Aula 1: Introdução à Probabilidade

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1 Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012

2 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo de observação. Por exemplo, considere medirmos a corrente elétrica em um fio de cobre ou medirmos o peso de um tijolo. Quando repetimos tal experimento, os resultados podem diferir. Esta variação de resultados é denominada de componente aleatório do nosso experimento. Se as variações forem desprezíveis, estas podem ser ignoradas. Porém, frequentemente nos deparamos com situações onde é importante levar as variações em consideração. O objetivo de se estudar Probabilidade e Estatística é compreender, quantificar e modelar os tipos de variações ou fenômenos aleatórios que encontramos com frequência.

3 Experimento Aleatório Os seguintes traços caracterizam um experimento aleatório: (a) Se for possível repetir as mesmas condições do experimento, os resultados do experimento em diferentes realizações podem ser diferentes, ou seja, existem variáveis ou fatores que não consegue-se controlar. (b) Pode-se descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. (c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que torna possível construir um modelo probabilístico. Os resultados de um experimento aleatório são caracterizados pelos seguintes componentes: 1 o conjunto de resultados possíveis Ω; 2 a coleção de conjuntos de resultados de interesse A; 3 um valor numérico P da verossimilhança ou probabilidade de ocorrência de cada um dos conjuntos de resultados de interesse.

4 Espaço Amostral O conjunto de possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Existem quatro pontos que são desejáveis da especificação de um espaço amostral: SS1. listar os possíveis resultados do experimento; SS2. fazê-lo sem duplicação; SS3. fazê-lo em um nível de detalhamento suficiente para os interesses desejados; SS4. especificar essa lista completamente em um sentido prático, embora usualmente não completa no que se refere a todos os resultados logicamente ou fisicamente possíveis. Por exemplo, em uma única jogada de uma moeda poderíamos ter: Ω 1 = {cara, coroa}; Ω 2 = {cara,coroa, borda}; ou Ω 3 = {(x,y) IR 2 }, onde (x, y) são as coordenadas do centro da moeda após parar. Espaços amostrais podem ser enumeráveis ou não enumeráveis; se os elementos do espaço amostral podem ser colocados em uma correspondência 1-1 com um subconjunto dos inteiros, o espaço amostral é enumerável.

5 s Se estivermos interessados no número de chamadas que chega a uma central telefônica em um dado intervalo de tempo, temos que o espaço amostral pode ser o conjunto de inteiros não-negativos IN. Se estivermos medindo o peso de 1 tijolo produzido em uma fábrica, temos que o espaço amostral pode ser o conjunto de reais não-negativos IR +. Se estivermos medindo o peso de 2 tijolos produzidos em uma fábrica, temos que o espaço amostral pode ser o conjunto IR + IR +.

6 Eventos e Coleção de Eventos Um evento é um subconjunto do espaço amostral. Se ao realizarmos um experimento aleatório, o resultado pertence a um dado evento A, dizemos que A ocorreu. Utilizaremos as operações Booleanas de conjuntos (complementar, união, intersecção, diferença) para expressar eventos combinados de interesse. Definição Dado um espaço amostral Ω e um conjunto qualquer I, uma partição Π = {A α,α I} de Ω é uma coleção de eventos que satisfaz: P1. Para todo α β, A α A β = ; P2. α IA α = Ω. Portanto, cada elemento ω Ω pertence a um, e somente um, dos eventos A α de uma partição. Se dois eventos não possuem nenhum resultado em comum, diz-se que são disjuntos ou mutuamente exclusivos.

7 Alguns s Sejam A, B, e C eventos em um mesmo espaço amostral Ω. Expresse os seguintes eventos em função de A, B, e C e operações Booleanas de conjuntos. (a) Pelo menos um deles ocorre. (b) Exatamente um deles ocorre. (c) Pelo menos dois ocorrem. (d) No máximo dois deles ocorrem. (e) Ambos A e B ocorrem, mas C não ocorre. A coleção de intervalos {(n,n+1] : n Z} é uma partição dos números reais IR.

8 Frequências Relativas Resta-nos discutir o terceiro elemento para modelagem do raciocínio probabilístico, a associação de uma medida numérica a eventos que representam a probabilidade com que eles ocorrem. As propriedades desta associação são motivadas em grande parte pelas propriedades de frequência relativas. Ao repetirmos um experimento aleatório n vezes sua frequência relativa nada mais é que a fração de vezes que este evento ocorre, ou seja, Definição A frequência relativa de um evento A determinada por n repetições de um experimento aleatório é r n(a) = Nn(A), n onde N n(a) é o número de vezes que o evento A ocorreu nas n realizações do experimento.

9 Suponha que lança-se um dado 10 vezes e obtém-se a seguinte sequência de resultados: {1, 2, 2,6, 5,4, 4,4, 6,1}. A frequência relativa do evento A = {2, 4} é igual a r 10(A) = 5/10, a frequência relativa do evento B = {3, 5} é igual a r 10(B) = 1/10 e a frequência relativa de A B é igual a r 10(A B) = 6/10.

10 Frequências Relativas Propriedades chaves da frequência relativa são: FR0. r n : A IR. FR1. r n(a) 0. FR2. r n(ω) = 1. FR3. Seja A i,i = 1,2,...,k, uma coleção finita de eventos disjuntos par a par. Então, r n( k i=1a i ) = k i=1 rn(a i). Assumiremos que ao aumentarmos o número de repetições do experimento, a frequência relativa de um evento A tende a se estabilizar ao redor de um número P(A), que chamamos de probabilidade do evento A. Salientamos que o sentido de convergência quando n cresce só pode ser explicado pela Lei dos Grandes Números, que não será discutida em detalhes neste curso. Esta tendência da frequência relativa de estabilizar em um certo valor é conhecida como regularidade estatística. Deste modo, P herdará propriedades da frequência relativa r n.

11 Axiomas de Kolmogorov São um conjunto de propriedades que definem que tipos de funções matemáticas podem ser adotadas para descrever um modelo probabilístico. Os primeiro quatro axiomas podem ser motivados pelas propriedades de frequência relativa. K0. Inicial. O experimento aleatório é descrito pelo espaço de probabilidade (Ω,A, P) que consiste do espaço amostral Ω, de uma coleção A de eventos de Ω, e de uma função de valores reais P : A IR. K1. Não-negatividade. A A, P(A) 0. K2. Normalização Unitária. P(Ω) = 1. K3. Aditividade Finita. Seja A i,i = 1, 2,...,n, uma coleção finita de eventos disjuntos par a par. Então, P( n i=1a i ) = n i=1 P(A i). Um último axioma foi proposto por Kolmogorov para garantir um certo grau de continuidade da medida de probabilidade. K4. σ-aditividade. Se {A i } é uma coleção enumerável de eventos disjuntos dois a dois, então P( i=1a i ) = P(Ai ).

12 Medida de Probabilidade Definição Uma função que satisfaz K0 K4 é chamada de uma medida de probabilidade. Observação Os axiomas de Kolmogorov não descrevem um único modelo probabilístico, eles apenas determinam uma família de modelos probabilísticos, a escolha de um modelo específico satisfazendo os axiomas é feito pelo analista/estatístico familiar com o fenômeno aleatório sendo modelado.

13 s de Medidas de Probabilidade Se Ω for um conjunto finito, então temos que a probabilidade clássica que assume que todos os resultados são igualmente prováveis, é um exemplo de uma medida de probabilidade. Neste caso, temos que P(A) = A Ω, onde A é o número de elementos de A. O fato que 0 A Ω e que A B = A + B A B, permitem que verifiquemos que P satisfaz os axiomas de Kolmogorov. Seja Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n} um conjunto finito, e seja P({ω i }) = p i, onde p i 0, n i=1 p i = 1, e P(A) = ω i A P({ω i}). Neste caso, também é fácil verificar que P é uma medida de probabilidade verificando os axiomas. Portanto, no caso de qualquer conjunto finito (ou infinito enumerável), pode-se calcular a probabilidade de qualquer evento somando-se as probabilidades dos eventos que consistem de resultados individuais.

14 Propriedades de Probabilidade Teorema Se P é uma medida de probabilidade, então 1 P(A c ) = 1 P(A). 2 P( ) = 0. 3 P(A) 1. 4 Se A B, então P(A) P(B). 5 P(A B) max(p(a),p(b)) min(p(a),p(b)) P(A B). 6 P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). 7 Se {A i } é uma partição enumerável de Ω feita de conjuntos em A, então para todo B A P(B) = P(B A i ). i 8 P( n i=1a i ) n i=1 P(A i). 9 P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1)+P(A 2)+P(A 3) P(A 1 A 2) P(A 1 A 3) P(A 2 A 3)+P(A 1 A 2 A 3).

15 Exercícios Uma peça selecionada para teste é igualmente provável de ser produzida em qualquer uma de seis ferramentas de corte. (a) Qual o espaço amostral? (b) Qual é a probabilidade da peça ser proveniente da ferramenta 3 ou 5? (c) Qual é a probabilidade da peça não ser da ferramenta 4?

16 Exercícios (cont.) Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, com P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 e P(C) = 0,4, determine: (a) P(A B C). (b) P(A c (B C)). (c) P((A B) C). Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, será possível obter P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 e P(C) = 0,5? Justifique.

17 Princípios de Contagem Amostragem com Reposição. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem n k sequências distintas de comprimento k escolhida desse conjunto com repetidas seleções do mesmo elemento sendo permitida. Amostragem sem Reposição. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem n(n 1)(n 2)(n k + 1) sequências distintas de comprimento k escolhida desse conjunto com repetidas seleções do mesmo elemento não sendo permitida. Permutações. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem n(n 1)(n 2) (2)(1) n! maneiras de ordenar sequncialmente estes elementos. n! é chamado de em fatorial de n. Subconjuntos. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem n! = ( n k!(n k)! k) diferentes subconjuntos de k elementos. Recorde que em um conjunto a ordem dos elementos não importa, por isso existem menos subconjuntos que sequências de um mesmo tamanho de um dado conjunto. ( n k) é chamado de binomial de n, k a k, e determina o número de maneiras de se escolher k elementos de um conjuntos com n elementos.

18 Exercícios (cont.) Dentre 8 números positivos e 6 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual é a probabilidade que o produto seja um número positivo?

19 Exercícios (cont.) Em um grupo de r pessoas qual a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia, assumindo que a distribuição de aniversários é uniforme ao longo do ano e desprezando a existência de anos bissextos?

20 Exercícios (cont.) Solução: O número de resultados possíveis para os aniversários de r pessoas é 365 r. O número de casos possíveis onde todas as pessoas fazem aniversário em dias diferentes é dado por (365 (r 1)). Portanto, o número de casos possíveis onde pelo menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia é a diferença entre o número total de aniversários possíveis e o número de casos onde as pessoas têm aniversários em datas diferentes, ou seja, é igual a 365 r (365 (r 1)). Logo, a probabilidade deste evento é: (365 (r 1)) 365 r. Para r = 23, temos que essa probabilidade é aproximadamente igual a 0,51. E para r = 50, essa probabilidade é igual a 0,97.

21 Exercícios (cont.) Doze pessoas são divididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade de duas determinadas dessas pessoas ficarem no mesmo grupo?

22 Exercícios (cont.) Solução: O número total de divisões de doze pessoas em 3 grupos de 4 é igual a ( )( 4)( 4). Vamos agora contar o número de casos favoráveis ao nosso evento. Existem 3 opções de escolhermos em qual grupo as duas pessoas determinadas podem ficar. Das 10 pessoas restantes, temos que escolher mais duas para estarem neste grupo, o que podemos fazer de ( 10 2) maneiras diferentes. E temos ( 8 4 4)( 4) maneiras diferentes de dividir as outras 8 pessoas nos dois grupos restantes. Portanto, a probabilidade de duas determinadas pessoas ficarem no mesmo grupo é: 3 ( ) 2)( 4)( 4 ( ) = 4)( 4)(

23 Probabilidade Condicional Probabilidade é baseada em informação e conhecimento. Nosso objetivo é saber como atualizar o valor da probabilidade quando esta base de informação ou conhecimento é alterada. Em particular, como alterar a probabilidade de um dado evento A quando sabe-se que um determinado evento B ocorreu? Seja n o número de vezes que repete-se um experimento. Seja N A (resp., N B > 0 e N A B ) o número de vezes que o evento A (resp., B e A B) ocorre nessas n repetições. A probabilidade condicional de A dado que sabe-se que B ocorreu, P(A B), segundo uma interpretação frequentista, sugere que ela deve ser igual ao limite das frequências relativas condicionais do evento A dado o evento B, isto é, deve ser o limite N A B /N B quando n tende ao infinito. Seja r A = N A /n a frequência relativa do evento A. Note que N A B /N B = r A B /r B e que segundo a interpretação frequentista de probabilidade r A B /r B é aproximadamente igual a P(A B)/P(B) para valores grandes de n.

24 Probabilidade Condicional Definição Seja (Ω,A,P) um espaço de probabilidade. Se A,B A e P(B) > 0 a probabilidade condicional de A dado B é definida por P(A B) = P(A B) P(B) Teorema Seja B um evento tal que P(B) > 0, então: 1 P(A B) 0. 2 P(Ω B) = 1. 3 Se A 1,A 2,... é uma coleção enumerável de eventos disjuntos par a par, então P( i A i B) = i P(A i B).

25 Probabilidade Condicional Observação Este teorema implica que para um evento fixo B que satisfaz P(B) > 0, a função P( B) : A IR satisfaz todos os axiomas de Kolmogorov e portanto é uma medida de probabilidade. Logo, todas as propriedades válidas para probabilidade incondicional continuam válidas para probabilidade condicional. A probabilidade condicional também satisfaz as seguintes propriedades: 1 P(B B) = 1; 2 P(A B) = P(A B B); 3 se A B, então P(A B) = 1; 4 P(A B C) = P(A B C)P(B C). 5 P(A 1 A 2) = P(A 1 A 2)P(A 2). 6 P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1 A 2 A 3)P(A 2 A 3) = P(A 1 A 2 A 3)P(A 2 A 3)P(A 3).

26 s Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes, independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabilidade condicional de (a) pelo menos um dos números ser 6, (b) a soma dos números ser 8? Solução: Para parte (a), note que existem 30 resultados possíveis para os lançamentos do dado de modo que o mesmo número não se repita, dos quais 10 o número 6 ocorre. Portanto, esta probabilidade é igual a 1/3. Para parte (b), note que existem 4 resultados possíveis que somam 8 dado que os números são diferentes, logo esta probabilidade é igual a 4/30.

27 Um lote contém 15 moldes provenientes de um fornecedor local e 25 de um fornecedor de um estado vizinho. Três moldes são selecionados ao acaso e sem reposição. Seja A i o evento um que o i-ésimo molde selecionado seja proveniente do fornecedor local. Determine: (a) P(A 1). (b) P(A 2 A 1). (c) P(A 1 A 2). (d) P(A 1 A 2). (e) P(A 1 A 2 A 3). (f) P(A 1 A 2 A c 3).

28 Teorema da Probabilidade Total Utilizando este teorema pode-se obter uma probabilidade (incondicional) de uma probabilidade condicional. Teorema Seja a sequência de eventos B 1,B 2,... uma partição de Ω, então para todo A A P(A) = P(A B i )P(B i ) i:p(b i ) 0 Interpretação: B 1,B 2,... são possíveis causas e o evento A é um efeito particular associado a uma causa, P(A B i ) especifica a relação estocástica entre a causa B i e o efeito A.

29 Teorema da Probabilidade Total Por exemplo, seja {D,D c } uma partição do espaço amostral, onde D é o evento que um dado indivíduo possui uma certa doença. Seja A o evento que determinado teste para o diagnóstico da doença deu positivo. Então, P(A D c ) - falso positivo. P(A c D) - falso negativo. Estas probabilidades determinam a qualidade do teste, quanto menores as probabilidades de falso negativo e falso positivo melhor a qualidade do teste. Caso as probabilidades P(D),P(A D),P(A D c ) sejam conhecidas pode-se usando o Teorema da Probabilidade Total obter a probabilidade incondicional de determinado exame dar positivo P(A). Porém geralmente, o que se busca é saber que dado que o resultado de um exame deu positivo qual a probabilidade de que o indivíduo esteja doente.

30 Fórmula de Bayes Pode-se obter esta probabilidade utilizando a famosa fórmula de Bayes: P(A D) P(D A) = P(A D)+P(A D c ) P(A D)P(D) = P(A D)P(D)+P(A D c )P(D c ). Mais geralmente, quando temos uma partição B 1,B 2,..., a fórmula de Bayes é dada por: P(B i A) = P(A B i) j P(A B j) = P(A B i ) j:p(b j ) 0 P(A B j) = P(A B i )P(B i ) j:p(b j ) 0 P(A B j)p(b j ). As probabilidades P(B i ) são usualmente chamadas de probabilidades a priori e as probabilidades condicionais P(B i A) são chamadas de probabilidades a posteriori.

31 s Jogos do campeonato paulista de futebol ocorrem durante a semana e também nos fins de semana. Suponha que exatamente metade dos jogos ocorram nos fins de semana. Suponha ainda que o São Paulo ganhe 50% dos jogos durante o fim de semana, e perca em 20% de seus jogos no fim de semana. Finalmente, suponha que o São Paulo ganhe todos os jogos que ocorrem durante a semana. (a) Determine a probabilidade do São Paulo empatar um jogo qualquer. (b) Dado que o São Paulo ganhou seu último jogo, qual a probabilidade deste jogo ter ocorrido durante a semana?

32 s Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade da primeira bola ser branca sabendo que a segunda bola é branca. Solução: Sejam B 1 e B 2 os eventos a primeira bola é branca e a segunda bola é branca, respectivamente. Queremos calcular P(B 1 B 2). Utilizando a fórmula de Bayes, temos P(B 1 B 2) = P(B 2 B 1)P(B 1) P(B 2 B 1)P(B 1)+P(B 2 B c 1 )P(Bc 1 ). Mas P(B 2 B 1) = 3 9, P(B2 Bc 1) = 4 9, P(B1) = 4 10 e P(Bc 1) = Logo, P(B 1 B 2) = = = 1 3.

33 s Se P(C D) = 0, 4 e P(D C) = 0, 5, que evento é mais provável C ou D?

34 s Uma fábrica tem 3 máquinas que produzem o mesmo ítem. As máquinas A e B são responsáveis, cada uma, por 40% da produção. Quanto à qualidade, as máquinas A e B produzem 10% de ítens defeituosos cada uma, enquanto a máquina C apenas 2%. Um ítem é selecionado ao acaso da produção dessa fábrica. (a) Qual a probabilidade do ítem selecionado ser defeituoso? (b) Se o ítem selecionado for defeituoso, qual a probabilidade que tenha sido produzido pela máquina A?

35 Independência Intuição: dois eventos são independentes se eles não têm nada haver um com o outro, eles são totalmente não relacionados; a ocorrência de um não tem nenhuma influência sobre o outro. Por exemplo, resultados de lançamentos sucessivos de uma moeda. Pode-se usar probabilidades condicionais para formalizar esta intuição da seguinte forma, A é independente de B se P(A B) = P(A). Mas usando a definição de probabilidade condicional, chega-se a seguinte conclusão A é independente de B se P(A B) = P(A)P(B). Como esta última expressão é definida inclusive para o caso de P(B) = 0, ela é a expressão adotada como a definição de independência entre eventos. Definição O evento A é independente do evento B se P(A B) = P(A)P(B).

36 Independência Note que esta definição de independência implica que independência é um conceito simétrico em teoria da probabilidade, isto é, A é independente de B se e somente se B é independente de A. Note que esta definição também implica que eventos A e B são independentes se P(A) = 0 ou P(B) = 0. Teorema A é independente dele mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1. Prova: P(A A) = P(A) = P(A)P(A) P(A) = 0 ou P(A) = 1.

37 Independência Intuitivamente, se A é independente de B o fato que B não ocorreu, ou seja que B c ocorreu, não deve alterar a probabilidade de A. Portanto, é de se esperar que se A e B são independentes, então A e B c também são. O seguinte teorema prova que esta intuição é verdadeira. Teorema Se A e B são eventos independentes, A e B c (resp., A c e B, A c e B c ) também o são.

38 Independência O conceito de independência também se aplica a uma coleção arbitrária de eventos {A i } i I, onde I é um conjunto de índices. Neste caso, têm-se duas definições. Definição Uma coleção de eventos {A i } i I é independente par a par se para todo i j I, A i e A j são eventos independentes. Definição Uma coleção qualquer de eventos {A i } i I é mutuamente independente se para todo J I finito, P( i J A i ) = i J P(A i ).

39 s Considere os seguintes exemplos que ilustram o conceito de independência. Se Ω = {1, 2,3, 4} e P({w}) = 1/4, então A = {1, 2}, B = {1, 3}, e C = {2, 3} são eventos independentes par a par. Pode-se verificar isto pelo fato que P(A B) = P({1}) = 1 4 = = P(A)P(B). Similarmente, pode-se provar o mesmo resultado para os outros pares. Contudo, a probabilidade P(A B C) = P( ) = 0 P(A)P(B)P(C) = 1 8. Então, A, B, e C não são mutuamente independentes.

40 s Assuma que A 1,...,A n são eventos mutuamente independentes e que P(A i ) = p i. Nós calculamos as probabilidades dos seguintes eventos: O evento A é o evento que todos estes eventos ocorrem, então P(A) = P( n i=1a i ) = n P(A i ) = O evento B é o evento que nenhum desses eventos ocorre, então P(B) = P( n i=1a c i ) = i=1 n P(A c i ) = i=1 n i=1 p i n (1 p i ) O evento C é o evento que pelo menos um desses eventos ocorre, então C = B c n P(C) = P(B c ) = 1 P(B) = 1 (1 p i ) i=1 i=1

41 s Considere que um dado honesto é lançado duas vezes. Defina os seguintes eventos: A = {O primeiro dado é igual a 1, 2, ou 3.} B = {O primeiro dado é igual a 3, 4, ou 5.} C = {A soma dos resultados das duas jogadas é igual a 9.} (a) Mostre que P(A B C) = P(A)P(B)P(C). (b) Os eventos A, B, e C são mutuamente independentes? Justifique sua resposta.

42 Variável Aleatória Suponha que uma moeda é lançada cinco vezes. Qual é o número de caras? Esta quantidade é o que tradicionalmente tem sido chamada de variável aleatória. Intuitivamente, é uma variável porque seus valores variam, dependendo da sequência de lançamentos da moeda realizada; o adjetivo aleatória é usado para enfatizar que o seu valor é de certo modo incerto. Formalmente, contudo, uma variável aleatória não é nem aleatória nem é uma variável. Quando os possíveis resultados do experimento aleatório não são numéricos é conveniente resumir estes resultados através de um número. Por isto, é importante trabalhar com variáveis aleatórias. Definição Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade. Uma função X : Ω IR é chamada de variável aleatória se para todo evento de interesse A em IR, X 1 (A) = {w Ω : X(w) A} A.

43 Considere três lançamentos de uma moeda honesta. O espaço amostral para este experimento aleatório consiste de todas as possíveis sequências de tamanho 3 de caras e coroas, isto é: Ω = {(cara, cara, cara),(cara, cara, coroa),(cara, coroa, cara), (cara, coroa, coroa),(coroa, cara, cara),(coroa, cara, coroa), (coroa, coroa, cara),(coroa, coroa, coroa)}. Seja A o conjunto de todos os subconjuntos de Ω. Neste caso qualquer função real de Ω é uma variável aleatória. Por exemplo, seja X a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos nos três lançamentos. Então, X pode assumir quatro valores, 3, 1, -1, ou -3. Nosso objetivo é estudar a probabilidade de X assumir cada um desses possíveis valores. Para isso veremos, diferentes maneiras de descrever o comportamento probabilístico de X dependendo se X assumir valores discretos ou contínuos. Como a moeda é honesta cada um dos possíveis resultados em Ω tem a mesma probabilidade 1/8. Como poderemos obter então a probabilidade de X ser negativo?

44 Probabilidade Induzida Dada uma variável aleatória X e uma coleção de eventos de interesse B de IR, pode-se definir uma probabilidade induzida P X para todo A B da seguinte maneira: P X (A) = P(X 1 (A)). Por definição de variável aleatória, tem-se que X 1 (A) A, então P X está bem definida. Pode-se provar que P X satisfaz os axiomas de Kolmogorov e portanto satisfaz todas as propriedades de uma medida de probabilidade. No exemplo anterior, temos que se o evento de interesse A são todos os reais negativos, então X 1 (A) são todos os resultados do experimento que nos dão valores negativos para X, ou seja, são os resultados que contém menos caras que coroas: (cara, coroa, coroa), (coroa, cara, coroa), (coroa, coroa, cara) e (coroa, coroa, coroa). Portanto, P X (A) = 4 1/8 = 1/2.

45 Observações Em muitos casos, os possíveis resultados do experimento aleatório já são numéricos e podemos descrevê-lo por (IR,B,P X ), onde X(w) = w, w IR, ou seja, os resultados dos experimento aleatório já são numéricos e descrevem a característica de interesse que queremos analisar. É importante enfatizar que é usual se referir a variáveis aleatórias por letras maiúsculas X, Y, Z,... e aos valores que tais variáveis podem assumir por letras minúsculas x, y, z,... Observação Muitas vezes escreve-se P(X A) para representar P({w Ω : X(w) A}). Por exemplo, P(X 5) = P({w Ω : X(w) 5}).

46 Considere que lançamos 3 vezes uma moeda que tem probabilidade de cair cara igual 2/3. Seja X o número de coroas obtido. Determine: (a) P(X < 3). (b) P(1 < X < 3). (c) P(X > 1 X < 3).

47 Função de Distribuição Acumulada Para uma variável aleatória X, uma maneira simples e básica de descrever a probabilidade induzida P X é utilizando sua função de distribuição acumulada. Definição A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X, representada por F X, é definida por F X (x) = P(X x), x IR.

48 Propriedades da Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada F X satisfaz as seguintes propriedades: F1. Não-decrescente. Se x y, então F X (x) F X (y). F2. Continua à Direita. Se x n x +, então F X (x n) F X (x). F3. Se x n, então F X (x n) 0, e se x n, então F X (x n) 1. Teorema Uma função real G satisfaz F1 F3 se e somente se G é uma função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória X.

49 Propriedades da Função de Distribuição Acumulada Condição F2 significa que toda função de distribuição acumulada F X é continua à direita. Ainda mais, como F X é não-decrescente e possui valores entre 0 e 1, pode-se provar que ela tem um número enumerável de descontinuidades do tipo salto e que o tamanho do salto da função em um dado ponto a é igual a probabilidade da variável aleatória assumir este valor, ou seja, P X (a) = F X (a) F X (a ). Observação F X (a ) = lim x a F X (x) é o limite de F X (x) quando x tende a a por valores menores que a, ou seja, o limite a esquerda F X (x) quando x tende a a.

50 Determinando Probabilidades de Intervalos Suponha que saibamos que a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é dada por F X. Vamos ver como determinar a probabilidade de X pertencer a um dado intervalo real. Considere números reais a e b, tais que a < b, então: P(X a) = F X (a). P(X > a) = 1 P(X a) = 1 F X (a). P(X < a) = P(X a) P(X = a) = F X (a) (F X (a) F X (a )) = F X (a ). P(X a) = 1 P(X < a) = 1 F X (a ). P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F X (b) F X (a). P(a < X < b) = P(X < b) P(X a) = F X (b ) F X (a). P(a X b) = P(X b) P(X < a) = F X (b) F X (a ). P(a X < b) = P(X < b) P(X < a) = F X (b ) F X (a ).

51 Exercícios Determine quais das seguintes funções são funções de distribuição acumuladas, especificando a propriedade que não for satisfeita caso a função não seja uma distribuição acumulada. (a) e x 1+e x (b) e x

52 Exercícios Considere a seguinte função G(x). a 2b se x < 0, ax se 0 x < 1, G(x) = a+b(x 1) se 1 x < 2, 1 se x 2. (a) Determine as restrições que as constantes a e b devem satisfazer para que a função G(x) seja função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória X. (b) Determine o valor de P(1/2 X 3/2) em função de a e b.