Transformada z. ADL 25 Cap 13. A Transformada z Inversa

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1 ADL 25 Cap 13 Transformada z A Transformada z Inversa Qualquer que seja o método utilizado a transformada z inversa produzirá somente os valores da função do tempo nos instantes de amostragem. Portanto, mesmo que obtenhamos funções do tempo na forma fechada, elas são válidas somente nos instantes de amostragem Transformada z Inversa por Expansão em Frações Parciais De forma semelhante à utilizada na transformada inversa de Laplace e com base na Tabela 13.1, observamos que as funções exponenciais amostradas se relacionam com suas transformadas z da seguinte forma: (13.19) Prevemos então que uma expansão em frações parciais terá a seguinte forma: (13.20)

2 Como a expansão de F(s) não contém termos em s no numerador das frações parciais, primeiro formamos F(z)/z para eliminar os termos z no numerador, executamos a expansão em frações parciais de F(z)/z, e finalmente multiplicamos o resultado por z para fazer aparecer os z's no numerador das frações. Exemplo 13.2 Transformada z inversa via expansão em frações parciais Problema Dada a função da Eq. (13.21), determine a função no domínio do tempo amostrada. (13.21) Solução Comece dividindo a Eq. (13.21) por z e executando a expansão em frações parciais. (13.22) Depois, multiplique todo o resultado por z (13.23) Usando a Tabela 13.1, obtemos a transformada z inversa de cada fração parcial. Portanto, o valor da função no domínio do tempo nos instantes de amostragem é (13.24) Além disso, com base nas Eqs. (13.7) e (13.24), a função no domínio do tempo amostrada ideal é (13.25) Se substituirmos k = 0, 1, 2 e 3, podemos encontrar as quatro primeiras amostras do sinal amostrado. Portanto, (13.26)

3 Transformada z Inversa via Método de Série de Potências Exemplo 13.3 Transformada z inversa via série de potências Problema Dada a função na Eq. (13.21), determinar a função no domínio do tempo amostrada. Solução Comece pela conversão do numerador e do denominador de F(z) em polinômios em z. (13.27) Agora execute a divisão indicada Usando o numerador e a definição de z, obtemos (13.29) a partir da qual (13.30) Você deve comparar a Eq. (13.30) com a Eq. (13.26), o resultado obtido via expansão cm frações parciais.

4 13.4 Funções de Transferência Considere o sistema contínuo mostrado na Fig. 13.8a. Se a entrada for amostrada como indicado na Fig. 13.8(b), a saída é ainda um sinal contínuo. Se, contudo, ficarmos satisfeitos em obter a saída nos instantes de amostragem e não entre eles, a representação do sistema de dados amostrados pode ser grandemente simplificada. Nossa suposição é visualmente descrita na Fig. 13.8(c), onde a saída é amostrada conceitualmente em sincronização com a entrada por meio de um amostrador imaginário (Phantom sampler). Fig Sistema com dados amostrados: a. contínuo; b. entrada amostrada; c. entrada e saída amostradas Dedução da Função de Transferência Pulsada Usando a Eq. (13.7), constatamos que a entrada amostrada, r*(t), para o sistema da Fig. 13.8(c) é (13.31) a qual é uma soma de impulsos. Como a resposta ao impulso de um sistema, G(s), é g(t), podemos escrever a saída de G(s) no domínio do tempo como a soma das respostas a impulso geradas pela entrada, Eq. (13.31). Por conseguinte, (13.32)

5 Com base na Eq. (13.10), (13.33) Usando a Eq. (13.32) com t = kt, obtemos (13.34) Substituindo a Eq. (13.34) na Eq. (13.33), obtemos (13.35) Fazendo m = k - n, encontramos (13.36) onde o limite inferior, m + n, foi mudado para m. O raciocínio é que m + n = 0 leva a valores negativos de m para todos os valores de n > O. Mas, como g(mt) = 0 para todos os valores de m < 0, m não é menor que zero. Alternativamente, g(t) = 0 para t < O. Dessa forma, n = 0 no primeiro limite inferior do somatório. Usando a definição da transformada z, a Eq. (13.36) torna-se (13.37) A Eq. (13.37) é um resultado muito importante, uma vez que mostra que a transformada da saída amostrada é o produto da transformada da entrada amostrada pela função de transferência pulsada do sistema. Uma forma de obter a função de transferência pulsada, G(z), é começar com G(s), determinar g(t), e então usar a Tabela 13.1 para encontrar G(z)

6 Exemplo 13.4 Convertendo G 1 (s) em cascata com z.o.h em G(z) Problema Dado um z.o.h. em cascata com G 1 (s) = (s + 2)/(s + 1), ou seja, (13.38) determinar a função de transferência de dados amostrados, G(z), se o período de amostragem, T, for 0,5 s. Solução A Eq. (13.38) representa uma ocorrência comum nos sistemas de controle digital, em outras palavras, uma função de transferência em cascata com um extrapolador de ordem zero. Especificamente, G 1 (s) está em cascata com um extrapolador de ordem zero, (1 - e -Ts )/s. Podemos formular uma solução geral para este tipo de problema deslocando o s no denominador do extrapolador de ordem zero para G 1 (s) resultando (13.39) (13.40) Dessa forma, comece a solução encontrando a resposta ao impulso (transformada de Laplace inversa) de G 1 (s)/s Portanto, (13.41) Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos (13.42) de onde (13.43)

7 Usando a Tabela 13.1, obtemos (13.44) Substituindo T = 0.5 resulta (13.45) A partir da Eq. (13.40), (13.46)

8 Lab Conbtrole Sistema Digital quase-contínuo Trabalhando com frequências de amostragem suficientemente altas o sistema digital pode ser considerado quase-contínuo. Estas frequências devem ser tais que permitam (no mínimo) entre 6 e 8 amostras durante o tempo de subida do processo quando submetido a um degrau. Porém, mesmo operando com frequências de amostragem superiores a esta, o sistema digital introduz um atraso no sinal que pode causar uma alteração em relação ao caso de tempo contínuo. Quanto maior o tempo entre 2 amostras maiores os atrasos. Implementação de um compensador analógico equivalente Como exemplo da maneira de se implementar um equivalente do compensador analógico no microcontrolador, considere a função de transferência do compensador PD analógico: G c (s)= U (s) E (s) =K (1+s.T d ) (A)

9 No sistema digital, trabalharemos no domínio do tempo, portanto: u(t)=k (e(t)+ė(t ).T d ) (B) Substituindo o tempo contínuo pelo tempo discreto, t kt onde k é um nº inteiro e T o período de amostragem, supostamente pequeno. Também temos uma aproximação para a derivada, baseada no quociente de Newton: ė(t) = e(kt ) e((k 1)T ) = e(k) e(k 1) T T (C) Onde simplificamos a notação fazendo e(kt) = e(k). Substituindo (C) em (B) acima: u(k)=k [(1+ T d T )e(k) T d T e(k 1)] (D) Esta última equação é conhecida como equação de diferenças e é análoga a uma equação diferencial para sistemas de tempo discreto. Observe que em um instante de tempo qualquer, múltiplo inteiro de T o valor da saída do compensador pode ser calculado a partir da entrada atual e da entrada anterior, multiplicadas por constantes e somadas. O aluno poderá desenvolver equações de diferenças semelhantes para os compensadores em avanço e PID.