Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS. Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I

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Heitor Salvado Rios
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1 Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ano Lectivo º Semestre Eame Final de ª Época em 0 de Janeiro de 010 Duração: horas e 30 minutos É proibido usar máquinas de calcular ou telemóveis Não tenha o seu telemóvel consigo Não são esclarecidas dúvidas Simplifique os cálculos ao máimo Justifique sempre as suas respostas Pode usar o verso das folhas de eame Os rascunhos devem estar bem identificados Não pode desagrafar as folhas do eame

máquinas de calcular ou telemóveis Não tenha o seu telemóvel consigo Não são esclarecidas dúvidas Simplifique os cálculos ao máimo

2 Eame de Cálculo 1 em 0 de Janeiro de ( valores) Pretende-se que o aluno comente num máimo de TRÊS linhas duas afirmações. Normalmente os alunos comentam em 30 linhas, dizem e desdizem, contradizem-se, o que está longe do que se pretende. Para mostrar que se pode responder em 3 linhas, apresenta-se um caso resolvido. Eemplo resolvido Comente: Se uma função real de variável real tem domínio R e derivada em todos os pontos, então é diferenciável em R. Falso. Para ser verdade teria de ter derivada FINITA em todos os pontos. Basta pensar na função f ( ) = para 0 e que toma o valor zero se = 0. É um dos seis casos típicos. A gente avisou que os casos típicos eemplificam quase tudo.

Para mostrar que se pode responder em 3 linhas, apresenta-se um caso resolvido.

3 Eame de Cálculo 1 em 0 de Janeiro de 010 AGORA É A SÉRIO 1a) (1 valor) Uma função real de variável real com limite finito em todos os pontos não pode ter assimptotas verticais nem horizontais. 1b) (1 valor) Uma sucessão U n tem por limite o número real finito u; então U n u é necessariamente uma sucessão monótona. 3

4 Eame de Cálculo 1 em 0 de Janeiro de 010 (4 valores) Considere os conjuntos de números reais A e B definidos pelas seguintes condições: 1 A R : ( 1) n = = π +, n n a) Os conjuntos A e B têm o mesmo cardinal? b) Indique, caso eistam i) O conjunto dos majorantes de A ii) O mínimo de A iii) O conjunto derivado de A iv) A aderência de A v) O cardinal de ( A B) vi) A fronteira de ( ínfimo B derivado B) 1 B = R \ Q : 3 3 (3 Valores) A gestora do Bar da Tenda está preocupada com o preço das bebidas nas festas da Universidade. Ela sabe que há uma relação implícita entre o preço das bebidas, P, e o número de bebidas vendidas, B; essa relação é: a) (1 valor) Sabendo que na ultima festa no Bar da Tenda se venderam 100 bebidas calcule o preço a que cada uma foi vendida. Note bem que não se deram bebidas, o que aliás é natural numa Faculdade de Economia. b) (1 valor) Calcule, sem eplicitar P como função de B, o impacto no preço das bebidas de uma variação infinitesimal no número de bebidas vendidas. Lembre-se que foram vendidas 100 bebidas. c) (1 valor) Imagine agora que em vez de querer avaliar como varia o preço com a quantidade de bebidas, a gestora do Bar da Tenda quer fazer a análise inversa. Ou seja, quer saber quanto irá variar o número de bebidas vendidas com uma variação infinitesimal do seu preço. Sem efectuar grandes cálculos, ajude-a a calcular este valor. 4

$R \ Q : 3 3 (3 Valores) A gestora do Bar da Tenda está preocupada com o preço das bebidas nas festas da Universidade.$

5 Eame de Cálculo 1 em 0 de Janeiro de 010 d) (1 valor) De acordo com o Gabinete de Estudos do Bar da Tenda prevê-se que na próima festa da universidade a relação entre o número de bebidas e o respectivo preço seja dada por: P + B = Com base nesta nova relação, escreva na forma eplícita a função que nos dá o preço das bebidas como função do número de bebidas vendidas e indique que valores pode tomar B. Lembre-se que estamos a falar de preços e que não há bebidas grátis nem subsídios ao consumo. 4 (4 valores) Tem agora quatro afirmações sobre as quais apenas se pede que diga se cada uma é verdadeira ou falsa. Mas atenção: cada resposta certa conta 1 valor cada resposta errada conta -0,5 valor cada resposta em branco conta -0,5 a) Uma sucessão convergente estritamente decrescente aproima-se sempre de todos os pontos da aderência do conjunto dos minorantes do seu limite b) Seja qual for a função z = f (, y), para todo o k R a equação f (, y) = k, define as designadas linhas de nível da função f. c) Seja uma função real de variável real, contínua, definida em R e tal que f ( ) 0. Então 10 ( ) f d representa sempre a medida de uma área. d) Seja qual for a sucessão real de variável real, n U, o complementar do interior do conjunto formado pelos seus elementos é um conjunto de cardinal Alef um. 5

000 Com base nesta nova relação, escreva na forma eplícita a função que nos dá o preço das bebidas como função do número de bebidas vendidas e indique que valores pode tomar B.

6 Eame de Cálculo 1 em 0 de Janeiro de (3 valores) Considere a sucessão w n = 1 n n. a) Estude w n quanto à monotonia. b) É w n convergente? c) É w n limitada? (talvez trocar a ordem de b com c, não é?) d) Seja a sucessão v n = 1 Calcule lim n v n. w n 6 (4 valores) Considere a função ( ) = 10 f e α a) O integral f ( ) d, sendo α um número real, representará uma área? Porquê? b) Verifique se o integral + 10e é convergente. Sugestão: primitive por substituição fazendo d = t c) Considere a função ( α ) α = g 10e d Calcule o diferencial de g ( α ) no ponto α = com dα =

w n 6 (4 valores) Considere a função ( ) = 10 f e α a) O integral f ( ) d, sendo α um número real, representará uma área? Porquê?

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