Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica

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1 Unidade 11 - Probabilidade Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica

2 Probabilidade Empírica Existem probabilidade que são baseadas apenas uma experiência de fatos, sem necessariamente apresentar uma base teórica. Tais probabilidades são denominadas probabilidades empíricas. As probabilidades empíricas são utilizadas nas situações em que pretendemos observar com que frequência certos eventos ocorrem.

3 Probabilidade Empírica Exemplo Existem 4200 estudantes em um curso pré-vestibular. O gráfico de setores a seguir mostra, por exemplo, que o curso de Medicina é o mais procurado. Se um estudante qualquer deste curso pré-vestibular é aleatoriamente escolhido, qual a probabilidade de prestar Direito?

4 Probabilidade Empírica Solução A probabilidade de escolher ao acaso um estudante que prestará vestibular num curso de Direito é o número de estudantes que prestarão o curso de Direito dividido pelo total dos alunos do curso pré-vestibular.. Logo, número de estudantes que prestarão Direito P = número total de estudantes do curso pré - vestibular P = = = 0,23 = 23%

5 Probabilidade Empírica Observe na figura a relação entre alguns eventos e suas correspondentes probabilidades.

6 Probabilidade Teórica As probabilidades teóricas são utilizadas nos experimentos equiprováveis, ou seja, nos experimentos cujos resultados têm a mesma probabilidade de ocorrência. Imagine um lançamento de um dado comum e a observação do resultado obtido na face superior. Mesmo que todos os resultados tenham chance de ocorrer, o resultado que será observado é imprevisível. Os experimentos que apresentam resultados imprevisíveis são denominados experimentos aleatórios. Assim, lançar um dado comum e observar o resultado é um experimento aleatório. O conjunto formado por todos os resultados possíveis do experimentos é denominado espaço amostral do experimento, e denotado por S. Os espaço amostral de um lançamento de um dado comum é

7 Probabilidade Teórica S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Vamos definir o que vem a ser evento. Evento aleatório ou simplesmente evento é um subconjunto qualquer do espaço amostral. Por exemplo, o subconjunto das faces serem par: A de S, A = {2; 4; 6}. Portanto é o evento formado pelos resultados pares no lançamento do dado Outros possíveis eventos: B = {1; 3; 5} faces ímpares; C = {2; 3; 5} faces primos; D = {1} nº f < 2; etc. Conclusão: Enquanto espaço amostral é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

8 Probabilidade Teórica Generalizando Dado um experimento equiprovável qualquer, para calcular a probabilidade teórica de ocorrência de um certo evento A, basta dividir o número de resultados do evento A pelo número total de resultados do espaço amostral S: P = número de resultados do evento A número de resultados do espaço amostral S P = n( A) n( S )

9 Probabilidade Teórica Exemplos 1) Um dado comum é lançado. Qual é a probabilidade de o número obtido ser maior que 4? Solução Deteminar o espaço amostra : { 1; 2; 3; 4; 5; 6} n ( ) = 6 Portanto : A = { 5; 6} n( A) = 2 S = S ( A) ( S ) Estamos interessados nos resultados que são maiores que 4. n 2 1 Logo : P = = = n ,33% Resposta : A probabilidade de o número obtido ser maior que 4 é 33,33%

10 Probabilidade Teórica Exemplos 2) Dois dados comuns são lançados. Qual a probabilidade de a soma dos resultados ser 6 Solução: a) Se dois dados comuns são lançados, pelo princípio multiplicativo, existem 6 x 6 = 36 resultados possíveis no espaço amostral. Assim n(s) = 36 b) Os 36 resultados possíveis são apresentados, a seguir, em pares, juntamente apresentam soma 6

11 Probabilidade Teórica Exemplos O evento A formado pelos resultados cuja a soma é 6, é: A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1)} Logo, n(a) = 5 Desta forma, a probabilidade de obter 6 é P ( A) ( ) n = n S = ,8%

12 Evento complementar Retirando ao acaso uma carta de um baralho comum, qual a probabilidade de não ser uma figura? O espaço amostral do experimento retirar ao acaso uma carta do baralho é constituído pelas 52 cartas de todo o baralho. Entre as 52 cartas, existem 12 que são figuras: E as 40 demais não são figuras.

13 Evento complementar Logo, A :a A :a carta é uma carta e a de não ser é P figura não é uma a probabilidade de a carta ser uma figura é P ( A) = figura (evento complementar de A) ( A) Este exemplo ilustrou uma situação em que temos eventos complementares. e A A = S = Dois eventos A e A são complementares em relação ao mesmo espaço amostral S, quando A A = O

14 Evento complementar A A = O A A A A A = S S

15 Evento complementar Observe Sendo n ( A ) n no diagrama abaixo os eventos A e A de um espaço amostral finito S e não vazio; ( A) + n( A) = n( S) dividindo todos os n( A) n( A) n + = n S n S n ( ) o número de resultados do evento A, podemos escrever que : ( ) substituindo as P termos por n( S) ( S) ( S) probabilidades correspontendes ( A) + P( A) = 1 (a soma das probabilidades é1ou 100%) substraindo P ( A) de ambos os membros da última equação, concluimos que :

16 Evento complementar A probabilidade de um evento qualquer não ocorre é 1 menos a probabilidade deste evento ocorrer. ( ) A 1- P( A) P =

17 Evento complementar Exemplo Com uma oposta em um único cartão de 6 números, qual a probabilidade de alguém não ganhar o prêmio máximo na Mega Sena? Solução A probabilidade P ( A) de alguém ganhar o prêmio máximo na Mega Sena é Jogando nos15 números máximos por cartela P = n n Logo, a P P ( A) ( S ) 1 = , probabilidade P( A) de alguém não ganhar o prêmio máximo é ( A) = 1 P( A) ( A) = P ( A) = 0, ,99%

18 Regra da Soma de Probabilidades Retirando uma carta de um baralho comum, qual a probabilidade de ser um figura ou uma carta de copas? Solução Um baralho possui 12 figuras e 13 cartas de copas entre suas 52 cartas. Como estamos interessados nas figuras ou nas cartas de copas, vamos começar somando as probabilidades: 12 P(figuras) + P (copas) = + 52 Entretanto existem 3 cartas que são simultaneamente figuras e de copas

19 Regra da Soma de Probabilidades Portanto, não encontraremos a respostas simplesmente somando as probabilidades. Como as 3 cartas comuns foram contabilizadas tanto entre as figuras, quanto as de copas, é preciso subtrair a probabilidade de a carta retirada ser uma figura de copas. P(carta figuras ou de copas) = P(carta figuras ou de copas) = 52 = = ,3%

20 Regra da Soma de Probabilidades Generalizando A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma da probabilidade de A com a de B, menos a probabilidade simultânea de A e B. ( A ou B) = P(A) P(B) - P(A e B) P + Usando as operações entre conjuntos, podemos também expressá-la de uma outra maneira, porém equivalente: P ( A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

21 Regra da Soma de Probabilidades Exemplo No lançamento de um dado comum, qual a probabilidade de se obter um número ímpar ou maior que 4? Solução: Espaço amostra: S = {1; 2; 3; 4; 6} n(s) = 6 Evento A: A = {1; 3; 5} n(a) = 3 Evento B: B = {5; 6} n(b) = 2 Evento A B: A B = {5} n(a B) = 1 Probabilidade de A B : P(A B) P(A B) = = P(A) + P(B) = P(A B) = = = 2 3 6,6%

22 Regra da Soma de Probabilidades Observação Pode ser provar que para três eventos A, B e C a regra da soma de probabilidade é dada por: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)

23 Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos são mutuamente exclusivos quando é impossível ocorrerem simultaneamente. Assim, A e B são mutuamente exclusivos se A B = O Por exemplo, no lançamento de um dado, os eventos A: o número observado é maior que 4 e B: o número observado é menor que 3 são mutuamente exclusivos: A = {5; 6} B = {1; 2}

24 Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos mutuamente exclusivos não apresentam resultados comuns. Portanto Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é simplesmente, a soma das probabilidade de A e B, ou seja, P(A B) = P(A) + P(B)

25 Eventos mutuamente exclusivos Exemplo Se uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho comum, qual a probabilidade de ser rei ou uma dama? Num baralho, não existem cartas que sejam simultaneamente rei e dama. Os eventos ser um rei e ser uma dama são, portanto mutuamente exclusivos. Como existem 4 reis e 4 damas entre as 52 cartas do baralho, a probabilidade de retirarmos um rei ou uma dama é a soma das probabilidades individuais de cada um. P( rei ou dama) = P(rei) + P(dama) P( rei ou dama) = + = = 15,38%

26 Regra do Produto de Probabilidades Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B, indica-se por P(A B), é a probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B, dada a ocorrência de A. P(A B) = P(A).P(B/A)

27 Regra do Produto de Probabilidades Observação A regra do produto de probabilidade também pode ser expressa da seguinte maneira: P(A B) = P(A).P(A/B) Isto ocorre porque P(A B) = P(B A)

28 Regra do Produto de Probabilidades Exemplo Uma urna tem 10 bolas, sendo 3 azuis e 7 brancas. Duas retiradas ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca? Solução: Na primeira retirada, há na urna 3 bolas azuis entre todas as 10 bolas. Logo a probabilidade de a primeira ser azul é de 3/10. Se as retiradas são efetuadas sem reposição, o número total de bolas na urna vai diminuindo uma unidade a cada retirada. Após a retirada da primeira bola azul, há 7 bolas brancas entre todas as 9 bolas restantes. Portanto, a probabilidade de a segunda bola ser branca, dado que a primeira foi azul é 7/9. P ( A1 B2 ) = P( A1 ).( B2 / A1 P( A B ) = = = ) 23,3%

29 Probabilidade Condicional A probabilidade do evento A, dada a ocorrência do evento B, representa por P(A/B), é a probabilidade de ocorrer A e B, dividida pela probabilidade do evento B. P( A B) P( A/ B) =, P( B) P( B) 0

30 Probabilidade Condicional É importante perceber que, em P(A/B), o cálculo refere-se à probabilidade de A na certeza da ocorrência do evento B. Assim, o evento B é certo, enquanto que o evento A é incerto.

31 Probabilidade Condicional 1º Observação Analogamente, a probabilidade de evento B, dada pela ocorrência do evento A, é dada por: P( A B) P( B / A) =, P( A) P( A) 0

32 Probabilidade Condicional 2º Observação Em geral, P(A/B) não é igual a P(B/A). Isto ocorre porque, apesar de ambas as probabilidades condicionais apresentarem o mesmo numerador, cada uma delas tem um denominador diferente, já que a informação conhecida não é a mesma.

33 Probabilidade Condicional Exemplo Um pescador sai diariamente para pescar com probabilidade de 30% em dias de chuva e de 80% nos demais dias. Se onde ele mora, a probabilidade de chuva num dia qualquer é de 40%, então a) Qual a probabilidade de que o pescador vá pescar amanhã? b) Qual a probabilidade de chover em um dia em que o pescador foi pescar?

34 Probabilidade Condicional Solução Vamos representar adequadamente cada 1) P(C) = 2) P(C) = 3) P(P/C) = 4)P(P/ C) = 40% é a 60% é a 30% é a 80% é a probabilidade de ocorrer chuva um dos eventos : num dia probabilidade de não ocorrer chuva num dia qualquer; probabilidade de pesca em um dia de chuva; probabilidade de pesca em um dia qualquer; de não chuva.

35 Probabilidade Condicional Solução a) Qual a probabilidade de que o pescador vá pescar amanhã? O fato de ser amanhã ou qualquer outro dia, não altera a probabilidade. A pergunta também não especifica se é um dia de chuva ou não. Assim, no cálculo, devemos considerar a pesca tanto em dias de chuva, quanto em dias de não chuva.

36 Probabilidade Condicional Solução a) P( pesca) = P [( Chuva e pesca) ou ( Nãochuva e Pesca) ] P( P) = P( C P) + P( C P) Desmembrando as interseções por meio da P(P) = P(C).P(P/C) + P(C).P(P/C) regra Substituindo as probabilidade correspondentes P(P) = 40%.30% + 60%.80% P(P) = Portanto, independente da ocorrência de chuva, do produto de probabilidade P( P) = + = = a 60% probabilidade de pesca 60%.

37 Probabilidade Condicional Solução b) Qual a probabilidade de chover em um dia em que o pescador foi pescar? A probabilidade de chover em um dia em que o pescador foi será representado por P (Chuva/Pesca). Observe que, neste caso, temos uma probabilidade condicional, pois P (Chuva/Pesca) é a probabilidade de ocorrer chuva, sabendo-se que o pescador foi a pesca. Usando a relação da probabilidade condicional, temos:

38 Probabilidade Condicional Solução b) P( Chuva / pesca) = P ( Chuva e pesca) P( Pesca) P( C P) P( C / P) = P( P) Substituindo as probabilidade P( C / P) = 100 =. = = 0,20 = 20% O resultado indica que, das vezes em que o pescador vai pescar, em 20% delas chove. Logo, a probabilidade de chuva em um dia em que o pescador foi pescar é 20%

39 Exemplo 1: Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros, copas, paus e espadas). Determine a probabilidade de sortearmos uma carta e sair um rei, sabendo que a carta sorteada foi de ouros. 1ª SOLUÇÃO: Pela fórmula Evento A = sair um rei, p = 4/52 = 1/13, já que o baralho comum possui 4 reis, dentre as 52 cartas. Evento B = sair uma carta de ouros p = 13/52, já que o baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe. Evento A B = sair um rei de ouros = 1/52, pois só existe um rei de ouros entre as 52 cartas. Aplicando a fórmula dada, teremos: 1 p(a B) p (A/B) = = 52 = p(b) ª SOLUÇÃO: Poderíamos obter diretamente a resposta, considerando que, como saiu uma carta de ouros, o universo se restringe às 13 cartas de ouros, das quais, uma é o rei, logo a probabilidade procurada é p = 1/

40 O exemplo mostrado serve para ilustrar uma importante situação no cálculo das probabilidades: aquela na qual a probabilidade condicional de A na certeza de B é igual à probabilidade de A (ou seja a ocorrência de B não influi na probabilidade de ocorrência de A). Nesse caso, dizemos que os eventos A e B são INDEPENDENTES. E, nesse caso, temos: p(a/b) = P(A) = p(a p(b) B) p(a B) = p(a). P(B) EVENTOS INDEPENDENTES Exemplo 2: Uma moeda honesta e um dado são lançados. Qual a probabilidade de obtermos cara e um número primo? SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, teremos: p = ½. 3/6 = ¼ = 25%.

41 Exemplo 2) (UNIRIO 2008) Leia a tirinha abaixo: Lúcio está certo: desde o dia 07/07/2007, existem dois grupos de 7 Maravilhas do Mundo: as 7 do Mundo Antigo e as 7 do Mundo Moderno e nenhuma pertence a ambos os conjuntos. Suponha que se escolham, aleatoriamente, duas entre essas 14 Maravilhas. Determine a probabilidade de ambas estarem em um mesmo grupo. SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, para que as sorteadas estejam num dos grupos, teremos a probabilidade igual a 7/14 x 6/13 = 3/13. Como são dois grupos, a resposta será 6/13.

42 EXEMPLO 3: Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2 e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois componentes não falhe? SOLUÇÃO: Como são dispositivos INDEPENDENTES (A = falha o primeiro, B = falha o segundo), a probabilidade de que os dois falhem (A B) será dada por p = 0,2 x 0,3 = 0,06. Como que se deseja é que, ao menos um deles não falhe, estamos diante da probabilidade complementar do evento calculado anteriormente, logo, a probabilidade procurada será igual a: p = 1 0,06 = 0,94 = 94%.