CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

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1 CAPÍTULO 0 NOÇÕES DE PROBABILIDADE. ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S = { cara; coroa }; No lançamento de um dado não viciado: S = { ; ; 3; ; ; }; No lançamento de dois dados distintos, não viciados, o espaço amostral está representado ao lado: 3 (,) (,) (,3) (,) (,) (,) (,) (,) (,3) (,) (,) (,) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,) (3,) (3,) (,) (,) (,3) (,) (,) (,) (,) (,) (,3) (,) (,) (,) (,) (,) (,3) (,) (,) (,) 3. PROBABILIDADE DE UM EVENTO Supondo um espaço amostral S equiprovável, ou seja, onde todos os eventos têm a mesma chance de ocorrer: p(e) número de casos favoráveis total de casos possíveis n(e) n(s) O número de casos favoráveis é o número de elementos do subconjunto E; O Total de casos possíveis é o número de elementos do espaço amostral S. Exemplo: Considere dois dados, cada um deles com seis faces numeradas de a. Se os dados são lançados ao acaso, qual a probabilidade das faces obtidas darem soma maior ou igual a 8? (utilizando o espaço amostral apresentado no item ) Resolução: S = { (,); (,); (,3);... ; (,) }, n (S) = 3.. DIAGRAMA DE ÁRVORE Exemplo: Um casal sadio pretende ter filhos (menino ou menina) em três gestações consecutivas, gerando um bebê em cada gravidez. Apresente o espaço amostral para esta situação. Verificamos que temos ( ) casos favoráveis em um total de 3 possíveis resultados. A probabilidade P que atende ao enunciado será: 3 P 3 3. EVENTO E É qualquer subconjunto do Espaço Amostral, ou seja, E S... (E está contido em S). No lançamento de um dado não viciado, o subconjunto E = { ; ; } é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é par; No lançamento de dois dados não viciados, distintos, o subconjunto E = { (,); (,); (,); (,); (,); (,) }, composto por elementos, é o evento que acontece se a soma dos números mostrados nas respectivas faces superiores determina uma soma maior ou igual a 0. ATENÇÃO: A unidade da grandeza presente no numerador (item 3) tem que ser a mesma unidade da grandeza presente no denominador, ou seja: Se no numerador fossem duplas de bolas, conseqüentemente, no denominador deverá ser total de duplas de bolas. Se fosse para determinar a probabilidade de acertar a Mega-Sena com um único cartão com dezenas marcadas; no numerador teremos o número representando um grupo de seis dezenas e no denominador teremos todos os grupos de dezenas com 0 dezenas possíveis 0 0!.!! Assim, a probabilidade de acertar a Mega-Sena com um único cartão será: P 0!!!!! 0! ,00000%

2 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA ) (AMERICANO) Em três lançamentos sucessivos de uma moeda perfeita: a) Apresente o espaço amostral usando o diagrama de árvore; b) Qual é a probabilidade de serem obtidas pelo menos caras? c) Qual é a probabilidade de serem obtidas exatamente caras? ) (AMERICANO) Numa urna temos 3 bolas verdes e bolas vermelhas. Sabendo-se que as bolas só diferem entre si pelas cores, calcule a probabilidade de, sorteando-se duas bolas, numa única retirada, serem ambas verdes.. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES (SUCESSIVOS OU SIMULTÂNEOS) Aqui temos o conectivo e que tem como significado a intersecção de eventos (regra do produto). Dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um não influencia a ocorrência do outro. Se dois ou mais eventos independentes ocorrem seqüencialmente, a probabilidade de ocorrência deles será calculada multiplicando os resultados obtidos nas probabilidades de cada evento isolado. p(e E) p(e) p(e ) Exemplo: Numa urna foram depositadas bolas verdes e 3 bolas vermelhas. Retiradas com reposição, qual a probabilidade de obtermos uma bola verde seguida de uma vermelha? Resolução: Considerando E a probabilidade de retirada da bola verde e E da bola vermelha: 3 p(e ) e p(e ) 3 p(e) p(e ) p(e ) p(e ) EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 3) (AMERICANO) Uma pessoa tem 3 sacolas de bonés: uma para times de futebol, outra para times de basquete e outra para times de voley. Na ª sacola são brancos e verdes. Na ª sacola são pretos e 0 azuis. Na 3ª sacola são oito vermelhos e amarelos. Retirando um boné de cada sacola, determine a probabilidade de serem: ª sacola (verde), ª sacola (preto) e 3ª sacola (amarelo).

3 . PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS INDEPENDENTES (PROB. DE OCORRER O EVENTO A OU B) Aqui temos o conectivo ou que tem como significado a união de eventos (regra da adição). CASO : E E Probabilidade de ocorrer ou E sendo que E E E. ( eventos mutuamente exclusivos). EXERCÍCIOS SÉRIE AULA ) (AMERICANO) Ao lançar um dado vermelho e um dado branco, qual a probabilidade de obter no dado branco ou no dado vermelho? p(e E) p(e) p(e ) Exemplo: Um baralho completo possui cartas dispostas em naipes onde, em cada naipe, a cartas são numeradas conforme apresentado ao lado. Se utilizarmos um baralho completo, qual a probabilidade de sua retirada ser um valete ou um? Resolução: Como Uma carta nº (Ás) Nove cartas com numeração de a 0 Uma carta Valete Uma carta Dama E E (E E ) 7 p(e E) 3 p Uma carta Rei CASO : E E Probabilidade de ocorrer E ou E sendo que E E. ) (AMERICANO) Num sorteio, a urna A tem bolas brancas e 3 bolas pretas. A urna B tem bolas brancas e bolas pretas. Foi retirada uma bola da urna A, não se sabe sua cor, e foi colocada na urna B ; em seguida, foi sorteada uma bola da urna B. Qual é a probabilidade desta bola ser branca? p(e E) p(e) p(e ) p(e E) Exemplo: Retirando aleatoriamente uma carta de um baralho completo, qual a probabilidade de obter uma dama ou uma carta de espadas? Resolução: Sendo o evento E (dama) e o evento E (espadas): 3 p(e ), p(e ) Sabemos que existe a carta dama que também é do naipe espadas, ou seja, existe a probabilidade E E que é igual a /. 3 (E E ) p Resposta: 3. 3

4 . EVENTOS COMPLEMENTARES PROBABILIDADE DE NÃO OCORRER UM EVENTO Quando os eventos de um espaço amostral S, E e E são tais que: E e E E S, E E e E são eventos complementares. Exemplo: No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual a probabilidade de NÃO SAIR soma? Resolução: O espaço amostral para o lançamento de dados distinguíveis é composto por 3 elementos; O evento E : sair soma {(,), (,), (,3), (3,) } p(e ) ( E ) ; 3 9 A probabilidade do evento E : não sair soma 8 (E ) p(e ). 9 9 p Resposta: 9 8. EXERCÍCIOS SÉRIE AULA ) (UNESP-SP) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0, e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois serem escalados é: a) 0,0 b) 0, c) 0, d) 0, e) 0,7 0. PROBABILIDADE CONDICIONAL Em alguns problemas o cálculo da probabilidade de um evento A está condicionado ao conhecimento da probabilidade de um evento B (independente de já ter ocorrido ou não o evento B), é a chamada Probabilidade Condicional. Muitos problemas de probabilidade condicional podem ser resolvidos reduzindo-se adequadamente o espaço amostral, a partir de uma informação parcial do resultado do experimento. Exemplo-: (PUCC-SP) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma, nos dois dados, é igual a 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face em um deles. Resolução: É conhecido que o espaço amostral inicial S possui 3 elementos; Como já fomos informados de que a soma dos números nos dois dados vale 8 podemos reduzir o nosso espaço amostral S para S, onde S { (,), (,), (3,), (,3), (,) } n(s ) Assim, a probabilidade de ocorrência da face em um dos dados será: P = /. Exemplo-: (AMERICANO) Em janeiro de 009, na festa de aniversário (0 anos) do professor RUBENS DOMINGOS, conhecido popularmente como RUBÃO, houve um sorteio de um notebook de última geração. Os bilhetes foram numerados de a 0. Entretanto, foi anunciado que o número sorteado era par. Se o professor Marcelo Renato, convidado-irmão, só tinha bilhetes pares, qual era a probabilidade, em %, do professor Marcelo Renato NÃO ser sorteado? Resolução: É conhecido que o espaço amostral inicial S possui 0 elementos; Como já fomos informados de que o número sorteado é PAR podemos reduzir o nosso espaço amostral S para S, S {,,,, 0 } n(s) ; pares O professor Marcelo Renato, com números pares, tinha a probabilidade de ser sorteado igual a P, porém, a sua probabilidade de NÃO ser sorteado era de P P. P P 8%

5 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 7) (AMERICANO) Numa urna estão 00 bolas, numeradas de até 00. A probabilidade de ser sorteado um número par sabendo ser ele múltiplo de é: a) 0% b) 0% c) 30% d) 0% e) 0%. EXPERIMENTOS BINOMIAIS Há experimentos que apresentam apenas dois possíveis resultados. Por exemplo, do lançamento de uma moeda só pode resultar cara ou coroa; um exame laboratorial para detecção de alguma doença pode resultar positivo ou negativo. Experimentos dessa natureza, repetidos um número finito de vezes, em condições idênticas, levando-se em conta que essas repetições constituam eventos independentes, caracterizam experimentos binomiais. Seja uma experiência realizada com n tentativas independentes e com dois resultados possíveis em cada tentativa, sucesso ou fracasso: evento E (sucesso) e evento E (fracasso) Probabilidade de ocorrência de E : p Probabilidade de ocorrência de E : " q p" Sendo "" a probabilidade de obtermos r vezes o resultado desejado (sucesso): r,n r (P r,nr n r ) p q nr Onde Pn é uma permutação com elementos repetidos (conforme estudado no capítulo de Análise Combinatória). Exemplo-: (AMERICANO) Uma moeda é lançada vezes. Qual a probabilidade de obtermos 3 caras (K) e 3 coroas (C)? Resolução: Uma das situações favoráveis pode ser representada por: K K K C C C Sabemos que os elementos que compõem a situação favorável poderão permutar entre si, fato esse que viabilizará outras condições favoráveis. K K K C C C 3,3 P P! 3!3! 3,3 3,3 P 0 Assim, a probabilidade de obtermos 3 caras (K) e 3 coroas (C) em lançamentos será: 3 3 P 0 P 0 Resposta: P 0 P Exemplo-: (AMERICANO) O médico geriatra do professor JÚNIOR BOLA (o papa da Geografia) constatou em uma pesquisa recente sobre a fertilidade na 3ª idade que JÚNIOR BOLA, num exame específico, apresentou a probabilidade de gerar filhos do sexo feminino vezes maior do que a de gerar filhos do sexo masculino. Com base na pesquisa do referido geriatra, qual a probabilidade de um casal (onde o homem tem as mesmas características de fertilidade que o professor JÚNIOR BOLA) gerar filhas e 3 filhos em gestações sucessivas? Resolução: Considerando H (filho) e M (filha), Considerando também que p é a probabilidade do casal em questão gerar filho-h e p a de gerar filha-m, PH p p 00% p p p P M Uma das situações favoráveis pode ser representada por: M M H H H Sabemos que os elementos que compõem a situação favorável poderão permutar entre si, fato esse que viabilizará outras condições favoráveis.,3!,3 M M H H H P P 0!3! P, 3 Assim, a probabilidade do nascimento de filhas (M) e 3 filhos (H) em gestações sucessivas será: 3 P 0 P P P 9,3% 8 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 8) (FGV-SP) Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis, cara e coroa, são tais que a probabilidade de sair cara num lançamento é o triplo da de sair coroa. a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a probabilidade de sair cara? b) Lançando-se três vezes a moeda, qual a probabilidade de sair exatamente uma cara?

6 TESTES COMPLEMENTARES ) (UFMG 00)O número de respostas a uma pesquisa está disposto no diagrama abaixo. O objetivo era saber, dos entrevistados o quanto eles confiam em pesquisas de mercado com respeito ao presidente. Considerando que cada pessoa deu uma única resposta, qual a probabilidade de ser selecionada aleatoriamente uma pessoa que não é muito confiante nas pesquisas? a) 00 b) 300 c) d) 0 e) ) (UFMG 007 adaptada) Um grupo de pessoas é formado por crianças (entre elas Paulinho) e adultos, dos quais 3 possuem habilitação para dirigir automóvel. Com um automóvel de lugares ( na frente e 3 atrás), tendo a restrição de que criança não pode viajar no banco da frente, escolhida ao acaso uma das maneiras de se efetuar a lotação do automóvel, a probabilidade de Paulinho não fazer parte da lotação é de: a) /7 b) 3/7 c) 3/ d) / e) / 3) (Cesgranrio-RJ) Num jogo com um dado, o jogador X ganha se tirar, no seu lance, um número de pontos maior ou igual ao do lance do jogador Y. A probabilidade de X ganhar é: a) / b) /3 c) 7/ d) 3/ e) 9/3 ) (Fuvest-SP) Uma urna contém bolas numeradas de a 9. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A probabilidade de que o número da segunda bola seja estritamente maior do que o da primeira é: a) 7/8 b) /9 c) 3/8 d) 30/8 e) /8 ) (FEI-SP) Numa moeda viciada a probabilidade de ocorrer face cara num lançamento é igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. A probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta moeda é: a) 0% b) 80% c) % d) 0% e) 0% ) (Mack-SP) No lançamento de dois dados, a probabilidade de serem obtidos números iguais é: a) / b) / c) /3 d) /3 e) / 7) (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é: a) / b) /3 c) / d) / e) /8 8) (UFRGS) Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de a. se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja a) / b) / c) / d) / e) /9

7 9) (Vunesp-SP) Um baralho consiste em 00 cartões numerados de a 00. Retiram-se cartões ao acaso (sem reposição). A probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 00 é: a) 9/90 b) 0/90 c) % d) 9/000 e) /8 ) (Unirio-RJ) Um armário tem 8 repartições, em níveis, como mostra a figura abaixo. Ocupando-se metade das repartições, a probabilidade de que de tenha uma repartição ocupada em cada nível é de: a) /3 b) /3 c) /3 d) 8/3 e) /7 0) (Unesp-SP) Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 3 ou é: a) 7/8 b) /8 c) 7/3 d) 7/ e) /9 ) (UNIP-SP) Uma carta é retirada de um baralho comum, de cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as cartas de outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabilidade de se obter uma dama é: a) 3/ b) /3 c) /7 d) /3 e) /89 ) (FEI-SP) Em um exame de seleção com 800 candidatos, 00 ficaram reprovados em Matemática, 0 ficaram reprovados em Português e 0 ficaram reprovados em Matemática e Português. Se um dos participantes for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter sido reprovado em Matemática e aprovado em Português? a) / b) 3/ c) /3 d) / e) /0 ) (FUVEST-SP) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face saía com o dobro de frequência da face, e que as outras faces saíam com a freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face? a) /3 b) /3 c) /9 d) /9 e) / 3) (Mack-SP) Num grupo de 0 pessoas estão A e B. Escolhidas ao acaso pessoas do grupo, a probabilidade de A e B serem escolhidas é: a) / b) /0 c) /9 d) /9 e) 9/0 ) (FEI-SP) Uma urna contém, em seu interior, cinco fichas de mesmo tamanho e formato, sendo duas brancas e três vermelhas. Quatro pessoas, identificadas por A, B, C e D, nessa ordem, retiram uma ficha da urna ao acaso, sem reposição. A primeira a retirar uma ficha branca receberá um prêmio. A probabilidade de ser a pessoa D a premiada é: a),0% b) 0,0 % c) 0,0% d),0% e),% 7) (Mack-SP) Uma caixa contém bolas brancas, 3 vermelhas e pretas. Retiradas, simultaneamente, três bolas, a probabilidade de pelo menos uma ser branca é: a) /3 b) 7/ c) /9 d) /7 e) / 8) (FAMECA) Dois prêmios devem ser sorteados entre alunos de escolas superiores, entre os quais cursam Medicina. Qual é a probabilidade de dos futuros médicos serem contemplados? a) / b) / c) /30 d) / e) 9/

8 9) (Mack-SP) No lançamento de moedas honestas, a probabilidade de ocorrerem duas caras e d uas coroas é: a) / b) 3/ c) / d) 3/8 e) / 0) (Unesp-SP) Uma prova é constituída de questões do tipo múltipla escolha, cada uma delas com alternativas. Um candidato pretende fazer esta prova chutando todas as respostas, assinalando uma alternativa por questão sem qualquer critério de escolha. A probabilidade de ele acertar 0% da prova é a) 9 b) 79 c) 9 d) 9 e) 79 RESPOSTAS SÉRIE AULA DISCURSIVAS a) Considerando Cara (K) e Coroa (C): b) E b {(K,K,K);(K,K,C);(K,C,K);(C,K,K )} P b 8 P b P b 0% 3 c) E c {(K,K,C);(K,C,K);(C,K,K )} P c 8 ) 30% 3) % ) 3 7 ) ) D 7) E 8a) 7% 8b) 9/ GABARITO TESTES COMPLEMENTARES C A A B A 7 C C 7 B 3 C 8 E 3 C 8 C C 9 A D 9 D B 0 C D 0 D