência do evento B, quando se sabe que o evento A já ocorreu (leia B A como B dado A ). 33

34 Definições Eventos Independentes Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Eventos Dependentes Se A e B não são independentes, dizem-se dependentes. 34

35 Regra Formal da Multiplicação P(A e B) = P(A) P(B A) Se A e B são eventos independentes, P(B A) é o mesmo que P(B) 35

36 Aplicação da Regra da Multiplicação P(A e B) Regra da Multiplicação A e B são independentes? Sim P(A e B) = P(A) P(B) Não P(A e B) = P(A) P(B A) 36

37 Regra Intuitiva da Multiplicação Para determinar a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e de ocorrência do evento B na próxima prova, devemos multiplicar a probabilidade do evento A pela probabilidade do evento B, não esquecendo que a probabilidade do evento B deve levar em conta a ocorrência prévia do evento A. 37

38 Pequenas Amostras de Grandes Populações Caso uma amostra não supere 5% do tamanho da população, pode-se considerar as escolhas como sendo independentes (mesmo que a amostragem se faça sem reposição, embora elas sejam tecnicamente dependentes). 38

39 Probabilidade de Ao Menos Um Ao menos um é equivalente a um ou mais. O complementar de obter ao menos um item de determinado tipo é não obter nenhum item daquele tipo. Se P(A) = P(obter pelo menos um), então P(A) = 1 - P(A c ) onde P(A c ) é P(obter nenhum) 39

40 Probabilidade de Ao Menos Um Determinar a probabilidade de ao menos 1 menina se um casal planeja ter 3 filhos. Se P(A) = P(ao menos 1 menina), então P(A) = 1 - P(A c ) onde P(A c ) é P(nenhuma menina) P(A) = (0,5)(0,5)(0,5) = 0,125 P(A) = 1 0,125 = 0,875 40

41 Probabilidade Condicional Definição A probabilidade condicional do evento B ocorrer, dado que A já tenha ocorrido, pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento A. 41

42 Probabilidade Condicional Formal Intuitiva P(A e B) = P(A) P(B A) P(B A) = P(A e B) P(A) A probabilidade condicional de B dado A pode ser determinada supondo que A já tenha ocorrido e, sob essa hipótese, calculando a probabilidade de ocorrência do evento B. 42

43 Testando a Independência Se P(B A) = P(B) então a ocorrência de A não tem efeito na probabilidade do evento B, ou seja, A e B são eventos independentes. ou Se P(A e B) = P(A) P(B) então A e B são eventos independentes. 43

44 Alternativas para Determinação de Probabilidades 1. Realizar experimentos ou coletar dados reais para determinar valores de probabilidade ou verificar se os resultados teóricos estão corretos. 2. Podemos simular as circunstâncias para aprender como os resultados ocorreriam na realidade. 44

45 Definição Simulação Uma simulação de um experimento é um processo que se comporta como o próprio experimento, produzindo resultados análogos. 45

46 Exemplos de Simulação Simulando sexo de nascituros Arremesso de uma moeda honesta onde cara = homem e coroa = mulher K K C K C K K C C C M M H M H M M H H H Gerando 0 s e 1 s em um computador ou calculadora onde 0 = homem 1 = mulher H H M H M M M H H H 46