2 Matrizes. 3 Definição Soma de duas matrizes, e ( ) 4 Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( )

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1 Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Matriz ( ) Conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. Ex.: 0 1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas. 2 Definição Elemento da matriz ( ) Elemento de que se encontra na linha e na coluna. Ex.: Definição Soma de duas matrizes, e ( ) Matriz cujos elementos são a soma dos elementos análogos de e de. Ex.: Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( ) Associatividade: ( ) ( ) Comutatividade: 1

2 Exs.: 0 1 Associatividade: / / Comutatividade: Definição Produto de um número real,, por uma matriz, ( ) Matriz cujos elementos são o produto de pelos elementos análogos de. Ex.: Propriedades Propriedades do produto de números reais por matrizes ( ) Associatividade: ( ) ( ) Comutatividade: Distributividade em : ( ) Distributividade no espaço das matrizes: ( ) Exs.: Associatividade:, ( )- 0 1 (( ) 0 1) 0 1 Comutatividade: Distributividade em : ( ) Distributividade no espaço das matrizes: /

3 7 Definição Vector linha ( ) Matriz que tem linha. Ex.:, - é um vector linha porque é uma matriz com linha. 8 Definição Vector coluna ( ) Matriz que tem coluna. Representação matricial de um vector de. Ex.: 0 1 é um vector coluna porque é uma matriz com linha, e é a representação matricial do vector de ( ). 9 Definição Matriz quadrada ( ) Matriz cujos números de linhas e de colunas são iguais. Ex.: 0 1 é uma matriz quadrada porque tem tantas linhas como colunas:. 10 Definição Diagonal principal de uma matriz quadrada Conjunto de elementos de cujos índices de linha e de coluna são iguais. { } Ex.: 0 1 * + 11 Definição Diagonal secundária de uma matriz quadrada Conjunto de elementos de cujos índices de linha e de coluna somam. { } Ex.: 0 1 * + 3

4 12 Definição Matriz triangular superior Matriz cujos elementos que estão abaixo da diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é superior ao índice de coluna, são. Ex.: [ ] é uma matriz triangular superior. 13 Definição Matriz triangular inferior Matriz cujos elementos que estão acima da diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é inferior ao índice de coluna, são. Ex.: [ ] é uma matriz triangular inferior. 14 Definição Matriz diagonal Matriz cujos elementos não pertencentes à diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é diferente do índice de coluna, são. Matriz que é simultaneamente triangular superior e triangular inferior. Ex.: [ ] é uma matriz diagonal. 15 Definição Matriz identidade de dimensão ( ) Matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal são multiplicação de matrizes.. Elemento neutro da 4

5 Ex.: 0 1 é a matriz identidade de dimensão. 16 Definição Traço de uma matriz ( ( )) Soma dos elementos da diagonal principal de. ( ) ( ) Ex.:.0 1/ 17 Definição Produto de duas matrizes e ( ) Perspectiva do produto interno: Matriz cujo elemento é o produto interno da linha de e da coluna de. Perspectiva das colunas: Matriz cujas colunas são combinações lineares das colunas de, sendo os coeficientes de cada combinação linear os elementos de cada coluna de. Perspectiva das linhas: Matriz cujas linhas são combinações lineares das linhas de, sendo os coeficientes de cada combinação linear os elementos de cada linha de. Ex.: porque: Perspectiva do produto interno: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Perspectiva das colunas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Perspectiva das linhas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5

6 18 Facto Condição suficiente e necessária para a existência do produto de duas matrizes O produto de duas matrizes e,, existe se e só se o número de colunas de for igual ao número de linhas de. A matriz resultante do produto tem tantas linhas como e tantas colunas como. Ex. 1: 0 1, Ex. 2: Propriedades Propriedades do produto de matrizes ( ) Associatividade: ( ) ( ) Distributividade: ( ) Exs.: Associatividade: / / 0 1 Distributividade: / Algoritmo Algoritmo para a multiplicação por blocos de duas matrizes e 1 Identificação de sub-matrizes: Dividir e em sub-matrizes, estabelecendo traços divisórios verticais e horizontais em cada uma delas. Divisão vertical de e horizontal de : Escolher o número de traços divisórios verticais de e o número de colunas que separa cada um deles. Dividir horizontalmente de maneira análoga, no que diz respeito ao número de traços divisórios e número de linhas entre eles. Divisão horizontal de e vertical de : Escolher uma qualquer configuração de traços divisórios horizontais de e verticais de. 6

7 2 Produto de sub-matrizes: Considerar cada sub-matriz criada como um elemento da matriz a que pertence e efectuar o produto de e nesta perspectiva, multiplicando matrizes e não números reais. Ex.: 1 Identificação de sub-matrizes: [ ], -, -, -, - [ ] 2 Produto de sub-matrizes: 0 1, , [ ] [ ], -, -, - 0 1, -, -, - 0 1, -, - 21 Definição Matrizes e comutativas entre si Matrizes cujo produto é igual, independentemente da ordem por que é efectuado. Ex.: Definição Matriz idempotente Matriz que é igual ao seu quadrado, ou seja, ao produto de por. Ex.: 0 1 é idempotente porque

8 23 Definição Matriz transposta de uma matriz ( ) Matriz cujas linhas são as colunas de e cujas colunas são as linhas de. Matriz cujo elemento é o elemento de. * + * + * + * + Ex.: Propriedades Propriedades da transposição de matrizes ( ) Soma: ( ) Produto de números reais por matrizes: ( ) Produto de matrizes: ( ) Adjunta:, ( )- ( ) Inversa: ( ) ( ) Exs.: Soma: / Produto de números reais por matrizes:. 0 1/ Produto de matrizes: / Adjunta:. 0 1/ (0 1 ) 0 1 Inversa: (0 1 ) (0 1 ) Definição Matriz simétrica Matriz que é igual à sua transposta. Matriz cujo elemento é igual ao seu elemento. * + 8

9 Ex.: 0 1 é simétrica porque Definição Matriz anti simétrica Matriz que é igual à simétrica da sua transposta. Matriz cujo elemento simétrico do seu elemento. * + é igual ao Ex.: 0 1 é anti simétrica porque Facto Produto interno de vectores e produto de matrizes O produto interno de vectores de é equivalente ao produto da forma matricial transposta de um deles e a forma matricial do outro. ( ) ( ) ( ) ( ), -, - Ex.: ( ) ( ), - 0 1, Definição Matriz inversa de uma matriz ( ) (se existir) Matriz cujo produto por, por qualquer ordem, resulta na matriz identidade de dimensão. Ex.: porque Definição Matriz não singular Matriz que possui uma matriz inversa. 9

10 Ex. 1: Ex. 2: Definição Matriz auto-inversa Matriz que é igual à sua inversa. Ex.: Definição Matriz ortogonal Matriz cuja inversa é igual à sua transposta. Ex.:. 32 Propriedades Propriedades da inversão de matrizes ( ) Produto de números reais por matrizes: ( ) Produto de matrizes: ( ) Transposta: ( ) ( ) Exs.: Produto de números reais por matrizes:. 0 1/ 0 1 Produto de matrizes: / Transposta: (0 1 ) (0 1 )

11 33 Definição Operações elementares sobre filas de matrizes Troca: Produto por números reais: Soma de combinações lineares das restantes filas: Exs.: Troca: Produto por números reais: Soma de combinações lineares das restantes filas: 34 Facto Operações elementares sobre linhas de uma matriz e matriz identidade Realizar uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é equivalente a efectuar o produto, sendo a matriz que resulta da realização da mesma operação sobre a matriz identidade de dimensão. Ex.: 35 Facto Operações elementares sobre linhas de matrizes e inversão de matrizes Realizar operações elementares sobre as linhas da matriz identidade de dimensão e as mesmas operações sobre as linhas de uma matriz até que se transforme na matriz identidade de dimensão transforma a matriz identidade em. Ex.: 0 1,

12 , - 36 Algoritmo Algoritmo de eliminação de Gauss para inversão de uma matriz 1 Triangulação superior: Aplicar os seguintes passos, substituindo por. Depois, repeti-los, substituindo por. Continuar a repeti-los, substituindo pelos restantes índices de linha da matriz, de forma crescente, até Transformação de num número não nulo: Se for, trocar a linha com outra linha, abaixo desta, cujo elemento da coluna não seja. Caso contrário, saltar este passo. Transformação de em : Se não for, dividir a linha por. Caso contrário, saltar este passo. Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujo elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha. 2 Triangulação inferior: Depois de concluída a triangulação superior, aplicar o 1º passo abaixo indicado. Depois, aplicar o 2º passo, substituindo por. Repeti-lo, substituindo por. Continuar a repeti-lo, substituindo pelos restantes índices de linha da matriz, de forma decrescente, até Transformação de em : Se não for, dividir a linha por. Caso contrário, saltar este passo. Anulação da parte superior da coluna : Subtrair a cada linha acima da linha cujo elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha. Ex.: 12

13 1 Triangulação superior:, - 2 Triangulação inferior:, - 13