Resolução dos Exercícios 8 e 10 da lista 7.

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Sérgio Minho Angelim
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1 Resolução dos Exercícios 8 e 10 da lista 7. 8) Seja T : R 3 R 3 a transformação linear tal que T (e 3 ) = 3e 1 + e 2 2e 3, T (e 2 + e 3 ) = e 1, T (e 1 + e 2 + e 3 ) = e 2 + e 3, a) Calcule T (2e 1 e 2 + 3e 3 ). Resolução 1 da alínea a). Esta alínea pode ser resolvida pela fórmula de mudança da matriz de uma transformação linear por mudança de base (como faremos na resolução 2), mas pode também ser resolvida de forma um pouco mais simples. Encontremos primeiro as imagens por T dos vectores e 1 e e 2 da base canónica (já conhecemos T (e 3 )). Uma vez que, usando a linearidade de T, obtemos, e 2 = e 2 + e 3 e 3, T (e 2 ) = T (e 2 + e 3 e 3 ) = T (e 2 + e 3 ) T (e 3 ) = = e 1 (3e 1 + e 2 2e 3 ) = 2e 1 e 2 + 2e 3. (1) Temos também que e 1 = e 1 + e 2 + e 3 (e 2 + e 3 ) e portanto T (e 1 ) = T (e 1 + e 2 + e 3 (e 2 + e 3 )) = = T (e 1 + e 2 + e 3 ) T (e 2 + e 3 ) = e 2 + e 3 e 1 = e 1 + e 2 + e 3. (2) De (1) e (2) e da expressão para T (e 3 ) que é dada podemos obter a imagem de qualquer vector, (x, y, z) = xe 1 + ye 2 + ze 3, usando linearidade. A imagem do vector que é pedida T (2e 1 e 2 + 3e 3 ) é T (2e 1 e 2 + 3e 3 ) = 2T (e 1 ) T (e 2 ) + 3T (e 3 ) = Resolução 2 da alínea a). Introduzindo a base = 2 ( e 1 + e 2 + e 3 ) ( 2e 1 e 2 + 2e 3 ) + 3 (3e 1 + e 2 2e 3 ) = = 9e 1 + 6e 2 6e 3. B 1 = (v 1, v 2, v 3 ) = (e 3, e 2 + e 3, e 1 + e 2 + e 3 ) = ((0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)) (mostre que B 1 é base) no domínio de T, vemos que os dados do exercício podem ser escritos na forma T (v 1 ) = 3e 1 + e 2 2e 3 T (v 2 ) = e 1 (3) T (v 3 ) = e 2 + e 3. 1

Esta alínea pode ser resolvida pela fórmula de mudança da matriz de uma transformação linear por mudança de base (como faremos na resolução 2), mas pode também ser resolvida de forma um pouco mais

2 Vemos que (3) é equivalente a dizer que a matriz de T nas bases B 1 do domínio e base canónica B can = (e 1, e 2, e 3 ) no conjunto de chegada é A 1 = (4) Mais conveniente é, no entanto, conhecer a matriz A 2 da transformação quando ambas as bases, no domínio e no conjunto de chegada, são iguais à base canónica. De facto, nessa base, as colunas da matriz são os vectores T (e 1 ), T (e 2 ), T (e 3 ) a partir dos quais podemos obter a imagem de qualquer outro vector (foi o que fizémos na resolução anterior em (1) e (2).) Pela fórmula de mudança de base de uma transformação temos A 2 = R 1 A 1 S, () onde S é a matriz de mudança das bases no domínio e R a matriz de mudança das bases no conjunto de chegada. No domínio A 1 usa a base B 1 e A 2 usa B can pelo que S : B 1 B can. No conjunto de chegada tanto A 1 como A 2 usam a base B can pelo que R : B can B can e portanto R é a matriz identidade, R = I. (6) Voltando a S observemos que conhecemos a sua inversa Q = S 1 : B can B 1, Q = ( ) v 1 v 2 v 3 = Usando a fórmula para a inversa usando a matriz dos cofactores obtemos S = Q 1 = (7) Substituindo (4), (6) e (7) em () obtemos A 2 = = (8) Esta é a matriz de T na base canónica pelo que, como já referimos, as suas colunas são T (e 1 ), T (e 2 ) e T (e 3 ), T (e 1 ) = ( 1, 1, 1) T (e 2 ) = ( 2, 1, 2) (9) T (e 3 ) = (3, 1, 2) (compare com (1), (2) e o valor conhecido de T (e 3 )). Agora, usando linearidade. a imagem do vector que é pedida T (2e 1 e 2 + 3e 3 ) é T (2e 1 e 2 + 3e 3 ) = 2T (e 1 ) T (e 2 ) + 3T (e 3 ) = = 2 ( e 1 + e 2 + e 3 ) ( 2e 1 e 2 + 2e 3 ) + 3 (3e 1 + e 2 2e 3 ) = = 9e 1 + 6e 2 6e 3. 2

De facto, nessa base, as colunas da matriz são os vectores T (e 1 ), T (e 2 ), T (e 3 ) a partir dos quais podemos obter a imagem de qualquer outro vector (foi o que fizémos na resolução anterior em

3 b) Determine a matriz que representa T. Resolução (nota: Se usou a resolução 2 da alínea anterior a matriz pedida A coincide com a matriz de T na base canónica i.e. A = A 2.) A matriz que representa T, i.e. a matriz A tal que T (x, y, z) = A tem como primeira coluna T (e 1 ) = e 1 + e 2 + e 3 = ( 1, 1, 1), segunda coluna, T (e 2 ) = ( 2, 1, 2) e terceira coluna, T (e 3 ) = (3, 1, 2), i.e A = c) Determine bases ordenadas (v 1, v 2, v 3 ) e (w 1, w 2, w 3 ) de modo que a matriz que representa T em relação a este par de bases de R 3 seja a matriz identidade. Resolução Da formulação do exercício vemos que escolhendo B 1 = (v 1, v 2, v 3 ) = (e 3, e 2 + e 3, e 1 + e 2 + e 3 ) (estes três vectores são linearmente independentes porque mostrámos que os vectores da base canónica podem ser obtidos como combinações lineares deles) e B 2 = (w 1, w 2, w 3 ) = (3e 1 + e 2 2e 3, e 1, e 2 + e 3 ) (supondo que são linearmente independentes o que iremos mostrar a seguir) temos que x y z, T (v 1 ) = w 1 = 1w 1 + 0w 2 + 0w 3 T (v 2 ) = w 2 = 0w 1 + 1w 2 + 0w 3 T (v 3 ) = w 3 = 0w 1 + 0w 2 + 1w 3. Assim, a matriz de T nas bases B 1 e B 2, é a matriz identidade Ã = Falta mostrar que os vectores (w 1, w 2, w 3 ) são linearmente independentes. A matriz P que os tem como colunas, P = 1 0 1, tem det(p ) = 1(1 + 2) = 3 0, pelo que tem característica 3 e, consequentemente, as suas colunas são linearmente independentes. (nota: Calcular o determinante serve para estudar a independência linear das colunas e das linhas só de matrizes quadradas. O MEG pode ser aplicado a todas as matrizes.) 10) (Nota: neste exercício P n = P n (R).) Seja D : P 3 P 2 a transformação linear que a cada polinómio p faz corresponder a sua derivada D(p) = p. a) Mostre que B = (1 + x, 1 x, 1 + x + x 2, x 3 ) é uma base ordenada de P 3 e obtenha a matriz de mudança de base em relação à base canónica. 3

e. 1 2 3 A = 1 1 1. 1 2 2 c) Determine bases ordenadas (v 1, v 2, v 3 ) e (w 1, w 2, w 3 ) de modo que a matriz que representa T em relação a este par de bases de R 3 seja a matriz identidade.

4 Resolução. Do isomorfismo P 3 = R 4, concluímos que B é uma base de P 3 se e só se B = ((1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)) é uma base de R 4. Aplicamos o método de eliminação de Gauss (MEG) à matriz que tem estes vectores como colunas S = Obtemos quatro pivots pelo que S é não singular (i.e. é invertível) e B e B são bases ordenadas de R 4 e P 3, respectivamente. S é também a matriz de mudança da base canónica de R 4 para B, que, por sua vez, é igual à matriz de mudança da base canónica de P 3, B can = (1, x, x 2, x 3 ), para a base B = (1 + x, 1 x, 1 + x + x 2, x 3 ). b) Mostre que B = (1 + x x 2, 1 2x, 2x + x 2 ) é uma base ordenada de P 2 e obtenha a matriz de mudança de base em relação à base canónica. Resolução. A resolução é análoga à resolução da alínea anterior. Do isomorfismo P 2 = R 3, concluímos que B é uma base de P 2 se e só se B = ((1, 1, 1), (1, 2, 0), (0, 2, 1)) é uma base de R 3. Aplicamos MEG à matriz que tem estes vectores como colunas R = Obtemos três pivots pelo que R é não singular e B e B são bases ordenadas de R 3 e P 2, respectivamente. R é também a matriz de mudança da base canónica de R 3 para B, que, por sua vez, é igual à matriz de mudança da base canónica de P 2, B can = (1, x, x 2 ), para a base B = (1 + x x 2, 1 2x, 2x + x 2 ). c) Calcule a matriz de D: (i) em relação às bases canónicas de P 3 e P 2 ; Resolução. As colunas da matriz A 1 da transformação linear D nas bases canónicas são obtidas de: pelo que (ii) em relação às bases B e B ; D(1) = 0 D(x) = 1 + 0x + 0x 2 D(x 2 ) = 2x = x + 0 x 2 D(x 3 ) = 3x 2 = x + 3x 2 A 1 = 4

S é também a matriz de mudança da base canónica de R 4 para B, que, por sua vez, é igual à matriz de mudança da base canónica de P 3, B can = (1, x, x 2, x 3 ), para a base B = (1 + x, 1 x, 1 + x + x

5 Resolução. Uma vez que, no domínio da transfomação linear, mudámos (em relação ao ponto anterior, c)(i)) da base canónica, B can, para a base B, com matriz de mudança de base S e, no conjunto de chegada, mudámos da base canónica, B can, para a base B, com matriz de mudança de base R, temos, pela fórmula para a mudança da matriz de uma transformação linear, por mudança de bases, A 2 = R 1 A 1 S, onde A 1 foi obtida no ponto anterior. Calculando R 1 (por exemplo pela fórmula dos cofactores) obtemos R 1 = Então, A 2 = 1 = 1 = = = (iii) em relação à base canónica de P 3 e à base B ; Resolução. Comparando novamente com o ponto c)(i), vemos que, neste caso, mudamos só a base no conjunto de chegada, B can B, pelo que a fórmula para a mudança da matriz de uma transformação linear, por mudança de bases, toma a forma A 3 = R 1 A 1 I = R 1 A 1. Então, A 3 = 1 = = (iv) em relação a B e à base canónica de P 2. Resolução. Comparando de novo com o ponto c)(i), vemos que, neste caso, mudamos só a base no domínio, B can B, pelo que a fórmula para a mudança da matriz de uma transformação linear, por mudança de bases, toma a forma A 4 = I 1 A 1 S = A 1 S.

mudámos da base canónica, B can, para a base B, com matriz de mudança de base R, temos, pela fórmula para a mudança da matriz de uma transformação linear, por mudança de bases, A 2 = R 1 A 1 S, onde

6 Então, A 4 = = = 6

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