MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03

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1 MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA ) (FGV-SP 2008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus é 30% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de ônibus, a probabilidade de chegar atrasada ao trabalho é 10% e, se for de moto, a % probabilidade de se atrasar é 20%. A probabilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao trabalho é igual a: PP1 P2 P2 P17% P214% Probabilidade de atrasar indo de ônibus: Probabilidade de atrasar indo de moto: Assim, a probabilidade P de Cláudia chegar atrasada ao trabalho, com os meios de transporte disponíveis, é: +. Consequentemente, a possibilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao trabalho é: P 100% 17% P83% outros X Resposta: 83%. 10 árbitros 2) (UERJ 2011) Para a realização 9 de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa escolha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal. Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal Número total de casos para a escolha de três árbitros: 31 p Número de casos em que o árbitro X faz parte do trio escolhido: X?? 29 Probabilidade ppp do árbitro X ser contemplado no 1º sorteio: p1 2 p Probabilidade de X ser sorteado no 2º sorteio: p2 Probabilidade de X ser o juiz principal, nas condições previstas no enunciado: p Resposta: 10% % Página 1 de 6

2 3) (UNICAMP 2009 modificada) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas? Número total de maneiras " T" dos 8 ingressos serem distribuídos: T P 8 T 8! N 2 Número de maneiras " N" de o casal receber ingressos em poltronas vizinhas: 8! 2 )! p Legenda: H (homem), M (mulher) Considerando p a probabilidade que atende ao enunciado: Resposta: 25%. (P7).(P 7! 2! p 7! 41 25% 4) (FGV-SP) Num sorteio, a urna A tem 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. A urna B tem 5 bolas brancas e 5 bolas pretas. Foi retirada uma bola da urna A, não se sabe sua cor, e foi colocada na urna B ; em seguida, foi sorteada uma bola da urna B. Qual é a probabilidade desta bola ser branca? N p Caso 1: (BR, BR) p1 Caso 2: (PT, BR) p p p p p1 Caso 1 (BR, BR) Caso 2 (PT, BR) + + p Resposta: p1p página 2 de 6

3 5) (UP 2012) O médico geriatra do professor Júnior Bola (o papa da Geografia) constatou em uma pesquisa recente sobre a fertilidade na 3ª idade que Júnior Bola, num exame específico, apresentou a probabilidade de gerar filhos do sexo feminino 5 vezes maior do que a de gerar filhos do sexo masculino. Com base na pesquisa do pgeriatra, qual a probabilidade p 1 de p61 um casal (onde o homem tem as mesmas características de fertilidade que o professor Júnior Bola) gerar PMH 61 2 filhas e 3 filhos em 5 gestações sucessivas? Considerando H (filho) e M (filha), Considerando também que p é a probabilidade do casal em questão gerar filho-h e 5p a de gera filha-m, MHHH P 2! 5 P + Uma das situações favoráveis pode ser representada por: M M H H H P P10 Sabemos que os 5 elementos que compõem 2161 Pa situação P % favorável poderão permutar entre si, fato esse que viabilizará outras condições favoráveis: Assim, a probabilidade do nascimento de 2 filhas (M) e 3 filhos (H) em 5 gestações sucessivas será: ) (FGV SP 2009) Considere um piso composto por placas quadradas e justapostas de lado L, e um anel de raio L R <, como mostra a figura abaixo. 2 5p100% 5p 65 M ,3 25,3!3! 25, 3 3,2 1 Lançando o anel sobre esse piso, determine a probabilidade de o círculo delimitar regiões contidas em, no máximo, três placas. 1P 4 P 4 Interpretando a pergunta, concluímos que o anel não poderá delimitar regiões contidas em 4 (quatro) placas, entretanto, poderá delimitar regiões em 1 ou 2 ou 3 placas. Nesse caso, basta que calculemos a probabilidade de o anel delimitar regiões em 4 placas e efetuarmos o calculo da probabilidade complementar, ou seja: a probabilidade p será p, onde corresponde à probabilidade de o anel delimitar regiões em 4 placas. No quadrado ABCD, temos, em cada vértice, R2 um quarto de círculo de raio R; são as regiões hachuradas. Um círculo de raio R delimita regiões contidas em exatamente 4 (quatro) placas se, e somente se, o centro dele pertencer ao interior de uma das regiões hachuradas. P A área correspondente à delimitação 4 LR22 de 4 (quatro) placas é igual à soma dos quatro setores circulares hachurados na figura ao lado, que, por sua vez, é igual à área do anel: π. 1P Como as probabilidades calculadas são proporcionais 4 p1lr 22 às áreas delimitadas, a probabilidade de o anel delimitar regiões contidas em π EXATAMENTE quatro placas é. Assim, a probabilidade de o círculo delimitar regiões contidas em, no máximo, três placas π (de NÃO DELIMITAR QUATRO PLACAS) será: Resposta:. p 22 Página 3 de 6 1πLR

4 DISCURSIVAS SÉRIE CASA AULA 03 1) (FGV SP ) Um meteorito foi detectado por astrônomos nas proximidades da Terra e cálculos feitos mostraram que ele deveria atingir a superfície em uma região deserta, com a forma de um retângulo ABCD. Sabe-se que a área da região S, que tem a forma de um trapézio retângulo, mede 7km 2. Expresse, em porcentagem, a probabilidade de o meteorito cair na região R ou na região T. A x7 12Km x x x x x x Área do trapézio S : S pt41as RT ) R T x Área A do retângulo ABCD: A. Soma das áreas R e T : p 1AS p17 p % Como as probabilidades são proporcionais às áreas, a probabilidade p do meteorito cair na região R ou na + região T, será: p Outra maneira: A probabilidade de o meteorito cair na região R ou na região T é igual à probabilidade dele não cair na região S, ou seja: Resposta: Aproximadamente 85,4%. R x A 12(48)(748Km² p RAT 41Km² 48 85,4% 48 85,4 p. 2) (UNESP 2010) Duas máquinas A e B produzem juntas 5000 peças em um dia. A máquina A produz 2000 peças, das quais 2% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 3000 peças, das quais 3% são defeituosas. Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constatouse que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela máquina A? 2 Número de peças defeituosas produzidas pela máquina A: peças. Peças 100 Número de peças defeituosas Total A p40 3 produzidas pela máquina B: peças. 100 Número total de peças defeituosas: 130 peças. Probabilidade de a peça defeituosa ter sido produzida pela máquina A: p Resposta: 134. p defeituosasdamáquina depeças página 4 de 6

5 3) (FGV-SP 2008) Um carteiro leva três cartas para três destinatários diferentes. Cada destinatário tem sua caixa de correspondência, e o carteiro coloca, ao acaso, uma carta em cada uma das três caixas de correspondência. a) Qual é a probabilidade de o carteiro não acertar nenhuma caixa de correspondência? b) Qual é a probabilidade de o carteiro acertar exatamente uma caixa de correspondência? A B C a b c a c b ACERTOU APENAS UMA b a c ACERTOU APENAS UMA b c a NÃO ACERTOU NENHUMA c a b NÃO ACERTOU NENHUMA 62 P3 6 c b a ACERTOU APENAS UMA 63 Consideraremos os endereços A, B e C e as respectivas cartas correspondentes a, b e c. As cartas poderão ser distribuídas de maneira distintas, nas três caixas de correspondências, as quais perfazem o espaço amostral dessa distribuição. a) Pa b) Pb Respostas: a) 31. b) 21. 4) (PUC-PR 2009 adaptada) Em uma pesquisa, 210 voluntários declararam sua preferência por um dentre três tipos de sobremesa e uma dentre quatro opções de sabores. Os resultados foram agrupados e dispostos no quadro a seguir. Pa 31 3! Pb 21 Gelatina Pudim Mousse TOTAL Morango Limão Baunilha Coco TOTAL Sendo sorteado ao acaso um dos voluntários, calcule a probabilidade de que a sua preferência seja pelo sabor morango, se já é sabido que sua sobremesa predileta é pudim. Sendo sorteado ao acaso um dos voluntários, calcule a probabilidade de que a sua preferência seja pelo sabor morango, se já é sabido que sua sobremesa predileta é pudim. Trata-se de um caso P de probabilidade condicional, ou seja, deveremos reduzir o espaço amostral inicial P207 35% Número de elementos do espaço amostral inicial: 210. Informação a respeito do sorteio: o voluntário sorteado tem preferência por pudim. Com a informação sobre o voluntário que tem preferência por pudim, o espaço amostral será reduzido para apenas 80 elementos. Assim, a probabilidade pedida será:. Resposta: 35%. Página 5 de 6

6 5) (FGV-SP) Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis, cara e coroa, são tais que a probabilidade de sair cara num lançamento é o triplo da de sair coroa. a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a probabilidade de sair cara? b) Lançando-se p ptrês vezes a moeda, qual a probabilidade de sair exatamente uma cara? c1 pcpcpc1001% pk pc Considerando K a face cara e C a face coroa... Primeiramente vamos determinar as probabilidades pk 43 de 75 cada % face: Sabemos que P23 32! pk! P23 3 Assim: a) A probabilidade de sair cara será: pk p 23 ) b) A probabilidade de sair exatamente uma cara será: K-C-C Permutando-se os 3 símbolos: ; p 4243 Respostas: a) 75% b) 9/64. 6) (UFG-GO 2007) Um grupo de 150 pessoas é formado C por % Cde 42 crianças, enquanto o restante é composto de adultos. Classificando esse grupo por sexo, sabe-se que 1/3 dentre os de sexo masculino é formado por crianças e que 1/5 entre os de sexo feminino também é formado por crianças. Escolhendose ao acaso uma pessoa nesse grupo, calcule a probabilidade dessa pessoa ser uma criança do sexo feminino. M 3MF5F 150 Sendo C o número de crianças do grupo analisado, crianças. Considerando M o número total de pessoas (crianças P 12 M ou adultos) P90 252e do sexo ou F5 masculino P608% e F o número total de pessoas (crianças ou adultos) do sexo feminino, teremos: Resolvendo o sistema acima encontramos ; + O número de crianças do sexo feminino C F será: CF crianças. A probabilidade P que atende ao enunciado será:. Resposta: 8% k 3.p k pc e (3 (P) CF 12 página 6 de 6