Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos"

Transcrição

1 Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne pelo consumidor, por eemplo, pode depender do seu preço atual no mercado. A quantidade de ar poluído, numa área metropolitana, depende do número de veículos pender da safra. Essas relações são matematicamente representadas por funções. Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação em que a cada elemento de A, se associa um único elemento de B, e é indicada por f : A B. A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação epressa na forma f (). Essa regra diz, que o elemento A pendente, está relacionado de modo único ao elemento f () B, A e indicamos A Dom( f ) e o conjunto B, de contradomínio. O conjunto imagem, indicado como Im( f ) é o conjunto dos elementos de B aos quais foram associados elementos de A, isto é, Im( f ) { B f () para algum A}. O número B, f () recebe o nome de valor da função f no ponto. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos poder entender melhor os problemas relacionados a economia. Este tema será aplicado nas disciplinas de Administração da Produção e Administração de Materiais. A partir deste momento, passaremos a nos preocupar com os aspectos das funções reais de uma variável real. 25

2 Curso de Graduação em Administração a Distância Eemplo 3. A função indicada por f : 0,0 tal que, f () 2, é a relação cujo domínio é 0,0 e contradomínio é o conjunto dos números reais. A regra que associa a todo ponto 0,0 um único número real f () 2. O conjunto imagem é o conjunto dos números reais não negativos. Deste modo, f (0) 0 2, f () 2 2, f (6) , f (0) Eemplo 3.2 Sejam A e f : A 0, tal que f () real f (), isto é, a regra que associa a todo ponto A o número em 0,. Assim, f 2 2 2, 2 3 f , 4 f 0,99 0,99 0,0 00, f 3 3 2, f ,00. Observação Quando o domínio e o contradomínio de uma função estão contidos no conjunto dos números reais, a função é chamada de uma função real de variável real. Duas funções são iguais, somente quando têm os mesmos domínios, contradomínio e regra de associação. 26

3 Eemplo 3.3 As funções f :, f () 2, e g :(, ), g() 2, têm domínios Dom( f ) e Dom(g) (, ). Essas funções são distintas, pois têm domínios diferentes, apesar de terem a mesma regra de associação e o mesmo contradomínio. Os conjuntos imagem de ambas são também distintos: Im( f ) [0, +) e Im(g) =[0, ). Operações com funções Sejam f e g A. Soma das funções A função* A, tal que s() f () g() recebe o nome de função SOMA de f e g. Eemplo 3.4 Se f () 3 e g() 3 2 2, com, então a função s, tal que s() é a soma de f e g. Produto de funções A função p A, tal que p() f ().g() recebe o nome de função produto de f e g. Eemplo 3.5 Se f () 3 e g() 3 2 2, com, então a função p, tal que p() 3.(3 2 2) é o produto de f e g. Divisão de funções Se g() 0 para todo A, a função q A, tal que q() f () é o quociente de f e g. g() Função*: Na Matemática, função ção (com algumas características determinadas) entre membros de dois ou mais conjuntos. Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, e. O objeto do o argumento da função f e o objeto que depende de de pela f. Função: Em Administração, função é o que relaciona determinado componente ao objetivo de um sistema administrativo. Eemplo: função marketing. Eemplo 3.6 Sejam f () 4 e g() 4 2, com. A função q 4, tal que q() é o quociente das funções f e g

4 Curso de Graduação em Administração a Distância f : A B, dada como f (), é o conjunto dos pontos do plano, cujas coordenadas no sistema cartesiano retangular são dadas por (, f ()), onde A. Para isto, construímos um quadro (, f ()), atribuindo a valores convenientes. Eemplo 3.7 Representar graficamente a função f () 3, 0,3. Resolução: Temos o seguinte quadro: = f () = ,5,5 2 2,5 3 Figura 3. Eemplo 3.8 f (),. Resolução: Temos o seguinte quadro: 28

5 = f () = Figura 3.2 Eemplo 3.9 2, se 0 f ()., se 0 Resolução: Tendo 0, f () 2 e para 0, f (), construímos o seguinte quadro

6 Curso de Graduação em Administração a Distância Figura 3.3 Uma função f tal que f () f (), Dom( f ), é chamada de função par. Quando f () f (), Dom( f ), a função é chamada de função ímpar. Eemplo 3.0 A função f :[2, 2], dada pela f () 2 é par, pois f () () 2 2 f (), [2, 2]. A função f () 3, [2, 2], é ímpar. De fato, f () () 3 3 f (). tudo até aqui? Procure então, resolver os eercícios propostos. Observação ção ao eioy (, ) pertence ao (, ) também pertence. Quando uma (, ) o ponto (,) 30

7 Eercícios propostos a) f : 0, 3, f (). b) 5 3, 4,3. c) 2 4, 0,4. d) 2, se < 0., se 0 e) 3, 3. A {, / > 0 } e B, f () 3 e g() 2 3 3) Dadas as funções f () 3 2 3,, e g() 2 5, (0, ) f com g. Agora, vamos estudar alguns tipos de função. estudo sobre funções (e demais tópicos) tratados dúvidas ou não conseguiu resolver os eercícios o material, veja os eemplos mais uma vez, refaça os E busque esclarecimentos junto ao Sistema de 3

8 Curso de Graduação em Administração a Distância Funções elementares A seguir apresentaremos algumas funções elementares. Função constante A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo Eemplo 3..A função f :[0, ), f () 2, é uma função cons- 0, 2 do seu domínio é o seguinte: 2 0 Figura 3.4: NO INTERVALO 0, 2 2 f () a b, a e b são números reais dados. Quandob 0, a função a, e que intercepta os eios coordenados X e Y nos pontos b a,0 e 0, b, respectivamente. Eemplo 3.2, tomando-se a e b, ou seja, f (), no intervalo[, 2], é mostrado a seguir. 32

9 4 2 0,5 0 0,5, Figura 3.5 a b. Precisamos apenas determinar a eb. Função módulo f (), 0, 0 0 Figura 3.6 Função quadrática Sejam a,b e c números reais quaisquer, com a 0. A função f, e dada por f () a 2 b c recebe nome de função quadrática. 33

10 Curso de Graduação em Administração a Distância Eemplo 3.3 (i) f () a ; b 9; c 4. (ii) f () a 5; b 25; c 0. (iii) f () a 2 3 ; b 3 4 ; c 5. Função polinomial É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja, f () a n n a n n... a a 0, a 0,a,...,a n são números reais e n é um número f (). Eemplo 3.4 de grau n. A função quadrática f () a 2 b c, a 0, é uma função polinomial de grau n 2. A função f () é uma função polinomial de grau n 4. Função racional É toda função f, cuja regra de associação é do tipo f () p() q(), onde p() e q() (q() 0 ) são funções polinomiais. Uma função polinômio q(). Eemplo 3.5 Determine o maior domínio possível da função racional f () 2. Resolução: Uma função racional, com esta regra de associação, está, tal que 0. Portanto, o maior domínio possível é o conjunto. 34

11 0 Figura 3.7 Função eponencial e logarítmica Função eponencial de base a Seja a um número positivo e a. A função f : (0, ), dada por f () a a dessas funções, são os seguintes: a. a a > 0 Figura

12 Curso de Graduação em Administração a Distância 0 a. a < a 0 Figura 3.9 O conjunto imagem da função eponencial é o intervalo(0, ). Apresentaremos, a seguir, as propriedades de eponenciação. Propriedades da função eponencial As seguintes propriedades valem para quaisquer a,b,, R com a 0,b 0 : P. a a a. P2. (a b ) (ab). P3. P4. a a a. a b a b. P5. (a ) (a ) a. A função eponencial mais comum em aplicações é a função eponencial de base a e onde e 2, é a constante de Euler, eponencial natural ou, simplesmente, função eponencial. 36

13 Função logaritma Seja a um número positivo ea. A função definida por f () log a 0, recebe o nome de função logarítmico de base a. log a 0 a a > Figura 3.0 log a 0 a 0 <a < Figura 3. Propriedades da função logaritma Para todo, 0, valem as seguintes propriedades. P. Propriedade do produto: log a () = log a log a. P2. Propriedade do quociente: log a = log log. a a P3. Propriedade da potenciação: log a ( ) log a. 37

14 Curso de Graduação em Administração a Distância O logaritmo, na base a e comum indicá-lo como ln. Função composta Dadas as funções f e g, a função composta, denotada por F() f o g F() ( f o g)() f g(). e o domínio de f o g é o conjunto de todos os números no domínio de g, tal que g() esteja no domínio de f. Geralmente, f o g g o f. Eemplo 3.6 Sejam f a função definida por g() 5. Determinar e g por a) F() f o g, e determine o domínio de F. b) G() g o f, e determine o domínio deg. Resolução: a) F() f o g () f g() f O domínio de g é,, e domínio de f é,. Assim sendo o domínio de F é o conjunto dos números reais, para os quais 4 0, ou seja, 4, ainda, 4,. b) G() g o f Como o domínio de f é, domínio de G é,. () gf() g 5.. E o domínio de g é,, o 38

15 Eemplo 3.7 Sejam f f () 2 e g 2 por g() 2 4. Determinar a) F() f o g, e determine o domínio de F. b) G() g o f, e determine o domínio deg. Resolução: a) F() f o g() f g() f O domínio de g é,, e o domínio de f é. 0 Assim sendo, o domínio de F é o conjunto dos números reais, tal que 2. b) G() g o f () gf() g O domínio de g é,, e o domínio de f é. 0 Assim sendo, o domínio de G é 0. Eemplo 3.8 Sejam f f () log e g por g() 5. Determinar a) F() f o g, e determine o domínio de F. b) G() g o f, e determine o domínio deg. Resolução: a) F() f o g () f g() f 5 log 5. O domínio de g é,, e o domínio de f é 0. Assim sendo, o domínio de F é o conjunto dos números reais tal que 5. b) G() g o f () gf() glog log 5. O domínio de g é,, e odomínio de f é 0 Assim sendo, o domínio de G é 0. 39

16 Curso de Graduação em Administração a Distância Funções crescentes e decrescentes Seja I um intervalo qualquer da reta e f I. Sejam e 2 com 2 dois pontos quaisquer de I. Dizemos que f é uma função crescente em I, quando f ( ) f ( 2 ), ou seja, à medida que aumenta o valor de, dentro do intervalo I, as imagens correspondentes também aumentam. Analogamente, dizemos que f é uma função decrescente em I quando f ( ) f ( 2 ), ou seja, à medida que aumenta o valor de, dentro do intervalo I, as imagens correspondentes vão diminuindo. A f( 2 ) f f( ) f f( ) f( 2 ) função crescente < 2 e f( ) <f( 2 ) função decrescente < 2 e f( ) >f( 2 ) Figura 3.2 Eemplo 3.9 f () a, a é uma função crescente para qualquer número real f () log a, 0 e 0 a é uma função decrescente para todo 0. 40

17 Função inversa Uma função f : A B é inversível quando a relação inversa da f também é uma função. Nesse caso, diz-se que a f tem função inversa f : B A. Dada uma função f : A B, f (), a relação inversa da f e indicaremos por f (). Propriedades da função inversa Seja f uma função inversível e f a sua inversa. Então, temos as seguintes propriedades: P. Dom( f ) Im( f ) ; P2. Im( f ) Dom( f ) ; P3. Seja f : A B uma função inversível. A função g : B A é função inversa da f, quando para todo A e todo B tem-se gf() e f g(). P4. f f em relação à reta diagonal (, ) pertence ao f, então o ponto (,) f. Eemplo 3.20 As funções f :[0, ) [0, ), f () 2, e g :[0, ) [0, ), g(), são inversas uma da outra, pois e g( f ()) f () 2, Dom( f ), f (g()) (g()) 2 = 2 =, Dom(g), onde g f. Note que, Dom( f ) Im( f ) e Im( f ) Dom( f ). 4

18 Curso de Graduação em Administração a Distância Regra Prática Dada a regra de associação da f, f (). Para se obter a regra f, procede-se assim: º: A partir de f (), trocamos por e por, obtendo f () ; 2º: Epressamos em função de, transformando algebricamente a epressão f () em f (). Eemplo 3.2 Seja f :, f () 3 5. Determine a função inversa f (). Resolução: Vamos aplicar a regra prática. º: Trocando por e por, vem 3 5 ; 2º: Epressando em função de, vem f (). 3 Portanto, f () 5 é a função inversa de f () Eemplo 3.22 Seja f : f () Determine a função inversa f (). Resolução: Aplicando a regra prática, temos f ()

19 Logo, f (). Portanto, f () é a função inversa de f () Eemplo 3.23 O número de certo produto, demandado numa loja, relaciona-se com o preço unitário p, conforme a função demanda p 2. Determine a função inversa da função demanda p, ou seja, 3 determine o preço em função da quantidade demandada. Resolução: Como p 0 devemos ter ou 0 2. Aplicando a 3 regra prática, temos p p p p 2 3, para 0 7. Portanto, p 2 3 é a função inversa de p 2 3 Eemplo 3.24 Determinar a função inversa da função demanda. p Resolução: Como 0, devemos ter Assim, ou p p , ou seja, p

20 Curso de Graduação em Administração a Distância Aplicando a regra prática, temos p ou, 2 44 p p p p , 0 4. Portanto, p é a função inversa de p Funções trigonométricas A função seno e a função cosseno B (cos, sen ) - 0 A - Figura 3.3: O Círculo Trigonométrico Vamos convencionar o seguinte: o ponto A é a origem dos arcos de um arco é positivo quando 44

21 f :, indicada como f () sen, que associa a cada número real, entendido como o comprimento de um arco AB ª B no eio. 0 Figura 3.4: A função cosseno é a função f : indicada por f () cos, que associa cada número real, entendido aqui também como o comprimento de um arco AB ª B no eio0x Figura 3.5: Sendo o comprimento de um arco AB ª ria, a ordenada e a abcissa de B, sen ecos, são no máimo e, no mínimo,, qualquer que seja, como se constata eaminando-se a Uma função f () 45

22 Curso de Graduação em Administração a Distância algum p, a relação f () f ( p), qualquer que seja Domf. O menor valor de p, para o qual se tem f ( p) f () para qualquer f. As funções seno e cosseno são funções periódicas com período 2, ou seja, sen 2 sen e cos 2 cos As funções sen e cos relações ou identidades trigonométricas: (i) cos 2 sen 2. (ii) sena b sen a cosb cosa sen b. (iii) cosa b cosa cosb sen a sen b. (iv) sen(2a) 2 sen a cosa. (v) cos(2a) cos 2 a sen 2 a. (vi) cos 2 a (vii) sen 2 a Função tangente cos(2a) 2 cos(2a) 2 A função f : A, f () tg tg sen cos, onde A cos 0 A função tangente é periódica. Seu período é Figura 3.6

23 Função secante É a função f : A, indicada por f () sec, onde sec cos e A cos Figura 3.7: A função secante é uma função par e periódica com período 2. Seu conjunto imagem é Im(sec ) (, ] [, ). Função cossecante É a função f : A, onde A é o conjunto dos números reais, tais que sen 0, dada por f () cossec sen 47

24 Curso de Graduação em Administração a Distância Figura 3.8: A função cossec é uma função periódica com período 2. Seu conjunto imagem é o conjunto: Im(cossec ) (, ] [, ) Função cotagente A função f : A, dada por f () cotg cos sen onde A é o conjunto dos números reais, tais que sen 0 função cotangente Figura 3.9: 48

25 A função cotangente é uma função periódica de período e Im(cotg ) Figura 3.20: Observação 3.3 Na literatura eistem as funções trigonométricas inversas, mas nesse trabalho não faremos, estudo destas funções. A seguir, apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de eemplos. Função receita Eemplo 3.25 Um bem é vendido por R$300,00 a unidade. Sendo a quantidade vendida, a receita de vendas será 300. Podemos dizer que R() 300 é uma função que fornece a quantidade vendida à receita correspondente. Eemplo 3.26 Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00. Seja a quantidade vendida. a) obtenha a função receitar() ; 49

26 Curso de Graduação em Administração a Distância b) calcule R(50) ; c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$.200,00? Resolução: a) R() 6. b) R(50) c) Devemos ter Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picolés. Função Custo e Lucro do Primeiro Grau Seja a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de to total e a indicamos porc(). Eistem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como, aluguel, seguro e outros. À soma desses CF ; a parcela do custo que depende de, de custo variável, e indicamos porcv (). Logo, podemos escrever: C() CF CV (). A função lucro L() receita R() e a função custo C(), e temos L() R() C(). R$6.000,00 e o custo variável por unidade é R$ 5,00. Então a função custo total é dada por C() de serão 0,, 2,... Caso o produto for, digamos, toneladas de soja produzidas, os valores de serão números reais positivos. 50 Eemplo 3.27 Um produto é vendido por R$20,00 a unidade (preço constante). A função receita serár() 20

27 da função receita e o da função custo C() num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, R() R() e C() C() A c Figura 3.2: R() 20 e C() no mesmo sistema de coordenadas. A abscissa, c, do ponto A ou ponto crítico. Note que: Se c, então R() C() e L() 0. Se c, então R() C() e L() 0. Função demanda Eemplo 3.28 O número de certo produto demandado por mês numa loja, relaciona-se com o preço unitário p, conforme a função demanda p 20 0,004. por mês será ,004 0,

28 Curso de Graduação em Administração a Distância p 20 0,004, é dado a seguir: p Figura 3.22 Funções quadráticas receita e lucro Eemplo 3.29 A função de demanda de certo produto é p 20, e a função custo é C() 30, onde é a quantidade demandada. Determinar: a) a função receita e o preço que a maimiza. b) a função lucro e o preço que o maimiza. Resolução: R() p Logo, a função receita é R() 2 20 R () Figura

29 DeR() 2 20, temos a ;b 20;c 0. Logo, o valor de que maimiza R() 2 20 é a abscissa do vértice V b 2a 20 0, para uma receita máima de 2 () R(0) Portanto, temos uma receita máima de R$00,00 para uma demanda de 0 itens do produto. b) A função lucro é L() R() C(). Assim, L() onde , a ; b 9; c 30. L() abaio L () 60,25 0,74 9,5 7,26 Figura 3.24 O valor de, que maimiza a função lucro L() , é a abscissa do vértice V b 2a 9 2 () 9 9,5 para um lucro 2 máimo de L(9,5) 9, , ,25 80, ,25 Portanto, temos um lucro máimo de R$240,75. 53

30 Curso de Graduação em Administração a Distância Eercícios propostos 2 ) Seja a função f () 4 3, calcule: a) f (2) ; b) f (a ) ; c) f ( h) ; d) f () f (h) ; e) f ( h) f (),h 0. h 2) Seja a função g() 5 2 4, calcule: a) g() ; b) g 4 ; c) g( h) g(),h 0 ; h d) g ; e) g(2) g(). 3) Seja a função f () 2 3, calcule: a) f () ; b) f (2); c) f (3) ; d) f 2 ; e) f (2). f () 2 2, com o Dom( f ) 3,2,,0,, 2,3. a) f () 3 2 ; 54

31 b) f () 3 ; c) f () 5 2. f, de domínio Dom( f ), dada por f () 2, se 0., se 0 7) Sejam as funções f () e g(), determine: a) f o g e Dom( f o g). b) g o f e Dom(g o f ). c) f o f e Dom( f o f ). 8) O custo de fabricação de unidades de certo produto é dado pela funçãoc() a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades? b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas dezenove unidades? 9) Dada a função demanda p 20 2 e a função custoc() 5, determine: a) O valor de que maimiza a receita. b) O valor de que maimiza o lucro. da função receita, dada por R() 4 dada por C() 50 2 e determine o ponto de nivelamento. faça o estudo do sinal. 2) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$0,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de cada, então o número de

32 Curso de Graduação em Administração a Distância a) Epressar o lucro mensal do fabricante como uma função de. b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de venda for de R$35,00 cada. 3) Seja f :[0, ) [2, ), f () = 2 2. Determine a inversa da função f. 4) Determinar a função inversa da função demanda p ) Indicando o custo médio correspondente a unidades produzidas porcm(), temos CM() C() onde C() é o custo de fabricação de unidades de um produto. O custo de fabricação de unidades de um produto éc() a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 00 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que aumenta?. Saiba Mais... Para aprofundar os conteúdos abordados nesta Unidade, consulte: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração. 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 992. MORENTTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BuSSAB, Winton de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva,

33 RESUMO compreender que uma função é uma relação entre conjuntos, que associa cada elemento de um dos conjuntos um único - e suas respectivas aplicações. Interpretou a função módulo, a função polinomial, a função racional, a função eponencial, a função logaritma, a função composta, as funções crescentes e decrescentes e a função inversa. 57

34 Curso de Graduação em Administração a Distância RESPOSTAS Eercícios propostos 2) f g 3) f () g() 3 4 8, f () g() ( 3 2 3).(2 5) e f () g() Eercícios propostos 2 ) a) ; b)4a ; c)4 4h 3; d) 4 4h 6 ; e) 4. 2) a) 9; b) ; c)0 5h 4 ; 6 d) ; e) ) a) 6 b) 3; c) 6; d) 3 ; e) )

35 5) a) Dom( f ) ; b)dom( f ),3 ; c) Dom( f ) 5,. 6) ) a) f o g b) g o f c) f o f e Dom( f o f ). e Dom( f o g) ; e Dom(g o f ) ; 8) a) 360; b) 2. 9) a) 5. b)

36 Curso de Graduação em Administração a Distância 0) Ponto de nivelamento é ) Lucro L() Se 0 25, então R() C() e, portanto L() 0, ou seja, prejuízo. Se 25, então R() C() e, portanto L() 0, ou seja, lucro positivo. 2) Função receita: R() 250 ; 60

37 Função custo: C() a) Função lucro: L() 250 0; b) ) f () 2. 4) ) a) 5 6 ; b) 4 20 ; c) A medida que aumenta o custo médio tende para 5(cinco). 6

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

Aplicações de Derivadas

Aplicações de Derivadas Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções

Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções Capítulo Funções Ao final deste capítulo você deverá: Recordar o conceito de função, domínio e imagem; Enunciar e praticar as operações com funções; Identificar as funções elementares, calcular função

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

Unidade 3. Funções de uma variável

Unidade 3. Funções de uma variável Unidade 3 Funções de uma variável Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de unção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda.

Leia mais

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função

Leia mais

Seqüências, Limite e Continuidade

Seqüências, Limite e Continuidade Módulo Seqüências, Limite e Continuidade A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, ites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque indicadas e também junto

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é: Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:

Leia mais

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é

Leia mais

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real Análise Matemática - 009/010 - Generalidades sobre unções reais de variável real.1-deinição e Propriedades De..1 Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/ SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1.

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1. REDE ISAAC NEWTON ENSINO MÉDIO 3º ANO PROFESSOR(A):LUCIANO IEIRA DATA: / / TURMA: ALUNO(A): Nº: UNIDADE: ( ) Riacho Fundo ( ) Taguatinga Sul EXERCÍCIOS DE REISÃO - AALIAÇÃO ESPECÍFICA 3º TRIMESTRE 01 MATEMÁTICA

Leia mais

UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA

UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA ISSN 794 UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE º E º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA Valeria Ap. Martins Ferreira, Viviane Carla Fortulan Mestre em Ciências pela Universidade de São Paulo- USP. Professora da Faculdade de

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 0 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO Profa. Maria Antônia C. Gouveia. O PIB per capita de um país, em determinado ano, é o PIB daquele ano dividido pelo número de habitantes.

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções

Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções Resolução das atividades complementares Matemática M Funções p. Responda às questões e, tomando por base o teto abaio: (Unama-PA) O ATAQUE DOS ALIENS Caramujos africanos, medindo centímetros de comprimento

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 008/ . CONCEITO DE FUNÇÃO As funções são as melhores ferramentas para descrever

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina0.com.br Funções Reais CÁLCULO VOLUME ZERO - Neste capítulo, estudaremos as protagonistas do longa metragem

Leia mais

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostila de Matemática Aplicada Volume Edição 00 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Capítulo - Revisão Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns eercícios, dos principais tópicos já

Leia mais

FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da

FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 1 MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES) No presente capítulo, estudaremos as

Leia mais

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas

Leia mais

Engenharia Informática. Física II. 1º Ano 2º Semestre. Instituto politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e de Gestão

Engenharia Informática. Física II. 1º Ano 2º Semestre. Instituto politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e de Gestão 1º no º Semestre 1. Cálculo vectorial 1.1. Introdução análise vectorial é um assunto do âmbito da matemática e não propriamente da Engenharia. No entanto, é quase impossível estudar Electrostática e Magnetismo

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.

Leia mais

PARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais

PARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais PARTE 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções vetoriais de várias variáveis reais, F : Dom(F) R n R

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO 5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Objetiva 06/junho/010 MATemática 01. O monitor de um notebook tem formato retangular com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede 3 do outro. 4 A área do

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:

Leia mais

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional. Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA11 Números e Funções Reais Avaliação 3 - GABARITO 06 de julho de 013 1. (1,5 pontos) Determine se as afirmações

Leia mais

Aula 8 Distância entre pontos do plano euclidiano

Aula 8 Distância entre pontos do plano euclidiano Distância entre pontos do plano euclidiano MÓDULO - AULA 8 Aula 8 Distância entre pontos do plano euclidiano Objetivos Nesta aula, você: Usará o sistema de coordenadas para calcular a distância entre dois

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) =

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) = Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 9 Trigonometria I Resumo das principais fórmulas da trigonometria Arcos Notáveis: Fórmulas do arco duplo: ) sen (a) = ) cos (a) = 3)

Leia mais

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito

Leia mais

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados

Leia mais

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1.

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1. 2.1 Domínio e Imagem EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 1.1 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x

Leia mais

APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1

APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1 APOSTILA 015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 015 1 Sumário 1.Conjuntos...5 1.1 Representação de conjuntos...5 1. Operações com conjuntos...6 1. Propriedades

Leia mais

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por

Leia mais

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0. 4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 0/ SUMÁRIO. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL..... CONCEITO..... ZEROS DE UMA

Leia mais

Conceitos Fundamentais

Conceitos Fundamentais Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;

Leia mais

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo : Funções.- Definições Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de

Leia mais

O gráfico de. Freqüentemente você se depara com tabelas. Nossa aula

O gráfico de. Freqüentemente você se depara com tabelas. Nossa aula O gráfico de uma função A UUL AL A Freqüentemente você se depara com tabelas e gráficos, em jornais, revistas e empresas que tentam transmitir de forma simples fatos do dia-a-dia. Fala-se em elevação e

Leia mais

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro

Leia mais

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

A função do primeiro grau

A função do primeiro grau Módulo 1 Unidade 9 A função do primeiro grau Para início de conversa... Já abordamos anteriormente o conceito de função. Mas, a fim de facilitar e aprofundar o seu entendimento, vamos estudar algumas funções

Leia mais

Integrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão

Integrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Duplas e Coordenadas Polares Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em algumas regiões bem adaptadas às coordenadas

Leia mais

Seno de 30 é um meio?

Seno de 30 é um meio? Seno de 30 é um meio? Adaptado do artigo de Renate Watanabe Acontecem fatos estranhos quando se ensina Trigonometria: Observe as tabelas abaixo, contendo alguns valores de duas funções f e g. x f(x) x

Leia mais

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário.

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. 10. NÚMEROS COMPLEXOS 10.1 INTRODUÇÃO Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. O número a é denominado parte real do número complexo

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 1 Estudo do Sinal de uma Função 11 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

Gráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Exemplos: 1) f(x) = x 2 + x -3-2 -1-1/2 1 3/2 2. 2) y = -x 2 + 1 -3-2 -1

Gráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Exemplos: 1) f(x) = x 2 + x -3-2 -1-1/2 1 3/2 2. 2) y = -x 2 + 1 -3-2 -1 Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 1º semestre 2015 Profa Olga Função Quadrática Uma função f : R R chama-se função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 0, tais que f(x) = ax 2 + bx

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f() = a b com a, b e a 0.

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 4 Estudo do Sinal de uma Função 4.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica

FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1 Prof. William Mascia Resende Engenharia Elétrica ITAJUBÁ 2013 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ Curso: Engenharia

Leia mais

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se "Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza Terra adorada." 01. Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor

Leia mais

Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru

Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo

Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo Tema/Subtema Conteúdos Metas Nº de Aulas Previstas Org.Trat.Dados / Planeamento Estatístico Especificação do problema Recolha de dados População

Leia mais

Matemática Financeira Módulo 2

Matemática Financeira Módulo 2 Fundamentos da Matemática O objetivo deste módulo consiste em apresentar breve revisão das regras e conceitos principais de matemática. Embora planilhas e calculadoras financeiras tenham facilitado grandemente

Leia mais

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares.

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares. 4.3 Funções potência Uma função da forma f(x)=x n, onde n é uma constante, é chamada função potência. Os gráficos de f(x)=x n para n=1,2,3,4 e 5 são dados a seguir. A forma geral do gráfico de f(x)=x n

Leia mais

Í N D I C E Introdução Função Constante... 01 Função Linear... 02

Í N D I C E Introdução Função Constante... 01 Função Linear... 02 UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL Conhecendo a teoria III Curso: Pós-graduação / MBA Campus Virtual Cruzeiro do Sul - 009 Professor Responsável: Carlos Henrique de Jesus Costa Professores Conteudistas: Carlos

Leia mais

Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense [Folha 1] Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Versão 0.9 Parte 1 Cálculo I -A- 1 Conteúdo do curso [Folha 2] Apresentação

Leia mais

UNIDADE 3 FUNÇÕES OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM

UNIDADE 3 FUNÇÕES OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM Unidade 2 Matrizes e Sistemas de Equações Apresentação Lineares UNIDADE 3 FUNÇÕES OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM Ao finalizar esta Unidade você deverá ser capaz de: Descrever e comentar possibilidades

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA

Prova Escrita de MATEMÁTICA Prova Escrita de MATEMÁTICA Identi que claramente os grupos e as questões a que responde. As funções trigonométricas estão escritas no idioma anglo saxónico. Utilize apenas caneta ou esferográ ca de tinta

Leia mais

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0,,, 3,...} * = {,, 3,...} Ø: conjunto vazio A\B =

Leia mais

UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA

UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA UFR_VESTIBULAR _004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO OR ROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA QUESTÃO Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços,

Leia mais

Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções

Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções 1. INTRODUÇÃO Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico apresentam comportamento

Leia mais

Interbits SuperPro Web

Interbits SuperPro Web . (Pucrj 015) Sejam as funções f(x) = x 6x e g(x) = x 1. O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f(x) < g(x) é: a) 8 b) 1 c) 60 d) 7 e) 10 4. (Acafe 014) O vazamento ocorrido

Leia mais

Triângulo Retângulo. Exemplo: O ângulo do vértice em. é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo.

Triângulo Retângulo. Exemplo: O ângulo do vértice em. é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo. Triângulo Retângulo São triângulos nos quais algum dos ângulos internos é reto. O maior dos lados de um triângulo retângulo é oposto ao vértice onde se encontra o ângulo reto e á chamado de hipotenusa.

Leia mais

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere os conjuntos S = {0,2,4,6}, T = {1,3,5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {2} S\U e S T U={0,1}.

Leia mais

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância

Leia mais

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ADM 31/maio/015 Prova A MATEMÁTICA 01. Fabiana recebeu um empréstimo de R$ 15 000,00 a juros compostos à taxa de 1% ao ano. Um ano depois, pagou uma parcela de

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos.

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos. Resolução das atividades comlementares Matemática M Trigonometria no ciclo. 7 Eresse: a) em radianos c) em radianos e) rad em graus rad rad b) 0 em radianos d) rad em graus f) rad 0 rad em graus a) 80

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x).

2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x). 1. Algumas funções básicas 2. Tipos de funções Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eio y, isto é, f( ) = f(). Eemplos: A função f() = n onde n inteiro positivo é par?

Leia mais

RELAÇÕES BINÁRIAS Produto Cartesiano A X B

RELAÇÕES BINÁRIAS Produto Cartesiano A X B RELAÇÕES BINÁRIAS PARES ORDENADOS Um PAR ORDENADO, denotado por (x,y), é um par de elementos onde x é o Primeiro elemento e y é o Segundo elemento do par A ordem é relevante em um par ordenado Logo, os

Leia mais

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 010 1 a Fase Profa Maria Antônia Gouveia QUESTÃO 01 Sobre números reais, é correto afirmar: (01) Se m é um número inteiro divisível por e n é um número inteiro divisível

Leia mais

Åaxwell Mariano de Barros

Åaxwell Mariano de Barros ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................

Leia mais

A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários:

A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1 1.1 Função Real de Variável Real A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1. Um conjunto não vazio para ser o domínio;

Leia mais

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D 6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

Relações Métricas nos. Dimas Crescencio. Triângulos

Relações Métricas nos. Dimas Crescencio. Triângulos Relações Métricas nos Dimas Crescencio Triângulos Trigonometria A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triângulo Metrein = Mensuração - Relação entre ângulos e distâncias; - Origem

Leia mais

Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas

Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas 1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações

Leia mais