Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

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1 Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 46 DeMat-ESTiG

2 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Método de Cramer Método de Eliminação de Gauss Classificação dos sistemas Classificação Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG

3 Motivação Exemplo 1: aplicação de sistemas de equações lineares Uma empresa de transportes marítimos transporta as suas mercadorias em caixas de 3 tipos, designados por A, B e C, dispondo igualmente de 3 tipos de contentores, designados por I, II e III, que podem transportar as seguintes quantidades de caixas: A B C I II III Quantas caixas de cada tipo (x 1, x 2 e x 3 ) deve a empresa preparar para o caso de ter ao seu dispor 42 contentores do tipo I, 27 do tipo II ou 33 do tipo III? Matemática I 3/ 46 DeMat-ESTiG

4 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Este sistema pode representar-se na forma matricial: 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = x 1 x 2 x 3 = Como resolver este sistema? Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG

5 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b =... a m1 } a m2... {{ a mn } x n } {{ } b m } {{ } A x b Ax = b Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG

6 Representação Matricial de um Sistema Equação Matricial Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax = b A é a matriz dos coeficientes x é vector da incógnitas (solução so sistema) b é vector dos termos independentes do sistema Resolver o sistema consiste em resolver a equação matricial Ax = b em ordem ao vector x Vamos resolver apenas sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n), nesse caso a matriz A é quadrada Matemática I 6/ 46 DeMat-ESTiG

7 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b A solução do sistema é igual à multiplicação da matriz inversa, A 1, pelo vector dos termos independentes, b Resolução do sistema passa por calcular A 1 Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG

8 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Adjunta Definição de Matriz Adjunta: Considerando A uma matriz de ordem n, chama-se matriz adjunta de A, e designa-se por adj(a), à matriz de ordem n cujo (j, i)-ésimo elemento é o cofactor (ou complemento algébrico) A ij de a ij : adj (A) = A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n... A n1 A n2 A nn T = A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2... A 1n A 2n A nn Matemática I 8/ 46 DeMat-ESTiG

9 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2: Matriz Adjunta Calcular a matriz adjunta de A, do Exemplo 1, A = Começamos por calcular os cofactores A 11 = ( 1) = 0; A 12 = ( 1) = 5 A 13 = ( 1) = 5; A 21 = ( 1) = 9 A 22 = ( 1) = 8; A 23 = ( 1) = 2 A 31 = ( 1) = 6; A 32 = ( 1) = 2 A 33 = ( 1) = 7 Matemática I 9/ 46 DeMat-ESTiG

10 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2, continuação adj(a) = T = Matemática I 10/ 46 DeMat-ESTiG

11 Cálculo da Matriz Inversa Desenvolvimento de Laplace Se A for quadrada e de ordem n verifica-se que { A se i = k, a i1 A k1 + a i2 A k a in A kn = 0 se i k. Se i = k corresponde ao determinante de A obtido através do desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha Caso i k corresponde ao determinante de uma matriz B cuja linha k é substituída pela linha i, que pelas propriedades dos determinantes é nulo Este resultado pode extender-se ao desenvolvimento de Laplace por coluna { A se j = k, a 1j A 1k + a 2j A 2k a nj A nk = 0 se j k. Matemática I 11/ 46 DeMat-ESTiG

12 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Respostas: 1. a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 = (3)( 9)+(2)(8)+(2)( 2) = 15 = A 2. a 21 A 31 + a 22 A 32 + a 23 A 33 = (3)(6) + (2)( 2) + (2)( 7) = 0 3. a 13 A 11 + a 23 A 21 + a 33 A 31 = (2)(0) + (2)( 9) + (3)(6) = 0 Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG

13 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa A adj(a) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in... a n1 a n2 a nn A 11 A 21 A j1 A n1 A 12 A 22 A j2 A n2.... A 1n A 2n A jn A nn Como o (i, j)-ésimo elemento da matriz produto A adj(a) é { A se i = j, a i1 A j1 + a i2 A j a in A jn = 0 se i j Matemática I 13/ 46 DeMat-ESTiG

14 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação A A 0 A adj(a) = = A 0 0 A = A I n Da mesma forma adj(a) A = A I n adj(a) A = A I n 1 A adj(a) A = I n A 1 A = I n Matemática I 14/ 46 DeMat-ESTiG

15 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação Se A for uma matriz quadrada de ordem n a sua inversa é A 1 = 1 A adj(a) A admite inversa se e só se A 0 Matemática I 15/ 46 DeMat-ESTiG

16 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 4: Resolução pelo Método da Matriz Inversa Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. A 1, a matriz inversa de A 2. Resolver o sistema Ax = b, enunciado no Exemplo 1 Respostas: A 1 = 1 A adj(a) = 1 15 x = A 1 b = = = Matemática I 16/ 46 DeMat-ESTiG

17 Componentes do Vector Solução Como vimos anteriormente, a solução dum sistema Ax = b, com n equações e n incógnitas, existe e é única se A 0 e é dada por x = x 1 x 2. x n = A 1 b = A 11 A. A 1i A. A 1n A Da igualdade anterior verificamos que A 21 A A 2i A A 2n A A n1 A A ni A A nn A b 1 b 2. b n x i = A 1i A b 1 + A 2i A b A ni A b n para (1 i n). Matemática I 17/ 46 DeMat-ESTiG

18 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Calculando A i pelo desenvolvimento de Laplace da i-ésima coluna: A i = b 1 A 1i + b 2 A 2i + + b n A ni = x i A Assim concluímos que x i = A i, para i = 1, 2,..., n A Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG

19 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer x 1 = A 1 A x 2 = A 2 A x 3 = A 3 A = = = = = 3 = = 4 = = 5 Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG

20 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. 1. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por alteração da ordem de duas das suas equações: E i E j 2. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por multiplicação de uma das suas equações por um escalar não nulo: E i αe i, com α 0 3. Dois sistemas são equivalentes se a uma das suas equações for adicionado (ou subtraído) um múltiplo de outra equação: E i E i + αe j. Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG

21 Exemplo 1: Sistemas Equivalentes Os seguintes sistemas são equivalentes E 1 2E 1 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 2x + 2y 2z = 2 2x 3y + z = 4 3x z = 1 x y + z = 1 E 1 E 2 E 3 E 3 E 1 x + y z = 1 2x 3y + z = 4 3x z = 1 x y + z = 1 2x + 2y 2z = 2 2x 3y + z = 4 x 2y + z = 3 x y + z = 1 Matemática I 21/ 46 DeMat-ESTiG

22 Exemplo 1, continuação Operações sobre equações apenas afecta linhas das matrizes A e b, sistema Ax = b é representado, para efeitos de resolução, pela matriz aumentada [A b] L 1 2L L 1 L L 3 L 3 L Estas operações são designadas por operações elementares por linhas Matemática I 22/ 46 DeMat-ESTiG

23 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Se A é triangular superior os elementos abaixo da diagonal principal são nulos: a ij = 0 para i > j e o sistema Ax = b é resolvido por substituição regressiva n x n = b n /a nn, x i = b i a ij x j /a ii, i = n 1,..., 1 j=i+1 Se A é triangular inferior os elementos acima da diagonal principal são todos nulos: a ij = 0 para i < j e o sistema Ax = b é resolvido por substituição progressiva i 1 x 1 = b 1 /a 11, x i = b i a ij x j /a ii, i = 2,..., n j=1 Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG

24 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Resolvendo por substiutição progressiva obtemos y = [ ] T Sistema triangular superior 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 x Ax = b 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 3 + 2x 4 = 2 2x 4 = 0 Resolvendo por substituição progressiva obtemos x = [ ] T Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG

25 Método de Gauss 1. Reduzir o sistema à forma triangular através de operações elementares por linhas 2. Resolver o sistema triangular por substituição Este método é por vezes designado por método de eliminação de Gauss, pois consiste em eliminar as incógnitas das equações até se poder resolver o sistema por substituição Matemática I 25/ 46 DeMat-ESTiG

26 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 A matriz aumentada é igual a x y = 1 1 z L 1 L Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG

27 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L L 3 L 3 (3/5)L /5 2/ Terminada a primeira faze vamos proceder à substituição regressiva x + y z = 1 5y + 3z = 6 1/5z = 2/5 0 = 0 x + y z = 1 5y + 3(2) = 6 z = 2 Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG

28 Exemplo 3, continuação x + y z = 1 y = 0 z = 2 x = 1 y = 0 z = 2 x = 1 y = 0 z = 2 Matemática I 28/ 46 DeMat-ESTiG

29 Método de Gauss-Jordan 1. Anular todos os coeficientes situados fora da diagonal principal 2. Assegurar que todos os coeficientes da diagonal principal são unitários. Este método consiste em manter apenas uma incógnita por equação, eliminado as restantes, de maneira a obter directamente a solução do sistema Matemática I 29/ 46 DeMat-ESTiG

30 Exemplo 4: Método de Gauss-Jordan Sistema do exemplo 4 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 é equivalente a outro que pode ser representado pela matriz aumentada L 1 L 1 + L L 2 L 2 3L Matemática I 30/ 46 DeMat-ESTiG

31 Exemplo 4, continuação L 2 ( 1/5)L que corresponde ao sistema L 1 L 1 L 2 x = 1 y = 0 z = Matemática I 31/ 46 DeMat-ESTiG

32 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Se A uma matriz n n, procuramos uma matriz B tal que AB = BA = I n Colunas de B denotadas por x j, isto é B = [x 1 x 2... x n], com b 1j b 2j x j = (1 j n). b nj Denotamos colunas de I n por e j, tal que I n = [e 1 e 2... e n], com e 1 =., e 2 =.,, en = Matemática I 32/ 46 DeMat-ESTiG

33 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Por outro lado queremos determinar B tal que AB = I n, isto é [Ax 1 Ax 2... Ax n ] = [e 1 e 2... e n ] Que corresponde a resolver n sistemas lineares da forma Ax j = e j, (1 j n) Como a matriz dos coeficientes A é a mesma, podem ser resolvidos em simultâneo pelo método de Gauss-Jordan aplicado à matriz aumentada [A e 1 e 2... e n ] = [A I n ] Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG

34 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa 3. Concluída a fase anterior obtemos [C D] 3.1 Se C = I n, então D = A Se C I n, então C tem uma linha nula. Neste caso A não admite inversa, é singular Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG

35 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Calcular a inversa de A = Começamos por construir a matriz aumentada [A I] L 3 L 3 L Matemática I 35/ 46 DeMat-ESTiG

36 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L 2 L 3 (1/2)L L 1 L 1 L A 1 = /2 0 1/2 1/2 2 1/ /2 0 1/2 1/2 2 1/ /2 0 1/2 = [ I A 1] Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG

37 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Não ter solução Exemplo: seja o sistema x + 3z = 2 2x + 3y 2z = 1 3y + 4z = 3 Verifique que os vectores [ 2 1 0] T e [7 3 3] T são ambos solução deste sistema Como determinar o tipo de solução sem resolver? Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG

38 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. x 1a i1 + x 2 a i x na in = b a m1 a m2 a mn b m Vector b é gerado pela combinação linear dos vectores coluna de A Vector x contêm os coeficientes da combinação linear Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG

39 Sistemas com 2 equações 2 incógnitas Ax = b [ ] [ ] a11 a 12 x1 = a 21 a 22 x 2 [ b1 b 2 ] [ ] [ ] a11 a12 x 1 + x a 2 = 21 a 22 [ b1 b 2 ] Vectores a i1 e a i2 IR 2 geram qualquer vector b IR 2 se forem não colineares: A 0 solução única Se a i1 e a i2 forem colineares ( A = 0) só geram b se este for também colinear A j = 0 (para j = 1 ou 2) solução múltipla Matemática I 39/ 46 DeMat-ESTiG

40 Interpretação Geométrica de um Sistemas 2 2 b ai1 x1ai1 b ai1 ai2 x2ai2 ai1 e ai2 não colineares: solução única ai2 ai1, ai2 e b colineares: solução múltipla ai1 b ai2 ai1 e ai2 colineares e b não colinear: não existe solução Matemática I 40/ 46 DeMat-ESTiG

41 Sistemas com 3 equações 3 incógnitas Ax = b a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 x 1 a 21 +x 2 a 22 +x 3 a 23 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 a 31 a 32 a 33 b 3 Vectores a i1, a i2 e a i3 IR 3 geram qualquer vector b IR 3 se forem não coplanares: A 0 solução única Se a i1, a i2 e a i3 forem coplanares ( A = 0) só geram b se este for também coplanar A j = 0 (para j = 1 e 2) solução múltipla Matemática I 41/ 46 DeMat-ESTiG

42 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) 1.1 Solução única A Solução múltipla A = 0 e A j = 0, para j = 1, 2,..., n 1 2. Sistema inconsistente A = 0 e existir um A j tal que A j 0, j = 1, 2,..., n 1 (sistema sem solução) Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG

43 Classificação Exemplo 6: classificação de sistemas lineares x 2 Ax = b y = z 3 1. Indique que tipo de solução (sem a calcular) admite este sistema 2. Calcule a solução do sistema A = = 0 solução múltipla ou sem solução A 1 = = 0 e A = = 0 solução múltipla Matemática I 43/ 46 DeMat-ESTiG

44 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L x + 3z = 2 x = 2 + 3z L 3 L 3 L y + 4z = 3 y = 3 4z = 0 z IR 2 + 3α Solução geral é 3 4α com α IR 3 α Podemos obter soluções particulares atribuindo valores a α Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG

45 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Se A 0, x = A 1 0 = 0 (solução trivial x = 0 é única) se A = 0 então como a coluna j de A j é nula temos A j = 0 (solução múltipla) x + 3z = 0 Exemplo: Ax = 0 2x + 3y 2z = 0, como A = 0, verifique 3y + 4z = 0 que admite outras soluções para além da trivial, [0 0 0] T, como por exemplo [9 4 3] T Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG

46 Classificação Bibliografia Bernard Kolman, "Introdução à Álgebra Linear com Aplicações", Prentice-Hall do Brasil, 1998 Ia. S. Bugrov e S. M. Nikolski, "Matemática para Engenharia, Vol. 1 - Elementos de Álgebra Linear e de Geometria Analítica", Editora Mir Moscovo, 1986 Matemática I 46/ 46 DeMat-ESTiG

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