QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

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1 LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN João Pessoa Edição do Autor 2014

2 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução à Álgebra que passou a ser ministrada na UAB/UFPB a partir de É um complemento de outro texto que contenha o desenvolvimento detalhado da teoria. Dedica-se principalmente a alunos dos cursos de Licenciatura ou Bacharelado em Matemática, Física, Química ou Engenha Elétrica (Telecomunicações). No início, fazemos um pequeno resumo dos assuntos vistos ao longo do semestre: operações binárias, grupos, anéis, corpos e polinômios. Depois, iniciamos a resolução de vários exercícios relacionados com os esses temas para ajudar na fixação do conteúdo. No final, são apresentados alguns testes do tipo múltipla escolha. É importante observar que os exercícios foram colocados em ordem crescente de dificuldade. Os que iniciam com A (Ex.: A1, A2, etc.) são os mais fáceis, os que iniciam com B (Ex.: B1, B2, etc.) são os médios e os que iniciam com C são os mais difíceis. João Pessoa, 8 de janeiro de 2014 Lenimar Nunes de Andrade i

3 Sumário 1 Resumo da teoria Operações binárias Grupos Homomorfismo de grupos Grupos cíclicos Principais proposições Anéis Corpos Homomorfismos de anéis Anéis-quocientes Polinômios Grau de um polinômio Notação usual Polinômios irredutíveis Operações binárias 28 3 Grupos e subgrupos 38 4 Homomorfismos, isomorfismos, grupos cíclicos 48 5 Classes laterais, subgrupos normais, grupos-quocientes 58 6 Anéis, subanéis, anéis de integridade, corpos 64 7 Homomorfismos de anéis, ideais, anéis-quocientes 74 8 Polinômios 82 9 Exercícios de revisão Testes Operações binárias Grupos e subgrupos ii

4 10.3 Homomorfismos, isomorfismos, grupos cíclicos Classes laterais, subgrupos normais, grupos quocientes Anéis, subanéis, anéis de integridade, corpos Homomorfismos e isomorfismos de anéis Ideais e anéis-quocientes Polinômios iii

5 Capítulo 1 Resumo da teoria 1.1 Operações binárias Uma operação binária (ou simplesmente uma operação ) sobre um conjunto A é uma função de A A em A que associa a cada par (x, y) A A um único elemento de A que é denotado por x y. Comutatividade Uma operação sobre A é comutativa quando Exemplos x y = y x, x, y A A adição de inteiros é comutativa, ou seja, x + y = y + x, x, y. A multiplicação de inteiros também é comutativa, ou seja, x y = y x, x, y. A multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, isto é, existem matrizes A e B tais que AB BA. 1

6 A composição de funções também não é uma operação comutativa, isto é, existem funções f e g tais que f g g f. Associatividade Uma operação sobre A é associativa quando Exemplos x (y z) = (x y) z, x, y, z A A adição de números reais é associativa, ou seja, x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z. A multiplicação de números reais é associativa, ou seja, x (y z) = (x y) z, x, y, z. A subtração de números reais não é uma operação associativa. Por exemplo, 5 (2 1) = 5 1 = 4 e (5 2) 1 = 3 1 = 2 de onde temos que 5 (2 1) (5 2) 1. Elemento neutro Um elemento e A é denominado elemento neutro para a operação sobre A quando x e = e x = x, x A Exemplos O 0 (zero) é o elemento neutro da adição de inteiros. O 1 (um) é o elemento neutro da multiplicação de inteiros. A matriz identidade n n é o elemento neutro da operação de multiplicação de matrizes n n. A operação de potenciação x y = x y definida sobre os inteiros positivos não tem elemento neutro. Elemento inverso Se uma operação sobre A possuir elemento neutro e, então um elemento x A é denominado invertível (ou simetrizável) quando existir x 1 A tal que x x 1 = x 1 x = e 2

7 Exemplos Todo x possui um inverso com relação à operação de adição de inteiros: é o inteiro x. Por exemplo, o inverso (aditivo) de 3 é o 3. Na multiplicação usual dos números racionais, todo x = p q possui um inverso (multiplicativo) que é o elemento x 1 = q p, com exceção apenas do 0 (zero) que não tem inverso com relação à multiplicação. Distributividade Sejam e duas operações definidas sobre um conjunto A. Dizemos que é distributiva com relação a quando x (y z) = x y x z, x, y, z A e (x y) z = x z y z, x, y, z A. Exemplo No conjunto dos números inteiros, a multiplicação é distributiva com relação à adição porque: x (y + z) = x y + x z (x + y) z = x z + y z para quaisquer x, y, z. Parte fechada Consideremos um conjunto A, X um subconjunto de A e uma operação definida sobre A. Dizemos que X é parte fechada de A com relação à operação quando x, y X x y X. 3

8 Tábua de uma operação A tábua de uma operação definida sobre um conjunto finito A = {a 1, a 2,, a n } é uma tabela onde o resultado da operação a i a j é colocado na i-ésima linha e j- ésima coluna. 1.2 Grupos a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 4 a 1 a 5 a 2 a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a 3 a 2 a 4 a 2 a 5 a 3 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 a 3 a 3 a 4 a 3 a 5 a 4 a 4 a 1 a 4 a 2 a 4 a 3 a 4 a 4 a 4 a 5 a 5 a 5 a 1 a 5 a 2 a 5 a 3 a 5 a 4 a 5 a 5 Um grupo é um conjunto G no qual está definida uma operação que satisfaz às seguintes propriedades: é associativa, ou seja, x (y z) = (x y) z, x, y, z G admite elemento neutro, ou seja, e G tal que x e = e x = x, x G Para cada elemento x G, x 1 G tal que x x 1 = x 1 x = e Além disso, se for comutativa, então o grupo G é denominado comutativo ou abeliano. Exemplos O conjunto dos inteiros com a adição usual é um grupo. O conjunto dos números reais não nulos com a operação de multiplicação usual é um grupo. Grupos de permutações Sejam E um conjunto não vazio e S E o conjunto de todas as funções bijetoras f : E E. Com a operação de composição de funções, (S E, ) é um grupo denominado grupo de permutações sobre E. 4

9 Notação Em particular, quando E = {1, 2,, n}, onde n é um inteiro positivo fixado, S E é denotado por S n. Se f : E E for tal que f (i) = a i, para todo i E, então f costuma ser denotada na forma ( ) n f = a 1 a 2 a 3 a n O total de funções que podem ser construídas dessa forma é de n!. Exemplo Sejam E = {1, 2, 3} e σ, ρ S 3 definidas por σ = ( ) Então ρ σ = ρσ = ( ) e ρ = ( ). Grupos de classes de restos Sejam n > 1 um inteiro e n = { 0, 1,, n 1}, onde ā = {a+kn k }, a. O conjunto n é denominado conjunto das classes de restos módulo n. Definindo-se a seguinte operação de adição sobre n então ( n, +) é um grupo abeliano. x + ȳ = x + y, 5

10 Exemplo Escolhendo n = 5, temos que em 5 são válidas as igualdades: = 3, = 4, = = 0, = 2, = 1 Subgrupos Seja (G, ) um grupo. Um subconjunto não vazio H G que seja fechado com relação à operação é denominado um subgrupo de G quando (H, ) também for um grupo. Exemplos H = (, +) é um subgrupo de G = (, +) O conjunto H dos inteiros pares com a operação de adição usual é um subgrupo de G = (, +). O conjunto H = ( +, ) dos números reais positivos com a operação de multiplicação usual é um subgrupo de G = (, ) O conjunto N = (, ) dos reais negativos com a multiplicação não é subgrupo de G = (, ), porque N não é fechado com relação à multiplicação. 1.3 Homomorfismo de grupos Uma função f de um grupo (G, ) em um grupo (J, ) chama-se um homomorfismo quando f (x y) = f (x) f (y), x, y G. 6

11 Exemplos Se G = J = (, +), então f : G J, f (x) = 2x é um homomorfismo de grupos porque f (x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f (x) + f (y), x, y G. Se G = (, ) e J = (, ), então f :, f (x) = x 2 é um homomorfismo de grupos porque f (x y) = (x y) 2 = x 2 y 2 = f (x) f (y), x, y. Sejam G = (, +), J = (, ) e g :, g(x, y) = 2 x y. Para quaisquer (a, b), (c, d), temos que: g((a, b)+(c, d)) = g(a+c, b+d) = 2 (a+c) (b+d) = 2 (a b)+(c d) = 2 a b 2 c d = g(a, b) g(c, d). Logo, g é um homomorfismo de G em J. Núcleo de um homomorfismo Se f : G J for um homomorfismo de grupos, o núcleo de f, denotado por N( f ), é o conjunto de todos os elementos do domínio G cujas imagens através de f são iguais ao elemento neutro de J: N( f ) = {x G f (x) = e J } Exemplos Vamos determinar o núcleo de cada um dos homomorfismos dos exemplos anteriores. Seja f : (, +) (, +), f (x) = 2x. O elemento neutro do contradomínio de f é o 0 (zero). Se x N( f ), então f (x) = 0 2x = 0 x = 0. Logo, o núcleo de f é formado apenas pelo 0 (zero), isto é, N( f ) = {0}. 7

12 Sejam G = (, ), J = (, ), f : G J, f (x) = x 2. O elemento neutro de J é o 1 (um). Se x N( f ), então devemos ter f (x) = 1, ou seja, x 2 = 1 x = ±1. Logo, N( f ) = { 1, 1}. Sejam G = (, +), J = (, ), g :, g(x, y) = 2 x y. Se (x, y) N(g), então g(x, y) = 1 = elemento neutro de J 2 x y = 1 2 x y = 2 0 x y = 0 x = y. Logo, N(g) = {(x, y) x = y} = {(x, x) x }. Isomorfismo de grupos Um isomorfismo de um grupo G em um grupo J é um homomorfismo de G em J que também é uma função bijetora. Se existir um isomorfismo de G em J então dizemos que G e J são isomorfos e denotamos isso por G J. Exemplo A função f (x) = log(x) é um isomorfismo de G = ( +, ) em J = (, +) porque: f : +, f (x) = log(x) é bijetora; Para quaisquer x, y + temos: f (x y) = log(x y) = log(x) + log(y) = f (x) + f (y). Potências e múltiplos Em um grupo multiplicativo (G, ) com elemento neutro e, dados x G e n, definimos a potência x n da seguinte forma: x n 1 x, se n 1 x n = e, se n = 0 (x 1 ) n, se n < 0 Pela definição, x 0 = e, x n = x x x x } {{ } n fatores se n < 0. Múltiplos se n > 0 e x n = x 1 x 1 x 1 x 1 } {{ } ( n) fatores Em um grupo aditivo (G, +) com elemento neutro 0, dados x G e n, definimos o múltiplo nx da seguinte forma: (n 1)x + x, se n 1 nx = 0, se n = 0 ( n)( x), se n < 0 8

13 Pela definição, 0x = 0, nx = } {{ } x + x + x + + x n parcelas nx = } {{ } ( x) + ( x) + ( x) + + ( x) se n < 0. ( n) parcelas se n > 0 e A definição de múltiplo é muito parecida com a de potência. 1.4 Grupos cíclicos Grupo gerado por um elemento Seja x um elemento de um grupo multiplicativo (G, ). O grupo gerado por x, denotado por [x] (ou por x ) é o conjunto de todas as potências de expoente inteiro de x: [x] = {x k k } = {..., x 3, x 2, x 1, x, e, x, x 2, x 3,... } Se (J, +) for um grupo aditivo e y J, então [y] é o conjunto de todos os múltiplos de y: [y] = {ky k } = {..., 3y, 2y, y, 0, y, 2y, 3y,... } Exemplo Em G = (, ), temos: [2] = {2 k k } = {..., 1 8, 1 4, 1 2, 1, 2, 4, 8,... } Grupos cíclicos Um grupo G é denominado cíclico se existir x G tal que G = [x]. Neste caso, todos os elementos de G são potências (ou múltiplos) de x que é denominado um gerador de G. Exemplos (, +) é um grupo cícliclo porque todo inteiro é múltiplo de 1, ou seja, = [1]. Um grupo cíclico pode ter mais de um gerador. Note que neste caso temos também = [ 1]. ( 5, ) é um grupo cíclico gerado por 2 porque [ 2] = { 2 0, 2 1, 2 2, 2 3 } = { 1, 2, 4, 3} = 5. 9

14 O grupo multiplicativo dos reais, (, ), não é um grupo cíclico porque não existe um número real x tal que todo número real seja igual a alguma potência de x. Classes laterais Consideremos um grupo (G, ), um subgrupo H G e x G. A classe lateral à esquerda, módulo H, definida por x, denotada por x H, é o conjunto definido por x H = {x h h H} A classe lateral à direita, módulo H, definida por x, denotada por H x, é o conjunto definido por H x = {h x h H} As classes laterais à esquerda podem coincidir ou não com as classes à direita. Podemos ter x H = H x ou x H H x, dependendo do x e do H. Exemplo 1 Sejam G = ( 8, +) e um subgrupo H = { 0, 2, 4, 6}. A classe lateral à esquerda definida pelo elemento 1 é: 1 + H = 1 + { 0, 2, 4, 6} = { 1 + 0, 1 + 2, 1 + 4, 1 + 6} = { 1, 3, 5, 7}. A classe lateral à esquerda definida pelo elemento 2 é: 2 + H = 2 + { 0, 2, 4, 6} = { 2 + 0, 2 + 2, 2 + 4, 2 + 6} = { 2, 4, 6, 0}. Exemplo 2 Consideremos G = (, ) e um subgrupo H = {3 k k }, ou seja, H = {, 1 9, 1 3, 1, 3, 9, 27, }. A classe lateral à direita definida pelo elemento 2 G é: H 2 = {3 k 2 k } = {, 2 9, 2 3, 2, 3 2, 9 2, 27 2, }. Índice de H em G Sejam G um grupo finito e H um subgrupo de G. O índice de H em G é o número de classes laterais distintas módulo H em G e é denotado por (G : H). 10

15 Exemplo Sejam G = ( 6, +) e H = { 0, 3}. As classes laterais módulo H são: 0 + H = { 0 + 0, 0 + 3} = { 0, 3} 1 + H = { 1 + 0, 1 + 3} = { 1, 4} 2 + H = { 2 + 0, 2 + 4} = { 2, 5} As outras classes 3 + H = { 3, 0}, 4 + H = { 4, 1}, etc. coincidem com as anteriores. Dessa forma, temos um total de 3 classes laterais distintas e, consequentemente, (G : H) = 3. Subgrupo normal e grupo quociente Sendo (G, ) um grupo, um subgrupo N de G é denominado normal quando x N = N x para todo x G. Neste caso, denotaremos N normal em G por N G. Grupo quociente Consideremos N G. O conjunto de todas as classes laterais módulo N é um grupo com a operação definida por (an)(bn) = (ab)n, a, b G e é denominado grupo quociente de G por N. O grupo quociente de G por N é denotado por G/N. 1.5 Principais proposições Teorema de Lagrange Se G for um grupo finito e H um subgrupo de G, então a ordem de H é um divisor da ordem de G e o quociente da divisão é igual ao índice de H em G. Em símbolos: o(g) = o(h) (G : H). Teorema do Homomorfismo Seja f : G J um homomorfismo de grupos sobrejetor. Se N for o núcleo de f, então N G e G/N J. 11

16 1.6 Anéis Seja A um conjunto com duas operações: uma adição (+) e uma multiplicação ( ). Dizemos que (A, +, ) é um anel quando A é um grupo abeliano com relação à adição: x, y, z A, x + (y + z) = (x + y) + z x, y A, x + y = y + x Existe 0 A tal que x + 0 = x, x A Para todo x A, existe ( x) A tal que x + ( x) = 0 A multiplicação é associativa: x, y, z, (x y) z = x (y z) A multiplicação é distributiva com relação à adição: x (y + z) = x y + x z e (x + y) z = x z + y z para quaisquer x, y, z A. Exemplos O conjunto dos números inteiros é um anel com relação às operações de adição e multiplicação de inteiros usuais. Também são anéis os seguintes conjuntos numéricos: (, +, ), (, +, ) e (, +, ). Sendo n um inteiro positivo, O conjunto dos múltiplos de n n = {nk k } é um anel com as operações de adição e multiplicação usuais dos inteiros. Dado n > 1 um inteiro, o conjunto M n n ( ) das matrizes quadradas n n com elementos em é um anel com relação à adição e à multiplicação de matrizes definidas de forma usual. Exemplo Dado n um inteiro positivo, o conjunto das classes de restos módulo n, n = { 0, 1,, n 1}, é um anel com relação às operações de adição e multiplicação definidas da seguinte forma: x + ȳ = x + y e para quaisquer x, ȳ n. x ȳ = x y, 12

17 Subanéis Seja (A, +, ) um anel e S um subconjunto de A. Dizemos que S é um subanel de A quando (S, +, ) também for um anel com as operações de A restritas ao conjunto S. Exemplos O conjunto dos múltiplos de 2, 2, é um subanel de com as operações de adição e multiplicação de inteiros usuais. Em geral, (n, +, ) é um subanel de (, +, ) para qualquer inteiro positivo n. Subanéis A proposição a seguir fornece um critério bastante útil para se determinar se um conjunto S é subanel de um anel A. Proposição Sejam (A, +, ) e S um subconjunto de A. Então, S é um subanel de A se, e somente se, S for fechado com relação à subtração e à multiplicação de A, ou seja, se, e somente se, x y S e x y S para quaisquer x, y S. Observação Em um anel A, a diferença x y de dois elementos x, y A é definida como sendo x y = x + ( y). Subanéis Exemplo Consideremos no anel A = (M 2 2 ( ), +, ) o conjunto S = É claro que S porque, por exemplo, [ ] S. {[ x 0 y 0 [ ] x 0 Além disso, dados dois elementos quaisquer de S, M = e N = y 0 [ ] [ ] x z 0 x z 0 temos que M N = S e M N = S. y t 0 y z 0 ] } x, y. [ z 0 t 0 ], 13

18 Usando a Proposição anterior, concluímos que S é um subanel de A. Anéis comutativos Um anel (A, +, ) é denominado comutativo se a sua multiplicação for comutativa, ou seja, se x y = y x, x, y A. Exemplos O anel dos inteiros (, +, ) é um anel comutativo porque x y = y x, x, y. Também são comutativos os seguintes anéis:,,, m com as operações usuais de adição e multiplicação definidas em cada um desses conjuntos. Dado n > 1 um inteiro, o anel (M n n ( ), +, ) das matrizes quadradas n n com elementos em não é comutativo. Anéis com unidade Um anel com unidade é um anel A cuja multiplicação possui elemento neutro, denotado por 1 A ou simplesmente por 1, e denominado a unidade do anel. Exemplos O número 1 é a unidade dos anéis (, +, ), (, +, ),(, +, ) e (, +, ). Logo, esses são exemplos de anéis com unidade. Dado m 2 inteiro, ( m, +, ) é um anel com unidade. Neste caso, a unidade é a classe 1. Sendo n um inteiro maior do que 1, o anel (n, +, ) não possui unidade. Anéis de integridade Um anel comutativo com unidade A é denominado anel de integridade quando Definição x, y A, x y = 0 x = 0 ou y = 0. Dizemos que x 0 e y 0 em um anel A são divisores próprios de zero quando x y = 0. 14

19 Observação De acordo com as definições anteriores, um anel de integridade é um anel comutativo com unidade que não tem divisores próprios do zero. Exemplos No anel dos inteiros, se x, y são tais que x y = 0, então temos que x = 0 ou y = 0. Logo, é um anel de integridade. Também são anéis de integridade:, e. Em 8, os elementos 2 e 4 são diferentes de 0, mas 2 4 = 8 = 0. Logo, 2 e 4 são divisores próprios do zero em 8 e, consequentemente, 8 não é anel de integridade. [ ] 0 2 Em A = M 2 2 ( ) consideremos os elementos X = [ 0 0 Y não são matrizes nulas, no entanto X Y = 0 0 próprios do zero e A não é anel de integridade. [ ]. X e e Y = 0 0 ]. Logo, X e Y são divisores 1.7 Corpos Um anel comutativo com unidade K é denominado um corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, Exemplos x K, x 0 x 1 K tal que x x 1 = 1. Os anéis, e são exemplos de corpos (com as operações de adição e multiplicação usuais). não é um corpo, porque nem todo elemento de possui inverso multiplicativo. Por exemplo, 2 e não existe y tal que 2 y = 1. Se p for um inteiro primo positivo, então p é um corpo. Proposição Todo corpo é um anel de integridade. 15

20 Observação A recíproca da proposição anterior não é válida, ou seja, nem todo anel de integridade é um corpo. O exemplo mais conhecido dessa situação é o anel dos inteiros. Proposição Todo anel de integridade finito é um corpo. 1.8 Homomorfismos de anéis Uma função f : A B de um anel A em um anel B é denominada homomorfismo de anéis quando forem verificadas as duas seguintes propriedades: x, y A, f (x + y) = f (x) + f (y); x, y A, f (x y) = f (x) f (y) Exemplo Sejam A =, B = e a função f : A B, f (x) = (0, x). Se x, y, então f (x + y) = (0, x + y) = (0, x) + (0, y) = f (x) + f (y) Temos também: f (x y) = (0, x y) = (0, x) (0, y) = f (x) f (y). Logo, f é um homomorfismo do anel A no anel B. Homomorfismos de anéis O núcleo de um homomorfismo f : A B, denotado por N( f ) ou por ker( f ), é definido como sendo o conjunto de todos os elementos de A cuja imagem pela f é igual ao zero do anel B: Exemplo N( f ) = {x A f (x) = 0 B } Com relação ao exemplo anterior, vamos determinar o seu núcleo. Suponhamos a N( f ). Então pela definição de núcleo, f(a) = (0, 0) = zero do anel B. Como f (a) = (0, a), temos que (0, a) = (0, 0) de onde resulta que a = 0. Assim, o núcleo de f é o conjunto N( f ) = {0}. 16

21 Homomorfismos de anéis Propriedades Seja f : A B um homomorfismo de anéis. São válidas as seguintes propriedades: f (0 A ) = 0 B onde 0 A representa o zero do anel A e 0 B é o zero de B; f ( x) = f (x), x A; f (x y) = f (x) f (y), x, y A; f é uma função injetora se, e somente se, N( f ) = {0 A }; Se S é um subanel de A, então f (S ) é um subanel de B. Se f for uma função sobrejetora e A possuir unidade 1 A, então o mesmo acontece com B e a unidade de B é 1 B = f (1 A ); Se f for sobrejetora, A tiver unidade e x for invertível (com relação à multiplicação), então f (x) também é invertível e f (x 1 ) = [ f (x)] 1. Isomorfismos de anéis Um isomorfismo de um anel A em um anel B é uma função f : A B que é um homomorfismo e bijetora. Observações Se existir um isomorfismo de anéis f : A B, então f 1 : B A também é um isomorfismo. Quando existir um isomorfismo de A em B, então diremos que A e B são isomorfos e denotamos isso por A B. Se A e B forem anéis isomorfos, então eles têm as mesmas propriedades, a diferença entre eles é basicamente os nomes dos elementos. Ideais Em um anel comutativo A, um subconjunto não vazio I A é um ideal em A quando ele satisfizer às seguintes propriedades: x y I, x, y I; a x I, x I e a A 17

22 Exemplo Sejam A = e I = 2 = conjunto dos inteiros pares. É claro que I, porque 0 I; Se x, y I, então x = 2m e y = 2n com m, n. Daí, temos que x y = 2m 2n = 2(m n) I; Se a A, então a x = a (2m) = 2(a m) I. Portanto, 2 é um ideal em. Em geral, n = {nx x } é um ideal em, n. Ideais Sejam A um anel comutativo e a 1, a 2,, a n A, onde n 1 é um inteiro. O conjunto formado por todas as combinações do tipo x 1 a 1 + x 2 a x n a n, com x 1, x 2,, x n A é um ideal em A que é denominado ideal gerado por a 1, a 2,, a n e é denotado por a 1, a 2,, a n. Quando I = a = {x a x A} for um ideal geral por um único elemento a de um anel comutativo A, então I é denominado ideal principal gerado por a. Exemplos O conjunto dos números pares é um ideal principal de porque é gerado pelo 2. Em geral, I = n é um ideal principal de e I = n. 1.9 Anéis-quocientes Seja I um ideal em um anel comutativo A. O anel quociente de A por I é o conjunto A/I = {x + I x A} com as operações de adição e multiplicação definidas a seguir: Adição: (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, x, y A Multiplicação: (x + I) (y + I) = (x y) + I, x, y A 18

23 Exemplo Consideremos o anel A = e o ideal I = 5 = múltiplos de 5 (operações de adição e multiplicação usuais). Temos que: 0 + I = {, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, } = I 1 + I = {, 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16, } 2 + I = {, 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, } 3 + I = {, 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18, } 4 + I = {, 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, } 5 + I = {, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, } = I Portanto, o anel-quociente de A por I é A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}. Sendo A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}, alguns exemplos de adição entre seus elementos são (2+I)+(1+I) = (2+1)+I = 3+I e (2+I)+(4+I) = (2+4)+I = 6 + I = 1 + I. Todas as possíveis adições entre seus elementos podem ser observadas na seguinte tábua: + I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 1 + I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I I 2 + I 2 + I 3 + I 4 + I I 1 + I 3 + I 3 + I 4 + I I 1 + I 2 + I 4 + I 4 + I I 1 + I 2 + I 3 + I Sendo A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}, alguns exemplos de multiplicação entre seus elementos são (2 + I) I = (2 + I) (0 + I) = (2 0) + I = 0 + I = I e (2 + I) (4 + I) = (2 4) + I = 8 + I = 3 + I. Todas as possíveis multiplicações entre seus elementos podem ser observadas na seguinte tábua: I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I I I I I I I 1 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 2 + I I 2 + I 4 + I 1 + I 3 + I 3 + I I 3 + I 1 + I 4 + I 2 + I 4 + I I 4 + I 3 + I 2 + I 1 + I 19

24 Observações e teoremas Observação 1 Um ideal em um anel A é um tipo particular de subanel de A, mas nem todo subanel é um ideal. Observação 2 Todo anel possui pelo menos dois ideais: o próprio anel e o conjunto unitário formado só pelo zero; esses são chamados os ideais triviais do anel. Em um corpo K, seus únicos ideais são os triviais: {0} e K. Teorema 1 O núcleo N( f ) de um homomorfismo de anéis f : A B é um ideal em A. Teorema 2 Se f : A B é uma função sobrejetora que também é um homomorfismo de anéis, então A/N( f ) e B são anéis isomorfos Polinômios Seja A um anel. Uma sequência de elementos em A é uma função f : A. que costuma ser representada na forma f = (a 0, a 1, a 2, ), ou de forma mais simplificada f = (a i ). Nesse formato, estamos representando f (k) por a k, para todo k. O elemento a k A é denominado o k-ésimo termo da sequência. Exemplos f = ( 3, 0, 1, π, 5, 6, 10, 3, 3, 5, ) é uma sequência de elementos em g = ( 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 0, 0,, 0, 0, ) é uma sequência de elementos em 5. Definição Consideremos duas sequências f = (a i ) e g = (b i ). Igualdade: Dizemos que f = g quando a i = b i para todo i. Adição: A soma de f com g é uma sequência h = (c i ) tal que c i = a i + b i para todo i. 20

25 Multiplicação: O produto de f por g é uma sequência j = (d i ) tal que d i = i a i k b k para todo i. k=0 Observação O produto das sequências f = (a i ) e g = (b i ) é uma sequência h = (d i ) cujos termos são: d 0 = a 0 b 0, d 1 = a 1 b 0 + a 0 b 1, d 2 = a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2, d 3 = a 3 b 0 + a 2 b 1 + a 1 b 2 + a 0 b 3, d k = a k b 0 + a k 1 b 1 + a k 2 b a 0 b k Definição Em um anel A, uma sequência (a 1, a 2, a 3, ) com a i A para todo i é denominada polinômio sobre A quando existir um índice s tal que a k = 0 para todo k > s. O conjunto de todos os polinômios com coeficientes no anel A é denotado por A[x]. Observação Uma sequência que é um polinômio tem todos os seus termos nulos a partir de certa ordem. Por isso, um polinômio também é denominado sequência quase-nula. Os termos de um polinômio também são chamados de coeficientes. Exemplo f = (5, 6, 9, 3, 0, 0,, 0, ), onde a k = 0 se k > 3 é um polinômio sobre o anel Grau de um polinômio Consideremos f = (a i ) um polinômio não nulo. O grau de f é o maior índice dos termos não nulos de f, ou seja, é definido como sendo igual a n se a n 0 e a k = 0 para todo k > n. Neste caso, o termo a n é denominado coeficiente dominante de f. O polinômio nulo o = (0, 0, 0,, 0, ) não tem grau definido. Notação: O grau de um polinômio f é denotado por f ou por gr( f ). Exemplos O termo não nulo de p = (5, 2, 1, 8, 0, 0,, 0, ) [x] que tem o maior índice é o a 3 = 8; logo, o grau de p é 3, ou seja, p = 3. 21

26 O termo não nulo de q = ( 2, 0, 0, 3, 1, 0, 0,, 0, ) 5 [x] que tem o maior índice é o a 4 = 1; logo, q = 4. Em um anel A, se a A, então o polinômio do tipo c = (a, 0, 0, 0,, 0, ) é um polinômio de grau 0 e é denominado polinômio constante em A[x] Notação usual Seja A um anel com unidade. O polinômio x = (0, 1, 0, 0,, 0, ) é denominado indeterminada sobre A. Usando a definição de produto de polinômios, temos: x 2 = x x = (0, 0, 1, 0, 0, 0,, 0, ) x 3 = x 2 x = (0, 0, 0, 1, 0, 0,, 0, ) x 4 = x 3 x = (0, 0, 0, 0, 1, 0,, 0, ), etc. Dado um polinômio qualquer f = (a 0, a 1, a 2,, a n, 0, 0, ) de A[x] temos que f = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Essa notação é considerada a usual para indicar um polinômio f. Exemplos O polinômio p = ( 3, 2, 3, 4, 5, 1, 0, 0, 0,, 0, ) [x] é denotado na forma usual por p = 3 + 2x + 3x 2 + 4x 3 5x 4 + x 6 ou por p(x) = 3 + 2x + 3x 2 + 4x 3 5x 4 + x 6 ; O polinômio q = (4, 5, 3, 2, 7, 0, 0, 0,, 0, ) [x] é denotado na forma usual por q = 4 + 5x 3x 2 + 2x 3 + 7x 4 ou por q(x) = 4 + 5x 3x 2 + 2x 3 + 7x 4 ; O polinômio q = ( 2, 3, 0, 0, 1, 7, 0, 0, 0,, 0, ) 8 [x] é denotado na forma usual por f = 2 + 3x + x 4 + 7x 5 ou por f (x) = 2 + 3x + x 4 + 7x 5. Os graus dos polinômios p(x), q(x) e f (x) anteriores são: p = 6, q = 4 e f = 5. 22

27 Proposições básicas A soma e o produto de dois polinômios de A[x] dá como resultado um polinômio de A[x]. Se A for um anel, então A[x] também é. Se A for um anel comutativo, então A[x] também é. Se A for um anel com unidade, então A[x] também é. Se A for um anel de integridade, então A[x] também é. Em geral, A[x] não é um corpo (mesmo que A seja um corpo). Se p = f e q = g, então ( f + g) = max(p, q) e ( f g) p + q. Se A for um anel de integridade ou um corpo, então ( f g) = p + q. Todo anel A é isomorfo ao subanel de A[x] formado por todos os polinômios constantes. Divisão de polinômios Sendo A um anel comutativo com unidade, dados dois polinômios f e g em A[x], dizemos que f divide g quando existir h A[x] tal que g = f h. Notação: Denotamos f divide g por f g e f não divide g por f g. Observação f divide g é considerado o mesmo que: f é divisor de g ou g é divisível por f ou g é múltiplo de f. Exemplo Sejam f (x) = x 2 e g(x) = x 2 5x + 6 = (x 2) (x 3). Considerando h(x) = x 3, temos que g(x) = f (x) h(x) e daí concluímos que f (x) g(x). Teorema (Algoritmo da Divisão) Seja K um corpo. Dados dois polinômios f, g K[x], existe um único q K[x] (denominado quociente) e um único r K[x] (denominado resto) tais que f = g q + r e r = 0 ou r < g. 23

28 Exemplo Dividir f (x) = 6x 4 + 5x 3 10x 2 + 7x 8 por g(x) = x 2 2x + 1. Dividindo 6x 4 por x 2 obtemos 6x 2. Multiplicamos 6x 2 por g(x) e subtraimos o produto de f (x). Repetimos esse procedimento até obtermos um polinômio de grau menor do que o grau de g(x). Obtivemos quociente q(x) = 6x x + 18 e resto r(x) = 26x 26. Observe que f (x) = g(x) q(x) + r(x). Raízes de polinômios Sejam A um anel comutativo com unidade, f (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n A[x] e s A. O valor de f em s, denotado por f (s), é o seguinte elemento de A: f (s) = a 0 + a 1 s + a 2 s a n s n. Quando f (s) = 0, dizemos que s é uma raiz do polinômio f. Exemplo Sejam f (x) = 4 + x 2 x 3, r = 2 e s = 3. Temos: f (r) = f (2) = = 0 f (s) = f (3) = = 14 Portanto, r é uma raiz do polinômio f (x), mas s não é. 24

29 Proposição Sejam A um anel comutativo com unidade, f A[x] e g = x s A[x]. O resto da divisão de f por g é igual a f (s); f é divisível por g se, e somente se, f (s) = 0 (ou seja, s é raiz de f (x)). Exemplos Em [x], dados f = x 2 + 5x + 3 e g = x 4, então o resto da divisão de f por g é f (4) = = 39. Consideremos f (x) = x 3 8 e g(x) = x 2. O resto da divisão de f (x) por g(x) é igual a f (2) = = 0. Isso significa que a divisão é exata e que 2 é raiz de f (x) Raízes racionais Seja a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 uma equação polinomial de coeficientes inteiros. Se p q for uma raiz racional dessa equação com p, q, então p é um divisor de a 0 e q é um divisor de a n. Exemplo Consideremos a equação 12x 6 x x 4 2x x 2 5x 5 = 0. Os divisores do termo independente de x são ±1 e ±5. Os divisores do coeficiente do termo de maior grau são ±1, ±2 ±3, ±4, ±6 e ±12. Logo, as possíveis raízes racionais da equação são: ±1, ± 1 2, ±1 3, ±1 4, ±1 6, ± 1 12, ±5, ± 5 2, ±5 3, ±5 4, ±5 6 e ± Substituindo na equação, verificamos que somente 1 3 e 1 4 são raízes. Exemplo Determine todas as raízes da equação f (x) = 2x 4 + 5x 3 17x 2 35x + 21 = 0. 25

30 Solução Os divisores de 21 são: ±1, ±3, ±7 e ±21 Os divisores de 2 são: ±1 e ±2 Dividindo-se os divisores de 21 pelos divisores de 2, obtemos as possíveis raízes racionais da equação dada: ±1, ±3, ±7, ±21, ± 1 2, ±3 2, ±7 2 e ±21 2 Por substituição direta, temos que somente 1 2 e 3 são raízes Daí, temos que f (x) é divisível por 2(x 1 2 )(x ( 3)) = 2x2 + 5x 3. Efetuando-se a divisão de por f (x) = 2x 4 + 5x 3 17x 2 35x + 21 g(x) = 2x 2 + 5x 3, obtemos quociente igual a (x 2 7) e resto igual a zero. As raízes de x 2 7 são ± 7 Concluímos, então, que todas as raízes da equação dada são ± 7, 1 2 seja, seu conjunto-solução é: e 3, ou S = { 7, 7, 1 2, 3} 1.13 Polinômios irredutíveis Seja K um corpo e p K[x]. Dizemos que o polinômio p é irredutível em K[x] (ou irredutível sobre K) quando p não é um polinômio constante e, se existirem f, g K[x] tais que p = f g, então f é constante ou g é constante. Um polinômio que não é irredutível sobre K é denominado redutível sobre K. Observação Os polinômios redutíveis sobre K são aqueles polinômios que podem ser fatorados, ou seja, escritos como produto de dois polinômios não constantes de K[x]. Exemplos Todo polinômio de grau 1 é irredutível em [x]. 26

31 f = x 2 9 é redutível em [x] porque é possível escrevê-lo como produto de dois polinômios não constantes: f = (x + 3)(x 3). Note que essa fatoração não é única pois temos também f = (2x + 6)( 1 2 x 3 2 ), entre outras possibilidades. Se K for um corpo e f (x) K[x] com f 2 possuir uma raiz r K, então f (x) é redutível sobre K porque pode ser escrito na forma (x r)g(x) onde g(x) K[x] e g 1. f (x) = x 2 5 é irredutível sobre mas é redutível sobre porque f (x) = (x } {{ } 5) (x + } {{ } 5). [x] [x] Teorema (Critério de Eisenstein) Seja f (x) = a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 um polinômio de coeficientes inteiros. Se existir um inteiro primo p tal que p a 0, p a 1, p a 2,, p a n 1 p a n p 2 a 0 então f (x) é irredutível sobre. Exemplo Seja f (x) = 7x x 4 22x x 2 11x Considerando o primo p = 11 temos que p 66, p ( 11), p 44, p ( 22), p 110, p 7 e p Logo, f (x) é irredutível sobre, ou seja, f (x) não pode ser fatorado como produto de dois polinômios não constantes de coeficientes inteiros. 27

32 Capítulo 2 Operações binárias A1) Considere a operação definida sobre o conjunto A = {,,, } cuja tábua está mostrada a seguir: Verifique: a) se tem elemento neutro; b) se é comutativa; c) quais são os elementos de A que são invertíveis. Solução: a) Primeiramente, vamos verificar se a operação é comutativa. Para isso, verificamos que a parte da tábua que está acima da diagonal que vai do canto superior esquerdo ao inferior direito é simétrica com relação à parte que está abaixo da diagonal. 28

33 Como há uma simetria entre a parte que está acima e a que está abaixo da diagonal, concluímos que a operação é comutativa: =, =, =, etc. b) Agora, vamos verificar se a operação tem elemento neutro. Observamos a primeira linha da tábua (o cabeçalho) e verificamos se ela se repete em algum lugar. Ela se repete na linha do elemento. Isso signifca que: =, =, = e =. Logo, é um elemento neutro à esquerda para a operação. Observamos novamente a tábua para ver se a primeira coluna se repete em algum lugar. Verificamos que ela se repete no elemento. Isso significa que é um elemento neutro à direita. Portanto, é o elemento neutro da operação. c) Como é o elemento neutro da operação, verificamos na tábua quais são os pares de elementos (x, y) tais que x y =. 29

34 Temos os seguintes resultados: =, = e =. Isso significa que 1 =, 1 =, 1 = e 1 =, ou seja, todos os elementos de A são invertíveis. A2) Considere a operação ( estrela ) definida sobre o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5} cuja tábua está mostrada a seguir: Verifique se tem elemento neutro, se é comutativa e quais são os elementos de B que são invertíveis. Solução: A primeira linha da tabela se repete na última linha, a linha que corresponde ao elemento 5. Note que a primeira coluna se repete também na coluna que corresponde ao elemento 5. Isso significa que o e = 5 é o único elemento neutro dessa operação. A tabela é simétrica com relação à diagonal que inicia na parte superior esquerda e termina na parte inferior direita. Logo, a operação é comutativa. O elemento neutro e aparece na tábua apenas uma única vez, como resultado da operação 5 5 = 5 = e. Isso significa que o 5 é o único elemento invertível e o inverso do 5 é igual a ele mesmo. A3) Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e as operações e definidas por x y = resto da divisão de xy por 5; x y = resto da divisão de x + y por 5. Construa a tábua dessas duas operações sobre o conjunto A. Solução: Alguns exemplos: 3 4 = resto da divisão de 12 por 5 = 2, 30

35 2 3 = resto da divisão de 6 por 5 = 1, 4 3 = resto da divisão de 7 por 5 = 2, etc. Prosseguindo dessa forma, obtemos as seguintes tabelas: A4) Seja X = {1, 2, 3} e F o conjunto de todas as funções f : X X que são constantes. Construa a tábua da operação de composição de funções definida em F e verifique se tem elemento neutro. Solução: Como X só tem 3 elementos, então só podem existir 3 funções constantes definidas de X em X: f 1 : X X, f 1 (x) = 1; f 2 : X X, f 2 (x) = 2; f 3 : X X, f 3 (x) = 3; Agora, observe que ( f 1 f 2 )(x) = f 1 ( f 2 (x)) = f 1 (2) = 1 = f 1 (x); logo, f 1 f 2 = f 1. De modo análogo, obtemos: f 1 f 3 = f 1, f 2 f 3 = f 2, etc. Resumimos tudo isso na seguinte tabela: f 1 f 2 f 3 f 1 f 1 f 1 f 1 f 2 f 2 f 2 f 2 f 3 f 3 f 3 f 3 Observando a tábua, vemos que a primeira linha da tábua (o cabeçalho) não se repete em lugar algum; logo, a operação não tem elemento neutro à esquerda. Por outro lado, note que a primeira coluna se repete 3 vezes na tábua; isso significa que a operação tem 3 elementos neutros à direita: f 1, f 2 e f 3. Concluímos então que a operação não tem elemento neutro. A5) Considere a seguinte operação definida sobre o conjunto dos números racionais: x y = x + y 2. 31

36 Verifique se é comutativa, se é associativa, se tem elemento neutro e se existem elementos invertíveis. Solução: Para quaisquer x, y, temos x y = x+y comutativa. 2 = y+x 2 = y x, logo, a operação é 1 (2 3) = = = = e (1 2) 3 = 2 3 = = = 9 4 ; logo, 1 (2 3) (1 2) 3 e daí concluímos que a operação não é associativa. Suponhamos que e seja o elemento neutro dessa operação. Então, por exemplo, e 0 = 0 e e 1 = 1 e+0 2 = 0 e e+1 2 = 1, ou seja, e = 0 e e = 1, o que é impossível. Logo, a operação não tem elemento neutro. Se a operação não tem elemento neutro, então não faz sentido a definição de elemento invertível. A6) Considere a seguinte operação definida sobre o conjunto dos números reais não negativos: x y = x 2 + y 2. Verifique se é comutativa, se é associativa, se tem elemento neutro e se existem elementos invertíveis. Solução: Para quaisquer x, y + temos x y = x 2 + y 2 = y 2 + x 2 = y x. Logo, a operação é comutativa. Para quaisquer x, y, z + temos x (y z) = x y 2 + z 2 = x 2 + ( y 2 + z 2) 2 = ( x2 + y 2) 2 + z2 = x 2 + y 2 + z 2. x2 + y 2 + z 2 e (x y) z = x 2 + y 2 z = Logo, (x y) z = x (y z) o que significa que é associativa. Supondo que e seja o elemento neutro, temos e x = x, ou seja, e 2 + x 2 = x para todo x real não negativo. Elevando a última igualdade ao quadrado, obtemos: e 2 + x 2 = x 2 e, daí, chegamos a e 2 = 0, ou seja, e = 0. Assim, o zero é o elemento neutro da operação. Vejamos: x 0 = x = x 2 = x para todo x real não negativo. Dado um real não negativo a, seu inverso (simétrico) é o real não negativo b tal que a b = 0 = elemento neutro. Daí, obtemos que a 2 + b 2 = 0 o que implica 32

37 a 2 + b 2 = 0. A única possibilidade para a última equação é a = 0 e b = 0. Assim, o único elemento invertível é o zero e o inverso é ele mesmo. A7) Considere a seguinte operação definida sobre o conjunto dos números reais: x y = 2 x y. Verifique se é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro. Solução: Para quaisquer x, y, temos x y = 2 x y = 2 y x = y x. Logo, é comutativa. 0 (1 2) = 2 0 (1 2) = 2 0 = 1 e (0 1) 2 = = = 1 2 = = 2 2 = 4. Logo, 0 (1 2) (0 1) 2 o que significa que não é associativa. Suponhamos que exista um elemento neutro e para essa operação. Então, devemos ter e x = x para todo x. Daí, temos 2 ex = x. Escolhendo dois valores distintos para x, por exemplo, x = 1 e x = 2, substituindo na equação anterior, obtemos: 2 e = 1 e 2 2e = 2 que implicam em e = 0 e 2e = 1 que é um absurdo. Logo, não existe elemento neutro para essa operação. A8) Sendo a, b, mostre com detalhes que (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 identificando todas as propriedades da adição ou multiplicação utilizadas. O quadrado de x, denotado por x 2 é definido como sendo igual a x x. Solução: (a + b) 2 = (a + b) (a + b) (definição de quadrado) (a+b) (a + b) } {{ } z = a (a } {{ } + b) com relação à adição) z +b (a } {{ } + b) (distributividade à direita da multiplicação z a(a + b) + b(a + b) = (a a + a b) + (b a + b b) (distributividade à esquerda da multiplicação com relação à adição) (a a + a b) + (b a + b b) = (a 2 + a b) + (a b + b 2 ) (definição de quadrado e comutatividade da multiplicação) (a } {{ } 2 + ab) +(ab + b 2 ) = ((a } {{ } 2 + ab) +ab) + b 2 (associatividade da adição) x x 33

38 ((a 2 + ab) + ab) + b 2 = (a 2 + (ab + ab)) + b 2 (associatividade da adição) (a 2 + (ab + ab)) + b 2 = (a 2 + 2ab) + b 2 (a 2 + 2ab) + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (associatividade da adição) Observação. O objetivo deste exercício é mostrar que várias propriedades da adição e da multiplicação estão escondidas em uma fórmula tão conhecida como essa do quadrado da soma. É essencial, por exemplo, a multiplicação ser comutativa para que a fórmula seja válida. Por exemplo, com matrizes quadradas A e B não é válida a fórmula (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 em geral. B1) Quantas operações diferentes é possível definir em um conjunto A que tenha exatamente n elementos? Entre essas operações, quantas são comutativas? Solução: Uma operação fica perfeitamente determinada se conhecermos sua tábua. Se o conjunto A = {a 1, a 2,, a n } tem n elementos, então definir a operação é atribuir um valor a cada na seguinte tábua: a 1 a 2 a n a 1 a a n Como a quantidade total de é n 2, e cada uma pode ser preenchida com n opções, então há um total de n } {{ } n n... n = n (n2) possíveis operações. n 2 fatores Se a operação for comutativa, então ao preenchermos a diagonal e a parte acima da diagonal, a operação já fica determinada. A parte que está abaixo da diagonal fica determinada por simetria. O total de que está na diagonal e acima dela é de n, ou seja, n(n+1) 2. Como cada pode ser preenchida com n opções, temos que o total de operações comutativas é de n } {{ } n n n = n n(n+1) 2 operações. n(n+1) 2 fatores Observação. A quantidade de operações é um número gigantesco, mesmo para valores pequenos de n. Por exemplo, quando n = 4 há um total de n (n2 ) = 4 16 = (mais de 4 bilhões) operações que podem ser definidas; entre elas, um total de n n(n+1) 2 = 4 10 = (mais de 1 milhão) são comutativas. B2) Determine a, b, c para que a operação sobre definida por x y = ax + by + cxy 34

39 tenha elemento neutro. Solução: Suponhamos que o elemento neutro dessa operação seja e. Então, por exemplo, temos que e 0 = 0 e também 0 e = 0. Usando a definição de, temos: ae + b 0 + ce 0 = 0 e a 0 + be + ce 0 = 0, ou seja, ae = 0 e be = 0. Como e e = e, devemos ter também que ae + be + ce 2 = e ce 2 = e. (1 caso) Suponhamos e 0. Então a partir de ae = 0 e be = 0, obtemos a = 0 e b = 0. A partir de ce 2 = e, obtemos ce = 1, ou seja, c 0 e e = 1 c. Assim, neste caso, a operação fica definida como sendo x y = cxy, onde c é qualquer número real não nulo. (2 caso) Suponhamos e = 0. A partir de 1 * 0 = 1 obtemos a = 1 e a partir de 0 * 1 = 1 obtemos 0 + b + 0 = 1. Portanto, devemos ter a = 1 e b = 1. Portanto, x y = x + y + cxy. Concluímos dessa forma que a operação tem elemento neutro quando a = b = 0 e c 0 (neste caso, o elemento neutro é 1 c ) ou quando a = b = 1 e c (neste caso, o elemento neutro é o zero). B3) Verifique se a operação sobre definida por (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc) é comutativa, se existe elemento neutro e determine todos os elementos invertíveis. Solução: Para quaisquer (a, b) e (c, d) pertencentes a temos (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc) = (ca, cb + da) = (c, d) (a, b), logo, é comutativa. Suponhamos que a operação tenha elemento neutro e = (e 1, e 2 ). Então, se x = (a, b) for um elemento genérico de, temos que e x = x, isto é, (e 1, e 2 ) (a, b) = (a, b) (e 1 a, e 1 b+e 2 a) = (a, b) e 1 a = a, e 1 b+e 2 a = b. Em particular, escolhendo (a, b) = (1, 1), temos e 1 = 1, e 1 + e 2 = 1 o que implica em e 2 = 0. Logo, e = (1, 0) é um candidato a elemento neutro da operação. Vejamos: e x = (1, 0) (a, b) = (1 a, 1 b + 0 a) = (a, b). Logo, (1, 0) é realmente o elemento neutro da operação. Dado (a, b), se (x, y) for o elemento inverso de (a, b), então devemos ter (a, b) (x, y) = (1, 0) = elemento neutro (ax, ay + bx) = (1, 0) ax = 1, ay + bx = 0. Como a e x são inteiros, então ax = 1 implica a = 1, x = 1 ou a = 1, x = 1. 35

40 (1 caso:) Se a = 1 e x = 1, então 1 y + b 1 = 0 y = b. Logo, o inverso de (1, b) é o elemento (1, b). (2 caso:) Se a = 1 e x = 1, então 1 y+b ( 1) = 0 y = b. Assim, o inverso de ( 1, b) é o elemento ( 1, b). Concluímos dessa forma que os elementos invertíveis são da forma (1, b) ou ( 1, b), com b e seus inversos são dados por: (1, b) 1 = (1, b) e ( 1, b) 1 = ( 1, b). C1) Seja E um conjunto com uma operação que admite elemento neutro. Mostre que é comutativa e associativa se, e somente se, x (y z) = (x z) y para quaisquer x, y, z E. Solução: x, y, z E temos ( ) Suponhamos comutativa e associativa. Então para quaisquer x (y z) = x (z y) (porque é comutativa) x (z y) = (x z) y (porque é associativa) Logo, x (y z) = (x z) y. ( ) Suponhamos x (y z) = (x z) y para quaisquer x, y, z E. Em particular, escolhendo x = e = elemento neutro, temos que e (y z) = (e z) y, ou seja, y z = z y para quaisquer y, z E. Isso significa que a operação é comutativa. Como x ( y z ) = (x z) y x (z y) = (x z) y para quaisquer x, y, z E. }{{} z y Logo, é associativa. C2) Uma operação em um conjunto E é denominada totalmente não associativa quando (x y) z x (y z), x, y, z E. a) Mostre que se é totalmente não associativa, então não é comutativa; b) Mostre que a potenciação a b = a b é totalmente não associativa em E = {n n 3}. Solução: 36

41 a) Sejam α E e β = α α. Como é totalmente não associativa, temos que (α }{{} α) α α (α }{{} α), ou seja, β α α β o que mostra que não é β β comutativa. b) Suponhamos que existissem três inteiros a, b, c maiores ou iguais a 3 tais que (a b) c = a (b c), ou seja, (a b ) c = a (bc) que é equivalente a a (bc) = a (bc). Daí, obtemos bc = b c. Resta mostrar agora que essa última igualdade é impossível se b e c forem inteiros maiores ou iguais a 3. Consideremos, então, dois casos: b < c e b c. Se b < c, multiplicando por c, obtemos: bc < c 2 b c < c 2 3 c < c 2 e essa desigualdade é impossível se c 3. Se b c, então multiplicando por b, obtemos: b 2 bc b 2 b c 2 c que também é impossível. 37

42 Capítulo 3 Grupos e subgrupos A1) Consideremos o conjunto com a operação definida por x y = x + y 5 para quaisquer x, y. Mostre que G = (, ) é um grupo abeliano. Solução: Inicialmente, vamos mostrar que a operação é associativa, tem elemento neutro e todo elemento de G tem inverso. Para quaisquer x, y, z G, temos: x (y z) = x (y + z 5) = x + (y + z 5) 5 = x + y + z 10 (x y) z = (x + y 5) z = (x + y 5) + z 5 = x + y + z 10 Logo, x (y z) = (x y) z. Suponhamos que tenha elemento neutro e. Então e x = x para todo x o que implica em e + x 5 = x de onde obtemos e = 5. (Podemos agora comprovar que e = 5 é realmente o elemento neutro dessa operação: e x = 5 x = 5 + x 5 = x e x e = x = x para todo x.) Dado x, vamos determinar y = x 1. Por definição, temos x y = e, ou seja, x + y 5 = 5. Daí, obtemos que y = x + 10, isto é, x 1 = x (Comprovando: x x 1 = x ( x + 10) = x + ( x + 10) 5 = 5 = e e x 1 x = ( x+10) x = ( x+10)+ x 5 = 5 = 5. Logo, ( x+10) é realmente o inverso de x com relação à operação.) Agora, vamos mostrar que é comutativa: x y = x + y 5 = y + x 5 = y x para quaisquer x, y G. Fica mostrado assim que (G, ) é um grupo abeliano. 38

43 A2) Consideremos o conjunto A = {a + b 3 a, b }. a) Dê exemplo de elementos desse conjunto; b) Verifique se ele é fechado com relação à operação de multiplicação usual dos números reais; c) Verifique se A é um grupo multiplicativo abeliano. Solução: a) Todo racional não nulo como 1, 1, 1 2, 3 7 pertencem ao conjunto A. Além desses, qualquer combinação do tipo a + b 3 0 com a, b como , 3, 5 3, 8 4 3, também pertencem a A. b) Sejam x = a + b 3 e y = c + d 3 dois elementos de A. Vamos verificar se o produto xy também pertence a A. Usando as diversas propriedades da adição e da multiplicação usuais em, podemos desenvolver o produto xy da seguinte forma: xy = (a + b 3)(c + d 3) = ac + ad 3 + bc 3 + bd( 3) 2 = (ac } {{ } + 3bd) + (ad } {{ } + bc) 3 A. Logo, A é fechado com relação à multiplicação. c) Como a multiplicação é associativa em, ou seja, x (y z) = (x y) z para quaisquer x, y, z, temos que, em particular, a multiplicação é associativa em A, ou seja, x (y z) = (x y) z para quaisquer x, y, z A. O elemento neutro da multiplicação em A é o 1 A. Dado x = a+b 3 A vamos verificar se existe y A tal que x y = y x = 1. Para verificar se y = 1 x = 1 a+b A, racionalizamos o denominador de y, 3 multiplicando numerador e denominador por (a b 3): y = 1 (a b 3) (a + b 3)(a b 3) = a b 3 a 2 3b = 2 a a 2 3b 2 } {{ } + ( b) a 2 3b 2 } {{ } 3 A. Como a multiplicação é comutativa em então, em particular, também é comutativa em A, ou seja, x y = y x para quaisquer x, y A. Portanto, fica mostrado assim que (A, ) é um grupo abeliano. 39

44 A3) Seja F = { f : f (x) = ax + b, a, b, a 0}. Mostre que F é um grupo não abeliano com relação à composição de funções. Solução: Para quaisquer funções f, g, h de em, temos que f (g h) = ( f g) h. Logo, em particular, a composição de funções é associativa sobre o conjunto F. Quando a = 1 e b = 0 temos que f (x) = x F é o elemento neutro da composição de funções. Dada f (x) = ax + b com a, b e a 0, a função inversa de f é a função f 1 : definida por f 1 (x) = 1 a x b a que é um elemento de F. Dadas f, g F definidas por f (x) = ax + b e g(x) = cx + d temos que ( f g)(x) = f (g(x)) = f (cx + d) = a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b) e (g f )(x) = g( f (x)) = g(ax + b) = c(ax + b) + d = (ac)x + (bc + d) de onde percebemos que, em geral, f g g f. Portanto, a operação não é comutativa sobre F. Outra opção seria escolher um contra-exemplo para mostrar que não é comutativa, por exemplo, f (x) = 2x + 1 e g(x) = 3x 4 temos ( f g)(x) = 6x 7 e (g f )(x) = 6x 1. A4) Dê exemplo de um grupo G e elementos x, y G tais que (xy) 1 x 1 y 1. Solução: No grupo G = GL 2 ( ) escolhamos dois elementos como por exemplo [ ] [ ] [ ] [ ] x = e y =. Então x = 3 1 2, y = 5 5, [ ] [ ] [ x 1 y 1 1 = , xy =, (xy) = 5 3 ] 5 1. Logo, (xy) 0 1 x 1 y 1. 3 [ ] [ ] a b Observação. Se M = GL c d 2 ( ), então M 1 1 d b = det(m) c a = [ d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc ]. Observação. Como (xy) 1 x 1 y 1 y 1 x 1 x 1 y 1, temos que esse tipo de exemplo só é possível com grupos não abelianos. 40

45 A5) Sejam a, b, c elementos de um grupo (G, ) com elemento neutro e. Determine as soluções x G das seguintes equações: a) c 1 x c = e b) b x b 1 = b c) c x a c = b d) a b 1 x b a 1 = a b Solução: a) Multiplicando por c à esquerda e por c 1 à direita, obtemos: c 1 x c = e c} {{ } c 1 x c} {{ } c 1 = c} {{ } e c 1 x = e. Neste caso, o uso de parênteses = e = e pode ser eliminado porque a operação é associativa. = e b) Multiplicando por b 1 à esquerda e por b à direita, obtemos: b x b 1 = b b} {{ } 1 b x b} {{ } 1 b = } {{ } b 1 b b x = b. = e = e = e c) Multiplicando por c 1 à esquerda e à direita, obtemos: c x a c = b c} {{ } 1 c x a c} {{ } c 1 = c 1 b c 1 x a = c 1 b c 1. Multiplicando por = e = e a 1 à direita, obtemos x a} {{ } a 1 = c 1 b c 1 a 1 x = c 1 b c 1 a 1 = e é a única solução da equação. d) Multiplicando por a 1 à esquerda e por a à direita, obtemos: a b 1 x b a 1 = a b } {{ } a 1 a b 1 x b a} {{ } 1 a = a} {{ } 1 a b a 1 b 1 x b = b a 1. Multiplicando por b à esquerda e por b 1 à direita, obtemos: b b 1 = e = e = e = } {{ } = e x b b 1 } {{ } = e b b a 1 b 1 x = b b a 1 b 1. Denotando b b por b 2 temos que a solução dessa equação também pode ser escrita na forma x = b 2 a 1 b 1. Observação. Não podemos mudar a ordem dos fatores em cada caso porque não sabemos se a operação é comutativa. Dessa forma, não é correto escrever a solução da última equação como sendo x = b a 1 depois do cancelamento errado de b 2 com b 1. A6) ( Determine x ) S 5 ( que seja solução ) da( equação a 2 xb) 1 = c, onde a =, b = e c = Solução: A equação dada é aaxb 1 = c. Multiplicando por a 1 a 1 à esquerda e por b à direita, obtemos: a 1 }{{} a 1 a = e ax b 1 b }{{} = e 41 = a 1 a 1 cb }{{} a 1 a x = a 1 a 1 cb = e

46 x = a 1 a 1 ( cb. Para calcular ) a 1 (, basta trocar as) linhas e, depois, reordenar as colunas: a 1 = =. Assim, podemos agora calcular o valor de x: Seguimos os seguintes caminhos, começando sempre na permutação mais à direita e terminando na que estiver mais à esquerda: 1 1, 1 5, 5 2, 2 4; logo, x : , 2 4, 4 1, 1 3; logo, x : , 4 1, 1 3, 3 5; logo, x : , 3 3, 3 5, 5 2; logo, x : , 5 2, 2 4, 4 1; logo, x : 5 1. Portanto, x = ( ). A7) Seja (G, ) um grupo para o qual (x y) 2 = x 2 y 2, x, y G. Mostre que G é abeliano. Observação: Se a G, então a 2 é o mesmo que a a. Solução: Para quaisquer x, y G, a igualdade dada é equivalente a x y x y = x x y y. Multiplicando por x 1 à esquerda e por y 1 à direita, obtemos: } {{ } x 1 x y x y y 1 = } {{ } } {{ } x 1 x x y y y 1 y x = x y. Como x e y são dois } {{ } = e = e = e = e elementos genéricos, concluímos que o grupo é abeliano. A8) Seja (G, ) um grupo com elemento neutro e para o qual x 2 = e, x G. Mostre que G é abeliano. Solução: Sejam x, y dois elementos genéricos de G. Por hipótese, neste grupo, todo elemento elevado ao quadrado é igual ao elemento neutro, logo, x 2 = e, y 2 = e e (x y) 2 = e. Como (x y) 2 = e é o mesmo que x y x y = e, multiplicando por x 42

47 à esquerda e por y à direita, obtemos }{{} x x = e Logo, G é abeliano. y x y y = x e y y x = x y. }{{} = e A9) Em cada caso, verifique se H é subgrupo de G. a) H = {x x > 0}, G = (, ) b) H = {x x < 0}, G = (, ) c) H = {7k k }, G = (, +) d) H = {a + b 2 a, b }, G = (, ) e) H = {a + b 3 2 a, b }, G = (, ) f) H = {a + b 3 2 a, b }, G = (, +) Solução: Se H não for um subgrupo de G, então apresentamos um contraexemplo como justificativa. Se H for subgrupo de G, então mostramos que ele não é vazio e que a, b H a b 1 H. a) H porque, por exemplo, 1 H. Sejam a = p q e b = r s dois elementos genéricos de H com p, q, r, s. Então a b 1 = ( p q ) ( r s ) 1 = p q s r = ps qr H. Logo, H é subgrupo de G. b) H não é fechado com relação à multiplicação usual dos números reais. Por exemplo, 2 H e 5 H, mas ( 2) ( 5) = 10 H. Logo, H não é subgrupo de G. c) H é o conjunto de todos os múltiplos de 7. H, porque, por exemplo, 14 H. Sejam a, b H. Então a = 7m e b = 7n onde m, n. Daí, temos que a + ( b) = a b = 7m 7n = 7(m n) também é um múltiplo de 7, ou seja, a b H. Logo, H é um subgrupo de G. } {{ } } {{ } d) Escolhendo, por exemplo, a = 1 e b = 2, obtemos que H. Logo, H. Sejam α = a + b 2 e β = c + d 2 dois elementos genéricos de H, com a, b, c, d. Então, α β 1 = α β = a + b 2 c + d 2 = (a + b 2)(c d 2) (c + d 2)(c d 2) = (ac 2bd) + (bc ad) 2 ac 2bd bc ad = + 2 H. Logo, H é sub- c 2 2d 2 c 2 2d 2 c 2 2d 2 grupo de G. Note que para mostrar que α β 1 H é indispensável usar a racionalização do denominador da fração. 43

48 e) H não é fechado com relação à multiplicação usual dos números reais. Por exemplo, 2 H e 2 2 H, mas ( 2) (2 2) = 2 4 H. Logo, H não é subgrupo de G. 3 f) H porque, por exemplo, H. Sejam α = a + b 2 e β = c + d 2 dois elementos de H, onde a, b, c, d. Temos que α + ( β) = α β = 3 3 (a + b 3 2) (c + d 2) = (a } {{ } c) + (b } {{ } d) 2 H. Logo, H é subgrupo de G. A10) Uma função f : chama-se par quando f ( x) = f (x), x. Verifique se o conjunto P de todas as funções pares de em é um subgrupo de (, +). Solução: Considerando f (x) = x 2, temos que P. Sejam f, g P. Vamos verificar se f + ( g) = f g P. Como f e g são pares, temos f ( x) = f (x) e g( x) = g(x). Daí, temos que ( f g)( x) = f ( x) g( x) = f (x) g(x) = ( f g)(x), x. Logo, f g P e concluímos que P é um subgrupo de (, +). Observação. De modo análogo, temos também que o conjunto das funções ímpares ( f ( x) = f (x), x ) é um subgrupo de (, +). B1) Seja E o conjunto dos números reais não negativos e a operação sobre E definida por: x y = x + y 1 + xy. a) Verifique se a operação é associativa; b) Verifique se (E, ) é um grupo. Solução: a) Sejam a, b, c E = +. Temos que: a (b c) = a+(b c) 1+a (b c) (a b) c = (a b)+c 1+(a b) c = = a+ b+c 1+bc 1+a b+c 1+bc a+b 1+ab +c 1+c a+b 1+ab = a+abc+b+c 1+bc+ab+ac = a+b+c+abc 1+ab+ac+bc Logo, a operação é associativa sobre o conjunto E. b) Como a operação é associativa, para (E, ) ser um grupo, precisa ter elemento neutro e todo elemento deve ser invertível. 44

49 Seja x E. Temos que x 0 = x+0 1+x 0 = x e 0 x = 0+x é o elemento neutro de. 1+0 x = x. Logo, o zero Dado x E, suponhamos que exista y = x 1 E tal que x y = 0 = elemento neutro de. Então x+y 1+xy = 0 x + y = 0 y = x. A única possibilidade de se ter x + e y + é quando x = y = 0. Isso significa que o único elemento invertível é o zero. Logo, E não é um grupo com a operação. B2) Sejam H 1 e H 2 subgrupos de um grupo G. Mostre que a interseção H 1 H 2 também é um subgrupo de G. Solução: Como H 1 e H 2 são subgrupos de G, cada um deles deve conter o elemento neutro e G, ou seja, e H 1 e e H 2. Logo, e H 1 H 2 o que mostra que H 1 H 2. Sejam a, b H 1 H 2. Então, a, b H 1 e a, b H 2. Como H 1 é subgrupo de G, a, b H 1 a b 1 H 1. De modo análogo, a, b H 2 a b 1 H 2. Portanto, a b 1 H 1 H 2. Fica mostrado dessa forma que H 1 H 2 é um subgrupo de G. B3) Dê exemplo de dois subgrupos H 1 e H 2 de um grupo G e tais que a união H 1 H 2 não seja subgrupo de G. Solução: Seja G = (, +) o grupo aditivo dos inteiros. Para todo n fixado, o conjunto dos múltiplos de n é um subgrupo de. Escolhamos H 1 como sendo o conjunto dos múltiplos de 3 e H 2 como sendo os múltiplos de 5. H 1 H 2 é o conjunto dos inteiros que são múltiplos de 3 ou de 5: H 1 H 2 = {0, ±3, ±5, ±6, ±9, ±10, ±12, ±15, ±18, ±20, } O conjunto H 1 H 2 não é fechado com relação à soma (por exemplo, 3 H 1 H 2 e 5 H 1 H 2, mas = 8 H 1 H 2 ) e, consequentemente, não é um subgrupo de G. [ B4) Verifique se R, o conjunto das matrizes da forma é um subgrupo do grupo multiplicativo GL 2 ( ). cos(θ) sen(θ) sen(θ) cos(θ) ] com θ, 45

50 Solução: É claro que R porque basta escolher qualquer valor para θ para obtermos um elemento de R. Por exemplo, escolhendo θ = 0, obtemos [ ] cos 0 sen 0 sen 0 cos 0 [ ] 1 0 = R. 0 1 [ ] [ ] cos(α) sen(α) cos(β) sen(β) Sejam A = e B = dois elementos de R. sen(α) cos(α) sen(β) cos(β) [ ] [ ] [ ] cos(β) sen(β) Então B 1 = e AB sen(β) cos(β) 1 cos(α) sen(α) cos(β) sen(β) =, sen(α) cos(α) sen(β) cos(β) [ ] cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β) sen(α) cos(β) cos(α) sen(β) ou seja, AB 1 = que cos(α) sen(β) sen(α) cos(β) cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β) [ ] é equivalente a AB 1 cos(α β) sen(α β) =. Como α β, temos que sen(α β) cos(α β) AB 1 R. Portanto, R é um subgrupo de GL 2 ( ). Observação. Essas matrizes que formam o conjunto R são conhecidas pelo nome de matrizes [ de rotação porque ] ao multiplicarmos um ponto P = (x, y) do plano por cos(θ) sen(θ) M =, o resultado corresponde a um ponto P sen(θ) cos(θ) = P M que é igual ao ponto P rotacionado de θ radianos em torno da origem. B5) Identifique todos os elementos invertíveis de 12 com relação à multiplicação x ȳ = xy. Solução: Suponhamos que ā 12 seja invertível e seja b o seu inverso multiplicativo. Então ā b = 1 = elemento neutro de 12, temos que ab = 1 ab 1 = 12k, onde k ab 12k = 1. Conseguimos assim uma combinação linear dos inteiros a e 12 dando 1 como resultado. Portanto, mdc(a, 12) = 1. Por outro lado, se mdc(a, 12) = 1, então existem x, y tais que ax + 12y = 1 ax + 12y = 1 ā x + 12ȳ = 1 ā x = 1, ou seja, ā é invertível. }{{} = 0 Assim, mostramos que ā 12 é invertível se, e somente se, mdc(a, 12) = 1. Concluímos então que os elementos invertíveis de 12 são 1, 5, 7 e 11. Como 1 1 = 1, 5 5 = 1 e 7 11 = 1 temos que ( 1) 1 = 1, ( 5) 1 = 5, ( 7) 1 = 11 e (11) 1 = 7. Observação. Seja ā 12 tal que mdc(a, 12) > 1, por exemplo, a = 3. Então, dividindo 12 por mdc(a, 12) obtemos 4 como quociente, ou seja, 3 4 = 12. Daí, 3 4 = 12, isto é, 3 4 = 0. Se 3 fosse invertível em 12, obteríamos ( 3) 1 ( 3 4) = ( 3) 1 0 (( 3) } {{ } 1 3) 4 = 0 4 = 0 o que é absurdo. Fica mostrado assim que 4 = 1 46

51 não é invertível. Da mesma forma, poderia ser mostrado também que 2, 3, 6, 8, 9 e 10 não são invertíveis. Observação. Este exercício pode ser generalizado: um elemento ā n é invertível se, e somente se, mdc(a, n) = 1. B6) Suponhamos H um subgrupo do grupo aditivo. Mostre que existe n tal que H = {kn k }, isto é, existe um número natural n tal que H é formado por todos os múltiplos de n. Solução: Se H = {0}, então basta considerar n = 0: neste caso, todo elemento de H é múltiplo de 0. Suponhamos H {0}. Seja r um elemento não nulo de H. Como H é um grupo, x H x H. Assim, H contém inteiros positivos. Seja n o menor inteiro positivo de H. Se h for um elemento positivo de H, então, dividindo h por n obtemos um quociente q e um resto r tal que 0 r < n, ou seja, h = nq + r. Daí, obtemos que r = h nq. Como h H e nq H, temos que r H. Não podemos ter r > 0 porque assim r seria um elemento positivo menor do que n (não pode porque n é o menor elemento elemento positivo de H). Concluímos então que r = 0, ou seja, que h = nq. Isso mostra que h é múltiplo de n. Se h fosse negativo, então h > 0 e daí h seria um múltiplo de n o que implica que h também é múltiplo de n. Se h for um elemento genérico de H, ficou mostrado que em qualquer situação h é múltiplo de um número natural n. Isso significa que H = {kn k }. 47

52 Capítulo 4 Homomorfismos, isomorfismos, grupos cíclicos A1) Em cada caso, verifique se f : G J é um homomorfismo. a) G = (, +), J = (, +), f (x) = 7x b) G = (, +), J = (, +), f (x) = 7x + 1 c) G = (, +), J = (, +), f (x) = 7x 2 d) G = (, +), J = (, +), f (x) = x e) G = (, ), J = (, ), f (x) = x f) G = (, +), J = (, +), f (x) = (2x, 3x) g) G = (, +), J = (, +), f (x, y) = 4x 5y h) G = (GL 2 ( ), +), J = (Z, +), f (X) = tr(x) = traço de X A operação de adição em dos itens f) e g) é definida da seguinte forma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) para quaisquer a, b, c, d. Solução: Se f for um homomorfismo, devemos mostrar que f (x y) = f (x) f (y), x, y G. Se f não for homomorfismo, devemos mostrar um contra-exemplo, ou seja, escolher valores particulares de a, b G tais que f (a b) f (a) f (b). Aqui, representa a operação de G e é a operação de J. a) Para quaisquer x, y, temos: f (x + y) = 7(x + y) = 7x + 7y = f (x) + f (y). Logo, f é um homomorfismo de em. b) Neste caso, temos por exemplo que f (1) = 8, f (2) = 15, f (1 + 2) = f (3) = 22 e f (1) + f (2) = 23. Logo, f (1 + 2) f (1) + f (2). Logo, f não é homomorfismo. 48

53 c) Por exemplo, f (1) = 7, f (3) = 63, f (1 + 3) = f (4) = 112 e f (1) + f (3) = 70. Logo, f (1 + 3) f (1) + f (3) e daí temos que f não é homomorfismo de grupos. d) Por exemplo, f ( 2) = 2, f (2) = 2, f ( 2+2) = f (0) = 0, f ( 2)+ f (2) = 2+2 = 4. Logo, f ( 2 + 2) f ( 2) + f (2) f não é homomorfismo. e) Para quaisquer x, y, temos f (x y) = x y = x y = f (x) f (y). Logo, f é um homomorfismo de G em J. f) Sejam x, y. Temos que: f (x + y) = (2(x + y), 3(x + y)) = (2x + 2y, 3x + 3y). Por outro lado, f (x) + f (y) = (2x, 3x) + (2y, 3y) = (2x + 2y, 3x + 3y). Logo, f (x+y) = f (x)+ f (y) de onde concluímos que f é um homomorfismo de grupos. g) Sejam (a, b) e (c, d) dois elementos genéricos de. Temos: f (a, b) + f (c, d) = (4a 5b) + (4c 5d) = 4a + 4c 5b 5d. Por outro lado, f ((a, b) + (c, d)) = f (a + c, b + d) = 4(a + c) 5(b + d) = 4a + 4c 5b 5d. Logo, f ((a, b) + (c, d)) = f (a, b) + f (c, d) f é homomorfismo de G em J. [ ] [ ] a b r s h) Para quaisquer X = G e Y = G, temos: X + Y = c d t u [ ] a + r b + s e f (X) + f (Y) = tr(x) + tr(y) = (a + d) + (r + u) = a + d + r + u. c + t d + u Por outro lado, f (X + Y) = tr(x + Y) = (a + r) + (d + u) = a + r + d + u. Logo, f (X +Y) = f (X)+ f (Y) f é um homomorfismo de grupos. (OBS.: O traço de uma matriz quadrada é definido como sendo a soma dos elementos da diagonal principal). A2) Considere G = com a seguinte operação de adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Mostre que f : G G, f (x, y) = (0, 3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo e dê alguns exemplos de elementos de N( f ). Solução: Sejam (a, b), (c, d) G. Temos: f ((a, b) + (c, d)) = f (a + c, b + d) = (0, 3(a + c) + 5(b + d)) = (0, 3a + 3c + 5b + 5d) = (0, (3a + 5b) + (3c + 5d)) = (0, 3a + 5b) + (0, 3c + 5d) = f (a, b) + f (c, d). Logo, f é um homomorfismo. Se (x, y) N( f ), então f (x, y) = (0, 0) = elemento neutro do contradomínio de f (0, 3x + 5y) = (0, 0) 3x + 5y = 0, de onde concluímos que N( f ) = {(x, y) 3x + 5y = 0}. Por exemplo, (0, 0), (5, 3), ( 5, 3), ( 10, 6) N( f ). A3) Sejam G = (GL 3 ( ), ), J = (, ) e f : G J definida por f (X) = det(x) = determinante de X. 49

54 a) Mostre que f é um homomorfismo; b) Determine N( f ) e dê exemplo de elementos do núcleo de f. Solução: a) Sejam X, Y G. Temos: f (XY) = det(xy) = det(x) det(y) = f (X) f (Y). Fica mostrado dessa forma que f é um homomorfismo de grupos. b) Seja A um elemento genérico do núcleo de f. Então, A é uma matriz quadrada 3 3 tal que f (A) = det(a) = 1 = elemento neutro de J. Portanto, N( f ) = {A GL 3 ( ) det(a) = 1}. Assim, qualquer matriz 3 3 de elementos reais cujo determinante seja igual a pertencem ao núcleo de f. Por exemplo, 0 1 0, e pertencem a N( f ). A4) Mostre que um grupo G é abeliano se, e somente se, f : G G definida por f (x) = x 1 é um homomorfismo. Solução: ( ) Suponhamos G um grupo abeliano e sejam x, y G. Então, f (xy) = (xy) 1 = y 1 x 1 = x 1 y 1 = f (x) f (y). Logo, f é um homomorfismo. ( ) Suponhamos que f seja um homomorfismo de G em G. Então, para quaisquer x, y G, temos: f (xy) = f (x) f (y) (xy) 1 = x 1 y 1. Calculando-se o inverso de cada membro da igualdade anterior, obtemos: ((xy) 1 ) 1 = (x 1 y 1 ) 1 xy = (y 1 ) 1 (x 1 ) 1 xy = yx, e daí, concluímos que G é um grupo abeliano. A5) Seja G um grupo e g G. Mostre que f : G G definida por f (x) = g 1 xg é isomorfismo de G em G (neste caso, f é denominado automorfismo de G). Solução: Sejam x, y G dois elementos genéricos. f (xy) = g 1 (xy)g = g 1 xeyg = g 1 x gg }{{} 1 yg = f (x) f (y); logo, f é um homomorfismo. = e Suponhamos f (x) = f (y). Então g 1 xg = g 1 yg. Multiplicando-se por g à esquerda e por g 1 à direita, obtemos: gg }{{} 1 = gg 1 x = y; logo, f é uma função injetora. = e x gg 1 }{{} = e }{{} = e y gg 1 }{{} = e 50

55 Dado b G = contradomínio de f, considere o elemento a = gbg 1 G = domínio de f. Então, f (a) = f (gbg 1 ) = g 1 (g b g }{{} 1 )g = b; logo, f é uma }{{} = e = e função sobrejetora. Dos três itens mostrados acima, concluímos que f é um isomorfismo de grupos. A6) Sejam G = {2 m 3 n m, n } e J = {[ m n n m a) Mostre que (G, ) é um subgrupo de ( +, ); b) Mostre que (J, +) é subgrupo de (M 2 2 ( ), +); a) Mostre que G é isomorfo a J. Solução: ] } m, n. a) Escolhendo m = n = 1, obtemos 6 = G o que implica que G não é um conjunto vazio. Sejam x, y G. Existem m, n, r, s tais que x = 2 m 3 n e y = 2 r 3 s x y 1 = 2 m 3 n 2 r 3 s = 2 m r 3 n s. Como m r e n s, temos x y 1 G de onde concluímos que G é um subgrupo de ( + +, ). [ ] 2 0 b) Escolhendo m = 2 e n = 0 obtemos J J. Sejam X, Y J. 0 2 [ ] [ ] m n r s Existem m, n, r, s tais que X = e Y = X + ( Y) = n m s r [ ] [ ] [ ] m n r s m r n s X Y = =. Como m r, n s e n m s r n + s m r n+ s = (n s) temos que X Y J. Logo, J é um subgrupo de (M 2 2 ( ), +). c) Para mostrar que existe isomorfismo entre G e J, devemos ser capazes de encontrar uma função f : G J que seja[ bijetora] e homomorfismo de grupos. m n Seja f : G J definida por f (2 m 3 n ) =. n m [ ] m n Sejam m, n, r, s tais que f (2 m 3 n ) = f (2 r 3 s ). Daí, temos = n m [ ] r s m = r e n = s 2 s r m 3 n = 2 r 3 s. Isso mostra que f é uma função injetora. [ ] a b Dado um elemento genérico Y J, temos que Y é da forma, b a onde [ a, b]. Escolhendo x = 2 a 3 b G temos que f (x) = f (2 a 3 b ) = a b = Y. Logo, f é uma função sobrejetora. b a 51

56 Sejam x, y G. Existem m, n, r, s tais[ que x = 2 m 3 n e y ] = 2[ r 3 s. Temos: ] m + r n + s m n f (x y) = f (2 m 3 n 2 r 3 s ) = f (2 m+r 3 n+s ) = = + n s m + r n m [ ] r s = f (2 s r m 3 n ) + f (2 r 3 s ) = f (x) + f (y). Logo, f é um homomorfismo de grupos. Como f é injetora, sobrejetora e é um homomorfismo, temos que f é um isomorfismo de G em J, ou seja, G J. A7) Descreva os seguintes grupos cíclicos: H = [ 3] em (, +) J = [ 3] em (, ) K = [ 3] em ( 7, ) Solução: Se o grupo for multiplicativo, então o grupo cíciclo gerado por x é o conjunto de todas as potências de expoente inteiro de x; se o grupo for aditivo, então o grupo gerado por x é o conjunto de todos os múltiplos de x. Sendo assim, temos: H = [ 3] = múltiplos de 3 = { 3k k } = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,... } J = [ 3] = potências de 3 = {( 3) k k } = {..., 1/9, 1/3, 1, 3, 9,... } K = [ 3] = potências de 3 em 7. Como 3 0 = 1, 3 1 = 3, 3 2 = 9 = 2, 3 3 = 27 = 6, 3 4 = = 18 = 4, 3 5 = = 12 = 5, 3 6 = = 15 = 1 = elemento neutro de ( 7, ). Logo, K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} = 7. A8) Verifique se os grupos G e J são isomorfos em cada um dos seguintes casos: a) G = ( 3, +), J = ( 6, +) b) G = (S 3, ), J = ( 6, +) c) G = (, ), J = (, +) d) G = (, +), J = (, +). 52

57 Solução: Quando dois grupos são isomorfos, eles têm muitas propriedades em comum. Por exemplo, se um deles tiver n elementos, então o outro também tem que ter n elementos; se um for abeliano, o outro também é abeliano; se determinado tipo de equação tem solução em um deles, então uma equação equivalente também tem solução no outro. Desse modo, para mostrar que dois grupos não podem ser isomorfos, basta detectar alguma propriedade algébrica que um tenha e que o outro não tenha. a) 3 tem 3 elementos, enquanto que 6 tem 6 elementos. Logo, não pode existir bijeção entre eles e, daí, G não é isomorfo a J. b) S 3 é um grupo não abeliano com 6 elementos e 6 é abeliano com 6 elementos. Logo, não podem ser isomorfos. c) Em J, a equação x + x = 1 tem solução x = 1/2 J. Em G, uma equação equivalente a essa seria x x = 1 que não tem solução em. Logo, G não é isomorfo a J. d) é um conjunto enumerável, enquanto que é não enumerável. Logo, não pode existir bijeção entre eles e, daí, concluímos que os grupos G e J não são isomorfos. B1) a) Dê exemplo de um isomorfismo do grupo G = (, +) em J = ( +, ). b) Mostre que não existe isomorfismo do grupo G = (, +) em J = ( +, ). ( Sugestão: Supondo f : G J isomorfismo e x G tal que f (x) = 2, calcule f ( x 2 + x 2 ) ). Solução: a) Considere a função exponencial f : +, f (x) = e x. Temos que f é bijetora e f (x + y) = e x+y = e x e y = f (x) f (y). Logo, f é um isomorfismo de G em J. b) Suponhamos que exista um isomorfismo f : +. Como f é bijetora f sobrejetora, escolhendo 2 J temos que existe x G = tal que f (x) = 2. Como x = x 2 + x 2 temos que f (x) = f ( x 2 + x 2 ) = f ( x 2 ) f ( x 2 ) = f ( x 2 )2 f ( x 2 )2 = 2 o que é um absurdo porque f ( x 2 ) + e não existe número racional positivo que elevado ao quadrado dê um resultado igual a 2. Logo, não pode existir o isomorfismo de G em J. 53

58 [ ] 0 1 B2) Considere os elementos x = e y = 1 0 multiplicativo GL 2 ( ). Calcule o(x), o(y) e o(xy). Solução: Temos que xy = [ ] [ [ ] = ] pertencentes ao grupo [ ]. Para calcular as ordens de x, y e xy devemos calcular suas potências de expoentes inteiros e observar se existe alguma potência que dê igual à matriz identidade. [ ] [ ] [ ] [ ] x = x = x x = = [ ] [ ] [ ] x 3 = x 2 x = = [ ] [ ] [ ] x 4 = x 3 x = =. Assim, 4 é o menor expoente positivo n para o qual x n = elemento neutro, logo, o(x) = 4. [ ] [ ] [ ] [ ] y = y = y y = = [ ] [ ] [ ] y 3 = y 2 y = =. Assim, 3 é o menor expoente positivo m para o qual y m = elemento neutro, logo, o(y) = 3. [ ] [ ] [ ] [ ] xy = (xy) = (xy)(xy) = = (xy) = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (xy) 2 (xy) = = (xy) = (xy) 3 (xy) = = [ ] [ ] [ ] [ ] (xy) = (xy) 4 (xy) = =. E assim, as potências de x não se repetem e nem coincidem com a matriz identidade. Logo, o(x) = 0. Observação. Casos como esse só ocorrem em grupos não abelianos. Pode-se mostrar que se G for abeliano e x, y G, então o(xy) = mmc(o(x), o(y)). Observação. Observando-se [ o desenvolvimento ] do terceiro item, podemos chegar 1 n à conclusão de que (xy) n =. Essa é uma igualdade verdadeira, mas para 0 1 demonstrá-la é preciso usar o Princípio de Indução Finita. B3) Mostre que todo grupo cíclico infinito possui exatamente dois elementos geradores. 54

59 Solução: Suponhamos que G seja um grupo multiplicativo cíclico infinito. Existe x G tal que todo elemento de G é da forma x n para algum n, ou seja, G = [x] = {x n n }. Como x n = (x 1 ) n temos que todo elemento de G também é potência de x 1, ou seja, G = [x 1 ]. Neste caso, não podemos ter x = x 1 porque isso implicaria x x = x x 1 x 2 = e G = {e, x} o que seria um absurdo porque G é infinito. Logo, x x 1 o que significa que G tem pelo menos dois geradores: x e x 1. Se G possuir outro gerador, digamos G = [y], então x deve ser igual a alguma potência de y e também y deve ser igual a alguma potência de x, ou seja, y = x r e x = y s onde r, s x = y s = (x r ) s = x rs x rs x 1 = x x 1 x rs 1 = e. Se rs 1 0, então teríamos uma potência de x com expoente inteiro dando igual ao elemento neutro; isso limitaria a quantidade de elementos de G o que seria um absurdo porque G é infinito. Temos rs 1 = 0. Como r e s são inteiros, temos r = s = 1 ou r = s = 1. Em um caso, temos y = x e no outro caso temos y = x 1. Portanto, y sendo um gerador de G, y deve coincidir com x ou com x 1. Fica mostrado dessa forma que G sendo cíclico infinito tem exatamente dois geradores: x e x 1. Observação. Se tivéssemos usado a notação aditiva, então teríamos usado múltiplos de x no lugar de potências de x. No final, chegaríamos à mesma conclusão: que G tem exatamente dois geradores, x e x. C1) Seja σ a seguinte permutação de S 10 : ( σ = Calcule a ordem de σ e a potência σ ). Solução: Para calcular a ordem de σ,devemos calcular suas potências de expoentes inteiros e verificar se alguma coincide com a identidade. ( ) ( ) σ 2 = σσ = ( ) =,

60 As composições utilizadas no cálculo de σ 2 = σσ foram as seguintes: 1 8 e 8 6; logo, 1 6 (ou seja: o 1 é levado por σ para o 8, depois o 8 é levado para o 6; logo, o 1 é levado na composição σσ para o 6 ) 2 7 e 7 2; logo, e 5 4; logo, e 9 3; logo, 4 3 etc. ( ) ( ) σ 3 = σ 2 σ = ( ) =, ( ) ( ) σ 4 = σ 3 σ = ( ) = = e = identidade Logo, o(σ) = 4. Isso significa que as potências de expoentes inteiros se repetem de 4 em 4: σ 5 = σ 4 σ = eσ = σ, σ 6 = σ 4 σ 2 = eσ 2 = σ 2, σ 7 = σ 4 σ 3 = eσ 3 = σ 3, σ 8 = σ 4 σ 4 = ee = e, etc. Se o expoente r for múltiplo de 4, então σ r = e. Dividindose 2010 por 4, obtemos quociente 502 e resto igual a 2, ou seja, 2010 = Daí, σ 2010 = σ = (σ }{{} ) σ 2 = eσ 2 = σ 2 = = e ( ). C2) Seja G um grupo multiplicativo com elemento neutro e. Sendo a, b G diferentes do elemento neutro tais que a 5 = e e aba 1 = b 2, calcule o(b). Solução: Para calcularmos a ordem de b, devemos de algum modo saber quais são suas potências de expoentes inteiros positivos. b 2 b 2 = (aba 1 )(aba 1 ) = ab(a 1 a)ba 1 = abeba 1 = a b 2 }{{} aba 1 a 1 = a(aba 1 )a 1 = a 2 ba 2, ou seja, b 4 = a 2 ba 2. 56

61 Temos também que b 4 b 4 = (a 2 ba 2 )(a 2 ba 2 ) = a 2 b(a 2 a 2 )ba 2 = a 2 beba 2 = a 2 }{{} b 2 a 2 = a 2 (aba 1 )a 2 = a 3 ba 3, ou seja, b 8 = a 3 ba 3. aba 1 De modo semelhante, calculamos b 16 = b 8 b 8 e b 32 = b 16 b 16 e obtemos os seguintes resultados: b 16 = a 4 ba 4 e b 32 = a 5 ba 5. Como a 5 = e, obtemos finalmente que b 32 = ebe 1 b 32 = b que multiplicando-se por b 1 fornece: b 1 b 32 = b 1 b, ou seja b 31 = e. Temos daí que a ordem de b é um divisor de 31. Como b não é o elemento neutro e 31 é primo, temos finalmente que o(b) =

62 Capítulo 5 Classes laterais, subgrupos normais, grupos-quocientes [ 0 2 A1) Seja H = [a] um subgrupo de G = GL 2 ( ), onde a = [ ] 1 2 x =. Calcule as classes laterais xh e Hx e verifique se H G ], e seja Solução: As potências de expoente inteiro de a são: [ ] [ ] [ ] a 2 = a a = 1 1 = [ ] [ ] [ ] a 3 = a 2 a = 1 = [ ] [ ] [ ] a 4 = a 3 a = 1 = = e = elemento neutro de GL ( ) Portanto, o(a) = 4 e H = {e, a, a 2, a 3 } e, daí, temos que xh = {x, xa, xa 2, xa 3 } {[ ] [ ] [ ] ]} xh =,,, e Hx = {x, ax, a 2 x, a 3 x} {[ 1 2 Hx = ] [ 0 6, ] [ 1 2, 0 3 [ ] [ 0 6, ]}. Como xh Hx, concluímos que H não é um subgrupo normal de G. A2) Sejam G um grupo finito, H um subgrupo de G e K um subgrupo de H. Mostre que (G : K) = (G : H)(H : K). 58

63 Solução: Usando três vezes o Teorema de Lagrange, temos: H subgrupo de G o(g) = (G : H)o(H) K subgrupo de H o(h) = (H : K)o(K) K subgrupo de G o(g) = (G : K)o(K) Substituindo o o(h) da segunda equação e o o(g) da terceira equação na primeira, temos: (G : K)o(K) = (G : H)(H : K)o(K) o que implica (G : K) = (G : H)(H : K). A3) Sejam G = ( 12, +) e H = { 0, 4, 8} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupo-quociente (G/H, +), identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de 1 + H e 2 + H. Solução: As classes laterais à esquerda módulo H são: 0 + H = { 0 + 0, 0 + 4, 0 + 8} = { 0, 4, 8} = H 1 + H = { 1 + 0, 1 + 4, 1 + 8} = { 1, 5, 9} 2 + H = { 2 + 0, 2 + 4, 2 + 8} = { 2, 6, 10} 3 + H = { 3 + 0, 3 + 4, 3 + 8} = { 3, 7, 11} 4 + H = { 4 + 0, 4 + 4, 4 + 8} = { 4, 8, 0} = H e, a partir daqui, todas as classes laterais são repetições das anteriores: 5 + H = 1 + H, 6 + H = 2 + H, etc. Logo, G/H = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H}. Lembrando que a adição em G/H é definida por (ā + H) + ( b + H) = (ā + b) + H, a sua tábua é: + H 1 + H 2 + H 3 + H H H 1 + H 2 + H 3 + H 1 + H 1 + H 2 + H 3 + H H 2 + H 2 + H 3 + H H 1 + H 3 + H 3 + H H 1 + H 2 + H O elemento neutro do grupo-quociente G/H é o H. Como ( 1 + H) + ( 3 + H) = H temos que o inverso aditivo de 1 + H é o 3 + H. Como ( 2 + H) + ( 2 + H) = H temos que o inverso de 2 + H é o próprio 2 + H. A4) Sejam G = ([x], ) e H = ([x 2 ], ) onde x é um elemento de um grupo (J, ) tal que o(x) = 8. 59

64 a) H é normal em G? b) Descreva G/H e calcule sua ordem o(g/h) c) Construa a tábua de G/H e calcule (x 3 H) 1 e (x 5 H) 2 Solução: a) O grupo G é cíclico, logo, é abeliano. Sendo assim, qualquer subgrupo é normal em G. b) A partir de G = [x] com o(x) = 8, obtemos G = {e, x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 } onde e é o elemento neutro, e, a partir de H = [x 2 ], obtemos H = {e, x 2, x 4, x 6 }. Como o(g) = 8 e o(h) = 4, temos o(g/h) = (G : H) = o(g)/o(h) = 8/4 = 2. As possíveis classes laterais à esquerda módulo H são eh = H e xh = {x, x 3, x 5, x 7 }. Logo, G/H = {H, xh}. c) Temos que H H = eh eh = (e e)h = eh = H, H xh = eh xh = (e x)h = xh, xh H = xh eh = (x e)h = xh, xh xh = (x x)h = x 2 H = H, porque x 2 H. Logo, a tábua de G/H é: H xh H H xh xh xh H O elemento neutro de G/H é a classe eh = H. Como (x 3 H) (xh) = x 4 H = H, temos que (x 3 H) 1 = xh. Temos também que (x 5 H) 2 = (x 5 H)(x 5 H) = (x 5 x 5 )H = x 10 H = x 2 H = H. A5) Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que (G : H) = 2. Mostre que H G. Solução: Sejam x um elemento de G e e o elemento neutro. Se x H, então xh = Hx = H. Suponhamos x H. Como só existem duas classes laterais (porque (G : H) = 2) temos que as classes laterais à esquerda são eh e xh e as classes laterais à direita são He e Hx. Sendo e o elemento neutro, temos eh = He = H. Daí, G = H Hx = H xh. 60

65 Como H Hx = e H xh =, concluímos que Hx = xh. Portanto, H G. B1) Seja H um subgrupo de G e sejam x e y dois elementos quaisquer de G. Mostre que se xh = yh, então Hx 1 = Hy 1. Solução: ( ) Suponhamos xh = yh. Seja a Hx 1. Então a = hx 1, h H a 1 = xh 1 a 1 xh = yh a 1 = yh 2 a = h 1 2 y 1 a Hy 1. Logo, Hx 1 Hy 1. Seja b Hy 1. Então existe h H tal que b = hy 1 b 1 = yh 1 yh = xh b 1 = xh 2, onde h 2 H b = h 1 2 x 1 Hx 1. Logo, Hy 1 Hx 1. Fica mostrado então que Hx 1 = Hy 1. Observação. Analogamente, pode-se mostrar que Hx 1 = Hy 1 xh = yh. B2) Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Mostre que H G se, e somente se, x 1 Hx = H, x G, onde x 1 Hx = {x 1 hx h H}. Solução: ( ) Suponhamos H G. Então, Hx = xh e também Hx 1 = x 1 H, x G. Se y x 1 Hx, então existe h H tal que y = x 1 hx xy = xx 1 hx = hx Hx = xh xy = xh 2, com h 2 H, de onde obtemos que y = h 2 H. Logo, x 1 Hx H. Se y H, então yx 1 Hx 1 = x 1 H. Então, existe h 3 H tal que yx 1 = x 1 h 3 y = x 1 h 3 x x 1 Hx. Logo, H x 1 Hx. Fica mostrado dessa forma que x 1 Hx H e H x 1 Hx o que implica x 1 Hx = H. ( ) Suponhamos x 1 Hx = H, x G. Como a igualdade anterior é válida para todo x G, então também é válida com x 1 no lugar do x: (x 1 ) 1 Hx 1 = H, ou seja, xhx 1 = H. Seja y xh. Existe h H tal que y = xh x 1 y = h x 1 y x 1 Hx x 1 y = x 1 h 2 x, onde h 2 H, y = h 2 x y Hx. Logo, xh Hx. Seja y Hx. Existe h 3 H tal que y = h 3 x yx 1 = h 3 H yx 1 xhx 1 yx 1 = xh 4 x 1 onde h 4 H y = xh 4 y xh. Logo, Hx xh. 61

66 Fica mostrado então que xh Hx e Hx xh xh = Hx, x G H G. B3) Sejam M e N subgrupos normais em um grupo G tais que M N = {e}. Mostre que xy = yx, x M e y N. Solução: Em um grupo multiplicativo, mostrar que dois elementos a e b são iguais é o mesmo que mostrar que ab 1 é igual ao elemento neutro. Vamos calcular quanto é (xy)(yx) 1 = (xy)(x 1 y 1 ). Como M G, temos ymy 1 = M (ver ex. B1) o que implica (y }{{} x 1 y 1 ) M M Como N G, temos xnx 1 = N o que implica (x y x }{{} 1 ) N N (}{{} x yx 1 y } {{ } 1 M M xyx 1 y 1 = e ) M e (xyx }{{} 1 N y 1 }{{} N ) N xyx 1 y 1 M N = {e} Fica mostrado dessa forma que (xy)(yx) 1 = e, ou seja, xy = yx, x M, y N. B4) Sejam H um subgrupo normal em um grupo G e N G. Mostre que N H e H/N G/N. Solução: Suponhamos N G. Então, xn = Nx, x G e, em particular, xn = Nx, x H. Logo, N H. Seja hn um elemento qualquer de H/N e gn um elemento qualquer de G/N. Temos que (gn) 1 (hn)(gn) = (g 1 N)(hN)(gN) = ( g 1 hg )N H/N. } {{ } H porque H G Isso mostra que (gn) 1 (G/N)(gN) G/N e, pelo exercício B2, temos que H/N G/N. C1) Suponhamos N subgrupo de H e H subgrupo de G. Mostre que se N G, então G/N G/H. (Sugestão: considere o homomorfismo φ : G/N G/H definido H/N por φ(xn) = xh). Solução: Seja φ : G/N G/H, φ(xn) = xh. Temos: 62

67 Para quaisquer an, bn G/N, φ((an)(bn)) = φ((ab)n) = (ab)h = (ah)(bh) = φ(an)φ(bn). Logo, φ é um homomorfismo de grupos. Vamos calcular o núcleo de φ. Se an G/N for tal que φ(an) = H = elemento neutro de G/H ah = H a H. Logo, N(φ) = {an a H} = H/N. Dado ah G/H = contradomínio de φ, considerando an G/N = domínio de φ, temos que φ(an) = ah. Logo, φ é uma função sobrejetora. Usando o Teorema do Homomorfismo para a função φ, temos que G/N N(φ) Im(φ) o que implica G/N H/N G/H. Observação. O grupo-quociente G/N também pode ser denotado na forma G N. 63

68 Capítulo 6 Anéis, subanéis, anéis de integridade, corpos A1) Sejam A =, (a, b) (c, d) = (a+c, b+d), (a, b) (c, d) = (ac bd, ad +bc), onde a, b, c, d. Mostre que (A,, ) é um anel, verifique se é comutativo e se tem unidade. Solução: Sejam (a, b), (c, d), (e, f ) três elementos genéricos de A. Temos que: (a, b) (c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c, d) (a, b); logo, é comutativa. [(a, b) (c, d)] (e, f ) = (a + c, b + d) (e, f ) = ((a + c) + e, (b + d) + f ) = (a + (c + e), b + (d + f )) = (a, b) (c + e, d + f ) = (a, b) [(c, d) (e, f )]; logo, é associativa. (a, b) (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b); logo, tem elemento neutro (0, 0). (a, b) ( a, b) = (a+( a), b+( b)) = (0, 0); logo, todo elemento (a, b) possui um inverso aditivo ( a, b). [(a, b) (c, d)] (e, f ) = (ac bd, ad + bc) (e, f ) = ((ac bd)e (ad + bc) f, (ac bd) f + (ad + bc)e) = (ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce) e (a, b) [(c, d) (e, f )] = (a, b) (ce d f, c f + ed) = (a(ce d f ) b(c f + ed), a(c f +ed)+b(ce d f )) = (ace-adf- bcf - bed, acf+aed + bce - bdf ) Logo, [(a, b) (c, d)] (e, f ) = (a, b) [(c, d) (e, f )] o que significa que é associativa. (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) = (ca db, cb + da) = (c, d) (a, b); logo, é comutativa. (a, b) [(c, d) (e, f )] = (a, b) (c + e, d + f ) = (a(c + e) b(d + f ), a(d + f ) + b(c + e)) = (ac + ae bd b f, ad + a f + bc + be) e (a, b) (c, d) (a, b) (e, f ) = (ac bd, ad + bc) (ae b f, a f + be) = (ac bd + ae b f, ad + bc + a f + be). Logo, (a, b) [(c, d) (e, f )] = 64

69 (a, b) (c, d) (a, b) (e, f ). Como é comutativa, temos também que [(c, d) (e, f )] (a, b) = (a, b) [(c, d) (e, f )] = (a, b) (c, d) (a, b) (e, f ) = (c, d) (a, b) (e, f ) (a, b). Portanto, é distributiva com relação a. (a, b) (1, 0) = (a 1 b 0, a 0 + b 1) = (a 0, 0 + b) = (a, b). Logo, tem elemento neutro (unidade) que é o (1, 0). Todos os itens anteriores juntos mostram que (A,, ) é um anel comutativo com unidade. Observação. As operações e definidas entre (a, b) e (c, d) neste exercício são semelhantes às que são definidas nos números complexos a + bi e c + di. Veja os seguintes exemplos: Em A temos: (1, 2) (3, 4) = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) (1, 2) (3, 4) = ( , ) = ( 5, 10) Em temos: (1 + 2i) + (3 + 4i) = (1 + 3) + (2 + 4)i = 4 + 6i (1 + 2i)(3 + 4i) = i + 3 2i + 8i 2 = 3 + 4i + 6i 8 = i. A2) Seja F = { f : f é contínua } e +,, as seguintes operações: ( f + g)(x) = f (x) + g(x) ( f g)(x) = f (x) g(x) ( f g)(x) = f (g(x)) a) Mostre que (F, +, ) é um anel comutativo, com unidade, mas que não é de integridade; b) Mostre que (F, +, ) não é um anel. Solução: a) Sejam f, g e h três funções contínuas de em, elementos genéricos de F. Temos que as seguintes propriedades são válidas: f (x) + g(x) = g(x) + f (x), x ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)), x f (x) + O(x) = f (x), x, onde O(x) representa a função nula: O(x) = 0. 65

70 f (x) + ( f (x)) = O(x), x ( f (x) g(x)) h(x) = f (x) (g(x) h(x)), x f (x) (g(x) + h(x)) = f (x) g(x) + f (x) h(x) e ( f (x) + g(x)) h(x) = f (x) h(x) + g(x) h(x), x f (x) g(x) = g(x) f (x), x f (x) I(x) = f (x), x, onde I(x) é a função constante 1: I(x) = 1. Logo, (F, +, ) é um anel comutativo com unidade. Para mostrar que F não é anel de integridade, devemos mostrar exemplos de duas funções contínuas não nulas cujo produto é nulo. Por exemplo, sejam f, g : definidas por f (x) = x + x e g(x) = x x. Veja gráficos a seguir. Temos que f e g não são funções nulas, mas ( f g)(x) = f (x) g(x) = ( x + x)( x x) = x 2 x 2 = x 2 x 2 = 0, x. b) Para mostrar que (F, +, ) não é um anel, basta encontrar exemplos de funções em que falhe alguma das propriedades de anel. Por exemplo, consideremos f :, g : e h : definidas por f (x) = x 2, g(x) = 3x e h(x) = x + 1. Temos que: 1 ( f (g + h))(x) = ( f (g + h))(x) = f (3x + x + 1) = f (4x + 1) = (4x + 1) 2 = 16x 2 + 8x + 1, 2 ( f g+ f h)(x) = ( f g)(x)+( f h)(x) = f (g(x))+ f (h(x)) = f (3x)+ f (x+1) = (3x) 2 + (x + 1) 2 = 10x 2 + 2x + 1. Logo, f (g + h) f g + f h. Isso significa que a multiplicação não é distributiva com relação à adição + definidas no conjunto F, e, consequente, ele não é um anel. A3) Verifique se os conjuntos A a seguir são subanéis de (, +, ): 66

71 a) 3 b) c) {m + 1 5n m, n } d) { 1, 0, 1} Solução: a) O subconjunto 3 é formado por todos os múltiplos de 3. É claro que ele não é vazio porque, por exemplo, 3 3. Sejam x, y 3. Então existem m, n tais que x = 3m e y = 3n. Daí, x y = 3m 3n = 3(m n) 3 e x y = (3m)(3n) = 9mn = 3(3mn) 3. Logo, 3 é um subanel de. b) A = é formado pelos números racionais que não são inteiros, ou seja, formado pelas frações p/q tais que p/q. Por exemplo, 3/2 A e 1/2 A, mas 3/2 1/2 = 1 A. Logo, A não é fechado com relação à subtração, de onde concluímos que A não é subanel de. c) Seja A = {m + 1 5n m, n }. Escolhendo (aleatoriamente) m = n = 1 e, depois, m = 0, n = 2 temos que x = = 6 5 e y = = 2 5 são dois elementos de A. No entanto, x y = = Se esse último elemento pertencesse a A, existiriam m, n tais que = m + 1 5n 12 = 25m + 5n o que é um absurdo porque 12 não é múltiplo de 5 enquanto que 25m+5n = 5(5m+n) é múltiplo de 5. Concluímos dessa forma que A e, consequentemente, A não é subanel de. d) Se A = { 1, 0, 1}, escolhendo x = 1 e y = 1 temos que x y = 2 A. Logo, A não é subanel de. A4) Seja A um anel. Mostre que: a) Se (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 para quaisquer α, β A, então A é um anel comutativo. b) Dê exemplo de um anel A e elementos α, β A tais que (α+β) 2 α 2 +2αβ+β 2. Solução: a) Usando a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição temos que se α e β são dois elementos genéricos de um anel A, então (α + β) 2 = (α + β)(α + β) = α(α + β) + β(α + β) = α 2 + αβ + βα + β 2. Utilizamos também a propriedade associativa da adição para poder retirarmos os parênteses da expressão. Se no anel A é válido também que (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2, então 67

72 temos que α 2 + 2αβ + β 2 = α 2 + αβ + βα + β 2. Somando-se ( α 2 ), ( β 2 ) e ( αβ) a ambos os membros e simplificando, obtemos: αβ = βα, de onde podemos concluir que o anel é comutativo. b) Basta escolher dois elementos que não comutem em um[ anel A] que não seja 1 2 comutativo. Por exemplo, sejam A = M 2 2 ( ), α = A e β = 0 1 [ ] [ ] [ ] [ ] A. Temos α =, αβ =, β =, α + β = 3 10 [ ] [ ] [ ] o que implica em (α + β) = e α αβ + β 2 =, de 1 5 onde podemos observar que (α + β) 2 α 2 + 2αβ + β 2. A5) Verifique se (S, +, ) é um subcorpo de (, +, ) em cada um dos seguintes casos: a) S = {a + b 3 a, b } b) S = {a 2 + b 3 a, b } c) S = {a + b 3 3 a, b } (OBS.: S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S K) Solução: a) consideremos um elemento de S e vamos verificar se esse elemento tem inverso multiplicativo em S. Por exemplo, seja x = 3 S. Temos que x 1 = 1 3 = 3 3 = S (porque 1 3 ) S não é subcorpo de. b) Para o conjunto ser um subcorpo, entre outras propriedades, ele precisa ser fechado para a multiplicação. Escolhendo-se a = 1, b = 0 e depois a = 2, b = 0, obtemos que x = 2 e y = 2 2 são dois elementos de S. Como x y = = 4 S, temos que S não é subcorpo de. c) Seja x = 3 3 S. Temos que x 1 = = = S. Logo, S não é um subcorpo de. A6) Mostre que: a) [ 2] = {a + b 2 a, b } é um subcorpo de ; b) Existe uma infinidade de corpos tais que. 68

73 Solução: a) Escolhendo a = b = 1 temos que [ 2] [ 2]. Sejam x = a + b 2 e y = c + d 2 dois elementos genéricos de [ 2]. Temos que: x y = (a + b 2) (c + d 2) = (a } {{ } c) + (b } {{ } d) 2 [ 2] x y = (a + b 2)(c + d 2) = (ac } {{ } + 2bd) + (ad + bc) } {{ } 2 [ 2] Fica mostrado dessa forma que [ 2] é um subanel de. Para ser subcorpo, faltam ainda outras propriedades: Escolhendo a = 1 e b = 0 temos que 1 = [ 2] [ 2] tem unidade x y = (a + b 2)(c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 e y x = (c + d 2)(a + b 2) = (ca + 2db) + (da + cb) 2 x y = y x [ 2] é comutativo Seja x = m + n 2 um elemento não nulo de [ 2]. O inverso multiplicativo x 1 1 é igual a m+n = m n 2 2 (m+n 2)(m n = m n + 2) 2 que é m 2 2n 2 m 2 2n 2 um elemento de [ 2]. } {{ } } {{ } b) De modo semelhante ao que foi feito no item (a), podemos mostrar que se p for um primo positivo, [ p] = {a + b p a, b } é um subcorpo de. Obtemos, dessa forma, uma infinidade de corpos [ 2], [ 3], [ 5], [ 7], todos contidos em e contendo o conjunto. A7) Dê exemplo de um anel A e um subanel B tais que: a) 1 A, 1 B mas 1 A 1 A ; b) 1 A, mas 1 B. Solução: {[ ] } a 0 a) Consideremos A = M 2 2 e B = a. Temos que B é um subanel 0 0 [ ] [ ] de A, 1 A =, B = e A 1 B. 69

74 b) Sejam B = 2 = inteiros pares e A = com as operações de adição e multiplicação usuais. Temos que B é subanel de A, existe 1 A = 1, mas não existe 1 B. A8) Mostre detalhadamente que se A for um anel de integridade e a A for tal que a 2 = 1, então a = 1 ou a = 1. Solução: Se a 2 = 1, então somando-se ( 1) a ambos os membros, obtemos: a 2 + ( 1) = 1 + ( 1) a 2 1 = 0. Como (a + 1)(a 1) = a 2 + a a 1 = a 2 1, temos que (a + 1)(a 1) = 0. Como A é um anel de integridade, temos a + 1 = 0 ou a 1 = 0. Somando-se ( 1) e 1 às igualdades anteriores, concluímos que a = 1 ou a = 1. A9) Mostre detalhadamente que se A for um anel de integridade e a A for tal que a 2 = a, então a = 0 ou a = 1. Solução: Se a 2 = a, então somando-se ( a) a ambos os membros, obtemos: a 2 +( a) = a+( a) a 2 a = 0 a(a 1) = 0. Como A é um anel de integridade, temos a = 0 ou a 1 = 0. Somando-se 1 à igualdade anterior, concluímos que a = 0 ou a = 1. A10) Em um anel A, um elemento x A é denominado nilpotente quando existir n tal que x n = 0. Mostre que o único elemento nilpotente de um anel de integridade é o zero. Solução: Suponhamos x um elemento nilpotente de um anel A. Se x n = 0, onde x A e n, então não podemos ter n = 0 porque, se assim fosse, a potência x n não seria igual a 0. Se n = 1, então x n = 0 x = 0. Se n > 1, então x n = 0 x x x x } {{ } = 0. Como A é um anel de integridade, temos x = 0. n fatores Observação. Sendo A um anel de integridade, se x 1, x 2 A são tais que x 1 x 2 = 0, então x 1 = 0 ou x 2 = 0. Isso pode ser generalizado (por Indução) para uma 70

75 quantidade de k fatores, com k > 1: se x i A, com i {1, 2,, k} são tais que x 1 x 2 x k = 0, então existe j {1, 2,, k} tal que x j = 0. A11) No corpo Z 11, resolva: a) a equação x 3 = x; b) o sistema de equações Solução: { 2x + 3y = 1 5x 2y = 8 a) Como 11 é primo, 11 é um corpo. Logo, podemos usar as propriedades (comutativa, distributiva, etc.) da adição e multiplicação para escrever a equação na seguinte forma: x 3 = x x 3 x = 0 x(x 2 1) = 0 x(x + 1)(x 1) = 0. Como 11 é um anel de integridade, temos que x = 0 ou x + 1 = 0 ou x 1 = 0, ou seja, x = 0 ou x = 1 = 10 ou x = 1. Logo, o conjunto-solução da equação é S = { 0, 1, 10}. b) Multiplicando-se a primeira equação por 2, a segunda por 3 e somando-se as duas equações, podemos eliminar a variável y: { 4x + 6y = 2 15x 6y = 24 { 4x + 6y = 2 4x 6y = 2 ( 4x + 6y) + ( 4x 6y) = x = 4 x = ( 8) 1 4. Como 8 7 = 56 = 1, temos que ( 8) 1 = 7. Daí, x = 7 4 = 28 = 6. Substituindo-se x = 6 na primeira equação do sistema, obtemos: y = 1 3y = y = 11 = 0 y = ( 3) 1 0 y = 0. Portanto, a solução do sistema é x = 6, y = 0. A12) Determine todos os divisores de zero do anel 15. Solução: ā e b são divisores de zero de 15 se eles forem não nulos e ā b = 0, ou seja, a b = 0 a b é um múltiplo de 15 a, b {3, 5, 6, 9, 10, 12}, um conjunto formado por divisores de 15 e seus múltiplos maiores do que 1 e menores do que 15. Portanto, os divisores de zero de 15 são 3, 5, 6, 9, 10, 12. B1) Seja A um anel no qual x 2 = x para todo x A. Mostre que x = x para todo x A. (Sugestão: calcule (x + x) 2.) Solução: Em um anel A, se a, b A, então (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a(a+b)+b(a+b) = a 2 +ab+ba+b 2. Se a = b = x, então (x+x) 2 = x 2 +x x+x x+x 2 = 71

76 x 2 +x 2 +x 2 +x 2 = x+x+x+x. Por outro lado, (x+x) 2 = x+x. Logo, x+x = x+x+x+x. Somando-se ( x) + ( x) + ( x) aos dois membros dessa última igualdade, obtemos: ( x) + x + ( x) + x + ( x) = ( x) + x + ( x) + x + ( x) + x + x x = x para todo x A. Observação. Note que utilizamos as propriedades associativa da adição e distributiva da multiplicação com relação à adição no desenvolvimento acima. B2) Seja A um anel no qual x 2 = x para todo x A. Mostre que A é um anel comutativo. (Sugestão: calcule (x + y) 2.) Solução: Como (x+y) 2 = x 2 +xy+yx+y 2, temos que (x+y) 2 = x+xy+yx+y. Por outro lado, (x+y) 2 = x+y e daí x+xy+yx+y = x+y. Somando-se ( x)+( y) aos dois membros da última igualdade, obtemos: x+( x)+xy+yx+y+( y) = x+( x)+y+( y), ou seja, xy + yx = 0. Usando o exercício B1, temos yx = yx. Portanto, xy yx = 0 de onde obtemos que xy = yx para quaisquer x, y A, ou seja, o anel A é comutativo. B3) No anel 8, determine todas as soluções da equação x 2 1 = 0. Solução: Em todo anel comutativo, é válido o seguinte produto notável: (a + b)(a b) = a 2 b 2. Logo, a equação dada pode ser escrita na forma (x + 1)(x 1) = 0. Portanto, duas soluções são obtidas quando x + 1 = 0 ou quando x 1 = 0, ou seja, quando x = 1 = 7 ou x = 1. Em um anel de integridade, essas seriam as únicas soluções. Mas 8 não é anel de integridade porque seus divisores de zero são 2, 4 e 6. Logo, também podemos obter soluções da equação dada quando x + 1 ou x 1 coincidem com esses divisores de zero. Dessa forma, obtemos as seguintes possíveis soluções: x + 1 = 2 x = 1 x + 1 = 4 x = 3 x + 1 = 6 x = 5 x 1 = 2 x = 3 x 1 = 4 x = 5 x 1 = 6 x = 7 Por substituição direta na equação, podemos verificar que x = 3 não é uma raiz da equação, enquanto que 1, 5 e 7 são raízes. Portanto, o conjunto-solução da equação x 2 1 = 0 é S = { 1, 5, 7}. 72

77 B4) No corpo 101, determine o inverso multiplicativo do elemento 43. Solução: Como 101 é primo, o mdc(101, 43) = 1. Logo, existem a, b tais que 101a + 43b = 1. Para calcular a e b, podemos usar o método das divisões sucessivas para o cálculo do máximo divisor comum, dispostas no seguinte diagrama onde fizemos x = 101 e y = 43: x y Observando as divisões indicadas nesse diagrama, temos: (a) x = 2 y + 15 (b) y = (c) 15 = (d) 13 = Do item (a), temos que 15 = x 2y que substituído em (b) fornece y = 2 (x 2y)+13, ou seja, y = 2x 4y y 2x = 13. Do item (c), temos 2 = que substituindo em (d) fornece 13 = 6 (15 13)+1 que é equivalente a = 1, ou seja, 7(5y 2x) 6(x 2y) = 1 que equivale a ȳ }{{} 20 x = 0 de 47 em 101 é o elemento 43. }{{} y }{{} 20 x = 1 47y 20x = =b =a = = 1 de onde concluímos que o inverso multiplicativo 73

78 Capítulo 7 Homomorfismos de anéis, ideais, anéis-quocientes A1) Consideremos o anel A = e o ideal I = 4 = múltiplos de 4 (operações de adição e multiplicação usuais). Construa as tábuas de adição e multiplicação do anel-quociente A/I. Solução: Temos que: 0 + I = {, 12, 8, 4, 0, 4, 8, 12, } = I 1 + I = {, 11, 7, 3, 1, 5, 9, 13, } 2 + I = {, 10, 6, 2, 2, 6, 10, 14, } 3 + I = {, 9, 5, 1, 3, 7, 11, 15, } 4 + I = {, 8, 4, 0, 4, 8, 12, 16, } = I Portanto, o anel-quociente de A por I é A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I}. Alguns exemplos de adição entre seus elementos são (2+I)+(1+I) = (2+1)+I = 3+I e (2 + I) + (4 + I) = (2 + 4) + I = 6 + I = 2 + I e todas as possíveis adições entre seus elementos podem ser observadas na seguinte tábua: + I 1 + I 2 + I 3 + I I I 1 + I 2 + I 3 + I 1 + I 1 + I 2 + I 3 + I I 2 + I 2 + I 3 + I I 1 + I 3 + I 3 + I I 1 + I 2 + I 74

79 Alguns exemplos de multiplicação entre seus elementos são (2+I) I = (2+1) (0+I) = I = 0 + I = I e (3 + I) + (2 + I) = (3 2) + I = 6 + I = 2 + I e todas as possíveis multiplicações entre seus elementos podem ser observadas na seguinte tábua: I 1 + I 2 + I 3 + I I I I I I 1 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 2 + I I 2 + I I 2 + I 3 + I I 3 + I 2 + I 1 + I A2) Dê exemplo de um homomorfismo de anéis f : A B tal que f (1 A ) 1 B. Solução: Sejam A = B =. Então 1 A = 1 B = 1. Consideremos a função nula f :, f (x) = 0, que é um homomorfismo de A em B. Como f (1) = 0, temos que f (1 A ) 1 B. Observação. Esse tipo de exemplo só é possível quando a função f não for sobrejetora. A3) Considere os anéis A = (, +, ) com operações usuais e B = (,, ) onde x y = x + y + 1 e x y = x + y + xy. a) Mostre que f : A B definida por f (x) = x 1 é um isomorfismo de anéis; b) Mostre que f : A A definida por f (x) = x 1 não é um isomorfismo de anéis. Solução: a) Sejam x, y A. Então: f (x+y) = x+y 1 e f (x) f (y) = f (x)+ f (y)+1 = (x 1)+(y 1)+1 = x+y 1. Logo, f (x + y) = f (x) f (y). f (x y) = xy 1 e f (x) f (y) = f (x) + f (y) + f (x) f (y) = (x 1) + (y 1) + (x 1)(y 1) = x+y 2+ xy x y+1 = xy 1. Logo, f (x y) = f (x) f (y). Portanto, f é um homomorfismo de anéis. Suponhamos f (x) = f (y). Então, x 1 = y 1 x = y. Logo, f é injetora. Dado y B =, considerando x = y + 1 A =, temos: f (x) = x 1 = (y + 1) 1 = y. Logo, f é sobrejetora. 75

80 Ficou mostrado nos itens anteriores que f é um isomorfismo de anéis. b) Com as operações usuais, o elemento neutro da adição de A é o 0. Como f (0) = 1 0 temos que f não é isomorfismo de anéis. A4) Verifique se (I, +, ) é um ideal do anel (A, +, ) em cada um dos seguintes casos: a) I =, A = ; b) I = 3, A = ; c) I = 2, A = com as operações de adição usual de inteiros e multiplicação definida por x y = 0 para quaisquer x, y. d) I = elementos de que são divisores de 100 e A =. e) I = 3 7, A = f) I = { f : f ( 1) = 0}, A =. g) I = { f : f (3) = f (4) = 0}, A =. h) I = { f : f (1) + f (2) = 0}, A = Solução: a) Sejam x = 1 I e a = 1 3 A. Como a x = 1 3 I, temos que I não é ideal de A. b) É claro que I porque, por exemplo, 3 I. Sejam x, y I. Então, x = 3m e y = 3n com m, n. Daí, temos x y = 3m 3n = 3(m n) I. Se a, temos a x = 3(am) I. Logo, I é um ideal de A. c) É claro que I porque, por exemplo, 2 I. Sejam x, y I. Então, x = 2m e y = 2n com m, n. Daí, temos x y = 2m 2n = 2(m n) I. Se a, temos a x = 0 I. Logo, I é um ideal de A. d) Dois divisores de 100 são x = 5 e y = 10. Como x + y = 15 não é divisor de 100, temos que I não é ideal de A. e) I é formado pelos inteiros que são múltiplos de 3 ou múltiplos de 7. Dois elementos de I são x = 3 e y = 14. Como x + y = 17 I temos que I não é ideal de A. f) A função nula pertence a I; logo, I. Se f, g I, então f ( 1) = 0 e g( 1) = 0. Daí, ( f g)( 1) = f ( 1) g( 1) = 0 0 = 0; logo, f g I. Se h A, então ( f h)( 1) = f ( 1) h( 1) = 0 h( 1) = 0. Logo, f h I. Portanto, I é um ideal de A. 76

81 g) A função nula pertence a I; logo, I. Se f, g I, então f (3) = f (4) = g(3) = g(4) = 0. Daí, ( f g)(3) = f (3) g(3) = 0 0 = 0 e ( f g)(4) = f (4) g(4) = 0 0 = 0; logo, f g I. Se h A, então ( f h)(3) = f (3) h(3) = 0 h(3) = 0 e ( f h)(4) = f (4) h(4) = 0 h(4) = 0.. Logo, f h I. Portanto, I é um ideal de A. h) Sejam f (x) = 2x + 3 e h(x) = x. Então, f (1) + f (2) = 1 + ( 1) = 0 f I e g(x) = h(x) f (x) = x( 2x + 3) = 2x 2 + 3x g(1) + g(2) = 1 + ( 2) = 1 0 g = h f I. Logo, I não é ideal de A. A5) Seja A = {a + b 2 a, b }. Mostre que se f : A A for um isomorfismo de anéis, então f ( 2) = 2 ou f ( 2) = 2. Solução: Se f for isomorfismo de anéis, então f (1) = 1 o que implica f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = = 2 e daí obtemos 2 = f (2) = f ( 2 2) = f ( 2) f ( 2) = [ f ( 2)] 2 [ f ( 2)] 2 = 2 de onde concluímos que f ( 2) = ± 2. A6) Verifique se f : tal que f (x, y) = (y, x) é um isomorfismo de anéis. Solução: Sejam X = (a, b) e Y = (c, d) dois elementos do domínio de f. f (X + Y) = f ((a, b) + (c, d)) = f (a + c, b + d) = (b + d, a + c) = (b, a) + (d, c) = f (a, b) + f (c, d) = f (X) + f (Y) f (X Y) = f ((a, b) (c, d)) = f (ac, bd) = (bd, ac) = (b, a) (d, c) = f (a, b) f (c, d) = f (X) f (Y); logo, f é um homomorfismo de anéis. f (X) = f (Y) f (a, b) = f (c, d) (b, a) = (d, c) b = d e a = c (a, b) = (c, d) X = Y; logo, f é injetora Dado W = (r, s), consideremos Z = (s, r). Temos que f (Z) = f (s, r) = (r, s) = W; logo, f é sobrejetora. Desse modo, fica mostrado que f é um isomorfismo de anéis. A7) Sejam um corpo e para cada a considere a função f a : tal que f a (x) = axa 1. a) Mostre que f a é um isomorfismo de anéis. 77

82 b) Se b for outro elemento de, então calcule a composta f a f b. Solução: a) Sejam x, y. Temos: f a (x + y) = a(x + y)a 1 = (ax + ay)a 1 = axa 1 + aya 1 = f a (x) + f a (y) f a (x y) = a(x y)a 1 = ax(a 1 a)ya 1 = (axa 1 )(aya 1 ) = f a (x) f a (y). Assim, este item, juntamente com o item anterior, mostra que f a é um homomorfismo de anéis. Se f a (x) = f a (y), então axa 1 = aya 1. Multiplicando-se à esquerda por a 1 e à direita por a, obtemos a 1 axa 1 a = a 1 aya 1 a 1 x 1 = 1 y 1 x = y. Logo, f a é injetora. Dado s (contradomínio de f ), seja r = a 1 sa pertencente a (domínio de f ) temos que f a (r) = ara 1 = a(a 1sa)a 1 = 1 s 1 = s. Logo, f a é sobrejetora. Fica mostrado dessa forma que f a é um isomorfismo de em. b) Se a, b, x, então ( f a f b )(x) = f a ( f b (x)) = f a (bxb 1 ) = a(bxb 1 )a 1 = (ab)x(b 1 a 1 ) = (ab)x(ab) 1 = f ab (x). Portanto, f a f b = f ab. B1) Mostre que se f : é um isomorfismo de anéis, então f é a função identidade. Solução: Como f é um isomormorfismo, temos que f é um homomorfismo e f (a + b) = f (a) + f (b) para quaisquer a, b. Sendo f um homomorfismo, temos f (0) = 0 Sendo f também sobrejetora, temos f (1) = 1 f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = = 2 f (3) = f (2 + 1) = f (2) + f (1) = = 3 f (4) = f (3 + 1) = f (3) + f (1) = = 4, etc. Supondo f (k) = k, temos que f (k +1) = f (k)+ f (1) = k +1. Logo, por indução, f (n) = n para todo n. Se m for tal que m < 0, então m e daí f ( m) = m pelo que foi mostrado no item anterior. Como f ( m) + f (m) = f (( m) + m) = f (0) = 0, temos que f ( m) = f (m) m = f (m) f (m) = m. 78

83 Concluímos então que f (x) = x, x, ou seja, f é a função identidade em. B2) Seja f : A B um homomorfismo de anéis e P um ideal primo de B. Mostre que f 1 (P) é um ideal primo de A. Solução: Inicialmente, vamos mostrar que f 1 (P) é um ideal de A. Depois, mostramos que é um ideal primo. Como 0 P e f (0) = 0 temos que f 1 (P) porque f 1 (P) contém pelo menos o elemento 0. Se a, b f 1 (P), então f (a), f (b) P f (a) f (b) P f (a b) P a b f 1 (P). Se a f 1 (P) e x A, então f (a) P e f (x) B f (a) f (x) P f (a x) P a x f 1 (P). Logo, f 1 (P) é um ideal de A. Suponhamos x, y A tais que x y f 1 (P). Então, f (x y) P f (x) f (y) P. Como P é primo, temos f (x) P ou f (y) P x f 1 (P) ou y f 1 (P). Logo, f 1 (P) é um ideal primo de A. B3) Mostre que (2, +, ) e (3, +, ) não são anéis isomorfos. Solução: Suponhamos que exista um isomorfismo f : 2 3. Então f (2) = 3n para algum n. Como f (0) = 0 e f é injetora, temos que n 0. Usando o fato de que f é um homomorfismo de anéis, temos: f (4) = f (2 + 2) = f (2) + f (2) = 3n + 3n = 6n f (4) = f (2 2) = f (2) f (2) = (3n)(3n) = 9n 2 o que implica em 6n = 9n 2 2 3n = 3n 3n. Como 3 é um anel de integridade e 3n 0, podemos cancelar o 3n nos dois membros da última igualdade de onde obtemos: 2 = 3n. Essa última igualdade é um absurdo porque o segundo membro é um múltiplo de 3 e o primeiro membro não é. Portanto, não pode existir isomorfismo de 2 em 3. B4) Verifique se [ 5] = {a + b 5 a, b } e [ 7] = {a + b 7 a, b } são anéis isomorfos (com as operações de adição e multiplicação usuais). Solução: Suponhamos que exista um isomorfismo f : [ 5] [ 7]. 79

84 Como f é um homomorfismo sobrejetor, temos f (1) = 1 o que implica em f (5) = f ( ) = f (1)+ f (1)+ f (1)+ f (1)+ f (1) = = 5. O elemento 5 é levado pela f para um elemento a + b 7 com a, b, isto é, f ( 5) = a + b 7. Elevando-se ao quadrado, obtemos: [ f ( 5)] 2 = (a + b 7) 2 f ( 5) f ( 5) = a 2 + 2ab 7 + ( 7) 2 f ( 5 5) = a 2 + 2ab f (5) = a 2 + 2ab = a 2 + 2ab Não podemos ter a = 0 porque isso implicaria 5 = que é absurdo. Não podemos ter b = 0 porque isso implicaria 5 = a a 2 = 2 que é absurdo porque não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2. Assim, a 0 e b 0 o que implica ab 0. Como 2ab 7 = a 2 2, temos 7 = a2 2 2ab o que é absurdo porque 7 é irracional, enquanto que a2 2 2ab é racional. Portanto, não pode existir isomorfismo f de [ 5] em [ 7] C1) Determine todos os possíveis isomorfismos do anel (, +, ) nele mesmo. Solução: Seja f : um isomorfismo de anéis. Então, f (0, 0) = (0, 0) e f (1, 1) = (1, 1). Vamos calcular os valores de f (0, 1) e f (1, 0). Se esses valores forem conhecidos, a partir deles, podemos calcular todos os outros. Temos que: Suponhamos f (0, 1) = (a, b). Então, (0, 1) (0, 1) = (0 0, 1 1) = (0, 1) f [(0, 1) (0, 1)] = f (0, 1) f (0, 1) f (0, 1) = f (0, 1) (a, b) (a, b) = (a, b) (a 2, b 2 ) = (a, b) a 2 = a e b 2 = b ( a = 0 ou a = 1) e (b = 0 ou b = 1) f (0, 1) = (0, 1) ou f (0, 1) = (1, 0). Note que, sendo f injetora, não podemos ter f (0, 1) = (0, 0), nem f (0, 1) = (1, 1). Suponhamos f (1, 0) = (c, d). Usando argumentos semelhantes aos do item anterior, a partir de (1, 0) (1, 0) = (1, 0), chegamos a (c 2, d 2 ) = (c, d) o que implica em f (1, 0) = (0, 1) ou f (1, 0) = (1, 0). Portanto, temos dois casos a considerar: Caso 1: f (0, 1) = (0, 1) e f (1, 0) = (1, 0) Neste caso, temos f (0, 2) = f [(0, 1) + (0, 1)] = f (0, 1) + f (0, 1) = (0, 1) + (0, 1) = (0, 2), f (0, 3) = f [(0, 2)+(0, 1)] = f (0, 2)+ f (0, 1) = (0, 2)+(0, 1) = (0, 3), etc. Supondo f (0, k) = (0, k), temos f (0, k + 1) = f [(0, k) + (0, 1)] = f (0, k) + f (0, 1) = (0, k) + (0, 1) = (0, k + 1). Logo, por indução, f (0, n) = (0, n), n. 80

85 Se m for um inteiro negativo, então m é positivo e f (0, m) = (0, m). Como f (0, 0) = (0, 0), temos que f [(0, m) + (0, m)] = f (0, 0) = (0, 0) f (0, m) + f (0, m) = (0, 0) f (0, m) + (0, m) = (0, 0) f (0, m) = (0, m) f (0, m) = (0, m). Portanto, f (0, y) = (0, y), y. A partir de f (1, 0) = (1, 0), usando um cálculo semelhante ao item anterior, obtemos f (2, 0) = (2, 0), f (3, 0) = (3, 0), etc. e chegamos a f (x, 0) = (x, 0), x. Portanto, f (x, y) = f [(x, 0) + (0, y)] = f (x, 0) + f (0, y) = (x, 0) + (0, y) f (x, y) = (x, y). Caso 2: f (0, 1) = (1, 0) e f (1, 0) = (0, 1) Este caso é semelhante ao anterior: a partir de f (0, 1) = (1, 0), calculamos f (0, 2) = (2, 0), f (0, 3) = (3, 0), etc. e chegamos a f (0, y) = (y, 0), y. A partir de f (1, 0) = (0, 1), chegamos a f (2, 0) = (0, 2), f (3, 0) = (0, 3), etc. e chegamos a f (x, 0) = (0, x), x. Daí, f (x, y) = f (x, 0) + f (0, y) = (0, x) + (y, 0) f (x, y) = (y, x). Portanto, as funções f (x, y) = (y, x) e g(x, y) = (x, y), sendo homomorfismos de em e bijetoras, são os únicos isomorfismos de em. 81

86 Capítulo 8 Polinômios A1) Determine A e B reais de modo que a igualdade se verifique para todo x {2, 2}. 3x + 1 (x 2)(x + 2) = A x 2 + B x + 2 Solução: Multiplicando-se os dois membros da igualdade por (x 2)(x + 2), obtemos 3x + 1 = A(x + 2) + B(x 2) que é equivalente a 3x + 1 = (A + B)x+ (2A 2B). { Comparando os coeficientes nos dois membros da última igualdade, A + B = 3 obtemos:. Multiplicando-se a primeira equação por 2 e somandose com a segunda, obtemos: (2A + 2B) + (2A 2B) = 6 + 1, ou seja, 4A = 7. 2A 2B = 1 Daí, obtemos A = 7 4, que substituindo na primeira equação fornece B = 3 B = B = 5 4. Portanto, A = 7 4 e B = 5 4. A2) Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f (x) por g(x) em cada caso a seguir: a) f (x) = x 4 + 7x 3 5x x 3, g(x) = x b) f (x) = x 3 + 6x 2 + 9x 11, g(x) = x 2 + x + 1 Solução: a) Dividimos x 4 por x 2 e obtemos como resultado x 2. Multiplicamos x 2 por (x 2 + 2) e obtemos x 4 + 2x 2. Subtraímos esse resultado de f (x), ou seja, somamos f (x) com x 4 2x 2 e o resultado dessa operação inicia com 7x 3. Repetimos o procedimento de divisão por x 2, etc. até obtermos um resultado com grau menor do que 2. 82

87 O quociente da divisão é q(x) = x 2 + 7x 7 e o resto é r(x) = 4x b) Dividimos x 3 por x 2 e obtemos x. Multiplicamos x por (x 2 + x + 1) e subtraímos de f (x). Prosseguimos de maneira semelhante até obtermos um resultado de grau menor do que 2. O quociente é q(x) = x + 5 e o resto é r(x) = 3x 16. Em qualquer caso observe que f (x) = g(x) q(x) + r(x). A3) Determine o valor de a para que a divisão de f (x) = x 4 + 2ax 3 + (a 2)x 2 + 5ax 3 por g(x) = x + 2 apresente resto igual a 6. Solução: O resto da divisão de f (x) por x + 2 = x ( 2) é igual a f ( 2) = 16 16a + 4(a 2) 10a 3 = 22a + 5. Devemos ter 22a + 5 = 6 o que implica 22a = 11, ou seja, a = 1 2. A4) Determine ā 5 de modo que f (x) = 2x 3 + x 2 3x + ā 5 [x] seja divisível por g(x) = x [x]. Solução: O resto da divisão de f (x) por x + 1 = x ( 1) é igual a f ( 1) = ā = 2 + ā. Para que o resto da divisão seja nulo, devemos ter 2 + ā = 0, ou seja, ā = 2 = 3. 83

88 A5) Determine o resto da divisão de f (x) = 7x 5 + ax 3 + bx 2 + 4x + 1 [x] por x 2, sabendo o quociente da divisão é q(x) = 7x 4 + cx 3 + dx 2 + ex + 25 [x]. Solução: O resto da divisão por um polinômio de grau 1 só pode ter resto constante. Suponhamos que o resto dessa divisão seja r(x) = k. Devemos ter f (x) = q(x) (x 2) + r(x), ou seja, 7x 5 + ax 3 + bx 2 + 4x + 1 = (7x 4 + cx 3 + dx 2 + ex + 25) (x 2) + k. O termo independente de x do lado esquerdo da última igualdade é igual a 1. Por outro lado, o termo independente de x do lado direito é igual a 25 ( 2) + k. Logo, 25 ( 2) + k = 1 k 50 = 1 k = 51. A6) Considere a equação de coeficientes inteiros 25x 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +ex = 0 e o conjunto { 7 A = 10, 8 5, 25 49, 7 25, 7 3, 19 7, 3 25, 49 5, 7 8, 17 }. 5 Quais os elementos de A que podem ser raízes dessa equação? Solução: Sendo p, q, para que p q seja raiz da equação dada, devemos ter p 49 e q 25. Portanto, dos elementos de A, os únicos que têm chance de serem raízes são o 7 25 e o A7) Determine as raízes das seguintes equações polinomiais: a) 15x x 2 15x + 2 = 0 b) 4x x x x 12 = 0 Solução: a) O termo independente de x da equação f (x) = 15 x x 2 15x+ 2 = 0 é 2 e o coeficiente do termo de maior grau é 15. Os divisores de 2 são ±1, ±2 Os divisores de 15 são ±1, ±3, ±5, ±15 As possíveis raízes racionais da equação são os divisores de 2 divididos pelos divisores de 15, ou seja, são ±1, ± 1 3, ±1 5, ± 1 15, ±2, ±2 3, ±2 5, ± 2 15 Substituindo cada uma das possíveis raízes em f (x) obtemos f ( 2) = 0, f ( 1 5 ) = 0 e f (1 3 ) = 0. Logo, as raízes da equação são 2, 1 5 e

89 b) O termo independente de x da equação f (x) = 4 x 4 +19x x x 12 = 0 é 12 e o coeficiente do termo de maior grau é 4. Os divisores de 12 (ou 12) são ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Os divisores de 4 são ±1, ±2, ±4 As possíveis raízes racionais da equação são os divisores de 12 divididos pelos divisores de 4, ou seja, são ±1, ± 1 2, ±1 4, ±2, ±3, ±3 2, ±3 4, ±4, ±6, ±12 Substituindo cada uma das possíveis raízes em f (x) obtemos f ( 4) = 0 e f ( 1 4 ) = 0. Logo, 4 e 1 4 são raízes o que implica que f (x) é divisível pelo polinômio 4(x ( 4))(x 1 4 ) = 4x2 + 15x 4. Dividindo-se f (x) por 4x x 4 obtemos quociente igual a x 2 + x + 3 As outras raízes de f (x), além do 4 e 1 4, são as raízes de x2 + x + 3 = 0 que são raízes complexas: x = 1± = 1± 11 2 = 1± 11i 2. Logo, as raízes da equação são 4, 1 4 e 1 2 ± 11 2 i. A8) Um resultado conhecido como Critério de Eisenstein pode ser aplicado para se saber da irredutibilidade de um tipo particular de polinômio de coeficientes inteiros, é enunciado na seguinte forma: Seja f (x) = a n x n + + a 1 x + a 0 [x] para o qual existe um inteiro primo p tal que p a 0, p a 1, p a 2,, p a n 1, p a n, p 2 a 0, então f (x) é irredutível sobre. Veja também o exercício C1. Usando esse resultado, verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis sobre : a) f (x) = 5x 9 + 7x 4 49x x 2 7x + 21 b) g(x) = x x 5 14x 4 + 8x x 2 44x + 10 c) h(x) = 4x 4 121x x 2 44x + 33 d) j(x) = 3x x 6 90x x 4 70x x 2 40x + 15 Solução: a) Consideremos o primo p = 7. Temos: p 7, p ( 49), p 14, p ( 7), p 21, p 5, p Logo, pelo Critério de Eisenstein, f (x) é irredutível sobre. 85

90 b) Consideremos o primo p = 2. Temos: p 20, p ( 14), p 8, p 50, p ( 44), p 10, p 1, p Logo, pelo Critério de Eisenstein, f (x) é irredutível sobre. c) Consideremos o primo p = 11. Temos: p ( 121), p 22, p ( 44), p 33, p 4, p Logo, pelo Critério de Eisenstein, f (x) é irredutível sobre. d) Consideremos o primo p = 5. Temos: p 100, p ( 90), p 80, p ( 70), p 30, p ( 40), p 15, p 3, p Logo, pelo Critério de Eisenstein, f (x) é irredutível sobre. A9) Mostre que os seguintes polinômios são redutíveis sobre A: a) f (x) = x 2 + 1, A = 5 b) g(x) = x 2 + x + 2, A = 4 c) h(x) = x 4 4, A = d) j(x) = x 3 8, A = e) k(x) = 10x x 2 13x + 2, A = f) h(x) = x 4 + 4, A = g) j(x) = x 4 + x 2 + 1, A = Solução: Em cada caso, devemos mostrar que é possível fatorar o polinômio dado escrevendo-o como produto de dois polinômios não constantes de A[x]. Em alguns casos, podemos utilizar conhecidas fórmulas como a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2, a 2 b 2 = (a + b)(a b), etc. a) Por substituição direta em f (x) dos elementos de 5 = { 0, 1, 2, 3, 4}, obtemos: f ( 0) = 1, f ( 1) = 2, f ( 2) = 5 = 0, f ( 3) = 10 = 0 e f ( 4) = 17 = 2. Logo, as raízes de f (x) em 5 são 2 e 3 o que implica em f (x) = (x 2)(x 3) = (x + 3)(x + 2). b) Substituindo-se cada elemento de 4 = { 0, 1, 2, 3 em g(x), obtemos: g( 0) = 2, g( 1) = 4 = 0, g( 2) = 8 = 0, g( 3) = 14 = 2. Logo, as raízes de g(x) em 4 são 1 e 2. Logo, g(x) = (x 1)(x 2) = (x + 3)(x + 2). c) h(x) = x 4 4 = (x 2 ) = (x 2 + 2)(x 2 2) d) Como j(2) = = 0 temos que 2 é raiz de j(x). Isso significa que j(x) é divisível por x 2. A divisão de j(x) por x 2 deixa resto nulo e quociente igual a x 2 + 2x + 4. Logo, j(x) = (x 2)(x 2 + 2x + 4). 86

91 e) As possíveis raízes racionais de k(x) são os divisores de 2 divididos pelos divisores de 10, ou seja, são ±1, ±2, ± 1 2, ±1 5, ±2 5, ± Substituindo diretamente em k(x) verificamos que somente 2, 1 5 e 1 2 são raízes. Portanto, k(x) = 10(x ( 2))(x 1 5 )(x 1 2 ) = (x + 2)(5x 1)(2x 1). f) Para que x 4 +4 seja o quadrado de algum outro polinômio, falta somar um termo 4x 2. Para não alterar o polinômio, somamos e subtraímos o mesmo termo: h(x) = x = x x 2 4x 2 = (x 4 + 2x 2 + 4) 4x 2 = (x 2 + 2) 2 (2x) 2 = ((x 2 + 2) 2x)(x 2 + 2) + 2x) = (x 2 2x + 2)(x 2 + 2x + 2). g) Vamos completar o quadrado em j(x). Para isso, devemos somar x 2 para obtermos x 4 +2x 2 +1 que é um quadrado perfeito. Portanto, j(x) = x 4 + x 2 +1 = x 4 +x 2 +x 2 +1 x 2 = (x 4 +2x 2 +1) x 2 = (x 2 +1) 2 x 2 = ((x 2 +1)+x)((x 2 +1) x) = (x 2 + x + 1)(x 2 x + 1). A10) Escreva o polinômio f (x) = x 4 7x como um produto de fatores irredutíveis sobre os seguintes corpos K: a) K = b) K = [ 2] = {a + b 2 a, b } c) K = [ 5] = {a + b 5 a, b } d) K = Solução: a) Inicialmente, vamos tentar resolver a equação x 4 7x = 0 (que é conhecida pelo nome de equação biquadrada). Fazendo x 2 = y, obtemos y 2 7y + 10 = 0 que é uma equação do segundo grau na variável y, cujas raízes são y = 7± y = 2 ou y = 5. Daí, temos y 2 7y + 10 = (y 2)(y 5) f (x) = (x 2 2)(x 2 5). Os polinômios x 2 2 e x 2 7 não têm raízes racionais; logo, são irredutíveis sobre. b) Em [ 2] o polinômio x 2 2 pode ser fatorado na forma x 2 2 = (x + 2)(x 2). Logo, em [ 2], a fatoração de f (x) como produto de irredutíveis é f (x) = (x + 2)(x 2)(x 2 5). c) Em [ 5] o polinômio x 2 5 pode ser fatorado na forma x 2 5 = (x + 5)(x 5). Logo, em [ 5], a fatoração de f (x) como produto de irredutíveis é f (x) = (x 2 2)(x + 5)(x 5). 87

92 d) Em ] o polinômio x 2 2 pode ser fatorado na forma x 2 2 = (x+ 2)(x 2) e x 2 5 como x 2 5 = (x + 5)(x 5). Logo, em, a fatoração de f (x) como produto de irredutíveis é f (x) = (x + 2)(x 2)(x + 5)(x 5). B1) Dados n, n 2 e um inteiro primo p > 0, mostre que n p é irracional. Solução: Se a = n p, então a n = p a n p = 0 a é raiz da equação f (x) = x n p = 0. As possíveis raízes racionais dessa equação são os divisores de p: 1, 1, p, p. Como f (1) = 1 p 0, f ( 1) = ( 1) n p 0, f (p) = p n p 0 e f ( p) = ( p) n p 0 temos que a equação não possui raiz racional. Concluímos, então, que a é irracional. B2) Seja P(x) = (2x 2 + x + 1)( 3 + 7x x 2 ) + (x 3 2)( x) [x] a) Mostre que P(x) é um polinômio constante; b) Racionalize o denominador de Solução: (Sugestão: calcule P( 3 2) ). a) Efetuando-se todas as operações que estão indicadas em P(x), obtemos: P(x) = 6x 2 3x x 3 + 7x 2 + 7x 2x 4 x 3 x 2 13x x 4 4x = 23. Logo, P(x) é constante e é igual a 23. =0 3 b) Sabemos que P( 3 2) = 23. Substituindo-se x = 2 na expressão de P(x) 3 3 dada no enunciado, obtemos: (2( 3 2) ) ( ( 2) 2 )) (( 3 } {{ } 2) 3 2) ( ) = = de onde ob- 2+1 temos finalmente que 1 3 = B3) Seja p q, mdc(p, q) = 1, uma raiz da equação polinomial de coeficientes inteiros f (x) = a n x n + + a 1 x + a 0 = 0. Mostre que p é um divisor de a 0 e que q é um divisor de a n. Solução: Supondo p q uma raiz e substituindo-a na equação, obtemos: 88

93 a n ( p q )n + a n 1 ( p q )n 1 + a 1 ( p q ) + a 0 = 0. Multiplicando-se os dois membros por q n, obtemos a n p n + a n 1 qp n a 1 pq n 1 + a 0 q n = 0. Isolando-se a n p n no primeiro membro e, depois, isolando-se também a 0 q n, obtemos: a 0 q n = a n p n a n 1 qp n 1 a 1 pq } {{ } n 1 p a 0 q n. Como mdc(p, q) = 1, múltiplo de p temos p a 0 a n p n = a n 1 qp n 1 a 1 pq n 1 a 0 q } {{ } n q a n p n. Como mdc(p, q) = 1, múltiplo de q temos q a n B4) Onde está o erro? Seja x uma raiz da equação x 2 + x + 1 = 0. Então, x 0 e, por isso, podemos dividir os dois membros da equação por x e obtemos x+1+ 1 x = 0. Da equação inicial temos x + 1 = x 2 o que implica x x = 0, ou seja, x2 = 1 x que é equivalente a x 3 = 1. A partir daí, obtemos x = 1. Substituindo essa solução na equação x 2 + x + 1 = 0 original, obtemos 3 = 0. Como a conclusão não está correta, onde foi cometido um erro? Solução: Foi mostrado no enunciado que toda raiz da equação x 2 + x + 1 = 0 também é raiz de x 3 = 1. No entanto, a recíproca não é verdadeira: nem toda raiz de x 3 = 1 é raiz de x 2 + x + 1 = 0. As raízes de x 2 + x + 1 = 0 são r 1 e r 2 e as raízes de x 3 = 1 são 1, r 1 e r 2. O erro no enunciado está na afirmação de que a raiz x = 1 da equação x 3 = 1 também é raiz de x 2 + x + 1. C1) Considere f (x) = a n x n + + a 1 x + a 0 [x]. Mostre que se existir um inteiro primo p tal que p a 0, p a 1,, p a n 1, p a n, p 2 a 0, então f (x) é irredutível sobre. Solução: Suponhamos f (x) redutível. Então existem polinômios g(x), h(x) pertencentes a [x] tais que f (x) = g(x) h(x) e 1 g < n, 1 h < n. Sejam g(x) = b r x r + + b 1 x + b 0 [x] e h(x) = c s x s + + c 1 x + c 0 [x], onde r = g, s = h e r + s = n. Como a 0 = b 0 c 0 e p a 0, temos que p é um divisor de b 0 ou de c 0, mas não pode 89

94 ser divisor simultaneamente de b 0 e c 0 porque p 2 a 0. Temos então dois casos a considerar: caso 1 em que p b 0 e p c 0 e um caso 2 em que p b 0 e p c 0. Suponhamos p b 0 e p c 0. Como a n = b r c s e p a n, temos p b r. Seja b i o primeiro coeficiente (de menor índice i) de g(x) tal que p b i ; isso significa que p b 0, p b i 1. Como a i }{{} múltiplo de p = b } {{ } 0 c i + b 1 c i b i 1 c 1 +b i c 0, temos que múltiplo de p b i c 0 é um múltiplo de p, o que é um absurdo porque p b i e p c 0. De modo semelhante, o caso 2 também leva a um absurdo. Concluímos então que o polinômio f (x) é irredutível sobre. Observação. Esta proposição é conhecida pelo nome de Critério de Eisenstein. C2) Mostre que o número é inteiro Solução: Antes de tudo, note que essa soma de raízes cúbicas é um número real. 25 Sejam a = , b = e x = a + b. Então, temos que: x 3 = (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 = a 3 +b 3 +3ab (a } {{ } + b) x 3 = a 3 +b 3 +3abx. =x ( ( a 3 + b 3 = ( 3 ab = 3 ) = = 7 4. ) ( 3 3 ) ) ( = ) ( ) 2 4 = 25 4 (25 ) = 3 2 ( 8 11 ) = = Portanto, x 3 = x ( 7 4 ) 4x3 = 25 21x 4x x 25 = 0. As possíveis raízes racionais dessa equação são os divisores de 25 divididos pelos divisores de 4. Testando uma por uma, temos que x = 1 é uma raiz racional da equação. Dividindo-se 4x x 25 por x 1, obtemos 4x 2 + 4x + 25 que não tem raiz real (porque = < 0). Portanto, a única raiz real da equação é x = 1. 90

95 Concluímos que = 1. 91

96 Capítulo 9 Exercícios de revisão Neste capítulo, apresentamos uma pequena lista de exercícios dos mais diversos temas que são úteis para se fazer uma revisão rápida dos assuntos. 1) Seja a operação sobre definida por x y = x + y + xy. Verifique se essa operação é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro. Solução: Para quaisquer x, y, x y = x+y+ xy = y+ x+yx = y x. Logo, a operação é comutativa. Para quaisquer x, y, z, temos: x (y z) = x (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + xy + xz + yz + xyz (x y) z = (x + y + xy) z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz. Logo, x (y z) = (x y) z, de onde concluímos que é associativa. 0 x = x 0 = x x 0 = x, x. Logo, o 0 (zero) é o elemento neutro da operação. 2) Consideremos o conjunto dos números reais com a operação definida por x y = 3 x3 + y 3. Mostre que G = (, ) é um grupo abeliano. Solução: 92

97 x y = 3 x3 + y 3 = 3 y3 + x 3 = y x, x, y. Logo, é comutativa. Sejam x, y, z três elementos genéricos. x (y z) = x 3 y3 + z 3 = 3 x 3 + ( 3 y3 + z 3) 3 = 3 x3 + y 3 + z 3 (x y) z = 3 x3 + y 3 z = 3 ( 3 x3 + y 3) 3 + z3 = 3 x3 + y 3 + z 3 Logo, x (y z) = (x y) z, ou seja, a operação é associativa. 0 x = x 0 = 3 x = 3 x3 = x, x, logo, 0 (zero) é o elemento neutro. Dado x, y = x é tal que y x = x y = 3 x3 + y 3 = 3 x3 + ( x) 3 = 3 x3 x 3 = 3 0 = 0 = elemento neutro. Logo, x é o elemento inverso de x. Os quatro itens anteriores demonstram que (G, ) é um grupo abeliano. 3) Verifique se H é subgrupo de G nos seguintes casos: a) H = (, +), G = (, +) b) H = ({2 m 3 n 5 r m, n, r }, ), G = (, ) ({[ ] } ) 0 a c) H = a, b, +, G = (M b a b 2 2 ( ), +) Solução: a) O conjunto H é o conjunto dos números irracionais. Dados dois irracionais, por exemplo, x = 2 3 e y = 2 + 3, temos x + y = (2 3) + (2 + 3) = 4 H. Logo, o conjunto dos irracionais não é fechado para a adição de números reais e, consequentemente, não formam um subgrupo de. b) Escolhendo m = n = r = 0, temos x = = 1 H H. Sejam a, b H. Existem m 1, n 1, r 1, m 2, n 2, r 2 tais que a = 2 m 1 3n 1 5r 1 e b = 2m 2 3n 2 5r 2 a b 1 = 2 m 1 3n 1 5r 1 2 m 2 3 n 2 5 r 2 = 2m 1 m 2 3 n 1 n 2 5 r 1 r 2 H. Logo, H é um subgrupo de G. [ ] 0 0 c) Escolhendo a = b = 0, temos que H H. Sejam X, Y 0 0 [ ] [ ] 0 a 0 c H. Existem a, b, c, d tais que X = Y =. Como b a b d c d [ ] 0 a c X + ( Y) = X Y = H, temos que H é um b d (a c) (b d) subgrupo de G. 93

98 4) Dadas as permutações a = ( c = ( ), b = ), determine a solução x S 4 da equação axb 3 = c 2. ( ) e Solução: Multiplicando a equação dada por a 1 à esquerda e por b 3 à direita, obtemos a 1 a }{{} = e x }{{} b 3 b 3 = a 1 c 2 b 3 x = a 1 c 2 b 3. Temos que: = e ) ( ) ( a 1 = = ( ) ( ) ( ) ( ) b 3 = = ( ) ( ) ( ) c 2 = = = elemento neutro; ( ) ( ) ( ) Portanto, x = a 1 c 2 b 3 = = é a solução procurada da equação dada. ( ) 5) Consideremos os grupos G = (, +), J = (, +) a função φ : G J definida por φ(x, y) = 3x 5y. Mostre que φ é um homomorfismo de grupos e determine N(φ). Solução: Sejam a = (x, y) e b = (z, w) dois elementos genéricos de G. Temos: φ(a + b) = φ(x + z, y + w) = 3(x + z) 5(y + w) = (3x 5y) + (3z 5w) = φ(x, y) + φ(z, w) = φ(a) + φ(b). Isso mostra que φ é um homomorfismo de G em J. Suponhamos que (x, y) seja um elemento do núcleo de φ. Então, pela definição de núcleo de um homomorfismo, temos que φ(x, y) = elemento neutro de J = 0 o que implica em 3x 5y = 0 y = 3 5 x N(φ) = {(x, y) y = 3 5 x} N(φ) = {(x, 3 5 x) x }. 6) Sejam G = ( 10, +) e H = { 0, 5} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupoquociente (G/H, +) e determine o inverso (aditivo) dos elementos 3 + H e 4 + H. 94

99 Solução: Calculando as classes laterais à esquerda módulo H determinadas por elementos de G, temos: 0 + H = { 0 + 0, 0 + 5} = H 1 + H = { 1 + 0, 1 + 5} = { 1, 6} 2 + H = { 2 + 0, 2 + 5} = { 2, 7} 3 + H = { 3 + 0, 3 + 5} = { 3, 8} 4 + H = { 4 + 0, 4 + 5} = { 4, 9} 5 + H = { 5 + 0, 5 + 5} = { 5, 0} = H e, a partir daqui, há apenas repetição de classes. Portanto, G/H = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H} e sua tábua é: + H 1 + H 2 + H 3 + H 4 + H H H 1 + H 2 + H 3 + H 4 + H 1 + H 1 + H 2 + H 3 + H 4 + H H 2 + H 2 + H 3 + H 4 + H H 1 + H 3 + H 3 + H 4 + H H 1 + H 2 + H 4 + H 4 + H H 1 + H 2 + H 3 + H O elemento neutro de todo grupo-quociente é o elemento H. Assim, determinar o inverso de 3 + H é só verificar na tábua qual é o elemento que somado com ele dá como resultado o H. Chegamos à conclusão de que o inverso de 3 + H é o 2 + H. Por um motivo semelhante, o inverso de 4 + H é o 1 + H. Observação: A adição de classes laterais é efetuada de acordo com a definição: (ā + H) + ( b + H) = (ā + b) + H = a + b + H. 7) Verifique se cada conjunto S a seguir é subanel de A (adição e multiplicação usuais). a) S = 5, A = ; x x x b) S = y y 0 z 0 0 Solução: x, y, z, A = M 3 3 ( ). 95

100 a) S é o conjunto de todos os múltiplos de 5. É claro que S não é vazio porque 5 S. Sejam x, y S. Então existem inteiros m, n tais que x = 5m e y = 5n. x y = 5m 5n = 5 (m } {{ } n) S x y = (5m)(5n) = 5 (5mn) }{{} S Fica mostrado dessa forma que S é um subanel de A b) Consideremos os dois seguintes elementos de S (escolhidos aleatoriamente): x = e y = Temos que seu produto é xy = S. Logo, S não é subanel de A. 8) Verifique se (I, +, ) é um ideal do anel (A, +, ) em cada um dos seguintes casos: a) I = { f : f ( 1) = f (1) = 0}, A =. b) I = { f : f ( 1) = f (1) = 2}, A =. Solução: a) Seja f a função nula f (x) = 0. Então f I I. Sejam f, g I. Então, f ( 1) = f (1) = g( 1) = g(1) = 0 ( f g)( 1) = f ( 1) g( 1) = 0 0 = 0 e ( f g)(1) = f (1) g(1) = 0 0 = 0. Logo, f g I. Se f I e h A, então (h f )( 1) = h( 1) f ( 1) = h( 1) 0 = 0 e (h f )(1) = h(1) f (1) = h(1) 0 = 0. Logo, h f I. Pelo que foi mostrado, concluímos que I é um ideal de A. b) Um exemplo de elemento de I pode ser dado por f (x) = x Seja g(x) = x A. Temos que h(x) = f (x) g(x) é tal que h(x) = x 3 + x, h( 1) = 2 e h(1) = 2. Logo, h(x) I de onde podemos concluir que I não é ideal de A. 9) Verifique se (3, +, ) e (5, +, ) são anéis isomorfos. 96

101 Solução: Suponhamos que exista um isomorfismo f : 3 5. Então f (3) = 5n para algum n. Como f (0) = 0 e f é injetora, temos que n 0. Usando o fato de que f é um homomorfismo de anéis, temos: f (9) = f ( ) = f (3) + f (3) + f (3) = 5n + 5n + 5n = 15n f (9) = f (3 3) = f (3) f (3) = (5n)(5n) = 25n 2 o que implica em 15n = 25n 2 3 5n = 5n 5n. Como 5 é um anel de integridade e 5n 0, podemos cancelar o 5n nos dois membros da última igualdade de onde obtemos: 3 = 5n. Essa última igualdade é um absurdo porque o segundo membro é um múltiplo de 5 e o primeiro membro não é. Portanto, não pode existir isomorfismo de 3 em 5. 10) Calcule f ( 11) sabendo que f : [ 11] [ 11] é um isomorfismo de anéis e [ 11] = {a + b 11 a, b }. Solução: Se f for isomorfismo de anéis, então f (1) = 1 o que implica f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = = 2, f (3) = f (1 + 2) = f (1) + f (2) = = 3, f (4) = f (2 + 2) = f (2) + f (2) = = 4, f (7) = f (3 + 4) = f (3) + f (4) = = 7, f (11) = f (4 + 7) = f (4) + f (7) = = 11 e daí obtemos 11 = f (11) = f ( 11 11) = f ( 11) f ( 11) [ f ( 11)] 2 = 11, de onde concluímos que f ( 11) = ± ) Considere o anel A = e o ideal I = 6 (adição e multiplicação usuais). Construa as tábuas de adição e multiplicação do anel-quociente A/I. Solução: Temos que: 0 + I = I = {, 18, 12, 6, 0, 6, 12, 18, } 1 + I = {, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, } 97

102 2 + I = {, 16, 10, 4, 2, 8, 14, 20, } 3 + I = {, 15, 9, 3, 3, 9, 15, 21, } 4 + I = {, 14, 8, 2, 4, 10, 16, 22, } 5 + I = {, 13, 7, 1, 5, 11, 17, 23, } 6 + I = {, 12, 6, 0, 6, 12, 18, 24, } = I Portanto, o anel-quociente de A por I é com as seguintes operações: (a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I) (b + I) = ab + I A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I, 5 + I}. Todas as possíveis adições entre seus elementos podem ser observadas na seguinte tábua: + I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I 1 + I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I I 2 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I I 1 + I 3 + I 3 + I 4 + I 5 + I I 1 + I 2 + I 4 + I 4 + I 5 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 5 + I 5 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I e todas as possíveis multiplicações na seguinte tábua: I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I I I I I I I I 1 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I 2 + I I 2 + I 4 + I I 2 + I 4 + I 3 + I I 3 + I I 3 + I I 3 + I 4 + I I 4 + I 2 + I I 4 + I 2 + I 5 + I I 5 + I 4 + I 3 + I 2 + I 1 + I 12) Determine o resto da divisão de f (x) = 2x 5 4x 2 + 3x [x] por g(x) = x 2 13 [x]. Solução: O resto da divisão de f (x) por x 2 é igual a f ( 2) =

103 = 59 = 4. 13) Verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis sobre : a) p(x) = x 3 + 4x 2 + 9x + 10 b) q(x) = x 3 + 6x 2 9x + 21 Solução: a) As possíveis raízes inteiras de p(x) são os divisores de 10: ±1, ±2, ±5, ±10. Substituindo uma por uma em p(x), obtemos que somente 2 é raiz: p( 2) = 0. Isso significa que f (x) é divisível por x ( 2) = x + 2. Dividindo-se p(x) por x + 2 obtemos quociente igual a x 2 + 2x + 5 e resto nulo f (x) = (x + 2)(x 2 + 2x + 5) o que mostra que f (x) é redutível sobre. b) Seja p = 3. Temos que p 1, p 6, p ( 9), p 21 e p Logo, pelo Critério de Eisenstein, q(x) é irredutível sobre. 99

104 Capítulo 10 Testes Neste capítulo, apresentamos testes do tipo objetivos e de múltipla escolha. São apresentadas várias alternativas A, B, C,... entre as quais apenas uma deve ser correta Operações binárias T1) Desde o início do Ensino Médio que é definida uma adição de vetores baseada principalmente em um diagrama formado por um paralelogramo: Nesse tipo de diagrama, se os vetores forem determinados pelos segmentos orientados OA e OC do paralelogramo, então sua soma é definida como sendo determinada pelo segmento orientado OB da diagonal. A respeito da adição de vetores definida dessa forma podemos afirmar que ela a) não é comutativa, não é associativa e não tem elemento neutro. b) não é comutativa, não é associativa e tem elemento neutro. c) não é comutativa, é associativa e não tem elemento neutro. d) é comutativa, é associativa e não tem elemento neutro. e) é comutativa, não é associativa e tem elemento neutro. f) não é comutativa, é associativa e tem elemento neutro. 100

105 g) é comutativa, não é associativa e não tem elemento neutro. h) é comutativa, é associativa e tem elemento neutro. T2) Considere a seguinte resolução detalhada da equação do 1 grau 3x + 5 = 11, onde o conjunto-universo é o dos números reais: 3x + 5 = 11 (equação dada) (3x + 5) + ( 5) = 11 + ( 5) 3x + (5 + ( 5)) = 6 3x + 0 = 6 3x = (3x) = ( 1 3 3) x = 2 1 x = 2 x = 2. Logo, 2 é a única solução da equação. Quais foram as propriedades da adição e da multiplicação de números reais utilizadas nessa resolução? a) somente a comutatividade e associatividade da multiplicação b) associatividade da adição, associatividade da multiplicação, elemento neutro da adição, elemento neutro da multiplicação, elemento inverso (simétrico) da adição, elemento inverso da multiplicação c) somente a associatividade e comutatividade da adição d) somente as propriedades do elemento neutro da multiplicação e da adição e) somente o elemento inverso (simétrico) da adição e o elemento inverso da multiplicação. T3) Se uma operação definida em um conjunto E for comutativa e associativa, então para quaisquer x, y, z E temos que a) (x y) z = z (y x) b) x x = y y 101

106 c) x y = z x d) x (x y) = (y y) z e) (x y) (y z) = y (x z) f) (x y) (y z) = z (y x) T4) Selecione a única alternativa verdadeira entre as seguintes: a) Toda operação associativa também é comutativa. b) Se uma operação sobre um conjunto for associativa e comutativa, então esse conjunto tem que ser infinito. c) Se uma operação sobre os números reais tem elemento neutro, então esse elemento neutro tem que ser o número 0 ou o número 1. d) Existe operação que não é comutativa, nem associativa e nem tem elemento neutro. e) Se uma operação tem elemento neutro, então todo elemento tem um inverso. T5) Seja uma operação sobre um conjunto E. Definimos o quadrado de um elemento x, denotado por x 2, como sendo igual a x x. Uma fórmula muito conhecida desde o Ensino Fundamental é (a + b)(a b) = a 2 b 2 que envolve as operações de adição, subtração e multiplicação de números reais. Uma demonstração dessa fórmula pode ser a seguinte: igualdade 1 { }} { (a + b)(a b) = a(a b) + b(a b) = (a 2 ab) + (ba b 2 ) = igualdade 4 { }} { (a 2 ab) + (ab b 2 ) = ((a 2 ab) + ab) b 2 = (a 2 + ( ab + ab)) b 2 = (a 2 + 0) b 2 = a 2 b 2 Quais são as propriedades utilizadas nas igualdades 1 e 4 dessa demonstração? a) comutatividade e elemento neutro b) distributividade e associatividade c) associatividade e elemento inverso d) distributividade e elemento neutro 102

107 e) comutatividade e associatividade T6) Considere a operação definida no conjunto A = {1, 2, 3, 4} cuja tábua é a seguinte: Baseando-se nessa tábua, calcule o valor de 3 (4 1 2). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Impossível de se efetuar tal operação. T7) Sejam M = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e a operação sobre M definida por x y = mínimo múltiplo comum de x e y. Qual dos subconjuntos de M mostrados a seguir é fechado com relação a essa operação? a) A = {3, 4, 12} b) B = {1, 2, 3} c) C = {2, 3, 4} d) D = {3, 4, 6} e) E = {1, 4, 6} T8) Considerando as operações usuais de adição e potenciação sobre os números naturais positivos = {1, 2, 3,... }, qual das alternativas a seguir significa que a potenciação não é distributiva à esquerda com relação à adição? a) Existem a, b, c tais que (a + b) c a c + b c b) Existem a, b, c tais que a b+c a b + a c 103

108 c) Existem a, b, c tais que a + b c a c + b d) Existem a, b, c tais que a + b c = a c + b e) Existem a, b, c tais que a b+c = a b + a c T9) Considere o conjunto A = { 5, 2, 0, 3, 5, 11, 19} e a operação x y = min(x, y) = menor entre x e y se x y, ou x se x = y. Qual é o elemento neutro da operação definida sobre o conjunto A? a) 5 b) 2 c) 0 d) 3 e) 5 f) 11 g) 19 h) a operação não tem elemento neutro T10) Considere a operação definida sobre o conjunto dos números reais : x y = x + y + 3. Qual é o elemento neutro dessa operação? a) 0 b) 35 c) 35 d) 3 e) 29 f) 29 g) 3 T11) Considere a operação definida sobre o conjunto dos números reais : x y = x + y + 3. Qual o elemento inverso de 29 com relação à operação? 104

109 a) 0 b) 35 c) 35 d) 3 e) 29 f) 29 g) Grupos e subgrupos T12) Considere as três definições mostradas a seguir: [1 ] Um grupo é um conjunto G no qual está definida uma operação binária que satisfaz as seguintes propriedades: Existe e G tal que x e = e x = x; Existe x 1 G tal que x x 1 = e; x (y z) = (x y) z para quaisquer x, y, z G. [2 ] Um grupo é um conjunto G no qual está definida uma operação binária que satisfaz as seguintes propriedades: x e = e x = x para todo x G; Existem x, x 1 G tal que x x 1 = e; x (y z) = (x y) z para quaisquer x, y, z G. [3 ] Um grupo é um conjunto G no qual está definida uma operação binária que satisfaz as seguintes propriedades: Existe x G tal que x e = e x = x; Para qualquer x G, existe y G tal que x y = y x = e; Existem x, y, z G tais que x (y z) = (x y) z. Escolha uma resposta: a) Todas as definições [1], [2], [3] estão corretas b) Nenhuma das definições [1], [2], [3] está correta 105

110 c) Somente a definição [1] está correta d) Somente a definição [2] está correta e) Somente a definição [3] está correta T13) Escolha a única alternativa verdadeira entre as seguintes: a) Um grupo pode ter mais de um elemento neutro b) O conjunto vazio pode ser um grupo, desde que se escolha uma operação conveniente c) Se um grupo tem uma quantidade finita de elementos, então ele é abeliano (comutativo) d) Uma equação da forma a x b = c sempre tem uma única solução x em um grupo e) O conjunto dos números inteiros é um grupo com a operação de multiplicação usual T14) Associe cada item da primeira coluna com um item da segunda coluna mostradas a seguir: [1 ] Conjunto dos números naturais com a operação de adição de inteiros usual [2 ] Conjunto de todos os pontos (x, y) do plano 2 com a operação de adição definida por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) [3 ] Conjunto de todas as matrizes 3 3 invertíveis com a operação de multiplicação de matrizes usual A associação correta é: a) 1-i, 2-ii, 3-iii b) 1-iii, 2-iv, 3-i [i ] Grupo abeliano finito [ii ] Grupo não abeliano finito [iii ] Conjunto vazio [iv ] Conjunto unitário [v ] Grupo abeliano com uma infinidade de elementos [vi ] Não é um grupo [vii ] Grupo não abeliano com uma infinidade de elementos 106

111 c) 1-vii, 2-vi, 3-v d) 1-v, 2-iv, 3-vi e) 1-v, 2-iii, 3-vi f) 1-vi, 2-v, 3-vii T15) O conjunto [ 7] = {a + b 7 a, b } é um grupo com a operação de multiplicação usual dos números reais. Sendo x = [ 7], qual é o inverso de x em [ 7]? a) 0 b) c) d) e) f) g) 7 T16) Considerando (G, ) um grupo e a, b, c G, qual é o elemento inverso de a 1 b c 1? a) c 1 b 1 a b) a b c c) c b 1 a 1 d) c b 1 a e) c 1 b 1 a 1 ( ) ( ) T17) Considere as permutações σ = e ρ = pertencentes ao grupo S 4. Determine o elemento desse grupo que corresponde ao resultado da operação σ 1 ρ ( que é o mesmo que σ 1 ρ). 107

112 ( ) a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) T18) Seja G = { 1} e a operação sobre G definida por x y = x +y+ xy. Então, temos que a) (G, ) é um grupo abeliano infinito b) (G, ) é um grupo abeliano finito c) (G, ) é um grupo não abeliano infinito d) (G, ) é um grupo não abeliano finito e) (G, ) não é um grupo T19) Qual dos conjuntos H a seguir é um subgrupo de com a operação de adição usual dos inteiros? a) H = { 1, 0, 1} b) H = {2, 3, 5, 7, 11, 13,... } = números primos positivos c) H = {0, ±10, ±20, ±30, ±40,... } = múltiplos de 10 d) H = {1, 2, 4, 8, 16,... } = potências de 2 com expoentes não negativos e) H = {±1, ±3, ±5, ±7,... } = inteiros ímpares T20) Entre os conjuntos listados a seguir, qual é o único caso em que H é subgrupo do grupo G? 108

113 a) H = [0, 2] = {x 0 x 2}, G = com operação de adição usual b) H = = números irracionais, G = com operação de adição usual c) H = {e n n }, G = com operação de multiplicação usual, e = 2, d) H = = números irracionais, G = com operação de multiplicação usual e) H = {π n n }, G = com operação de multiplicação usual, π = 3, T21 ) Considere {[ a seguinte ] demonstração: } a b Seja H = a, b, a b a 2 + b 2 0 GL 2 ( ) com a operação usual de multiplicação [ ] de matrizes quadradas 2 2. Escolhendo a = 1 e b = 0, temos que 1 0 I = H. Logo, H não é o conjunto vazio. 0 1 [ ] [ ] a b c d Sejam A = e B = dois elementos de H. Então AB b a d c 1 = [ ] [ ] 1 [ ] [ ] [ a b c d a b c d ac+bd ] ad+bc = c 2 +d 2 c 2 +d 2 = c 2 +d 2 c 2 +d 2 H. b a d c b a O que ficou assim demonstrado? a) Que H = GL 2 ( ) b) Que H é um subgrupo finito d c 2 +d 2 c c 2 +d 2 c) Que H é um grupo abeliano que contém o GL 2 ( ) d) Que H tem exatamente três elementos: I, A e B. e) Que H é subgrupo de GL 2 ( ) ad bc c 2 +d 2 ac+bd c 2 +d Homomorfismos, isomorfismos, grupos cíclicos T22) Considerando G = (, ) o conjunto dos números reais não nulos com a operação de multiplicação usual, qual das funções f : G G a seguir é um homomorfismo? a) f (x) = 1 x b) f (x) = 4 x

114 c) f (x) = 1 + cos 2 x d) f (x) = 3x e) f (x) = log(1 + x ) T23) Sejam G = (, ) e f : G G definida por f (x) = 3 x. A respeito de f podemos afirmar que: a) f não é homomorfismo de G em G e não possui inversa porque não é bijetora b) f é um homomorfismo de G em G e sua inversa f 1 : G G também é. c) f é um homomorfismo de G em G, mas sua inversa f 1 : G G não é. d) f não é homomorfismo de G em G porque 3 x + y 3 x + 3 y f (x + y) f (x) + f (y). e) f não é homomorfismo de G em G, mas sua inversa f 1 : G G é. T24) Considere a função exponencial F : +, F(x) = e x. Considerando a adição usual de números reais no domínio e a multiplicação no contradomínio dessa função, qual das propriedades a seguir pode justificar que a exponencial é um homomorfismo de grupos? a) (e x ) y = e xy, x, y b) Dado a +, considerando x = log e a temos F(x) = e log e a = a c) e x e y = e x+y, x, y d) e 0 = 1 e e x > 0 para todo x e) Se existirem x, y tais que e x = e y, então x = y T25) Consideremos o seguinte homomorfismo φ :, φ(x, y) = 2x y definido entre os grupos aditivos (, +) e (, +). Qual das alternativas a seguir contém apenas elementos do núcleo de φ? a) (0, 0), (1, 1), (2, 2) b) ( 1, 2), (0, 0), (1, 2) c) (1, 2), (2, 4), (3, 6) 110

115 d) ( 2, 1), (0, 1), (1, 0) e) ( 1, 1), (0, 0), (1, 1) T26) Qual é o núcleo do homomorfismo f (, ) (, ), f (x) = 1 x 4? a) N( f ) = b) N( f ) = {1} c) N( f ) = {0} d) N( f ) = { 1 4, 4} e) N( f ) = { 1, 1} T27) Escolha a alternativa correta entre as seguintes: a) Existem inteiros m > 2 e n > 2 tais que o grupo de permutações (S m, ) é isomorfo ao grupo de classes de restos ( n, +). b) O grupo de permutações (S 5, ) é isomorfo ao grupo de classes de restos ( 120, +). c) Dados inteiros m > 2 e n > 2, o grupo de permutações (S m, ) não é isomorfo ao grupo de classes de restos ( n, +). d) O grupo de permutações (S 4, ) é isomorfo ao grupo de classes de restos ( 4, +). e) O grupo de permutações (S 4, ) é isomorfo a algum subgrupo do grupo de classes de restos ( 24, +). T28) Qual é a ordem da permutação σ = a) o(σ) = 1 b) o(σ) = 2 c) o(σ) = 3 d) o(σ) = 4 e) o(σ) = 5 ( ) S 5? 111

116 T29) Considere as quatro afirmações a seguir a respeito do subgrupo H = [4] do grupo multiplicativo G = 1. H (, +) 2. H = [ 1 4 ] 3. 1, 2, 4 e 8 pertencem a H 4. 4, 0 e 4 pertencem a H Escolha uma resposta: a) Somente (1) e (3) são verdadeiras b) Todas são falsas c) Todas são verdadeiras d) Somente (1) e (2) são verdadeiras e) Somente (2) e (3) são verdadeiras [ ] 0 1 T30) Sejam x = (GL (, ) e G = [x] = grupo cíclico gerado por x. Qual dos seguintes grupos J é isomorfo a G? a) J = ( 4, +) b) J = (GL 4 ( ), ) c) J = (, +) d) J = ( +, ) e) J = (S 4, ) [ ] 1 1 T31) Sejam y = (GL (, ) e G = [y] = grupo cíclico gerado por y. Qual dos seguintes grupos J é isomorfo a G? a) J = ( 4, +) b) J = (GL 4 ( ), ) c) J = (, +) d) J = ( +, ) e) J = (S 4, ) 112

117 10.4 Classes laterais, subgrupos normais, grupos quocientes T32) Sejam G = (, +) e H = um subgrupo de G. Qual dos conjuntos listados a seguir corresponde a H, a classe lateral à esquerda, módulo H, definida pelo elemento 1 2 G? a) {..., 5 2, 3 2, 1 2, 1 2, 3 2, 5 2,... } b) {..., 5 4, 3 4, 1 4, 1 4, 3 4, 5 4,... } c) {..., 2, 3 2, 1, 1 2, 0, 1 2, 1, 3 2, 2,... } d) { 1, 1 2, 0, 1 2, 1} e) {..., 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7,... } T33) Sejam G = ( 9, +) e H = { 0, 3, 6} subgrupo de G. Qual é a classe lateral, à direita, módulo H, determinada por 5 G? a) { 0, 3, 6} b) { 0, 1, 2} c) { 1, 4, 7} d) { 5, 6, 7} e) { 2, 5, 8} T34) Sejam G = (, ) e H = (, ). Existe uma infinidade de classes laterais à esquerda, módulo H, definidas por x G, e, entre elas, podemos afirmar que: a) 2H 3H b) 2H = 2H c) 3H = 3H d) 2H 3H e) 2H 8H T35) Sejam G = ( 6, +) e H = ({ 0, 2, 4}, +). Entre as classes laterais à esquerda, módulo H, definidas por x G, podemos afirmar que: 113

118 a) 2 + H 4 + H b) 1 + H = 3 + H c) 1 + H = 0 + H d) 1 + H = 4 + H e) 2 + H = 3 + H T36) Um grupo G tem ordem 10. Se H for um subgrupo de G, quais as possibilidades para a ordem de H? a) o(h) = 100 b) o(h) = 4 ou o(h) = 8 c) o(h) = 4 ou o(h) = 6 ou o(h) = 9 d) o(h) = 3 ou o(h) = 7 ou o(h) = 8 e) o(h) = 1 ou o(h) = 2 ou o(h) = 5 ou o(h) = 10 T37) Sejam G um grupo de ordem 120 e H um subgrupo de G de ordem 40. Quanto é o índice de H em G? a) (G : H) = 3 b) (G : H) = 60 c) (G : H) = 9 d) (G : H) = 80 e) (G : H) = 4 T38) Sejam G = ( 8, +) e H um subgrupo de G. Então podemos afirmar que: a) A ordem de H é igual a 4, obrigatoriamente. b) H pode ter ordem 6 c) Devemos ter (G : H) = 4, obrigatoriamente. d) 0 H 114

119 e) H G [ ] [ ] T39) Consideremos x = e y = dois elementos de G = GL ( ) e H = [y] como sendo o grupo gerado pelo y: {[ ] [ ] [ ] } H =,,, O que podemos afirmar a respeito de H e das classes xh e Hx? a) Que xh Hx e, consequentemente, H é um subgrupo normal em G b) Que xh = Hx e, consequentemente, H não é um subgrupo normal em G c) Que xh Hx e, consequentemente, H não é um subgrupo normal em G d) Que xh = Hx e, consequentemente, H é um subgrupo normal em G e) Que xh = Hx e, consequentemente, xh é um subgrupo normal em G T40) Se f : G J for um homomorfismo de grupos e N = N( f ), então podemos afirmar que a) G/N = J/N b) N G c) N J d) G/N J e) J/N G T41) Sejam G = GL 2 ( ) o conjunto de todas as matrizes reais 2 2 invertíveis e S G o conjunto de todas as matrizes reais 2 2 com determinante igual a 1. É possível mostrar que: φ : (G, ) (, ), φ(x) = det(x) é um homomorfismo de grupos; N( f ) = S ; φ é sobrejetora. O que se pode concluir a partir daí? 115

120 a) S G b) /S G c) G/S = {0} d) G (, ) e) G/S (, ) 10.5 Anéis, subanéis, anéis de integridade, corpos T42) Em todo anel comutativo A, para quaisquer a, b, c A, é sempre válido que: a) (a + b)(a b) + (b a)(b + a) = 0 b) (a + b) 3 = a 3 + b 3 c) (a b) 2 = a 2 b 2 d) a(b + c) = (a + b)c e) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 T43) Associe cada item da primeira coluna com um item da segunda coluna mostradas a seguir: [1 ] Matrizes quadradas de ordem 3 com elementos reais M 3 3 ( ) [2 ] Conjunto de todas as funções de em com as operações ( f + g)(x) = f (x) + g(x) e ( f g)(x) = f (x) g(x) [i ] Não é um anel [ii ] Anel comutativo, sem unidade [iii ] Anel comutativo, com unidade [iv ] Anel não comutativo, sem unidade [3 ] Conjunto de todos os inteiros pares (2, +, ) A associação correta é: [v ] Anel não comutativo, com unidade a) 1-i, 2-ii, 3-iii b) 1-iii, 2-iv, 3-i c) 1-iii, 2-ii, 3-v 116

121 d) 1-v, 2-iv, 3-ii e) 1-v, 2-iii, 3-ii f) 1-ii, 2-v, 3-iv T44) No anel 8, qual é o conjunto S formado por todas as soluções da equação x 2 = 1? a) S = { 1} b) S = { 0} c) S = { 1, 1} d) S = { 1, 3, 5, 7} e) S = { 1, 3} T45) No anel M 2 2 ( ), sendo x = x 1 + x 2? [ ] 8 12 a) [ ] 9 12 b) [ ] 9 9 c) [ ] 0 12 d) [ ] 8 18 e) 9 27 [ ], quanto é o resultado da operação x 0 + T46) Com a adição e multiplicação usuais, em qual dos casos a seguir temos que A é um subanel de B? a) A = 3, B = 9 b) A = inteiros primos, B = 117

122 c) A = 2, B = 8 d) A =, B = e) A = 4, B = 2 T47) Qual dos seguintes conjuntos é um corpo com relação à adição x + ȳ = x + y e multiplicação x ȳ = x y? a) 9 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8 T48) Qual dos seguintes conjuntos é um anel de integridade? (adição e multiplicação são as usuais) a) O conjunto dos números racionais b) O conjunto dos números naturais c) M 2 2 ( ) d) { f : f (1) = 1} e) { f : f (0) = 0} f) M 3 3 ( ) T49) Escolha a única alternativa verdadeira. a) Existe um exemplo de corpo que não é anel de integridade b) Existe um exemplo de corpo que tem apenas uma quantidade finita de elementos c) Todo corpo tem que conter o conjunto dos números reais d) Todo corpo que contiver os números racionais também terá que conter os números reais 118

123 e) Os conjuntos e são exemplos de corpos e não existe outro corpo diferente desses tal que. T50) Qual dos seguintes conjuntos é um corpo com relação à adição e multiplicação usuais? a) {a + b 7 a, b } b) {a + b 7 a, b, a > 0, b > 0} c) {a + b 7 a, b, a < 0, a < 0} d) {a + b 7 a, b } e) {a + b 3 7 a, b } 10.6 Homomorfismos e isomorfismos de anéis T51) Uma função f : possui as seguintes propriedades: f (a + b) = f (a) + f (b) e f (ab) = f (a) f (b) para quaisquer a, b. Como costuma ser denominada uma função como essa? a) f é uma função contínua definida no anel (, +, ) b) f é uma transformação linear c) f é uma função constante definida no anel (, +, ) d) f é uma função crescente definida no anel (, +, ) e) f é uma função monótona definida no anel (, +, ) f) f é um homomorfismo de anéis T52) A função g : é um homomorfismo de anéis tal que g(3) = 3 e g(5) = 5. Podemos concluir que g(8) e g(9) são respectivamente iguais a: a) 1 e 8 b) 8 e 9 c) 0 e 1 d) 0 e 0 119

124 e) 9 e 25 f) 64 e 81 T53) A função φ : é um homomorfismo do anel (, +, ) no anel (, +, ). Nessas condições, quanto é φ(0)? a) (0, 0) b) (1, 0) c) (0, 1) d) (1, 1) e) Impossível de se calcular T54) Qual das funções a seguir é um homomorfismo de anéis? a) f :, f (x, y) = x 2 + y 2 b) g :, g(x, y) = x + y c) h :, h(x, y) = 0 d) j :, j(x) = x e) p :, p(x) = x 2 5x + 6 T55) A função f :, f (x) = kx, é um homomorfismo de anéis. Nessas condições, quais os possíveis valores para k? a) k = 0 ou k = 1 b) k = 2 c) k = 1 ou k = 2 ou k = 3 d) k = 1 ou k = 1 e) k = 1 T56) Considere as seguintes afirmações: 120

125 [1 ] Se A for um anel com unidade 1 A e f : A A um homomorfismo de anéis, então podemos concluir que f (1) = 1. [2 ] Se A for um anel com unidade, x A for invertível (com relação à multiplicação) e f : A A for um homomorfismo sobrejetor, então f (x 1 ) = [ f (x)] 1. [3 ] Sejam f : A B um homomorfismo de anéis e L um subanel de A. Então, a imagem direta de L pela f, f (L), é um subanel de B. Podemos afirmar que: a) todas são verdadeiras b) todas são falsas c) somente [1] é verdadeira d) somente [2] e [3] são verdadeiras e) somente [3] é verdadeira f) somente [2] é verdadeira g) somente [1] e [2] são verdadeiras h) somente [1] e [3] são verdadeiras T57) Sendo f : A B um homomorfismo de anéis, que nome é dado a f 1 ({0}), a imagem inversa de {0} pela função f? a) Domínio de f b) Imagem de f c) Valor mínimo de f d) Núcleo de f e) Função composta de f com a função constante nula T58) Consideremos os anéis A = [ (, +, ] ) e B = (M 2 2 ( ), +, ) e o homomorfismo x 0 f : A B definido por f (x) =. O núcleo de f é: 0 x a) {1} b) {0} 121

126 c) { 1, 0, 1} [ ] 1 0 d) 0 1 [ ] 0 0 e) 0 0 f) (0, 0) g) {(1, 0), (0, 1)} 10.7 Ideais e anéis-quocientes T59) Qual dos conjuntos I a seguir é um ideal de? a) I = {0} b) I = c) I = d) I = e) I = [ 2] = {a + b 2 a, b } T60) Qual dos conjuntos I a seguir é um ideal de? a) I = { 4m + 1 m } b) I = {4m + 1 m } c) I = {4m + 3 m } d) I = { 4m m } e) I = {4m m } T61) Qual dos conjuntos I a seguir é um ideal de, o conjunto de todas as funções de em? a) I = { f : f ( x) = f (x), x } = conjunto de todas as funções pares b) I = { f : f (x) > 0, x } = conjunto de todas as funções positivas 122

127 c) I = { f : f (1) = 1} = conjunto de todas as funções cujos gráficos passam pelo ponto (1, 1) d) I = { f : f ( x) = f (x), x } = conjunto de todas as funções ímpares e) I = { f : f (0) = 0} = conjunto de todas as funções cujos gráficos passam pela origem (0, 0) T62) Selecione a única alternativa verdadeira: a) Se I é um ideal de, então I também é um ideal de b) Se I é um ideal de, então I também é um ideal de c) Todo subanel I de um anel comutativo A também é um ideal desse anel d) Todo ideal I de um anel comutativo A também é um subanel desse anel e) Existe um subconjunto finito com mais de 2 elementos que é ideal de f) Existe um subconjunto finito com mais de 2 elementos que é ideal de T63) Sejam A = e I = 7 com as operações usuais de adição e multiplicação e x = 3 + I, y = 4 + I dois elementos do anel-quociente A/I. Calculando a soma x + y e o produto x y em A/I, obtemos respectivamente: a) 4 + I e 5 + I b) 2 + I e 3 + I c) I e 5 + I d) 6 + I e 5 + I e) 2 + I e 1 + I T64) Seja J um ideal de um anel comutativo com unidade A. Os elementos neutros da adição e da multiplicação de A/J são respectivamente iguais a: a) 1 e J b) J e 1 + J c) 0 e J 123

128 d) ( 1)J e J e) 1 + J e 1 + J T65) Se p for um inteiro primo, o anel-quociente /p é um corpo. Considerando p = 11, qual é o inverso multiplicativo de x = /11? a) b) c) d) e) T66) A função f : 8 definida por f (x) = x é sobrejetora e é um homomorfismo de anéis cujo núcleo é igual a 8, o conjunto dos inteiros múltiplos de 8. A partir dessas informações, podemos afirmar que: a) {0} 8 b) {0} 8 c) 8 d) 8 {0} e) Polinômios T67) Qual é o resto da divisão de 2x 5 + 3x 2 + 4x 5 por x 3 + 2x 2 + 4? a) 21x 2 20x + 17 b) 37x 2 21x + 11 c) 21x x 37 d) 21x 2 20x 37 e) 21x x

129 f) 37x 2 20x + 17 T68) Dividindo-se o polinômio f (x) por x obtém-se quociente x 2 e resto 2x + 1. Qual é o resto da divisão de f (x) por x 3? a) 49 b) 19 c) 0 d) -13 e) 17 T69) Quando p(x) = x 8 + x + 1 [x] é fatorado, um dos fatores é x 2 + x + 1. Sendo assim, podemos afirmar que: a) p(x) = (x 2 + x + 1) 4 b) p(x) = (x 2 + x + 1)(x 6 x 5 + x 3 x 2 + 1) c) p(x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + x 1)(x 2 x + 1)(x 2 x 1) d) p(x) = (x 2 + x + 1)(x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + x + 1) e) p(x) = (x 2 + x + 1)(x 6 x 5 + x 4 x 3 + x 2 + 1) e) p(x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + x 1)(x 4 x 3 x 2 x 1) T70) Determine os valores de A e B para que a igualdade x x 2 9 = seja verificada para todo x { 3, 3}. a) A = B = 1 2 b) A = 2, B = 2 c) A = 1 2, B = 2 d) A = 2, B = 1 2 e) A = B = 2 A x B x 3

130 T71) Se f (x) for um polinômio de coeficientes reais de grau 3, qual é o grau do polinômio g(x) = [ f (x)] [ f (x)] 2 4 f (x) 5? a) g = 6 b) g = 8 c) g = 5 d) g = 7 e) g = 9 T72) Sendo f (x) = 2x 2 2x [x], qual é o grau do polinômio [ f (x)] 2? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 T73) Qual dos polinômios a seguir é irredutível sobre? a) x 3 + 7x x 21 b) x 4 5x c) x 4 64 d) x 2 7x + 12 e) x 3 + 7x x T74) Quais são as raízes em 5 do polinômio p(x) = x [x]? a) 3 e 4 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 1 e 4 126

131 e) 2 e 4 T75) Qual é o conjunto S formado por todas as raízes da equação 10x 4 27x 3 110x 2 27x + 10 = 0? a) { 2, 1 2, 1 5, 5} b) { 5, 1 2, 1 5, 2} c) { 2, 1 5, 1 2, 5} d) { 4, 1 2, 1 3, 2} e) { 2, 1 4, 1 2, 4} T76) Escolha a única alternativa verdadeira. a) Se A for um anel comutativo com unidade e f (x), g(x) A[x] forem dois polinômios de graus 3 e 5, respectivamente, então seu produto f (x) g(x) é um polinômio de grau 8 b) Se A for um anel comutativo com unidade e f (x), g(x) A[x] forem dois polinômios de graus iguais a 4, então seu produto f (x) g(x) é um polinômio de grau 8 c) Se A for um anel comutativo com unidade e f (x), g(x) A[x] forem dois polinômios de graus iguais a 4, então sua soma f (x) + g(x) é um polinômio de grau 4 d) Se A for um corpo e f (x), g(x) A[x] forem dois polinômios de graus iguais a 4, então seu produto f (x) g(x) é um polinômio de grau 8 e) Se A for um corpo e f (x), g(x) A[x] forem dois polinômios de graus iguais a 4, então sua soma f (x) + g(x) é um polinômio de grau 4 T77) O valor de k para que p(x) = x 4 + kx 2 + 2x 8 seja divisível por x + 2 é: a) 3 b) 1 c) 0 127

132 d) 1 e) 3 T78) O máximo divisor comum dos polinômios x 4 + x 3 11x e x 5 + 8x x x x + 5 é a) x 2 x + 5 b) x 2 5x + 1 c) x 2 + 5x + 5 d) x 2 + x + 5 e) x 3 + 5x 1 T79) As raízes racionais da equação 2x x x x x + 75 = 0 estão contidas no conjunto a) {1, 3, 5, 15, 25, 75, 1 2, 3 2, 5 2, 15 2, 25 2, 75 2 } b) {±1, ±3, ±5, ±15, ±25, ±75, ± 1 2, ±3 2, ±5 2, ±15 2, ±25 2, ±75 2 } c) {±1, ±3, ±6, ±15, ±25, ±60, ± 1 2, ±3 2, ±6 2, ±15 2, ±25 2, ±60 2 } d) {±1, ±3, ±5, ±15, ±25, ±75, ± 1 4, ±3 4, ±5 4, ±15 4, ±25 4, ±75 4 } e) {±1, ±3, ±5, ±15, ±25, ±75, ± 1 8, ±3 8, ±5 8, ±15 8, ±25 8, ±75 8 } f) { 1, 3, 5, 15, 25, 5, 1 2, 3 2, 5 2, 15 2, 25 2, 75 2 } T80) Se m = , então m é raiz da equação a) x 3 21x + 90 = 0 b) x x 90 = 0 c) x 3 90x 21 = 0 d) x 3 21x 90 = 0 e) x x 21 = 0 128

133 Respostas dos testes T1 - D T2 - B T3 - A T4 - D T5 - B T6 - A T7 - A T8 - B T9 - G T10 - D T11 - C T12 - B T13 - D T14 - F T15 - C T16 - D T17 - A T18 - A T19 - C T20 - C T21 - E T22 - A T23 - B T24 - C T25 - C T26 - E T27 - C T28 - C T29 - D T30 - A T31 - C T32 - A T33 - E T34 - D T35 - B T36 - E T37 - A T38 - E T39 - C T40 - B T41 - E T42 - A T43 - E T44 - D T45 - B T46 - E T47 - B T48 - A T49 - B T50 - D T51 - F T52 - B T53 - A T54 - C T55 - A T56 - D T57 - D T58 - B T59 - A T60 - D T61 - E T62 - D T63 - C T64 - B T65 - E T66 - E T67 - C T68 - E T69 - B T70 - A T71 - E T72 - A T73 - A T74 - D T75 - A T76 - D T77 - B T78 - C T79 - B T80 - D 129

134 Referências Bibliográficas [1] Domingues, H. H., Iezzi, G., Álgebra Moderna, Atual Editora Ltda., São Paulo, [2] Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, [3] Monteiro, L. H. J., Elementos de Álgebra, Ao Livro Técnico S. A., Rio de Janeiro, [4] Fraleigh, J. B., A first course in Abstract Algebra, Addison Wesley Publishing Company, Reading, [5] Herstein, I. N., Topics in Algebra, Ginn and Company, Waltham, [6] Ayres Jr, F., Jaisingh, L. R., Theory and Problems of Abstract Algebra, Schaum s Outline Series, 2nd. edition, McGraw Hill, New York,

135 Índice Remissivo anéis, 12, 116 anéis de integridade, 116 anéis-quocientes, 18, 122 classes laterais, 113 corpos, 15, 116 exercício polinômios, 82 exercícios anéis, 64 anéis-quocientes, 74 classes laterais, 58 corpos, 64 de revisão, 92 grupos, 38 grupos cíclicos, 48 grupos-quocientes, 58 homomorfismos, 48, 74 ideais, 74 isomorfismos, 48 múltipla escolha, 100 operações binárias, 28 subanéis, 64 subgrupos, 38 subgrupos normais, 58 grupos quocientes, 113 homomorfismo de grupos, 6 homomorfismos de anéis, 16, 119 de grupos, 109 ideais, 122 isomorfismos de anéis, 119 de grupos, 109 operações binárias, 1, 100 parte fechada, 3 permutações, 4 polinômios, 20, 124 polinômios irredutíveis, 26 Prefácio, i subanéis, 116 subgrupos, 105 subgrupos normais, 113 tábua de uma operação, 4 grau de um polinômio, 21 grupos, 4, 105 grupos cíclicos, 9,

136 Lenimar Nunes de Andrade nasceu no sertão do Rio Grande do Norte no início da década de 60. Descobriu sua vocação para professor de Matemática aos 12 anos de idade quando dava aulas particulares a muitos colegas do colégio. Obteve o título de Bacharel em Matemática pela Universidade Federal da Paraíba em 1982, Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Pernambuco em 1987 e de Doutor em Engenharia Elétrica pela UNICAMP em Em 1984, ingressou como professor de Matemática da Universidade Federal da Paraíba, em João Pessoa, e já teve oportunidade de ministrar mais de 25 disciplinas diferentes, algumas em nível de pós-graduação. Atualmente, é professor de Cálculo Numérico, Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo Vetorial e Geometria Analítica para alunos de diversos cursos como Engenharia Civil, Engenharia Mecânica, Engenharia Elétrica, Engenharia da Computação, Bacharelado em Física, Bacharelado em Matemática, entre outros. Nos últimos 5 anos tem se dedicado também ao ensino a distância através da Universidade Aberta do Brasil.