Cálc. Diferencialem R n Derivadadirecional

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1 ROSÁRIO LAUREANO 1 Cálc. Diferencialem R n Derivadadirecional [Elaborado por Rosário Laureano] [01/13] Este ficheiro contém: 1. Tópicos de teoria- derivada direcional(p. 1). Exercícios resolvidos(p. 6) 3. Exercício propostos(p. 11) 1 Tópicos de teoria- derivada direcional Sejamf :D f R Rumafunçãorealdeduasvariáveisreais,(a,b)um pontoder interiorad f e v =(v 1,v )umvectornão-nuloder. Derivada direcional num ponto A derivada direcional de f no ponto(a,b)segundoovector v =(v 1,v ),quesedenotaporf (v 1,v ) (a,b) (ouf v (a,b))édefinidapelolimite(emr) f (v f((a,b)+h (v 1,v )) f(a,b) 1,v )(a,b) = lim h 0 h f(a+hv 1,b+hv ) f(a,b) = lim. h 0 h Derivadadirigidanumponto Quandoseconsideraoversorde v, vers( v) = = 1 v v = 1 v 1 +v 1 (v 1,v ) (v 1,v ) ( ) v 1 v (v 1,v )=,, v 1 +v v 1 +v obtemos um vetor de norma 1, caso em que a derivada direcional se diz derivada dirigida. CASOPARTICULAR1:Se v = e 1 =(1,0),oprimeirovectordabase canónicab={ e 1, e }der,tem-se f e1 (a,b) = f (1,0)(a,b)=lim h 0 f((a,b)+h (1,0)) f(a,b) h f(a+h,b) f(a,b) = lim = h 0 h x (a,b),

2 ROSÁRIO LAUREANO quemedeataxadevariaçãodef noponto(a,b)nadireçãoesentidodoeixo dosxx(porunidadedecomprimentovistoqueovector v = e 1 =(1,0)é unitário). CASOPARTICULAR:Analogamente,se v = e =(0,1),osegundo vector dessa base, tem-se f e (a,b) = f (0,1)(a,b)=lim h 0 f((a,b)+h (0,1)) f(a,b) h f(a,b+h) f(a,b) = lim = h 0 h y (a,b), quemedeataxadevariaçãodef noponto(a,b)nadireçãoesentidodoeixo dosyy (porunidadedecomprimentovistoqueovector v = e =(0,1)é unitário). NOTA: Enquanto pelas derivadas parciais de primeira ordem x (a,b) e y (a,b) se faz, respetivamente, variar x mantendo y como constante e vice-versa, através da derivada direcional é possível considerar ambas as variáveis x e y a variar simultaneamente. Comovetorgradiente Seafunçãof édiferenciávelnoponto(a,b), enãoédefinidaporimposiçãonesseponto,então f (v 1,v )(a,b)=v1 (a,b)+v x y (a,b), paratodoovector v =(v 1,v )=v 1 (1,0)+v (0,1). Nestecaso,aderivada direcionaldafunçãofnumponto(a,b)segundoumvector v =(v 1,v )pode serexpressaemtermosdovector gradf, f (v 1,v ) (a,b)=(v 1,v ) gradf(a,b). A fórmula anterior pode ainda reescrever-se como (a,b)=f(v 1,v ) (a,b)= (v 1,v ) gradf(a,b) cosθ

3 ROSÁRIO LAUREANO 3 emqueθéomenorânguloentreosvectores gradf(a,b) 0 e v =(v1,v ) 0 (tambémválidaemr 3 ). Quando v = (v 1,v ) =1tem-seapenas (a,b)=f(v 1,v ) (a,b)= gradf(a,b) cosθ. Nestecaso,econsiderando gradf(a,b) 0,aderivadadirigidaf v (a,b): éiguala0quandoovector gradf(a,b)eovectorunitário v =(v 1,v ) sãoortogonais,poisnestecasocosθ=0(vistoqueθ=90 o =π/rad); atingeovalormáximoiguala gradf(a,b), (a,b)=f(v 1,v ) (a,b)= gradf(a,b), quando v =(v 1,v )éovectorunitárioparaleloecomomesmosentido dovector gradf(a,b), gradf(a,b) v =(v1,v )=, gradf(a,b) pois1éovalormáximodecosθeéobtidoquandoqueθ=0 o (θ=0 rad); atingeovalormínimoiguala gradf(a,b), (a,b)=f(v 1,v ) (a,b)= gradf(a,b), quando v =(v 1,v )éovectorunitárioparaleloecomsentidooposto aovector gradf(a,b), gradf(a,b) v =(v1,v )=, gradf(a,b) pois 1 é o valor mínimo de cosθ e é obtido quando que θ = 180 o (θ=πrad).

4 ROSÁRIO LAUREANO 4 Comotal,ataxadevariaçãodef noponto(a,b)émáxima(respectivamente,mínima)nadireçãoesentidodovectorunitário(único) v =(v 1,v ) que tenha a mesma direção e o mesmo sentido (respectivamente, sentido oposto ao) do vector gradf(a,b). Podemos dizer que o vector gradiente aponta, em cada ponto, na direção da maior taxa de variação da função e queomódulodovectorgradienteéessataxamáxima. Example1 Suponha que uma certa função f : D f R R tem num certo ponto (a,b) o vector gradiente (3,4), gradf(a,b) = (3,4). O vector unitário v = (v 1,v ) com a mesma direção e sentido do vector gradiente (3,4)é ) 3 v =(v1,v )=( 5,4, 5 pois (3,4) = 3 +4 = 5=5. Comotal,ataxadevariaçãomáxima def noponto(a,b)é5,dadapeladerivadadirigida ( ) 3 f (3/5,4/5) (a,b) = 5,4 (3,4)= = =5= gradf(a,b). O vector unitário v = (v 1,v ) com a mesma direção e sentido oposto ao vector gradiente(3, 4) é ) 3 v =(v 1,v )= (v 1,v )= ( 5,4 5 = ( 3 ) 5, 4. 5 Comotal, ataxa de variaçãomínima de f noponto (a,b) é 5, dadapela derivada dirigida ( f ( 3/5, 4/5) (a,b) = 3 ( 5 5), 4 (3,4)= 3 ) ( 3+ 4 ) = = 5= gradf(a,b). Consideref :D f R Rumafunçãorealdeduasvariáveisreais. Se éconhecidooânguloαqueumvector v =(v 1,v )der fazcomaparte

5 ROSÁRIO LAUREANO 5 positivadoeixodosxxentãosãoválidasasrelações cosα= v 1 v e sinα= v v. Como tal, é possível estabelecer a proposição seguinte: Proposition Sejamf :D f R R, (a,b) umpontoder interior a D f e v =(v 1,v ) umvectornão-nuloder. Suponhaaindaqueafunção f édiferenciávelnoponto(a,b)enãoédefinidaporimposiçãonesseponto. Seαéoânguloqueovector v fazcomapartepositivadoeixodosxxentão aderivadadirecionalf v (a,b)podesercalculadapor (a,b)=cosα v (a,b)+sinα v x y (a,b). Se v =(v 1,v ) éocasoparticular deumvectorunitárioentãoaderivada dirigidaf v (a,b)podesercalculadapor f v (a,b)=cosα x (a,b)+sinα y (a,b). Proposition3 Sejamf :D f R 3 R, (a,b,c) umpontoder 3 interior ad f e v =(v 1,v,v 3 )umvectornão-nuloder 3. Se u =(cosα,cosβ,cosγ) éovectordoscosenosdiretoresdovector v =(v 1,v,v 3 )(αéoânguloque ovector v fazcomapartepositivadoeixodosxx,βéoânguloqueovector v fazcomapartepositivadoeixodosyyeγ éoânguloqueovector v faz comapartepositivadoeixodoszz)entãoaderivadadirecionalf v (a,b,c) pode ser calculada por (a,b,c) = cosα v (a,b,c)+cosβ v x y (a,b,c) +cosβ v z (a,b,c). Se v =(v 1,v,v 3 )éocasoparticulardeumvectorunitárioentãoaderivada dirigidaf v (a,b,c)podesercalculadapor f v (a,b)=cosα x (a,b,c)+cosβ y (a,b,c)+cosβ z (a,b,c).

6 ROSÁRIO LAUREANO 6 Exercícios resolvidos Exercício Considere a função f definida por f(x,y)=sin(xy)+xy +3x. Determine a derivada direcional de f no ponto (0,0) segundo o vector v =(1, 1)ecalculeaderivadadirigidanomesmopontosegundoamesma direção e sentido. RESOLUÇÃO:Afunçãof definidaporf(x,y)=sin(xy)+xy +3xestá definidaemtodooplanor. Sendof umafunçãodiferenciávelemtodooseudomínio,porserasoma defunçõesdiferenciáveis(notemosquez=sin(xy)édiferenciávelporsera função composta de funções diferenciáveis), em particular f é diferenciável noponto(a,b)=(0,0). Comotal,ocálculodaderivadadirecionaldef no ponto(0,0)segundoovector v =(1, 1)podeserefectuadopeloproduto interno f (1, 1) (0,0)=(1, 1) gradf(0,0)=1 (0,0)+( 1) x y (0,0). Calculando as derivadas parciais necessárias, x (0,0) = ( sin(xy)+xy +3x ) x x=0 y=0 e = ( ycos(xy)+y +3 ) x=0 y=0 =3 y (0,0) = ( sin(xy)+xy +3x ) y x=0 y=0 obtemos = (xcos(xy)+xy) x=0 y=0 =0, f (1, 1)(0,0)=1 x (0,0)+( 1) y (0,0)=1 3+( 1) 0=3.

7 ROSÁRIO LAUREANO 7 Emalternativa, atendendoaque ovector v =(1, 1) faz oângulode α= 45 o (ouα =5 o )comapartepositivadoeixodosxxetemnorma v = (1, 1) = 1 +( 1) =, a derivada direcional f (1, 1) (0,0) é o valor dado por, através dos cosenos diretores, por f (1, 1)(0,0) = cos( 45 o ) x = (0,0)+sin( 45o ) y (0,0) 3+ 0= =3. Paraobteraderivadadirigidanomesmoponto(0,0)esegundoamesma direçãoesentidoháquetomarovectorversorde v =(1, 1)dadopor vers( v)= 1 v v = 1 ( 1, 1 ). (1, 1)= A derivada dirigida pedida é então o produto interno ( f ( 1 1 )(0,0) =,, 1 ) gradf(0,0) 1 = 1 ( x (0,0)+ 1 ) y (0,0) = 1 ( 1 ) 0= Exercício Considere a função f definida por f(x,y)=xysin x y. Determine o vector gradiente de f no ponto (0,1) e calcule a derivada dirigidadef noponto(0,1)segundoovector v = ( 3/,1/ ). RESOLUÇÃO: A função real f definida por f(x,y)=xysin x y

8 ROSÁRIO LAUREANO 8 tempordomíniotodooplanor R\{0}. Ovectorgradientedef noponto(0,1)édadopor ( ) gradf(0,1)= x (0,1), y (0,1). Dado que [ ( x (0,1)= y sin x y x1 y y)] cosx =0 (0,1) e [ ( y (0,1)= x sin x y +yx y y)] cosx =0 (0,1) temos gradf(0,1)=(0,0). Paracalcularaderivadadirigidade f noponto(0,1) segundoovector ( ) v = 3/,1/,háqueaveriguarseovector ( ) v = 3/,1/ temnorma unitária. De facto, ( ) 3 ) v = ( 3,1 = + ( ) 1 3 = =1. A função f é diferenciável em todo o seu domínio por ser o produto de funções diferenciáveis (notemos que z = sin(x/y) é diferenciável por ser a funçãocompostadefunçõesdiferenciáveisnospontosded f ),emparticular noponto(a,b)=(0,1). Comotal,ocálculodaderivadadirigidadefsegundo ovector v podeserefectuadopeloprodutointerno ( ) 3 (0,1) = f ( 3/,1/) (0,1)=,1 gradf(0,1) = 3 3 (0,1)+1 x y (0,1)= 0+1 0=0. Exercício Determinaraderivadadirigidadafunçãof(x,y)=yexpx noponto(0,3) nadireçãoquefazumângulode10 o comapartepositiva doeixo0x. RESOLUÇÃO:Afunçãorealf(x,y)=yexpxtempordomíniotodoo planor.

9 ROSÁRIO LAUREANO 9 Paradeterminaraderivadadirigidadef noponto(0,3)nadireçãoque fazumângulode10 o comapartepositivadoeixodosxx,notemosfédiferenciável em todo o seu domínio(por ser o produto de funções diferenciáveis), emparticularnoponto(a,b)=(0,3). Comotal, ocálculodaderivadadirigidadef noponto(0,3)segundoqualquervector v =(v 1,v )(denorma 1) pode ser efectuado pela fórmula f v (0,3)=f (v 1,v )(0,3)=cosα x (0,3)+sinα y (0,3) emqueαéoânguloqueovector v fazcomapartepositivadoeixodosxx. Temos x (0,3)= (yexpx) x x=0 = y=3 (yexpx) x=0=3 1=3 y=3 e y (0,3)= (yexpx) y =(expx) x=0 =1. y=3 x=0 y=3 Se10 o éoânguloqueovector v =(v 1,v )fazcomapartepositivadoeixo dosxxentãoaderivadadirigidaf v (0,3)édadapor f v (0,3) = f (v 1,v )(0,3)=cos10 o x (0,3)+sin10o y (0,3) = = 3 3. Notemosqueascoordenadasdovectorunitário v sãofacilmenteobtidas, ( v =(cos10 o,sin10 o )= 1 ) 3,. Exercício Considereafunçãof :R Rdefinidapor f(x,y)=ysin (x)+x y. Determine o vector v para oqual a derivada dirigida dafunçãof é dada pela expressão f v (x,y)=sin (x)+x

10 ROSÁRIO LAUREANO 10 everifiquequeafunçãog:r Rdadaporg(x)=sin (x)+x édeclasse C com d 5 g dx 5(x)=g(5) (x)=16sin(x). RESOLUÇÃO:Afunçãorealf :R Rdefinidaporf(x,y)=ysin (x)+ x ytempordomíniotodooplanor e Paradeterminearovector v paraoqualaderivadadirigidadafunçãof édadapelaexpressãof v (x,y)=sin (x)+x,comecemospornotarquef é diferenciável em todo o seu domínio por ser a soma de funções diferenciáveis (notemosquez=ysin x=ysinxsinxédiferenciávelporseroprodutode de funções diferenciáveis). Como tal, a fim de encontrar o vector unitário v = (cosα,sinα) tal que f v (x,y) = sin x+x, podemos considerar o cálculo da derivada dirigida através pela do produto interno f v (x,y)=cosα x (x,y)+sinα y (x,y), emqueαéoânguloqueovector v fazcomapartepositivadoeixodosxx. Temos então f v (x,y)=cosα (ysinxcosx+xy)+sinα (sin x+x ). Resolvendo então a equação sin x+x =(ysinxcosx+xy)cosα+(sin x+x )sinα, verificamosqueexisteumasoluçãoparacosα=0 sinα=1. Oânguloα que verificaestaconjunçãode condiçõeséα=π/. Ovectorprocuradoé então v =(cosα,sinα)=(cos π,sinπ )=(0,1). Poderíamos ter chegado à mesma conclusão atendendo a que sin x+x = ( ysin (x)+x y ) y = y (x,y)=f (0,1)(x,y), aderivadaparcialemordememy(emqueseconsideraxcomoconstante). Paracalcularaderivadadeordem5dafunçãog(x)=sin x+x,aplicamos sucessivamente as regras de derivação, dg dx (x)=g (x)=sinxcosx+x=sin(x)+x,

11 ROSÁRIO LAUREANO 11 e d g dx (x)=g (x)=[sin(x)+x] =cos(x)+, d 3 g dx 3(x)=g (x)=[cos(x)+] = 4sin(x), d 4 g dx 4(x)=g(4) (x)=[ 4sin(x)] = 8cos(x) d 5 g dx 5(x)=g(5) (x)=[ 8cos(x)] =16sin(x). A função trigonométrica y = sin x e a função polinomial w = x têm derivadascontínuasdetodasasordens. Comotalafunçãog(x)=sin x+x tem derivadas contínuas de todas as ordens e, por isso, podemos afirmar que géumafunçãodeclassec. 3 Exercício proposto 1. Considereafunçãof :R \{(0,0)} Rdefinidapor f(x,y)=exp x ( ) y x y g x ondeg:r RéumafunçãodeclasseC 1. (a) Calculeaderivadadirigidadef noponto(1,1)segundoovector v = ( /, / ). (b) Admitindo que g (0) = 1, determine o vector gradiente de f no ponto(1, 1). 3.1 Solução do exercício proposto 1. (a)0; (b)(e+1, e 1)