M : ( ( é um LVRPRUILVPR M -1 : ( ( também é um LVRPRUILVPR.

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1 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV47 Å (VSDoRV,VRPRUIRV Sejam ( e ( dois espaços vectoriais sobre. Dizemos que ( e ( são LVRPRUIRV se H[LVWLUXPLVRPRUILVPR M : ( ( e escrevemos, (! ( Por eemplo, o espaço dos vectores livres no plano é LVRPRUIR a 2, porque podemos estabelecer um LVRPRUILVPR que, à etremidade de cada vector, faz corresponder as respectivas coordenadas [\ ± 2. 3URSULHGDGH: Sejam ( e ( dois espaços vectoriais sobre, se então M : ( ( é um LVRPRUILVPR M -1 : ( ( também é um LVRPRUILVPR. 3URSRVLomR: Sejam (, ( e ( WUrVHVSDoRVYHFWRULDLV sobre, D (! ( E se (! ( então (! ( F se (! ( e (! ( então (! ( ou seja, o LVRPRUILVPR é uma UHODomRGHHTXLYDOrQFLD.

2 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV48 'HPRQVWUDomR: D (! ( A DSOLFDomRLGHQWLGDGH LG ( : ( ( que a todo o X ± ( faz corresponder LG ( X X é uma aplicação linear, injectiva e sobrejectiva, logo um LVRPRUILVPR. E se (! ( então (! ( Se eiste um isomorfismo M : ( ( então, pela propriedade anterior, a DSOLFDomRLQYHUVD M -1 : ( ( WDPEpPpXPLVRPRUILVPR. F se (! ( e (! ( então (! ( Se eiste um isomorfismo M : ( ( e um isomorfismo \ : ( ( então, a DSOLFDomRFRPSRVWD \ Ì M : ( ( é uma aplicação linear, injectiva e sobrejectiva, logo um LVRPRUILVPR. 3URSRVLomR: Sendo ( e ( HVSDoRVYHFWRULDLVGHGLPHQVmRILQLWD sobre, então, (! ( GLP( GLP(. Este resultado tem consequências práticas particularmente importantes, pois mostra que todos os espaços vectoriais FRPDPHVPDGLPHQVmRILQLWD são LVRPRUIRV.

3 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV49 3URSRVLomR: Seja ( umhvsdoryhfwruldo sobre tal que GLP ( Q, então, (! Q Por eemplo os HVSDoRVYHFWRULDLV 0 l ( ) e 6 VmRLVRPRUIRV, pois têm GLPHQVmRILQLWD e, GLP0 l ( ) GLP 6 Podemos confirmar este resultado estabelecendo uma aplicação, I : 0 l ( ) 6 e provar que se trata de um LVRPRUILVPR. Por eemplo a aplicação, Para provar que é LQMHFWLYD, calculemos o Q~FOHR da aplicação,

4 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV50 Assim, como o Q~FOHR de I é apenas o YHFWRUQXOR de 0 l ( ), podemos concluir que é um PRQRPRUILVPR e, tendo os dois espaços D PHVPDGLPHQVmR, podemos também concluir que é um HSLPRUILVPR. Falta apenas SURYDU que I é mesmo XPDDSOLFDomROLQHDU... Por eemplo os HVSDoRVYHFWRULDLV 3 Q [[] e n+1 VmRLVRPRUIRV, pois têm GLPHQVmRILQLWD e, GLP3 Q [[] Q GLP n+1 Efectivamente a aplicação, M : 3 Q [[] n+1 D Q [ Q D [D D Q D D éum LVRPRUILVPR de 3 Q [[] em n+1. Mostre que os HVSDoRVYHFWRULDLV 3 [[] e 0 l ( ) VmRLVRPRUIRV, estabelecendo uma aplicação entre eles e provando que é um LVRPRUILVPR.

5 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV51 Å 0DWUL] GH XPD $SOLFDomR /LQHDU Nesta secção, todos os espaços vectoriais considerados têm GLPHQVmRILQLWD. Sejam ( e ( espaços vectoriais sobre tais que GLP( Q e GLP( S, sejam ) H H H Q uma EDVHRUGHQDGD de ( ) H H H S uma EDVHRUGHQDGD de ( e seja M : ( ( uma DSOLFDomROLQHDU. A PDWUL]GDDSOLFDomROLQHDU M HPUHODomRjVEDVHV ) e ) é uma matriz do tipo S Q, representada por 0M ) ) e definida por, onde FDGDFROXQD L Q é formada pelas FRRUGHQDGDV de MH L na base ), ou seja,

6 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV52 Por eemplo para a DSOLFDomROLQHDU M : 2 3 definida por, M[\ [[±\\, para todo o[\ 2 consideremos as EDVHVFDQyQLFDV, ) 2 ) 3 e calculemos a respectiva PDWUL] 0M ) 2 ) 3. Determinando as FRRUGHQDGDVGDVLPDJHQV dos vectores da base ) 2 na base ) 3, M ) 3 M ± ± ± ) 3 e portanto,

7 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV53 Para a mesma DSOLFDomROLQHDU M : 2 3 definida por, M[\ [[±\\, para todo o[\ 2 consideremos agora as EDVHV, ) ± de 2 ) de 3 e calculemos a respectiva PDWUL] 0M ) ). Determinando as FRRUGHQDGDVGDVLPDJHQV dos vectores de ) em ), M ± ± ) M± ±± ± ± ) e portanto,

8 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV54 Por eemplo para a DSOLFDomROLQHDU I : 3 2 definida por, IDEF DE±F, para todo odef 3 em relação às EDVHV, ) ± de 3 ) de 2 calculemos a respectiva 0I ) ), PDWUL] GDDSOLFDomROLQHDU I HP UHODomRjVEDVHV ) e ) Determinando as FRRUGHQDGDVGDVLPDJHQV por I, dos vectores de ) em ), I ± ± ± ) I ± ± ± ) I± ± ) e portanto,

9 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV55 Por eemplo para a DSOLFDomROLQHDU \ : 3 [[] 3 definida por, \D[ E[F EE±DD para todo o D[ E[F± 3 [[]. em relação às EDVHV, ) 3 [[] [[ base canónica de 3 [[] ) de 3 calculemos a respectiva 0\ ) 3 [[] ), PDWUL] GD DSOLFDomROLQHDU \ HP UHODomRjVEDVHV ) 3 [[] e ) Determinando as FRRUGHQDGDVGDVLPDJHQV por \, dos polinómios de ) 3 [[] na base ), \ ) \[ ± ± ) \[ ± ±± ±± )

10 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV56 e portanto, Dada a DSOLFDomROLQHDU T : 3 [[] 3 [[] definida por, TD[ E[F D±E[F para todo o D[ E[F± 3 [[]. eas EDVHV, ) [[ ± de 3 [[] ) [±[ de 3 [[] calcule a respectiva 0T ) ), PDWUL] GD DSOLFDomROLQHDU T HP UHODomRjVEDVHV ) e ) Sendo dadas uma DSOLFDomROLQHDU M : ( ( e GXDVEDVHV (uma de cada espaço vectorial) sabemos como construir XPD~QLFDPDWUL], que FDUDFWHUL]DHVVDDSOLFDomR. Deste modo, D DSOLFDomROLQHDUILFDFRPSOHWDPHQWHGHILQLGD se for conhecida apenas a PDWUL] e respectivas EDVHV.

11 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV57 3URSRVLomR: Sejam ( e ( HVSDoRVYHFWRULDLV sobre esejam ) e ) EDVHVRUGHQDGDV de ( ede ( respectivamente. e seja M : ( ( uma DSOLFDomROLQHDU tal que, $ 0M ) ) Se as FRRUGHQDGDVGHXPTXDOTXHUYHFWRU X ± (, relativamente à base ) formarem a PDWUL]FROXQD ;, então a PDWUL]FROXQDSURGXWR $ ; é formada pelas FRRUGHQDGDVGH MX± ( relativamente à base ). Retomemos o eemplo da página 54. Mas desta vez a DSOLFDomROLQHDU M : 3 2 é GHILQLGDSHODPDWUL], HP UHODomRjVEDVHV, ) ± de 3 ) de 2 Pretendemos determinar MX, a LPDJHPGRYHFWRU X ±±. Comecemos por calcular as FRRUGHQDGDVGRYHFWRUQDEDVH ). ±± DEF±

12 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV58 ou seja, D (... ) D DE ± E ± DE±F ± F ± e assim, ±± ±±± ±± ) ; 7 Pela proposição anterior, para determinar as coordenadas de MXna base ), basta FDOFXODURSURGXWR $;, Portanto, M±± ± ) Por fim, podemos calcular as coordenadas de MX na EDVHFDQyQLFD de 2, M±± ± ± ) 2

13 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV59 Retomemos o eemplo da página 53, com a DSOLFDomROLQHDU M : 2 3 é GHILQLGDSHODPDWUL], HPUHODomRjVEDVHV, ) ± de 2 ) de 3 Determinemos M e também a H[SUHVVmRJHUDO de M[\, SDUDWRGR o[\ 2 Calculando as FRRUGHQDGDVGRYHFWRU QD EDVH ). DE± ou seja, D ±E (... ) D DE E ± e assim, ± ) ; 7 o que nos permite determinar as coordenadas de Mna base ), FDOFXODQGRRSURGXWR $;,

14 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV60 e portanto, M ) ) 3 Para encontrar a H[SUHVVmRJHUDO de M[\, SDUDWRGR o[\ 2 o método é análogo. Começamos por, calcular as FRRUGHQDGDVGRYHFWRUDUELWUiULR[\ QD EDVH ). [\ DE± ou seja, D ±E [ (... ) D \[ DE \ E \±[ e assim, [\ \[\±[ ) ; 7 Para determinar as coordenadas de M[\na base ), EDVWDFDOFXODURSURGXWR $;, Portanto, M[\ \[±\[\ ) que na EDVHFDQyQLFD de 3, \[±\[\ [[±\\ ) 3

15 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV61 Está assim encontrada a H[SUHVVmRJHUDO, M[\ [[±\\ SDUDWRGR o[\ 2 &RPRDOWHUQDWLYD, partido das FRRUGHQDGDVGH[\ QD EDVH ), [\ \[\±[ ) e conhecendo a EDVH ) ±, podemos escrever, [\ \[\±[± e, como M é uma DSOLFDomROLQHDU, M[\ \[M\±[M± Para calcular Me M±, recorremos à própria definição da PDWUL] 0M ) ). M ± M± ± ±± Portanto, M[\ \[\±[±± [[±\\

16 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV62 Å,VRPRUILVPR HQWUH 4( ( H 0 SlQ Sejam ( e ( espaços vectoriais sobre tais que GLP ( Q e GLP ( S. 4(( o conjunto das DSOLFDo}HVOLQHDUHV de ( em ( 0 SlQ ( ) o conjunto das PDWUL]HV do tipo S Q com elementos de Sabemos que, 4(( munido das operações usuais de adição de aplicações e multiplicação por um escalar, é um HVSDoRYHFWRULDO sobre 0 SlQ ( ) munido das operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por um escalar, é um HVSDoRYHFWRULDO sobre Já vimos que, a partir da epressão geral de uma aplicação linear podemos construir a respectiva matriz, bem como obter a aplicação linear a partir da matriz. O resultado seguinte garante-nos que, 4((! 0 SlQ ( ) 3URSRVLomR: Sejam ( e ( HVSDoRVYHFWRULDLV sobre tais que GLP ( Q e GLP ( S sejam ) e ) EDVHVRUGHQDGDV de ( ede ( respectivamente e seja T : 4(( 0 SlQ ( ) M TM 0M ) ) Prova-se que T p XPLVRPRUILVPR.

17 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV63 Å ([HPSORV GH DSOLFDo}HV OLQHDUHV HP ¹ Comecemos por considerar o TXDGUDGRXQLWiULR, delimitado por, ± 2 Consideremos também uma DSOLFDomROLQHDU M : 2 2 definida por uma matriz $ 0M ) 2 ) 2, Calculando as LPDJHQV por M dos quatro pontos que delimitam o quadrado unitário, obtemos um quadrilátero, delimitado por, M M DF M EG M DEFG

18 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV64 Tratando-se de uma DSOLFDomROLQHDU obviamente que M. As duas imagens, M DF M EG são as coordenadas das LPDJHQVGRVHOHPHQWRVGDEDVHFDQyQLFD de 2, portanto as GXDVFROXQDV da matriz $. O cálculo da imagem M DEFG equivale à VRPD, DFEG DEFG A LPDJHPSRU M do TXDGUDGRXQLWiULR é portanto um SDUDOHORJUDPR, Calculando o GHWHUPLQDQWH da matriz $ que caracteriza a DSOLFDomROLQHDU, não é difícil verificar que _$_ DG±EFé a iuhdgrsdudohorjudpr.

19 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV65 Analisemos alguns casos particulares de transformações lineares em 2, com diversas aplicações práticas. A URWDomRSRUXPkQJXOR T, no sentido directo é definida pela matriz, Por eemplo, para T S, M ¹ ¹ M ±¹ ¹ M ¹ Naturalmente que a iuhd do quadrado não se altera pois, Para alterar a área do quadrado, utilizamos a matriz de DPSOLDomRUHGXomR por um IDFWRU N, sendo a iuhd resultante dada por _$_ N.

20 &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV66 A matriz de FRPSUHVVmR por um factor N é definida por, Por eemplo para N, M M M o quadrado unitário é comprimido numa das direcções, mantendo a área. A matriz de FLVDOKDPHQWRpor um factor N é definida por, Verifique que, M M N M N Por eemplo para N, e muitas mais...