a m1 A ou [ A] ou A ou A A = a ij para i = 1 m e j = 1 n A=[ Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j

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1 Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares 2.. Definição Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas. Representações Matriz retangular A, m x n (eme por ene) a 2 a n A=[a a 2 a 2n a m a m2 a mn] A ou [ A] ou A ou A linha = rows coluna = columns a ij é o elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j 2.2. Tipos A = a ij para i = m e j = n Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada de ordem n m = n = m = n A=[23] A=[ 3] 2 A=[ ] Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j [59] Matriz unitária Os elementos da diagonal secundária são: a ij para i + j = n + [357] m = n = A=[3] Matriz diagonal Os elementos são: a ij = 0 para i j A=[ ] José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 /30

2 2.2. Tipos(cont.) Matriz identidade É a matriz diagonal onde: a ij = para i= j a ij = 0 para i j =[ 0 0 ] I Matriz triangular superior (U) ( upper ) Os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. U =[ ] Matriz triangular inferior (L) ( lower ) Matriz nula Matriz oposta A = -B Os elementos acima da diagonal principal são nulos. Todos os elementos são nulos: a ij = 0 V i e j A é oposta de B se: a ij = b ij V i e j L=[ ] N =[ ] A=[ 3 7 2] B=[ 3 7 2] Matriz idêntica A = B Matriz cheia A é idêntica a B se: a ij = b ij V i e j [ a b c d ] [ = 2 5 7] a= ;b=2 ;c=5 ; d =7 São matrizes com a maior parte dos elementos não nulos. Matriz esparsa Matriz de banda Matriz tridiagonal São matrizes com a maior parte dos elementos nulos São matrizes quadradas esparsas cuja diagonal principal e algumas diagonais paralelas a principal são compostas de elementos não nulos. [ ] José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 2/30

3 2.3. Operações Adição C = A + B As matrizes são do mesmo tamanho m x n. c ij = a ij b ij V i e j [ 2 3] [ ] [ = ] [2 3 0 ] [ ]=[ ] Propriedades Subtração C = A - B A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) +C A + 0 = A A+(-A) = 0 C = A - B = A + (-B) comutativa associativa [ ] [ 7 0] [ = ] Multiplicação por um número k C = k B Propriedades Obs: a e b podem ser números complexos a (b A) = (a b) A a (A + B) = a A + a B (a +b) A = a A + b A.A = A c ij =k b ij V i e j 3[ 2 3 4] [ = ] 2[ 2 5] [ 3 4 2] = [ ] Multiplicação C = A.B Definição indicial Obs: matrizes quadradas devem ter a mesma ordem para poderem ser multiplicadas A = (a ij ) m p B = (b jk ) p n C = c ik m n onde c ik = a i b k a i2 b 2k a i3 b 3k a ip b pk c ik p = a ij b jk j= José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 3/30

4 2.3. Operações (cont.) Multiplicação C = A.B Definição esquemática a i a i2 a i3 a ip b k b 2k b 3k... b pk c ik i ésima linha de A k ésima coluna de B elemento ik de C Wikipédia, 2009 c ik A.B=[ 2 3 5] [ ] [ = B.A=[ ] [ ] [ = p = a ij b jk j= ] ] [ ] [ ] = [ 4 3] 2 x3 3 x 2 Propriedades A.B B.A não é comutativa A.B = 0 > A = 0 ou B = 0 (A.B).C = A.(B.C) (A+B).C = A.C+B.C C.(A+B) = C.A+C.B (k.a).b = A.(k.B) = k.(a.b) A.I n = I m.a = A [ 0 0] [. 0 0 ] [ = ] associativa distributiva a direita distributiva a esquerda k = constante real ou imaginária A é uma matriz m x n Matriz Transposta A t Propriedades Matriz simétrica Matriz anti-simétrica A t = (b ji ), tipo m x n, é a matriz transposta de A = (a ij ), tipo n x m onde, b ji = a ij V i e j B=[ 5 7 8] =[ B t A=[ 2 3 6] 8] 4 A =[ t ] (A+B) t = A t + B t (ka) t = ka A.B=[ 2 4 t 3] [ ] = 22 [ 5 (A.B) t = B t.a t B t. A =[ t ] [ ] [ = ] = A.B t 5] É a matriz quadrada cuja transposta é igual a matriz original: A t = A ou seja, a ij = a ji V i e j A=[ 2 2 3] É a matriz quadrada cuja transposta é igual a oposta da matriz original: A t = -A ou seja, a ij = -a ji V i e j A=[ 0 0] José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 4/30

5 2.4. Determinantes Definição Seja uma matriz quadrada M=(a ij ), de ordem n, chamamos determinante de M, simbolizado por: a um número calculado por: a 2 a 3... a n a det M = a 2 a 22 a a 2n : : : : : a n a n2 a n3... a nn a) Para n= então M=(a ) e det M = a b) Para n 2 então det M = ( ) i + a i D i onde, n i= Menor complementar do elemento a i da matriz M Matriz quadrada de ordem 2 Menor Complementar D i é o determinante da matriz que se obtém de M, suprimindo-se a linha i e a coluna. det M = a a 2 a 2 a 22 =( )+ a D +( ) 2+ a 2 D 2 D = : : : a 22 D 2 = : a 2 : : Determinante 2x2 det M =a a 22 a 2 a 2 Regra gráfica Matriz quadrada de ordem 3 Menor Complementar det M = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 =( ) + a D +( ) 2+ a 2 D 2 +( ) 3+ a 3 D 3 : : a2 a3 a2 a3 D = : : a 22 a 23 : a 32 a 33 D 2 = : : : : : a 32 a 33 D 3 = : : a 22 a 23 : : : José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 5/30

6 2.4. Determinantes (cont.) Determinante 3x3 det M =a (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 2 (a 2 a 33 a 32 a 3 )+a 3 (a 2 a 23 a 22 a 3 ) det M =(a a 22 a 33 +a 2 a 23 a 3 +a 3 a 2 a 32 ) (a 3 a 22 a 3 +a a 23 a 32 +a 2 a 2 a 33 ) Regra de Sarrus (regra gráfica) Pierre Frédéric Sarrus Matriz quadrada de ordem n>3 Definindo Cofator do elemento a ij de uma matriz quadrada de ordem n, por A ij =( ) i+ j D ij Determinante nxn n det M = a i A i i= Propriedades det M t = det M Se uma linha ou coluna da matriz M é constituída de elementos nulos, então det M = 0 Se multiplicarmos uma linha ou coluna da matriz M por um número k, gerando uma nova matriz N, então det N = k det M Se duas linhas ou colunas na matriz M forem iguais ou proporcionais, então det M = 0 Numa matriz triangular superior ou inferior, temos det M =a a 22 a 33...a nn José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 6/30

7 2.5. Matrizes inversíveis Matriz Inversa (A - ) Matriz inversa A - da matriz quadrada A, de ordem n, é definida por A.A = A. A=I n Obs: Se existir inversa, então a matriz A é dita inversível ou não singular; Se não existe inversa, então a matriz A é chamada de singular; Se a matriz A é inversível, então a sua inversa é única. Matriz de Cofatores (A') Matriz Adjunta (Ᾱ) É a matriz composta pelos cofatores de cada elemento da matriz A. A '=( A ij ) É a transposta da matriz de cofatores da matriz A. Ā=( A' ) t Teorema Se A é uma matriz quadrada de ordem n, tal que, D = det A 0, então a inversa de A é, A = D A pois, A A=A A=D I n Gabriel Cramer D A = A D A A = A A D I n = A A D A = A D A A = A A D I n = A A José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 7/30

8 2.6. Matrizes em Planilhas e no SciLab José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 8/30

9 2.7. Resolução de Sistemas Lineares Representação Notação usual a a 2 a n x n =b S n = a 2 a 22 a 2n x n =b 2 a n a n2 a nn x n =b n Notação indicial n S n = j= a ij x j =b i i =..n Notação matricial A.X =B Matriz de coeficientes a 2 a n A=[a a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn] Matriz de termos indepentes B=[b b 2 b n] Matriz de incógnitas X =[ x n] Solução Se D = det A 0 Método de Cramer A.X =B A. A.X = A. B A. A = A. B I n. X = A. B X = A. B D José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 9/30

10 Classificação Exemplo Sistema linear 2x2 Sistema determinado det A 0 solução única a a 2 =b a 2 a 22 =b 2 Sistema indeterminado det A = 0 múltiplas soluções Uma equação inconsistente! Sistema incompatível sem solução Uma equação redundante! Sistema homogêneo Solução trivial B=(0) X=(0) Um sistema linear homogêneo sempre admite a solução trivial! José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 0/30

11 Classificação (cont.) Sistema triangular Admite um método de solução simplificado. O sistema triangular superior é resolvido por substituição retroativa. Exemplo A.X =B [3 4 5 ].[x x x 4]=[ 0 ] 2 x 4 =2/2= 4x 3 5 =3 x 3 =2 2 2 = = = 0 = X t =[ 2 ] Obs O sistema triangular inferior é resolvido por substituição progressiva Operações com Sistemas Lineares Realizando as seguintes operações sobre as linhas de um sistema linear obtém-se uma sistema linear equivalente ao primeiro, ou seja, um novo sistema que possui a mesma solução: Trocar a posição de duas equações do sistema; Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; Adicionar duas equações do sistema. Obs Aplicações A troca de colunas na matriz de coeficientes somente altera a ordem dos termos na matriz solução X. Elétrica e Eletrônica Economia Engenharia Civil Engenharia Térmica Engenharia Aeronáutica Engenharia de Estruturas Otimização Computação Gráfica José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 /30

12 Aplicações (cont.) Modelo de um sistema mecânico x=0 K K F P F 2 a Lei de Newton no equilíbrio F ext =0 x x2 x3 K2 K3 m P m2 P2 m3 K2 K3 F2 F2 F3 F3 W P2 W2 P3 F2 F2 F3 F3 Diagrama de corpo livre P3 W3 Massa : F x =2F P 2F 2 W Massa 2: F x =2F 2 P 2 2F 3 W 2 Massa 3: F x =2F 3 P 3 W 3 Força de uma mola K é a constante da mola Força devido ao Peso Próprio g é aceleração da gravidade F =K F 2 =K 2 F 3 =K 3 x 3 W =m g W 2 =m 2 g W 3 =m 3 g O sistema de equações lineares que modelam o problema é: A matriz de coeficientes K é chamada de matriz de rigidez do sistema e é simétrica. O sistema homogêneo P=0 é usado em análise de vibrações naturais. 2 K K 2 2K 2 = P m g 2K 2 2 K 2 K 3 2K 3 x 3 = P 2 m 2 g 2K 3 2K 3 X 3 =P 3 m 3 g 2[K K 2 K 2 0 K 2 K 2 K 3 K 3 0 K 3 K 3 ][x 2 K X =P W g P 2 m 2 g x 3]=[P P 3] [m ] m 3 g para P = 0 o sistema está em equilíbrio devido ao peso próprio; para uma dada carga P os deslocamentos X são únicos; para uma carga cíclica P os deslocamentos X também são cíclicos. José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 2/30

13 Aplicações (cont.) Ponte de Wheatstone Instrumentação: Uma Ponte de Wheatstone (ao lado) é um circuito elétrico usado para medição de sinais de vários tipos de sensores (de termistores a células de carga). O medidor de tensão, de resistência R g, fica entre os terminais D e B da ponte. A fonte fornece uma força eletromotriz E ao circuito. Vamos mostrar que para uma condição de equilíbrio na ponte, temos: I g =0 R 4 R 3 = R R 2 As leis que regem o fenômeno físico são: Ao longo de qualquer circuito envolvo a fonte. Lei de Ohm V =R.I Nós do circuito = pontos A, B, C e D na figura Nó D Nó B Circuito ADC Circuito ABC Circuito ADBC Lei de Kirchhoff I nó =0 O sistema de equações lineares que modelam o sistema é: I I 2 I g =0 I 3 I 4 I g =0 R I R 2 I 2 = E R 3 I 3 R 4 I 4 =E R I R 3 I 3 R g I g =E Na notação matricial: [ R R R 3 R 4 0 R 0 R 3 0 R g] [ I I 2 0 I 3 E I 4 E I g]=[0 E] Usar substituição progressiva! ou seja, A X =B Resolvo o sistema para I g = 0, obtemos, R 4 R 3 = R R 2 José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 3/30

14 Métodos Numéricos de Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos A solução é encontrada por métodos algébricos com um número fixos de operações. A solução é exata. Recomados para: Sistemas lineares pequenos (n<=000). Matriz de coeficientes do tipo matriz cheia, onde a maioria dos elementos são não nulos (a ij 0). Exemplos de métodos diretos Método da Eliminação de Gauss Método da Eliminação de Gauss-Jordan Método da Inversão da Matriz de Coeficientes Método da Decomposição LU Métodos Indiretos A solução é encontrada por tentativa e erro, através de um processo iterativo. Uma solução é assumida e substituída no sistema de equações para o cálculo do erro. Este erro é usado para melhorar a estimativa. O procedimento é repetido até que o erro calculado seja menor que um valor pré-definido. A solução final é aproximada. Recomados para: Sistemas lineares grandes (n>000). Matriz de coeficientes do tipo matriz esparsa, onde a maioria dos elementos são nulos (a ij =0). Exemplos de métodos indiretos (SOR = successive over relaxation) Método de Iteração de Jacobi Método de Iteração de Gauss-Siedel Método da Relaxação Método da Super-Relaxação Sucessiva (SOR) Métodos Diretos Serão discutidos os Métodos de Gauss e o da Decomposição LU. José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 4/30

15 Método de Gauss Método da Eliminação de Gauss Método da Triangularização de Gauss É um método direto de solução de sistemas lineares. Consiste em transformar um sistema de equações lineares em um outro sistema triangular superior, equivalente ao primeiro, e de solução direta por substituição retroativa. a 2 a 22 a 2n b 2 [a a2 an b a n a nn b n] [ c2 cn d 0 c 2n d n] d Etapas: ) Escrever a matriz aumentada C 0 = [A : B] [c c2 cn c c 2 c 22 c 2n c 2 c n c nn c n] Carl Friedrich Gauss Fórmula generalizada de transformação: m ij k = c k ij k c jj para i = k+.. n para j = k L i k =m ij k L j k +L i k para i = k+.. n para j = k k = índice de iteração; i = índice da linha; j = índice da coluna. Obs.: nenhum elemento da diagonal principal pode ser nulo. 2) Pivotamento Escolher o pivô (elemento da diagonal principal) c 0 Encontrar os multiplicadores para eliminar os termos c 0 2 e c 0 3 m 0 2 = c /c m 0 3 = c /c 3) Transformar as linhas L para obter a nova matriz aumentada C L =L 0 L 2 =m 0 2 L 0 0 L 2 L 3 =m 0 3 L 0 0 L 3 4) Repetir as operações de pivotamento e transformação para o novo pivô até chegar a última linha da matriz aumentada. m 32 = c 32 /c 22 L 2 = L L 2 2 = L 2 L 2 3 =m 32 L 2 + L 3 5) Resolver o sistema triangular superior por substituição retroativa. José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 5/30

16 Método de Gauss (cont.) Exemplo A X = B Sistema de ordem x 3 = x 3 =3 2 3 x 3 = C 0 = [A : B] L 2 = -2*[ : 5] + [ : 3 ] = [ : -7] C 0 =[ C =[ ] ] L =L 0 m 2 = c 2 /c = 2 L 2 =m 2 L L 2 m 3 = c 3 /c = L 3 =m 3 L L 3 L 2 =L L 2 2 =L 2 m 32 = c 32 /c 22 = 3 L 2 3 =m 32 L 2 + L 3 Matriz triangular superior Solução por substituição retroativa C 2 =[ ] x 3 =5 2 x 3 = x 3 =5 Solução Final =[ 3] X 2 ou X t =[ 2 3] Obs.: n = 3 exige 3 operações aritméticas José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 6/30

17 Método de Gauss (cont.) Exemplo Sistema de ordem =[ C ] C =[ ] L =L 0 m 2 = c 2 / c = 3 L 2 =m 2 L L 2 m 3 = c 3 /c = 2 L 3 =m 3 L L 3 m 4 = c 4 / c = L 4 =m 4 L L 4 L 2 =L L 2 2 =L 2 m 32 = c 32 /c 22 = 4 L 2 3 =m 32 L 2 + L 3 m 42 = c 42 /c 22 = 5 L 2 4 =m 42 L 2 + L C =[3 ] L 3 =L 2 L 2 3 =L 2 2 L =L 3 m 0 43 = c 2 43 /c 2 33 = 3 L 3 4 =m 2 43 L L 4 Matriz triangular superior C =[3 ] Solução por substituição retroativa X =[ 2 ou X 0 ] t =[ 2 0 ] Obs.: n = 4 exige 76 operações aritméticas n = 5 exige 45 operações aritméticas Exercício: Obter uma equação para calcular o número de operações aritméticas necessárias para a solução de um sistema linear de ordem n pelo método de eliminação de Gauss. José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 7/30

18 Método de Gauss (cont.) Algorítimo de Triangularização de Gauss para Sistema Lineares No SciLab: function x = GaussElim(n,a,b) Entradas: Ordem do sistema linear Matriz de coeficientes Matriz de termos indepentes Saída: Matriz de incógnitas Início n a[n,n] b[n,] x[n,] // Matriz aumentada c = [a b]; // Triangularização da matriz // aumentada for k=:n- for i=k+:n mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; for j = k+:n+ c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); // Substituição retroativa x=zeros(n,); x(n)=c(n,n+)/c(n,n); for i=n-:-: soma = 0; for j=i+:n soma = soma +c(i,j)*x(j); x(i)=(c(i,n+)-soma)/c(i,i); function // Definir os termos da matriz aumentada c[n,n+]= a[n,n]:b[n,]; // Triangularização da Matriz aumentada Para k= até n- faça início Para i=k+ até n faça início mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; Para j = k+ até n+ faça início c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); fim; fim; fim; // Substituição retroativa x(n)=c(n,n+)/c(n,n); Para i=n- até faça início soma = 0; Para j=i+ até n faça início soma = soma +c(i,j)*x(j); fim; x(i)=(c(i,n+)-soma)/c(i,i); fim; Mostre a matriz x[n,]; fim. José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 8/30

19 Método de Decomposição LU A matriz U é única! AX =B A=[ ] =[x X x 3] 2 B=[ x A=LU LUX =B LY =B UX =Y 4 2] 3 LY =B Y UX =Y X Método de solução l ij = se i= j l ij =0 se i j u ij =0 se i j Decomposição usando a igualdade LU = A Forma indicial Obs: na fórmula de u ij j-<i significa ignorar os termos do somatório onde k i A= LU u =a u 2 =a 2 u 3 =a 3 l 2 u =a 2 l 2 =a 2 /u l 2 u 2 +u 22 =a 22 u 22 =a 22 l 2 u 2 l 2 u 3 +u 23 =a 23 u 23 =a 23 l 2 u 3 l 3 u =a 3 l 3 =a 3 /u l 3 u 2 +l 32 u 22 =a 32 l 32 =(a 32 l 3 u 2 )/u 22 l 3 u 3 +l 32 u 23 +u 33 =a 33 u 33 =a 33 l 3 u 3 l 32 u 23 j < i para i j u ij =a ij se j= e u ij =a ij para i> j U L=[ 0 0 l 2 0 l 3 l 32 ] u2 u3 a2 a3 =[u 0 u 22 u u 33] A=[a a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33] k= j l ik u kj se j> l ij = a ij se j= e l u ij =(a ij l ik u kj )/u jj se j> jj k= Substituição progressiva Substituição retroativa Solução LY =B L=[ 0 0 / ] Y =[ y y 2 y 3] B=[ UX =Y =[ 2 3 ] =[x U 0 3/2 5/2 X x 3] 2 Y x X t =[ ] 4 2] 3 =[ 4 4] José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 9/30

20 Método de Decomposição LU (cont.) Rotina de Decomposição LU em código do SciLab //Rotina de Decomposição LU para Sistema Lineares //entrada Ordem do sistema linear n // Matriz de coeficientes a[n,n] // Matriz de termos indepentes b[n,] //saída Matriz de incógnitas x[n,] function x = DecoLU(n,a,b) // Decomposição de A em L(matriz triangular inferior) e U(matriz triangular superior) // LU=A l = zeros(n,n); u = zeros(n,n); // zerar matrizes L e U for i=:n // diagonal de L igual a l(i,i)=; j=; // cálculo dos elementos de L e U para j= for i=:n if i<=j then u(i,j)=a(i,j); else l(i,j)=a(i,j)/u(j,j); Obs: O programa para o cálculo dos u ij ignora os termos de k i automaticamente, pois estes ainda são nulos até o seu cálculo. for i=:n // cálculo dos elementos de L e U para j> for j=2:n SumLU=0; for k=:j- SumLU=SumLU+l(i,k)*u(k,j); if i<=j then u(i,j)=a(i,j)-sumlu; else l(i,j)=(a(i,j)-sumlu)/u(j,j); // Substituição progressiva LY=B y=zeros(n,); y()=b(); for i=2:n SumLY=0; for j=:i- SumLY = SumLY + l(i,j)*y(j); y(i)=b(i)-sumly; // Substituição retroativa UX=Y x=zeros(n,); x(n)=y(n)/u(n,n); for i=n-:-: SumUX = 0; for j=i+:n SumUX = SumUX +u(i,j)*x(j); x(i)=(y(i)-sumux)/u(i,i); function // Jose Eduardo Mautone Barros 22/04/200 José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 20/30

21 Métodos Indiretos (Iterativos) Exemplo: AX =B AX B=0 AX IX B= IX X = A I X B Os métodos iterativos consistem em transformar o sistema de equações lineares original para uma outra forma que permita obter novas estimativas de valores do vetor de incógnitas X a partir de uma estimativa anterior de valores do vetor X. A partir de uma aproximação inicial: A X =B para X =F X D X 0 t =[ 0 0 x x n 0 ] obtemos a nova estimativa, e repete-se até que, X =F X 0 D máx x i k x i k ou k M onde, ε = tolerância na solução M = número máximo de iterações Método de Jacobi Seja o sistema de equações lineares (LES), a a 2 a 3 x 3... a n x n =b a 2 a 22 a 23 x 3... a 2n x n =b 2... a n a n2 a n3 x 3... a nn x n =b n explicita-se as incógnitas x da seguinte forma: Carl Gustav Jakob Jacobi Obs: a ii 0 V i Senão é necessário reagrupar as equações do sistema original. = b a 2 a 3 x 3... a n x n a = b 2 a 2 a 23 x 3... a 2n x n a x n = b n a n a n2... a n n x n a nn José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 2/30

22 Método de Jacobi (cont.) O método iterativo de Jacobi consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial X 0 = 0, 0, x 3 0,, x n 0 t b) Calcula-se a sequência de aproximações utilizando as equações: X,X 2, X 3,..., X k k = a b a 2 k a 3 x 3 k a 4 x 4 k a n x n k k = a 22 b 2 a 2 k a 23 x 3 k a 2 x 4 k a 2n x n k x k 3 = b a 3 a 3 x k a 32 x k 2 a 34 x k 4 a 3n x k n 33 x k n = b a n a n x k a n2 x k k 2 a n n x n nn c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita: onde, máx x i k x i k ou k M ε = tolerância M = número máximo de iterações Método do Resíduo R i (k) É mais atual! x k i =x k i R k i a ii n R i k =b i j = k a ij x j i=..n i=..n José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 22/30

23 Método de Gauss-Siedel Seja o sistema: A X = B O método iterativo de Gauss-Siedel consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial X 0 = 0, 0, x 3 0,, x n 0 t b) Calcula-se a sequência de aproximações utilizando as equações: X,X 2, X 3,..., X k k = a b a 2 k a 3 x 3 k a 4 x 4 k a n x n k k = a 22 b 2 a 2 k a 23 x 3 k a 2 x 4 k a 2n x n k x k 3 = k b a 3 a 3 x a 32 x k 2 a 34 x k 4 a 3n x k n 33 x k n = b a n a n x k a n2 x k k 2 a n n x n nn c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita: onde, máx x i k x i k ou k M ε = tolerância M = número máximo de iterações Método do Resíduo R i (k) É mais atual! i R k i =b i a ij x j j = x k i =x k i R k i a ii n k j =i k a ij x j i=..n i=..n José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 23/30

24 Superrelaxação Sucessiva (SOR) Alteração do método de Gauss-Siedel para acelerar a convergência. SOR = successive over-relaxation Método do Resíduo R i (k) x k k i = x i R k i a ii i R k i =b i a ij x j j = n k j =i k a ij x j i=..n i=..n w< sub-relaxado w> super-relaxado Fator de relaxação (ω) 0 < w < 2 Exemplo 2 = +2 =3 Método de Jacobi 2 = +2 =3 k + =(+ k )/2 k + =(3 k )/2 K X E X2 E2 Teste 0 0,000 0,000 0,500 0,500,500,500 não 2,250 0,750,250 0,250 não 3,25 0,25 0,875 0,375 não 4 0,938 0,88 0,938 0,063 não 5 0,969 0,03,03 0,094 não 6,06 0,047,06 0,06 não 7,008 0,008 0,992 0,023 não 8 0,996 0,02 0,996 0,004 não 9 0,998 0,002,002 0,006 convergiu 0,800 Convergência de x - Jacobi 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,00 0, José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 24/30

25 Métodos Indiretos (cont.) Método de Gauss-Siedel 2 = +2 =3 K X E X2 E2 Teste 0 0,000 0,000 0,500 0,500,250,250 não 2,25 0,625 0,938 0,33 não 3 0,969 0,56,06 0,078 não 4,008 0,039 0,996 0,020 não 5 0,998 0,00,00 0,005 convergiu k + =(+ k )/2 k + =(3 k+ )/2 0,700 0,600 Convergência de x - Gauss-Siedel 0,500 0,400 0,300 0,200 0,00 0, Método SOR 2 = +2 =3 R k = 2 k + k R 2 k =3 k + 2 k k + = k +ω R k /2 k + = k +ω R 2 k /2 Ômega = 0,9 K X R X2 R2 Teste 0 0,000 0,000 0,455,000,58 2,545 não 2,023,248,004-0,339 não 3,004-0,042 0,999-0,0 não 4,000-0,009,000 0,003 convergiu,400 Convergência de x - SOR,200,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000-0, José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 25/30

26 Métodos Indiretos - Implementação em Planilhas Método de Jacobi Exemplo 4x 2x2 + x3 = 3 x 4x2 + x3 = 2 x + 2x2 + 4x3 = 7 Erro admitido de x0-2 Método de Gauss-Siedel 4x 2x2 + x3 = 3 x 4x2 + x3 = 2 x + 2x2 + 4x3 = 7 Método SOR Omega de, (colocado numa célula fixa $I$) 4x 2x2 + x3 = 3 x 4x2 + x3 = 2 x + 2x2 + 4x3 = 7 A B C D E F G H k X E X2 E2 X3 E3 Teste FM FM2 FM3 FM4 FM5 FM6 FM Definir as seguintes fórmulas: FM = /4*(3 + 2*D2 - F2) FM2 = ABS(B3 - B2) FM3 = /4*(2 + B2 + F2) FM4 = ABS(D3 - D2) FM5 = /4*(7 - B2-2*D2) FM6 = ABS(F3 F2) FM7 = SE((C3>0,0) E (E3>0,0) E (G3>0,0); convergiu ; não ) Selecionar as células A2 a A3; Ester as definições destas células até o número de iterações desejadas; Selecionar as células B3 a H3; Ester as definições destas células até o número de iterações desejadas. Definir as seguintes fórmulas: FM = /4*(3 + 2*D2 - F2) FM2 = ABS(B3 - B2) FM3 = /4*(2 + B3 + F2) FM4 = ABS(D3 - D2) FM5 = /4*(7 - B3-2*D3) FM6 = ABS(F3 F2) FM7 = SE((C3>0,0) E (E3>0,0) E (G3>0,0); convergiu ; não ) Selecionar e ester as coluna A e a linha 3, colunas B a H, do mesmo modo anterior. A B C D E F G H I k X R X2 R2 X3 R3 Teste, FM FM2 FM3 FM4 FM5 FM6 FM Definir as seguintes fórmulas: FM = B2+$I$*C2/4 FM2 = 3-4*B2+ 2*D2 - F2 FM3 = D2+$I$*E2/(-4) FM4 = -2 - B3 + 4*D2 - F2 FM5 = F2+$I$*G2/4 FM6 = 7 - B3 2*D3-4*F2 FM7 = SE((C3>0,0) E (E3>0,0) E (G3>0,0); convergiu ; não ) Selecionar e ester as coluna A e a linha 3, colunas B a H, do mesmo modo anterior. José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 26/30

27 2.8. Problemas de Autovalor Seja o sistema de equações lineares: A X = B Se det A 0 Ele admite solução única Se: det A = 0 Ele pode não admitir solução Ele pode admitir um número infinito de soluções Ele pode admitir ao menos a solução trivial, X = 0, se o sistema for homogêneo, A X= 0 Para sistemas homogêneos, com det A = 0, só existe a solução trivial se os coeficientes a ij forem fixos. Se alguns destes coeficientes for função de uma variável, tal como lambda (λ), existem outras soluções diferentes da trivial. Neste caso, a matriz X é chamada de autovetor e os valores de lambda são chamados de autovalores do sistema de equações lineares. Exemplo K M K M x O sistema da figura acima é constituído de duas massas e duas molas idênticas. As equações diferenciais que descrevem o seu estado (posições das massas) são obtidas a partir do balanço de forças em cada massa do sistema. Do seguinte modo, M d 2 d t 2 = K K =K 2 K M d 2 d t 2 = K =K K As solução isoladas dos sistemas massa-mola são: ϖ = freqüência natural ϕ = ângulo de fase X i = amplitude da oscilação da massa i = X sen t x = X cos t x = X 2 sen t = X 2 sen t x 2 = X 2 cos t x 2 = X 2 2 sen t José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 27/30

28 2.8. Problemas de Autovalor (cont.) Substituindo as soluções nas equações diferenciais, temos, 2 X X 2 =0 X X 2 =0 onde, lambda foi definido como, Definição arbitrária = 2 M K Problema de Autovalor Na forma matricial, ou, [ 2 ][ X X 2] =0 A I X =0 Esta é a forma clássica do Problema de Autovalor. Equação característica A equação característica do problema de autovalor é obtida pela condição de múltiplas soluções, não triviais, para o sistema de equações lineares. det A I =0 A solução gera um polinômio da mesma ordem do número de equações do sistema e cujas raízes são os autovalores do sistema de equações lineares homogêneo. Solução Numérica do Exemplo 2 =0 Autovalores Assim, 2 =0 2 3 =0 =2,680 2 =0,3820 José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 28/30

29 2.8. Problemas de Autovalor (cont.) Para calcular os autovetores, usamos cada um dos autovalores, Para λ = 2,680 [ 0,680,680][ X X 2] =0 X 2 = 0,680 X Para λ 2 = 0,3820 [,680 0,680][ X X 2] =0 X 2 =,680 X Considerando X =, temos, Autovetores X = e X 2 = -0,680 para λ X = e X 2 =,680 para λ 2 Significado físico Para λ as massas estão se movo em direções opostas e a amplitude da oscilação da segunda massa é 6,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por: = K M Para λ 2 as massas estão se movo na mesma direção e a amplitude da oscilação da segunda massa é 6,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por: = 2 K 2 M José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 29/30

30 Métodos de solução O problema é achar os autovalores quando o polinômio gerado é de elevado grau, por exemplo, de ordem 300. Ou seja, possui 300 raízes. A solução do problema de achar os autovalores pode ser feita através dos seguintes métodos: Diretos solução pela definição ou usando uma modificação da equação característica; Indiretos solução iterativa ou outro método de busca de raízes, tais como, Método da potência Método do inverso da potência Método do deslocamento de autovalores. Solução do problema de autovalor em programas simbólicos Matlab eig(a,x) Scilab [erots,x] = spec(a) Obs Existem problemas de autovalor que não são lineares: [ A B ] X =0 det [ A B ]=0 José Eduardo Mautone Barros 26/0/2 30/30