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6 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Eng Industrial e Gestão ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMec ºTESTE A duração do exame é horas + 30minutos. Cotação: As perguntas 1 e 6 valem valores, as a 5 valem 3 e as três restantes da PARTE II valores cada. Justifique convenientemente todos os cálculos que efectuar. PARTE I (cotação: 16valores) 1. Determine a solução da equação diferencial 1 y + y = ( x 1) x 1 3 x e. Resolva a equação diferencial y y + y =. x x 3. Determine a solução geral da equação diferencial 1 ( ) 1 cos x = 3 ( y cos x) dx 3y sin x dy 0 4. Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais usando o método da variação x 1 = x1 x + t das constantes. x = 3x1 3t. 5. Determine a solução da equação diferencial y y 4y 4u ( t ) condições y ( ) y ( ) descontinuidade em t=. + + =, que satisfaz as 0 = 0, 0 =, onde u(t) é a função de Heaviside com s + e 3 6. Determine a função f(t) cuja Transformada de Laplace é F(s)= ( ) s 1 s v.s.f.f.

7 PARTE II (cotação: 4 valores) 7. Mostre, por indução matemática, que sendo a transformada de Laplace se tem n! s n ( t ) = n Considere um sistema diferencial linear homogéneo dado por x ( t) = Ax( t) onde A é uma matriz real, n n, x = ( x 1,..., ) x n T. Supondo que A possui n valores próprios λ 1,...,λ n distintos e sendo u (1),..., u ( n) os respectivos vectores próprios, demonstre justificando, que o sistema tem n soluções linearmente independentes da forma ( i) ( i) x e i t = λ u. v.s.f.f.

8 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Eng Industrial e Gestão ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMec ºTESTE A duração do exame é horas + 30minutos. Cotação: As perguntas 1 e valem 3 valores, as 3 a 5 valem 10/3 e as duas restantes da PARTE II valores cada. Justifique convenientemente todos os cálculos que efectuar. PARTE I (cotação: 16valores) 4 1. Calcule y dx + ( 3 x y )dy em que C é a fronteira da região plana limitada C pelos gráficos de x=y e x=1 percorrida no sentido retrógrado.. a) Calcule o fluxo do rotacional de f(x,y,z)=(y, -x, z), de fora para dentro, sobre a superfície z = x y limitada por z=0, usando o Teorema de Stokes. b) Verifique o Teorema. 3. Calcule o trabalho realizado por f(x,y,z)=(x, x, zy) ao longo da curva de intersecção das superfícies x + y = 4y e z = 4 percorrida no sentido directo quando vista de cima. 4. Calcule o fluxo de f(x,y,z)=(yx, y, 0) para dentro da superfície limitada superiormente por z = 4 e inferiormente por a) Por cálculo directo b) Usando o Teorema de Gauss z = x + y 5. Determine a série de Fourier da função periódica f(x) definida a partir de f ( x) x 1 = x + 1, 1 < x < 0 0 < x < 1 v.s.f.f.

9 PARTE II (cotação: 4 valores) 6. Seja f(x) uma função periódica ímpar de período π, contínua e derivável por secções. Considere uma função g(x) obtida por uma combinação linear de um numero finito N de funções trigonométricas tal g( x) = c sen nx. Define-se o erro quadrático com que n= 1 n 1 π g(x) representa f(x) pela função E( c [ ] 1,, cn,, cn ) = f ( x) g( x) dx. π Mostre que o erro quadrático é mínimo quando os coeficientes c,,,, 1 cn cn são obtidos pelas fórmulas de Euler da série de Fourier que representa a função f(x). 7. Enuncie com rigor o teorema de Gauss. Mostre, utilizando-o, que sendo ϕ uma função de campo escalar harmónica ( ϕ = 0 ) em V R 3 e sendo S a superfície envolvente de V e n o versor da normal exterior, se tem ϕ n ds = S 0 v.s.f.f.

10 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Eng Industrial e Gestão ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMec RECURSO 1ªParte A duração do exame é horas + 30minutos de tolerância. Cotação: As perguntas de 1 a 5 valem 16/5 valores e as restantes cada. Justifique convenientemente todos os cálculos que efectuar. PARTE I (16 VALORES) 1. Resolva a equação diferencial x 4 ( 1+ x ) + y dx + xydy = Determine a solução do seguinte sistema diferencial usando o método da variação das constantes t y 1 = y1 + y + e y = 4 y1 + y e t 3. Resolva, usando o método da variação das constantes, a equação diferencial + = 3x y 6y 10y 6e senx cos x t 4. Determine a solução da equação diferencial y π + 4y + 5 y = e u( t π ), que satisfaz as condições y ( ) y ( ) 0 = 1, 0 = 4, sendo u(t-π) a função de Heaviside com descontinuidade em π. 5. Determine a função ( t) + f, ( R ) t, cuja transformada de Laplace é F ( s) 0 = 3+ se 3s 3 ( s 1) v.s.f.f.

11 PARTE II (4 VALORES) 6. Considere uma equação diferencial de 1ª ordem da forma ( x y) y = f, onde f é uma função homogénea de grau zero. Demonstre que por uma mudança de variável conveniente esta equação pode ser transformada numa equação de variáveis separáveis. 7. Seja F(x,y,C)=0 uma família de curvas a um parâmetro C (C R). a) Defina trajectórias ortogonais a essa família de curvas. b) Indique, justificadamente, como pode obter a partir de F(x,y,C)=0, a equação diferencial que define essas trajectórias ortogonais. v.s.f.f.

12 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Eng Industrial e Gestão ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMec RECURSO ªParte A duração do exame é horas + 30minutos de tolerância. Cotação: As perguntas de 1 a 5 valem 16/5 valores e as restantes cada. Justifique convenientemente todos os cálculos que efectuar. PARTE I (16 VALORES) 1. Calcule a área da região do plano limitada superiormente por x + y = e inferiormente por y = x, usando o Teorema de Green.. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças f ( x, y, z) ( z, z,y) = ao longo da curva de intersecção das superfícies para o efeito o teorema de Stokes. x y + z = 0 e + z y para y 0 x =, usando 3. Mostre que o integral ( a, π,3) seny dx + x cos y dy + z dz é independente do caminho e ( a,0,1) calcule-o. 4. a) Considere o volume V limitado pela superfície envolvente S definida por e por 3 volume V. x =. Calcule o fluxo do campo vectorial F ( x y, z) (, y, z) b) Verifique o teorema de Gauss. x = y + z, = de fora para dentro do 5. Desenvolva em série de co-senos a função f ( x) x, x ] π,0[ = +. v.s.f.f.

13 PARTE II (4 VALORES) 6. Enuncie o teorema de Stokes. Mostre, utilizando-o, que sendo = ( a, b, c) v um vector constante de R 3 e considerando a função de campo vectorial v r, sendo r o vector x, y z x, x R 3, se tem: ( a, a, a ) n d S = S C ( ) d v r α 7. Considere a equação da corda vibrante y t = α y x Determine, justificando convenientemente, a solução da equação com as condições y y ( x,0) = f ( x), ( x,0) = g( x) e considerando a corda de extremos x=0 e x=l fixos e t com ordenada 0, usando o método de separação de variáveis e séries de Fourier. v.s.f.f.

14 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Eng Industrial e Gestão ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMec RECURSO A duração do exame é horas + 30minutos de tolerância. Cotação: As perguntas de 1 a 6 valem 16/6 valores e as restantes cada. Justifique convenientemente todos os cálculos que efectuar. PARTE I (16 VALORES) 1. Resolva, usando o método da variação das constantes, a equação diferencial + = 3x y 6y 10y 6e senx cos x t. Determine a solução da equação diferencial y π + 4y + 5 y = e u( t π ), que satisfaz as condições y ( ) y ( ) 0 = 1, 0 = 4, sendo u(t-π) a função de Heaviside com descontinuidade em π. 3. Determine a função ( t) + f, ( R ) 0 t, cuja transformada de Laplace é F ( s) 4. a) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças f ( x, y, z) ( z, z,y) 3s 3 e = ( s 1) ( s 1) = ao longo da curva de intersecção das superfícies para o efeito o teorema de Stokes. b) Verifique o Teorema. x y + z = 0 e x = + z y para y 0, usando 5. a) Considere o volume V limitado pela superfície envolvente S definida por x = y + z e por x = 3. Calcule o fluxo do campo vectorial F ( x, y, z) = (, y, z) de fora para dentro do volume V. b) Verifique o teorema de Gauss. = Desenvolva em série de co-senos a função f ( x) x, x ] π,0[ v.s.f.f.

15 PARTE II (4 VALORES) 7. Considere uma equação diferencial de 1ª ordem da forma ( x y) y = f, onde f é uma função homogénea de grau zero. Demonstre que por uma mudança de variável conveniente esta equação pode ser transformada numa equação de variáveis separáveis. 8. Considere a equação da corda vibrante y t = α y x Determine, justificando convenientemente, a solução da equação com as condições y y ( x,0) = f ( x), ( x,0) = g( x) e considerando a corda de extremos x=0 e x=l fixos e t com ordenada 0, usando o método de separação de variáveis e séries de Fourier. v.s.f.f.

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25 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Gestão e Eng Industrial ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMEGI EXAME A duração do exame é horas + 30minutos de tolerância. Cotação: As perguntas de 1 a 6 valem,5 valores e as três restantes 5/3 cada. Justifique convenientemente todos os cálculos que efectuar. PARTE I x e 1. Resolva a equação diferencial y + y + y =. 4 x 1 y. x 1. Classifique e resolva a equação diferencial 3 y ( x 1) y = 0 t, que satisfaz as, onde u(t) é a função de Heaviside com descontinuidade em x=. 3. Determine a solução da equação diferencial y + y + 4y = 4u( ) + 4 condições y ( 0 ) = 0, y ( 0) = 0 PARTE II 4. Calcule y + x = 1. C ydx xdy + zdz onde C é a curva de intersecção das superfícies z + x = 1 e 5. Considere o volume V como sendo o cubo [ 1,1 ] [ 1,1 ] [ 1,1 ] campo vectorial F ( x, y, z) ( y, yx, zy) = de fora para dentro do volume V.. Calcule o fluxo do 6. Determine a expansão da função f ( x) 0, 0 < x < 1 = 1, 1 < x < π em série de senos. v.s.f.f.

26 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Gestão e Eng Industrial ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMEGI EXAME PARTE III Do seguinte grupo de questões responda a três delas. 7. Enuncie e demonstre o Teorema da Convolução para a transformada de Laplace da convolução de duas funções f e g. 8. Considere um sistema diferencial linear homogéneo dado por r x r ( t) = Ax ( t) r T onde A é uma matriz real, n n, x = ( x 1,..., x n ). Supondo que A possui n valores próprios r (1) r ( n) λ 1,...,λ n e respectivos vectores próprios u,..., u demonstre, justificadamente, que o r ( i) λ ( i) sistema tem n soluções linearmente independentes da forma x e i t r = u. 9. Enuncie o teorema de Stokes e mostre, utilizando-o, que se a função F é uma função gradiente, então sendo C uma linha fechada regular se tem: F dα = 0 C 10. Considere a equação em derivadas parciais z z z a + ab + b = 0 a,b R x x y y Mostre, justificando convenientemente, que a solução da equação é dada por z = f ( ay bx) + xg( ay bx) v.s.f.f.

27 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Gestão e Eng Industrial ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMEGI EXAME A duração do exame é horas + 30minutos de tolerância. Cotação: As perguntas de 1 a 6 valem,5 valores e as três restantes 5/3 cada. Justifique convenientemente todos os cálculos que efectuar. PARTE I x 1. Resolva a equação diferencial y y + 5y = e cos(x).. Determine a solução geral da equação diferencial (sen y cos x) dx ( 3y sin x) dy = 0 3 x. 3. Determine a solução da equação diferencial y 4y + 5y = 5tu ( t 5) condições y ( 0 ) = 0, y ( 0) = 0, que satisfaz as, onde u(t) é a função de Heaviside com descontinuidade em x=5. PARTE II 4. Considere a superfície (,, ) (,, ) = 0 com z 0 z x y f x y z = x y z através dessa superfície.. Calcule o fluxo do campo onde C é a curva de intersecção das superfícies 5. Calcule ydx + xdy + zdz C y = 4. y = z + x e 6. Determine a expansão da função f ( x) 0, 0 < x < π = π x, π < x < π em série de co-senos. v.s.f.f.

28 Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Gestão e Eng Industrial ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMEGI EXAME PARTE III Do seguinte grupo de questões responda a três delas. 7. Considere o sistema diferencial linear de coeficientes constantes r r r r n x = Ax + f ( x R ) Seja X r =[X 1 X...X n ] a matriz das n soluções linearmente independentes do sistema r homogéneo associado. Mostre que x = X r r 1 U com U = X f dt é solução particular do sistema completo. 8. Mostre, por indução matemática, que sendo L a transformada de Laplace se tem n! n L ( t ) = n Considere a superfície S fechada regular definida pela função vectorial r ( u, v) = X( u, v) i + Y( u, v) j + Z( u, v) k, ( u,v) T R. Mostre que o valor do volume do sólido limitado por S, é dado por: ( u, v) Y( u, v) Z( u, v) X 1 X Y v( V ) = 3 u u T X Y v v (Nota: Utilize convenientemente o teorema de Gauss) s Z u Z v dudv 10. Mostre, justificando convenientemente, que sendo α e β raízes reais distintas da equação ar + br + c = 0, a solução da equação em derivadas parciais z z z a + b + c x x y y é dada por z = f ( α x + y) + g ( β x + y). = 0 v.s.f.f.