UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS

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1 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ ALI UNITAU APOSTILA PROAILIDADES ibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: ianchini&paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/onjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portalpositivo.com.br/capitcar

2 PROAILIDADES Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões para a orientação de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogos de azar Vejamos agora alguns conceitos importantes para o estudo da teoria das probabilidades: Experimento Aleatório: É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os possíveis, mesmo quando repetido em semelhantes condições. Ex: No lançamento de um dado honesto, podese obter os resultados,, 3, 4,5 e 6, seja, o resultado é incerto. Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. Indicaremos por U. Vejamos alguns exemplos Lançamento de um dado honesto: U {,, 3, 4, 5, 6, } Lançamento de uma moeda: U { cara, coroa} Sexo de um recém nascido: U {masculino, feminino} Evento: É todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório. Considere o experimento aleatório, do lançamento de um dado honesto U {,, 3, 4, 5, 6}, vejamos agora os seguintes eventos: A : Um número par, A {, 4, 6} : Um número par e primo, {} ( evento simples elementar) C: Um número maior que 6, C Ø (evento impossível) D: Um número menor que 7, D {,,3,4,5,6} (evento certo) D U E : Um número menor igual 4 e F: um número maior igual a 4. Então: E {,,3,4} e F { 4,5,6}, observe que E U F U, logo, E e F são chamados de eventos complementares. Indicaremos o complementar de um evento A por Ā G: Um número menor que 3 e H: um número maior que 3. Então: G {,} e H {4,5,6}, observe que G H Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos. PROAILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do evento A o número P( tal que: P( U ), onde : U) nº de elementos do evento A nº de elementos do espaço amostral U blog.portalpositivo.com.br/capitcar

3 PROAILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS: Se A e são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então: P(A U P( A ) + P( ) P (A Se A ø, teremos: P(A U P( A ) + P( ) PROAILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR: Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então: P( + P(Ā) P(Ā) P( MULTIPLICAÇÃO DE PROAILIDADES: Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo que: - O º evento é A e sua probabilidade é P(; - O º evento é e sua probabilidade é P(; - O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C); - O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), então a probabilidade de os eventos A,, C e N ocorram nessa ordem é: P P( A ). P( ). P( C )...P(N) PROAILIDADE CONDICIONAL: Denomina-se probabilidade de A condicionada a a probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que ocorreu vai ocorrer o evento, e é dada por: P(A/ A ) / n ( EXEMPLOS ) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3. SOLUÇÃO: O espaço amostral é U {,, 3, 4, 5, 6}, portanto U) 6 A ocorrência de um múltiplo de 3 é A {3, 6}, portanto P( U ) ,33% blog.portalpositivo.com.br/capitcar 3

4 ) Numa urna existem bolas numeradas de a. Retirando-se bola ao acaso, qual probabilidade de que seu número múltiplo de 4 de 5. SOLUÇÃO: O espaço amostral é U {,, 3,..., }, portanto U) A ocorrência de um múltiplo de 4 é A {4, 8,, 6, 0, 4, 8}, portanto 7 P( n ( U ) 7 A ocorrência de um múltiplo de 5 é {5, 0, 5, 0, 5, }, portanto 6 P( n ( U ) 6 A { 0 }, portanto n ( A ) AI P( AI U ) P(A U P( A ) + P( ) P (A % 3) Se a probabilidade de um piloto ganhar uma corrida é de /5. Qual a probabilidade desse piloto não ganhar essa corrida? SOLUÇÃO: Seja P( /5, probabilidade de ganhar a corrida e P(Ā) a probabilidade de não ganhar a corrida, então: P( + P(Ā) /5 + P(Ā) P(Ā) /5 4/5 80% 4) De um baralho de 5 cartas extraem-se duas cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade se obter um ás e um valete nessa ordem? SOLUÇÃO : Considere os eventos : A :sair um ás na ª retirada, então P( :sair um Logo a probabilidade de ocorrer ás na ª P P(.P( valete na ª retirada, então P( ,60% retirada e valete na ª retirada sem reposição, é dada por : blog.portalpositivo.com.br/capitcar 4

5 5) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois dados foi 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles. SOLUÇÃO : Considere os eventos : A :O 5 em uma das faces, então A { (, ), (, ), (3, 3), (4, 4), 5)}, logo: 9 :A soma dos pontos igual a 8, então {(, 6), (6, ), (3, 3), (4, 4)}, logo : 5 A I {(3, 3)}, então A I Logo a probabilidade de ocorrer A dado que ocorreu é : n ( A I ) P(A/ 40% n ( ) 5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM ) Mariana (Ma), runa (r) e Marcela (Mr) disputam uma corrida. Obtenha, levando em consideração a ordem de chegada: a) O espaço amostral da corrida. Resp: E{MarMr; MaMrr; rmamr; rmrma; MrMa; MrrMa} b) O evento A: runa chega na frente de Mariana. Resp: A {rmamr; rmrma; MrrMa} c) O evento : Marcela venceu a corrida. Resp: {MarMr; MaMrr} ) Considere o experimento: A retirada de bolas simultâneas de uma urna com 5 bolas numeradas. Determine: a) O espaço amostral E. Resp: E {b b ; b b 3 ; b b 4 ; b b 5 ; b b 3 ; b b 4 ; b b 5 ; b 3 b 4 ; b 3 b 5 ; b 4 b 5 } b) O evento A: as duas bolas são ímpares. Resp: A { b b 3 ; b b 5 ; b 3 b 5 } c) O evento : a soma dos números das bolas é maior que 7. Resp: { b 3 b 5 ; b 4 b 5 } d) O evento. Resp: {b b ; b b 3 ; b b 4 ; b b 5 ; b b 3 ; b b 4 ; b b 5 ; b 3 b 4 } 3) Determine a probabilidade de ganhar na mega sena com um cartão de 6 números.resp: ) Uma urna contém bolas brancas, 6 vermelhas e duas azuis. Qual a probabilidade de retirar uma bola vermelha uma bola azul. Resp: 40% 5) Uma moeda é lançada vezes. Calcule a probabilidade de que: a) não ocorra cara em nenhum dos lançamentos. Resp: 5% b) se obtenha cara na ª na ª jogada. Resp: 75% 6) Joga-se um dado vezes. Calcule a probabilidade de se obter na ª jogada, sabendo que a soma dos resultados das duas jogadas de 7. Resp: /6 7) Retiram-se 3 cartas de um baralho de 5 cartas. Após cada retirada, a carta é recolocada. Nessas condições, pede-se a probabilidade de que seja(m): a) 3 cartas de copas. Resp: /64 b) nenhuma carta de copas. Resp: Resp: 7/64 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 5

6 8) Qual a probabilidade de um número inteiro n, n 999, ser múltiplo de 9. Resp: /9 9) Se um certo casal tem 3 filhos, calcule a probabilidade de os três serem do mesmo sexo, dado que o primeiro filho é homem. Resp: /4 0) No lançamento simultâneo de dados, calcule a probabilidade de ocorrer: a) dois números iguais. resp: /6 b) a soma dos pontos ser igual a 6. resp: 5/36 ) (Unesp) Após uma partida de futebol, em que as equipes jogaram com as camisas numeradas de a e não hve substituições, procede-se ao sorteio de dois jogadores de cada equipe para exame anti-doping. Os jogadores da primeira equipe são representados por bolas numeradas de a de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna. Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido com as 0 bolas restantes de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados dois jogadores de números iguais, a probabilidade de que aconteça o mesmo na segunda extração é de: a) 0,09 b) 0, c) 0, d) 0, e) 0,5 Resp: b ) (Pucsp) Uma urna contém apenas cartões marcados com números de três algarismos distintos, escolhidos de a 9. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, a probabilidade de ser sorteado um cartão com um número menor que 500 é: a) 3/4 b) / c) 8/ d) 4/9 e) /3 Resp: d 3 ) (Unesp) Num grupo de 00 pessoas da zona rural, 5 estão afetadas por uma parasitose intestinal A e por uma parasitose intestinal, não se verificando nenhum caso de incidência conjunta de A e. Duas pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente, uma após a tra.determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja afetada por A e a segunda por. Resp: /36 4) (Unesp) Numa gaiola estão 9 camundongos rotulados,,3,...,9. Selecionando-se conjuntamente camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de ser escolhidos), a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo impar é: a) 0, b) 0,47 c) 0,7 d) 0, e) 0, Resp: d 5) (Unesp) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 9 é: a) /6 b) 4/9 c) / d) 5/8 e) 3/7 Resp: d 6) (Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: a) /6 b) /9 c) 4/9 d) 6/8 e) 0/8 Resp: a blog.portalpositivo.com.br/capitcar 6

7 7) (Fatec) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade dele ser um número ímpar é: a) b) / c) /5 d) /4 e) /5 Resp: c 8) (Puccamp) O número de fichas de certa urna é igual ao número de anagramas da palavra VESTIULAR. Se em cada ficha escrevermos apenas um dos anagramas, a probabilidade de sortearmos uma ficha dessa urna e no anagrama marcado as vogais estarem juntas é: a) /5040 b) /60 c) /60 d) / e) /5 Resp: d 9) (Unesp) Um baralho tem cartas, das quais 4 são ases. Retiram-se 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo menos um ás entre as cartas retiradas? Resp:4/45 0) (Unesp) Dois jogadores A e vão lançar um par de dados. Eles combinam que se a soma dos números dos dados for 5, A ganha e se a soma for 8, é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganh. Qual a probabilidade de ter ganho? a) 0/36 b) 5/3 c) 5/36 d) 5/35 e) Não se pode calcular sem saber os números sorteados. Resp: b ) Num grupo de 80 alunos, 50 jogam futebol, 40 jogam vôlei e 0 jogam futebol e vôlei. Escolhendo ao acaso um desses alunos, qual a probabilidade de ele: a) jogar vôlei futebol resp: 7/8 b) jogar somente futebol resp: 3/8 c) não praticar nenhum desses esportes resp: /8 ) De um lote de 4 peças das quais 5 são defeituosas, escolhemos aleatoriamente duas. Determine: a) a probabilidade de que ambas sejam defeituosas. resp: 0/9 b) a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas. resp: 36/9 c) a probabilidade de que uma seja defeituosa. resp: 55/9 3) Considere duas caixas, I e II. Na caixa I há 4 bolas pretas e 6 azuis e na caixa II há 8 bolas pretas e azuis. Escolhi ao acaso uma caixa e, em seguida, tirei uma bola. Qual a probabilidade desta bola ser: a) preta resp: 3/5 b) azul resp: /5 4) Um grupo de pessoas apresenta a seguinte composição: 0 italianos e 0 portugueses; 5 homens e 5 mulheres; 5 casados e 5 solteiros. Determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja um homem casado e português. resp: /36 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 7