Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Transcrição

1 1

2 Programação Linear (PL) Aula 5: O Método Simplex. 2

3 Algoritmo. O que é um algoritmo? Qualquer procedimento iterativo e finito de solução é um algoritmo. Um algoritmo é um processo que se repete (itera) sucessivas vezes um procedimento sistemático até obter um resultado. Além disso, também inclui um procedimento para iniciar e um critério para terminar. 3

4 Estrutura de um algoritmo. Início Passo Iterativo Não Verifica o critério de paragem? Sim FIM 4

5 Método Simplex. O que é o método Simplex? O método Simplex é um algoritmo que permite resolver problemas de Programação Linear. A ideia básica do método Simplex consiste em resolver repetidas vezes um sistema de equações lineares para obter uma sucessão de SBA, cada uma "melhor" do que a anterior, até se chegar a uma SBA óptima. 5

6 Método Simplex: Ideia Básica. Cada nova SBA é obtida a partir da anterior, substituindo uma variável básica por uma variável não básica: a variável não básica que entra é substituída pela variável básica que sai. 6

7 Soluções Básicas Adjacentes. Duas soluções básicas que apenas diferem numa variável básica designam-se por soluções básicas adjacentes. Uma SBA é óptima quando nenhuma das SBA adjacentes é melhor, i.e., nenhuma melhora o valor da função objectivo. 7

8 Algoritmo Primal Simplex: Fluxograma Identificar uma SBA inicial Existe alguma SBA adjacente que seja melhor? Sim Mover-se para uma SBA "melhor" Não FIM!!! a solução é óptima 8

9 INÍCIO Forma Padrão Faculdade de Engenharia Optimização Identificar uma SBA inicial. Construir o quadro Simplex correspondente Calcular os custos reduzidos A solução é óptima? critério de optimalidade Não Identificar a variável não básica que entra critério de entrada Sim FIM Solução óptima!!! Óptimo não finito? critério de óptimo não finito Não Identificar a variável básica que sai critério de saída Sim FIM O problema não tem óptimo finito Calcular nova SBA Actualizar o quadro Simplex 9

10 Inicialização: Redução à Forma Padrão. Exemplo Protótipo. 1ª Restrição de desigualdade x 1 4 Variável de folga x 3 Restrição de igualdade x 1 + x 3 = 4 2ª 2 x 2 12 x 4 2 x 2 + x 4 = 12 3ª 3 x x 2 18 x 5 3 x x 2 + x 5 = 18 1

11 Inicialização: Redução à Forma Padrão. Forma Canónica Forma Padrão Maximizar Z= 3 x x 2 sujeito a x x x x 2 18 x 1, x 2 Maximizar Z= 3 x x 2 sujeito a x 1 + x 3 = 4 2 x 2 3 x x 2 + x 4 = 12 + x 5 = 18 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 11

12 Exemplo: Passo 1 Passo 1: Determinar uma SBA inicial X. Construir o quadro Simplex correspondente. B P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P o resolvendo BX B =b P 3 P 4 P X x 3 x 4 x 5 = P variáveis básicas x 3, x 4, x 5 variáveis não básicas x 1, x 2 O ponto extremo A=(,) corresponde à SBA inicial X =(,,4,12,18) 12

13 Matriz A & Quadro Simplex. Matriz A do problema de PL Quadro Simplex A= B N P 1 P m P m+1 P n a a 1m a 1m+1 a 21 a 2m a 2m+1... a m1... a mm a mm+1 a mn a 1n a 2n x B -1 B -1 B= I x 1 x m x m+1 x n x x 1m x 1m+1 x 1n x 21 x 2m x 2m+1 x 2n.... x m1... x mm B -1 N x mm+1 x mn As colunas do quadro do simplex correspondentes ás variáveis de decisão {x 1,,, x m, x m+1, x n } correspondem aos vectores P j da matriz original multiplicados pela inversa da base B 13

14 Custos reduzidos Como calcular os custos reduzidos c j -z j? c j coeficientes da f.o. c j -z j, j=1,2, n x ij componente i da coluna j do quadro simplex c i coeficientes das variáveis básicas na f.o. m z j ci xij, j 1, 2,...,n i 1 14

15 Exemplo: 1º quadro, passo 1. Início: Construção do 1º QUADRO. coeficientes das variáveis na f.o. coeficientes das variáveis básicas na f.o. z 1 = x 1 + x + x 3 z 2 = x + x 2 + x 2 custos reduzidos (no caso de minimização z j -c j ) c j x 3 x 4 x C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z j c j -z j b valores das variáveis básicas valor da f.o. os custos reduzidos das variáveis básicas são sempre nulos 15

16 Passo 2: Critério de optimalidade: Existe algum custo reduzido positivo? Se sim, o processo continua; Se não, o processo termina, a SBA é uma solução óptima Existe algum c j -z j >? Não FIM a solução é óptima!!! Sim Passar ao passo seguinte 16

17 Exemplo: 1º quadro, passo 2 Passo 2: Critério de optimalidade: Existe algum custo reduzido positivo? Calcular os c j -z j c j - z j 3 5 Existe algum c j -z j >? Sim Passar ao passo seguinte 3 >, 5 >? Sim Passar ao passo seguinte 17

18 Passo 3: Determinar a variável não básica que entra. Critério de entrada: coluna pivot. max { c j - z j c j - z j > } =c r - z r j x 1 x r x m x x 1r x 1n x 21 x 2r x 2n... x m1... x mr x mn Existe algum x ir >? Sim Passar ao passo seguinte Não FIM o problema não tem óptimo finito 18

19 Exemplo: 1º quadro, passo 3 Passo 3: Determinar a variável não básica que entra. a variável que entra: x 2 c j 3 5 coluna pivotal Procura-se melhorar (ou pelo menos não piorar) o valor da f.o. na próxima SBA C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x b max { c j - z j c j - z j > } =5 z j c j -z j

20 Passo 4: Determinar a variável básica que sai. 1º. Seleccionar os coeficientes x i r > 2º. Dividir cada coeficiente x i da coluna dos termos independentes pelo coeficiente x i r > da coluna pivotal r. 3º. Seleccionar a linha s onde se alcance o menor dos quocientes (regra do menor quociente): x 1 x r x x 1r x 21 x 2r..... coluna pivotal. x m x 1n x 2r _ b x 1 x 2 i min xir i xir Procura-se manter a admissibilidade na próxima solução básica x x x s sr x m1... x mr x mn x m 2

21 Coluna e linha pivotal. Elemento Pivot. A coluna r onde se verifica o maior custo reduzido max { c j - z j c j - z j > } =c r - z r > j designa-se por coluna pivotal A linha s onde se verifica o mínimo dos quocientes x i min i xir xs xir xsr designa-se por linha pivotal. O elemento x sr onde se intersectam a linha pivot s e a coluna pivot r designa-se por pivot. 21

22 Algoritmo Primal Simplex: Exemplo: 1º quadro, passo 4 Passo 4: Determinar a variável básica que sai. linha pivotal: i =2 a variável que sai: x 4 pivot c j x 3 x 4 x C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z j b coluna pivotal: j = mínimo 12/2= 6 18/2= 9 c j -z j 3 5 máximo 22

23 Passo 5: 1º. Calcular nova SBA. 1ª A variável não básica que entra x r 2ª A variável básica que sai x s SBA: ( x 1, x 2,x s,..,x m,,.., ) x r entra x s sai nova SBA: ( x 1, x 2,x r,..,x m,,..., ) 23

24 Passo 5: 2º. Construir um novo quadro simplex aplicando o Método de redução Gauss-Jordan. Reduzir a 1 o número pivot. para isto é preciso dividir toda a linha pivotal pelo pivot. linha pivotal Nova linha pivotal pivot Reduzir a as outras componentes da coluna pivotal. para isto, é preciso calcular todas a linhas (excepto a linha pivotal), pela seguinte fórmula: nova linha = linha (componente da coluna pivotal x nova linha pivotal ) 24

25 Passo 5: Calcular a nova SBA X 1. Faculdade de Engenharia Optimização Exemplo: 1º quadro, passo 5 1ª A variável não básica que entra x 2 2ª A variável básica que sai x 4 SBA X B =( x 3, x 4, x 5 ) x 2 entra x 4 sai SBA X 1 B =( x 3, x 2, x 5 ) 25

26 Linha 1: NÃO MUDA o coeficiente na coluna pivot é igual a. Linha Pivotal: Nova linha 2= Linha 2 / pivot Nova linha 3= linha 3 - ( 2 x nova linha pivotal) (2) 1 1/ Faculdade de Engenharia Optimização Passo 5: construir o 2º quadro. c j 3 5 C B X B x 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x x z j c j -z j 3 5 x x x A SBA X 1 =(, 6, 4,, 6 ) b 26

27 Exemplo: 2º quadro. c j 3 5 C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b z 1 = x x + x 3 z 2 = x + 5 x 1 + x 5 x 3 x 2 x 5 z j c j -z j

28 Exemplo: 2º quadro, passo 2. Passo 2: Critério de optimalidade: Existe algum custo reduzido positivo? Calcular os c j -z j Existe algum c j -z j >? 3 > Sim Passar ao passo seguinte 28

29 Exemplo: 2º quadro, passo 3. Passo 3: Determinar a variável não básica que entra. a variável que entra: x 1 coluna pivotal 5 max { c j - z j c j - z j > } =3 c j x 3 x 2 x C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z j c j -z j b

30 Exemplo: 2º quadro, passo 4. Passo 4: Determinar a variável básica que sai. coluna pivotal: j =1 a variável que sai: x 5 linha pivotal: i =3 pivot 5 c j x 3 x 2 x C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z j c j -z j máximo b /1= 4 6/3= 2 mínimo (menor quociente) 3

31 Exemplo: 2º quadro, passo 5. Passo 5: Calcular a nova SBA X 2. 1ª A variável não básica que entra x 1 2ª A variável básica que sai x 5 SBA X 1 B =( x 3, x 2, x 5 ) x 1 entra x 5 sai SBA X 2 B =( x 3, x 2, x 1 ) 31

32 Passo 5: construir o 3º quadro. Linha Pivotal: Nova linha 3= Linha 3 / pivot linha 2: NÃO MUDA o coeficiente na coluna pivotal é igual a. Nova linha 1= linha 1 - (1 x nova linha pivotal) (1) 1-1/3 1/ /3-1/3 2 C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x 3 x c j x 5 z j c j -z j x 3 x 2 x

33 Exemplo: 3º quadro. todos os custos reduzidos são não positivos, logo a solução é óptima c j X B 3 5 C B x 1 x 2 x 3 x 4 x x 3 x 2 z j c j -z j x b 2 36 A SBA X 2 = (2, 6, 2,, ) é a solução óptima 33

34 Exemplo: 3º quadro, passo 2. Passo 2: Critério de optimalidade: Existe algum custo reduzido positivo? Calcular os c j -z j Existe algum c j -z j >? Não FIM!!! a SBA X 2 = ( 2,6, 2,, ) é óptima!!! 34

35 Conclusões O Algoritmo Primal Simplex envolve os seguintes elementos: uma SBA como ponto de partida ; um mecanismo que determina a passagem para uma nova SBA "melhor" do que a anterior; critérios de paragem que indicam quando se está perante uma solução óptima (finita) ou perante a inexistência de óptimo finito (o valor da f.o. cresce indefinidamente). 35