ANÁLISE COMBINATÓRIA. Ex: 1) Para a eleição da associação de Pais e Mestres da Escola, há três candidatos a presidente e dois a vice-presidente.
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- Alfredo Olivares Avelar
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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA A Análise Combinatória é uma parte da Matemática que estuda e desenvolve métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem. A origem dos problemas de contagem está ligada a jogos de loterias, ainda no século XVII. As primeiras publicações a respeito pareceram com Blaise Pascal e Pierre de Fermat. Alem desses ilustres personagem, muitos outros posteriormente desenvolveram estudos, com destaque para os suíços Jaques Bernoulli e Leonhard Euler e para o alemão Gottfried W. Leibniz. Esta nossa primeira aula não consiste, em dar absolutamente uma maneira formal para a resolução de problemas de contagem por meio de fórmulas, mas sim algumas técnicas de contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento, como a árvore das possibilidades e o princípio fundamental da contagem. Vejamos alguns problemas. Ex: 1) Para a eleição da associação de Pais e Mestres da Escola, há três candidatos a presidente e dois a vice-presidente. Arnaldo (A) Candidatos a presidente Fábio (F) Candidatos a vice - presidente Carmem (C) Quais e quantos são os possíveis resultados dessa eleição? Beatriz (B) Dárcio (D) Vamos fazer um esquema de resolução para representar os possíveis resultados, ao qual daremos o nome de árvore das possibilidades. Ex: 2) Uma moeda tem duas faces: cara(k) e coroa(c). Lança-se a moeda três vezes consecutivas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quais e quantos são os resultado possíveis? Construindo a árvore das possibilidades, temos:
2 São possíveis 8 resultados. Ex: 3) Quais e quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos 2, 5 e 7? Construindo a árvores das possibilidades, temos: São 6 os possíveis resultados. Ex: 4) Fabíola, Gerson, Hélio, Ivelise e Jacira disputam 2 vagas no conselho da escola. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com os 5 alunos. Construindo a árvore das possibilidades, temos:
3 São 10 comissões de dois alunos, pois as comissões FG GF, FH HF, HG GH, FI IF, GI IG, IH HI, FJ JF, GJ JG, HJ JH e IJ JI PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Vamos aprender agora a determinar o número de possibilidades de ocorrência de evento, sem a necessidade de descrever todas as possibilidades. Considere a seguinte situação: André tem 2 Bermudas ( preta e cinza) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e roxa). De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e uma camiseta? Construindo a árvore das possibilidades, temos:
4 Observe que : ACONTECIMENTO DESCRIÇÃO DAS POSSIBILIDADES NÚMERO DE POSSIBILIDADES Escolha da bermuda P, C 2 Escolha da camiseta B, V, A, R 4 Há duas possibilidades de escolher uma bermuda. Para cada uma delas, quatro possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número total de maneiras diferentes de André se vestir é Como o número de resultados foi obtido por meio de multiplicação, dizemos que foi aplicado o princípio multiplicativo. Vamos enunciá-lo: Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independente, de tal modo que: p 1 é o número de possibilidade da 1ª etapa, p 2 o número de possibilidades da segunda etapa,..., p k é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então: p 1.p 2...p k é o número de possibilidades total de um acontecimento ocorrer.
5 EXEMPLOS Ex: 1) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de carne, 5 variedades de bebida e 3 de sobremesa diferentes. Uma pessoa deseja comer uma salada, uma carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras distintas ela pode fazer o pedido? Acontecimentos Descrição das possibilidades Número das possibilidades Escolha de uma salada S 1, S 2 2 Escolha de um prato de carne C 1, C 2, C 3, C 4 4 Escolha de uma bebida B 1, B 2, B 3, B 4, B 5 5 Escolha de uma sobremesa So 1, So 2, So 3 3 Usando o princípio multiplicativo, o número de maneiras de o pedido ser feito é igual a: maneiras Ex: 2) Os números de telefones de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a quantidade de telefones a serem instalados, sabendo que os números não devem começar com zeros. P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P Usando o princípio multiplicativo, o número máximo de telefones é: Vamos estudar agora problemas de contagem relacionados a algumas formas de organizar ou agrupar elementos de um conjunto. Arranjo Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. n! Fórmula do arranjo simples: A n, p ( n p)! Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam uma corrida. Supondo que todas terminem a prova, quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?
6 n! ( n p)! 4! (4 3)! Resolução: n 4 e p ! 1! A n, p Existem 24 possibilidades diferentes de chegada para os três primeiros lugares. Combinação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos seus elementos componentes. Fórmula da Combinação Simples: C n ; p n! p!( n p)! Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam 3 vagas no conselho da escola. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com os 4 alunos? n! 4! 4! Resolução: n 4 e p 3 C n ; p 4 p!( n p)! 3!(4 3)! 3!.1! Podemos formar 4 comissões. Permutação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela ordem de seus elementos. Fórmula da permutação simples: P n n! Ex: Determine quantos são os anagramas da palavra ROMA? Resolução: P n n! 4! 24 Portanto existem 24 anagramas. Permutação com elementos repetidos: Se tivermos n elementos dos quais, α são iguais A, β são iguais B,δ são iguais a C e etc... O número de permutações distintas dos n elementos será: α, β, δ... n! P n α!. β!. δ!... Ex: Quantos anagramas tem a palavra ARITMÉTICA? Resolução: n 10, a letra A, repete 2 vezes (α 2), a letra I repete 2 vezes (β 2) e a letra T repete 2 vezes ( δ 2 ), portanto: 2, 2 10! P 2, anagramas 2!.2!.2!
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