4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre /2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI

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1 4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre /2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI Problema 1 Considere a matriz A = Diga quais dos seguintes vectores são vectores próprios de A, e em caso afirmativo, indique o valor próprio correspondente a (0,2,2 b (0,5,0 c (0,0, Problema 2 Verifique se λ = 3 é valor próprio da matriz Em caso afirmativo, encontre um vector próprio associado Problema 3 Sem calcular determinantes, diga se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa: ( 0 1 a λ = 2 é valor próprio da matriz rotação de 90 o, 1 0 b (3,0 e (0,3 são vectores próprios da matriz projecção no eixo dos xx, ( 1 0, associados, respectivamente, aos valores próprios λ = 1 e λ 2 = 0 ( 3 0 c A matriz expansão de factor 3,, tem dois vectores próprios 0 3 linearmente independentes associados ao valor próprio λ = 3 d (2,2 é um vector próprio da matriz reflexão em relação à recta y=-x, ( 0 1, associado ao valor próprio λ = ( 0 0 e A matriz nula não tem vectores próprios 0 0

2 Problema 4 Para cada uma das seguintes matrizes, encontre os seus valores próprios, e também bases para os espaços próprios correspondentes a ( b ( c ( d e f Problema 5 Seja A uma matriz quadrada Mostre que A e A T têm os mesmos valores próprios (Veja o problema 5 da Lista 2 Problema 6 Sejam A, B e S matrizes quadradas da mesma ordem, S invertível, e tais que B = S 1 AS Mostre que A e B têm os mesmos valores próprios (Veja o problema 6 da Lista 2 Problema 7 Suponha que v é um vector próprio de uma matriz invertível A, associado a um valor próprio λ Mostre que: a λ 0; b v também é um vector próprio de A 1, associado agora ao valor próprio 1/λ Problema 8 Suponha que A tem um vector próprio v associado a um valor próprio λ Mostre que v também é um vector próprio de A 2 associado ao valor próprio λ 2 Problema 9 Considere a matriz A = a Verifique que A é diagonalozável e encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível S tal que D = S 1 AS (ou A = SDS 1 b Use a alínea anterior para calcular A 25 ; encontre os valores próprios de A 25

3 e bases para os espaços próprios correspondentes Problema 10 a Considere as matrizes A = ( e A + 5I = ( i Determine os valores próprios e os vectores próprios de A ii Determine os valores próprios e os vectores próprios de A + 5I iii compare os resultados que obteve em i e em ii b Relacione agora os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz arbitrária C (n n, com os da matriz C+θI, onde agora I é a matriz identidade n n Problema 11 Seja A uma matriz 3 3, e suponha que o polinómio característico de A é p(λ = (1 λ(1 + λ 2 Determine o polinómio característico de A + θi, onde I é a matriz identidade 3 3 Problema 12 Seja B uma matriz 3 3 com valores próprios 0, 1 e 2 Diga, justificando, se esta informação é suficiente para a calcular a característica de B; b calcular o determinante de B T B; c calcular os valores próprios de B T B; d calcular os valores próprios de (B + I 1 Problema 13 Determine quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis Em caso afirmativo, encontre a respectiva matriz diagonal D, e também a respectiva matriz invertível S que diagonaliza a matriz A dada (isto é, tal que D = S 1 AS

4 a ( b ( c ( d e f Problema 14 Seja A uma matriz 2 2 a Mostre que o polinómio característico de A é dado por λ 2 tr(aλ + det(a = 0, onde tr(a, o traço de A, é a soma dos elementos da diaginal principal de A b Determine o valor de tr(a e de det(a, sabendo que λ 1 = 5 e λ 2 = 8 são os valores próprios de A ( 0 1 c Escolha a segunda linha de A =, de maneira a que os valores próprios de A sejam 4 e 7 Problema 15 Considere a matriz A = a Encontre todos os valores próprios de A, sabendo que: i a característica de A + I é 1; ii se det(a λi = (λ λ 1 (λ λ 2 (λ λ 3 (λ λ 4, então tr(a = λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4, onde tr(a, o traço de A, é a soma dos elementos da diagonal principal de A b Encontre o espaço próprio de A associado ao valor próprio que não é repetido

5 Problema 16 Seja A uma matriz quadrada n n, com a seguinte propriedade: a soma das n entradas de cada linha de A é constante e igual a k Mostre que k é um valor próprio de A (Sugestão: determine um vector próprio de A ( a b Problema 17 Considere a matriz de Markov A = c d (Relembre que uma matriz de Markov é uma matriz quadrada cujaz entradas são todas positivas, e tal que a soma das entradas de cada coluna é igual a 1 a Use o problema anterior e as propriedades dos determinantes para justificar que λ 1 = 1 é um valor próprio de A b Seja λ 2 o segundo valor próprio de A Mostre que λ 2 < 1 (Sugestão: por um lado, como vimos no problema 14, tr(a = λ 1 + λ 2 ; por outro lado, 0 < tr(a = a + d < 2, já que A é uma matriz de Markov Problema 18 Em Janeiro de 2006, abriu uma empresa que aluga carros, e essa empresa tem carros em Lisboa e no Porto Quando começou, essa empresa tinha 30% dos seus carros em Lisboa e 70% dos seus carros no Porto Escrevemos ( 03 X 0 = 07 para indicar o vector estado inicial (de distribuição dos carros, em percentagem Em cada mês, a percentagem de carros em Lisboa e no Porto, é dada pelo vector estado desse mês, X k+1, e onde A = X k+1 = AX k, ( é uma matriz de Markov (Observe que se a soma das duas entradas de X k é 1, então a soma das duas entradas de X k+1 = AX k também é 1 a Mostre que os valores próprios de A são λ 1 = 1 e λ 2 = 092

6 ( ( 5 1 b Mostre que v 1 = e v 3 2 = 1 associados, respectivamente a λ 1 e a λ 2 são vectores próprios de A, c Escreva X 0 como combinação linear de v 1 e de v 2 d Dada a sucessão X k+1 = AX k = A k+1 X 0 (k = 0, 1, 2,, mostre que pode escrever ( ( 5 1 X k+1 = c 1 + c 3 2 (092 k+1 1 (Sugestão: use a alínea anterior e o facto de v 1 e de v 2 serem vectores próprios de A e Qual foi a percentagem de carros em Lisboa e a percentagem de carros no Porto em Outubro de 2006? f Determine X = lim k X k+1 g Mostre que AX = X, e portanto X chama-se o vector estado estacionário de A O que significa X em termos da empresa que aluga carros? ( r h Mostre que qualquer que fosse o vector estado inicial X 0 = (com s r+s=1, X não mudaria i Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível S tal que A = SDS 1 j Qual é o limite de A k = SD k S 1 quando D k = ( 1 0 da matriz? 0 0 ( (092 k se aproxima Problema 19 Numa certa população de elefantes, a cada ano, 2% dos elefantes novos ficam velhos, e 3% dos elefantes velhos morrem (Não nascem elefantes nesta população Encontre o vector estado estacionário para novos velhos mortos k+1 = novos velhos mortos k