Problemas sobre Sistemas Não Lineares
|
|
- Jorge Filipe Pais
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo em Espaço de Estados Problemas sobre Sistemas Não Lineares Organizada por J. Miranda Lemos 0 J. M. Lemos IST
2 P. (Construção do modelo estado linear por linearização em torno de um ponto de equilíbrio) Considere o circuito eléctrico que se representa na fig.. Fig. Problema P. A característica da condutância G é não linear, sendo definida por As equações de estado são i G g( v ) v ( v )( v 4) G dv di G G i v i g( u v) em que i e v são as variáveis de estado e u é a entrada. a) Um dos estados de equilíbrio que ocorrem quando a entrada toma o valor constante u é i v 0 (o índice refere-se ao ponto de equilíbrio número ). Determine os outros dois pares de i e v que conduzem ao equilíbrio quando a entrada toma o mesmo valor. b) Obtenha os modelos linearizados em torno dos três pontos de equilíbrio que determinou. c) O que pode dizer sobre a estabilidade de cada um dos pontos de equilíbrio? G P. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) Considere o modelo de estado não linear J. M. Lemos IST
3 d ( d ( 4 ) 4 ) a) Determine os pontos de equilíbrio (pense numa interpretação geométrica) e os sistemas linearizados em torno de cada um desses pontos. b) Classifique em termos de estabilidade o sistema em torno dos pontos de equilíbrio. P. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) As populações de Marsupilamis e de Monstros da Tasmânia (animais eistentes nas selvas da Brutópia) podem ser modeladas pelo sistema de equações diferenciais: d d Nestas equações, corresponde ao número de Marsupilamis e corresoponde ao número de Monstros da Tasmânia (cada unidade corresponde a 000 indivíduos). Responda às seguintes perguntas: a) Determine um ponto de equilíbrio em que o número de monstros da Tasmânia é nulo e o número de Marsupilamis é não nulo. b) Determine as equações de estado do sistema linearizado em torno desse ponto de equilíbrio e calcule os respectivos valores próprios e vectores próprios. A partir destes elementos, faça um esboço aproimado do retrato de fase em torno deste ponto de equilíbrio. c) A LPMT (Liga de Protecção dos Monstros da Tasmânia) solicitou ao Ministro do Ambiente da Brutópia que introduzisse alguns casais de Monstros da Tasmânia por forma a restaurar a sua população. A LPMT afirma que alguns casais dariam origem a uma população que cresceria. O Dr. S. A. B. Tudo, consultor do Ministro do Ambiente em matéria de Monstros, afirma que a introdução de alguns casais não resolveria nenhum problema e que estes rapidamente se etinguiriam sem que o número de Monstros da Tasmânia J. M. Lemos IST
4 aumentasse. Tendo em conta o modelo apresentado, diga quem tem razão: a LPMT ou o Dr. S. A. B. Tudo? P4. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) Foi recentemente descoberta na Melanésia uma ilha habitada apenas por duas novas espécies de herbívoros, a que foram dados os lindos nomes de Necs e Plaks. Após aturados estudos de uma competende equipa de biólogos concluiu-se que estas duas espécies competem entre si pelo alimento disponível, podendo o número médio dos seus efectivos ser modelado pelo sistema de equações diferenciais não lineares: dn N( N P) dp P P N 4 4 em que N é o número de Necs e P é o número de Plaks. Estes números são normalizados pelo que, para obter os valores das populações é necessário multiplicá-los por 000. Determine se é possível as duas espécies coeistirem a longo prazo. Sugestão: Comece por mostrar que N, P é um ponto de equilíbrio do sistema não linear e estude o que acontece às populações se este equilíbrio fôr ligeiramente perturbado. P5. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) Um pêndulo com comprimento m e massa kg pode ser descrito pelo modelo de estado não linear d d 0sin( ) J. M. Lemos IST 4
5 em que é o ângulo de desvio da vertical, é a velocidade angular e o coeficiente de atrito. a) Mostre que a origem 0, 0) é um ponto de equilíbrio do sistema. ( b) Obtenha a matriz da dinâmica do sistema linearizado em torno da origem. c) Calcule os valores próprios da matriz da dinâmica do sistema linearizado em torno da origem, em função do parâmetro. d) Discuta a estabilidade em torno da origem do sistema linearizado e do sistema não linear quando 0. Considere todos os casos relevantes. P6. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) O PLL (Phase Lock Loop - malha de captura de fase) é um dispositivo não linear usado quer para resolver problemas de Telecomunicações (desmodulação de fase) quer de Controlo (controlo de velocidade de precisão). A figura 6- mostra um diagrama de blocos genérico de um PLL. O PLL gera no ponto B um sinal em fase com o sinal de entrada em A, cuja fase se pretende determinar. Fig. 6- Problem P6. Diagrama de blocos de um PLL. O sistema de equações diferenciais não linear seguinte J. M. Lemos IST 5
6 representa o modelo de um PLL. Admite-se que a fase do sinal de entrada é constante. A constante i representa a fase da sinusóide de entrada que se pretende estimar. A variável de estado representa a estimativa dessa fase. Pretende-se: a) Mostre que Ponto A: i 0 são dois pontos de equilíbrio do sistema. Ponto B: i 0 b) Calcule o sistema linearizado em torno de cada um destes ponto de equilíbrio. c) Para cada um dos sistemas linearizados que obteve em b) calcule os valores próprios e classifique-os qualitativamente (diga se são estáveis ou instáveis e se se trata de um nó, de um foco, de um centro ou de um ponto de sela). d) Diga, justificando, se pode concluir que o sistema não linear é assimptoticamente estável em torno de cada um dos pontos de equilíbrio acima referidos. d d sin i P7. (Estabilidade de pontos de equilíbrio por linearização) Considere o sistema autónomo (isto é, sem entrada), de ª ordem, descrito pelo sistema de equações não lineares d ( ) d ( ) a) Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio do sistema. Obtenha as equações do sistema linearizado em torno da origem. Classifique a origem em termos dos valores próprios do sistema linearizado. Diga o que pode J. M. Lemos IST 6
7 concluir daqui sobre o comportamento em torno da origem do sistema não linear. b) Recorrendo ao º Método de Lyapunov, e tomando como candidata a função de Lyapunov a função V (, ) do sistema não linear?, o que pode dizer sobre a origem P8. (Estudo da estabilidade com o º método de Lyapunov) Considere o sistema não linear de ª ordem, sem entrada, descrito pelas equações de estado: d d 4 4 a) Recorrendo ao º Método de Lyapunov e usando a candidata a função de Lyapunov dada por V (, ) ( mostre que a origem (, 0 ) é um ponto de equilíbrio estável pelo 0 menos, no sentido de Lyapunov. Diga se pode garantir que o ponto é assimptoticamente estável. ) b) Recorrendo ao Teorema do Conjunto Invariante, mostre que, de facto, a origem é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. P9** (Estabilidade de um ponto de equilíbrio de um sistema não linaer a partir do modelo linearizado). Considere o sistema não linear d f () R n () em que 0 é um ponto de equilíbrio isolado e f é um vector de funções contínuas com primeiras derivadas parciais contínuas numa bola centrada em torno da origem. Seja J. M. Lemos IST 7
8 f ( ) A g( ) em que a matriz A é dada por e g verifica f ( ) i A j 0 lim 0 g( ) 0 Por outras palavras, d A () é a linearização de () em torno da origem. Recorrendo ao º Método de Lyapunov, mostre que se A tem todos os valores próprios com parte real negativa, então a origem ( 0 ) é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável do sistema não linear (). Sugestões: i) Considere uma função de Lyapunov válida para o sistema linearizado () e tente mostrar que também é uma função de Lyapunov para o sistema não linear (). ii) Desigualdade de Schwarz: T y y, y n R iii) Sendo P uma matriz de elementos reais e P ma n R, tem-se em que ma é o máimo valor singular da matriz P. Os valores singulares de uma matriz de elementos reais m n M são definidos como J. M. Lemos IST 8
9 J. M. Lemos IST 9 ) ( : ) ( M M M T i i em que i designa o valor próprio número i. iv) Recorde que, por definição de limite, se a z h z ) ( lim 0 R z então a z h z ) ( :, 0 0 P0. (º Método de Lyapunov). Recorrendo ao º método de Lyapunov, com uma função de Lyapunov tentativa da forma ), ( b a V mostre que a origem de cada um dos seguintes sistemas não lineares é do tipo indicado, relativamente à estabilidade: a) Assimptoticamente estável b)assimptoticamente estável c)estável, pelo menos d)instável 4
10 P. (Equação de Lyapunov). Recorrendo ao º Método de Lyapunov, determine a estabilidade em torno do ponto de equilíbrio do seguinte sistema linear: 4 P. (Estudo da estabilidade com o º método de Lyapunov) Considere o diagrama de blocos do servomecanismo realimentado que se mostra na fig. 9-. Neste sistema de controlo de posição, o sinal de entrada u de um motor de corrente contínua é aplicado por um actuador cuja característica é descrita por uma função não linear f aplicada ao erro de seguimento. r + - e f(.) u + - st s Fig. 9- Servomecanismo realimentado com um actuador não linear. Sabe-se que esta função é tal que Isto significa que: f ( e) 0 para e 0 ; f ( e) 0 para e 0 ; f ( e) 0 para e 0 e 0 A referência r é constante no tempo. f ( ) d 0 para e 0 As variáveis e são, respectivamente, a posição angular e a velocidade angular do veio do motor. O parâmetro T 0 é a constante de tempo do motor. Responda às seguintes perguntas: J. M. Lemos IST 0
11 a) Considere o estado definido pelo erro de seguimento e e pela velocidade angular. Escreva as equações de estado (não-lineares) correspondentes. Estas equações dependem da função f. b) Mostre que T V ( e, ) f ( ) d é uma função de Lyapunov para a origem do sistema descrito na alínea a). Diga que conclusões pode tirar sobre a estabilidade para este ponto de equilíbrio. c) Diga que conclusões pode tirar pela aplicação do Teorema do Conjunto Invariante para o mesmo problema. e 0 P. (Estudo da estabilidade com o º método de Lyapunov) a) Recorrendo ao º Método de Lyapunov, mostre que a origem (0, 0) do sistema seguinte é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável: d d b) Faça uma transformação da variável tempo t no eemplo anterior por forma a obter um sistema instável. Demonstre que ele é instável com o teorema de instabilidade de Lyapunov. P4. (º Método de Lyapunov). Considere um sistema de controlo adaptativo em que o vector de ganhos do controlador, F, é actualizado continuamente de acordo com a solução da equação diferencial df M F V (F) em que M é uma matriz constante simétrica, definida positiva, e FV (F) representa o gradiente da função V em ordem a F. A função V é uma função dos ganhos F, definida positiva, com mínimo em F 0. J. M. Lemos IST
12 Recorrendo ao º Método de Lyapunov, mosrtre que o sistema de adaptação é tal que o ganho F 0, correspondente ao mínimo de V, é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. P5. (Aplicação do º Método de Lyapunov ao estudo da estabilidade de um sistema linear em cadeia fechada com controlo LQ). Considere o SISO com entrada escalar ( A( bu( ao qual está associado o funcional de custo quadrático de horizonte infinito em que ' ( Q( u ( J 0 Q T Q 0 0 A lei de controlo que optimiza este funcional é dada pela retroacção constante do estado definida por u opt ( K( K b T P em que P é a matriz simétrica semidefinida positiva solução da equação de Riccati algébrica dada por T A P PA Pbb T P Q 0 Demonstre que T V( ) ( P( é uma função de Lyapunov para o sistema em cadeia fechada com o controlo óptimo acima definido. P6. (Controlo adaptativo com uma função de Lyapunov de controlo) Considere o sistema da fig. 5- que representa um controlador de caudal com uma válvula não linear. J. M. Lemos IST
13 Fig. 6-: Problema P6. Válvula não linear. A válvula é descrita pelo modelo não linear de ª ordem dy u f (y) em que a função não linear f (.) é conhecida, estando representada na fig., e o parâmetro é desconhecido. Pretende-se: a) Determine uma retroacção estática da saída tal que, admitindo um conhecimento perfeito de, o sistema (válvula+realimentação) se comporte como um integrador. b) Determine uma lei de controlo linear a aplicar ao integrador assim resultante, que leve a que, supondo conhecimento perfeito de, o erro de seguimento e( h( r do sistema controlado tenda para zero com uma constante de tempo de segundo. c) Recorrendo ao Segundo Método de Lyapunov, obtenha uma lei de ajuste do parâmetro que garanta que o sistema global é estável. d) Diga justificadamente se pode ou não garantir que o erro de seguimento e( h( r tende para zero quando t tende para infinito. P7. (Controlo adaptativo com uma função de Lyapunov de controlo) Considere o sistema da fig. 7- em que se pretende actuar no caudal u ( à entrada do tanque, por forma a regular o nível h ( para um valor de referência r constante e conhecido. Admite-se que a área da secção recta do tanque tem o valor A constante e conhecido. Admita A. A área da abertura de saída do tanque tem um valor desconhecido, que é designado por a. A dinâmica do nível do tanque é pois descrita por J. M. Lemos IST
14 dh A em que é um parâmetro a estimar. u h Fig. 7-: Problema P7. Pretende-se: e) Determine uma retroacção estática da saída tal que, admitindo um conhecimento perfeito de, o sistema (tanque+realimentação) se comporte como um integrador. f) Determine uma lei de controlo linear a aplicar ao integrador assim resultante, que leve a que, supondo conhecimento perfeito de, o erro de seguimento e( h( r do sistema controlado tenda para zero com uma constante de tempo de segundos. g) Recorrendo ao Segundo Método de Lyapunov, obtenha uma lei de ajuste do parâmetro que garanta que o sistema global é estável. h) Diga justificadamente se pode ou não garantir que o erro de seguimento e( h( r tende para zero quando t tende para infinito. J. M. Lemos IST 4
Controlo Em Espaço de Estados. Exame
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo Em Espaço de Estados 4/5 Eame 9 de Junho de 5, 5h horas salas F, F Duração horas Não é permitida consulta nem uso de calculadoras
Leia mais5. Sistemas Não lineares
Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 5. Sistemas Não lineares Objectivo: Após completar este módulo, o aluno deverá ser capaz de: ) Aproimar um sistema não linear por um sistema linearizado em
Leia maisIntrodução ao estudo de equações diferenciais
Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações
Leia maisNotas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos
Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo
Leia maisTrabalho Computacional. A(h) = V h + 2 V π h, (1)
Unidade de Ensino de Matemática Aplicada e Análise Numérica Departamento de Matemática/Instituto Superior Técnico Matemática Computacional (Mestrado em Engenharia Física Tecnológica) 2014/2015 Trabalho
Leia maisEquações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +
Leia maisAnálise de Regressão Linear Simples e Múltipla
Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Carla Henriques Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Carla Henriques (DepMAT ESTV) Análise de Regres. Linear Simples e Múltipla
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisUNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ano lectivo de 7/8 - º Semestre Etremos
Leia maisEA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 28 - Estabilidade do Estado
Aula 28 EA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 28 - Estabilidade do Estado Prof. Ricardo C.L.F. Oliveira Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas 2 o Semestre
Leia maisIntrodução ao Estudo da Corrente Eléctrica
Introdução ao Estudo da Corrente Eléctrica Num metal os electrões de condução estão dissociados dos seus átomos de origem passando a ser partilhados por todos os iões positivos do sólido, e constituem
Leia maisEquações Diferenciais
Equações Diferenciais EQUAÇÕES DIFERENCIAS Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e suas taxas de variação estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 8 APLICAÇÕES E COMPLEMENTOS Sistemas Dinâmicos Discretos (1) (Problema
Leia maisAnálise de regressão linear simples. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Análise de regressão linear simples Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Introdução A análise de regressão estuda o relacionamento entre uma variável chamada a variável dependente
Leia maisControle de Veículos Aéreos
12, 13 e 14/11/2014, Parnaíba-PI Controle de Veículos Aéreos Prof. Dr. Mário Sarcinelli Filho Universidade Federal do Espírito Santo UFES Bolsista de Produtividade em Pesquisa PQ-2 do CNPq Orientador de
Leia mais(Exames Nacionais 2002)
(Exames Nacionais 2002) 105. Na figura estão representadas, num referencial o.n. xoy: parte do gráfico de uma função f, de domínio R +, definida por f(x)=1+2lnx; a recta r, tangente ao gráfico de f no
Leia maisCaracterísticas de um fluido
FLUIDOS - Propriedades Características de um fluido Gases e liquídos podem ambos ser considerados fluidos. Há certas características partilhadas por todos os fluidos que podem usar-se para distinguir liquidos
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisCálculo em Computadores - 2007 - trajectórias 1. Trajectórias Planas. 1 Trajectórias. 4.3 exercícios... 6. 4 Coordenadas polares 5
Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias Trajectórias Planas Índice Trajectórias. exercícios............................................... 2 2 Velocidade, pontos regulares e singulares 2 2. exercícios...............................................
Leia maisControle II. Estudo e sintonia de controladores industriais
Controle II Estudo e sintonia de controladores industriais Introdução A introdução de controladores visa modificar o comportamento de um dado sistema, o objetivo é, normalmente, fazer com que a resposta
Leia maisABAIXO ENCONTRAM-SE 10 QUESTÕES. VOCÊ DEVE ESCOLHER E RESPONDER APENAS A 08 DELAS
ABAIXO ENCONTRAM-SE 10 QUESTÕES. VOCÊ DEVE ESCOLHER E RESPONDER APENAS A 08 DELAS 01 - Questão Esta questão deve ser corrigida? SIM NÃO Um transformador de isolação monofásico, com relação de espiras N
Leia maisProblemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias
Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados
Leia mais3.1. Classifique: 3.1.1. o tipo de movimento da formiga. 3.1.2. o tipo de movimento da barata.
Escola Secundária Vitorino Nemésio Segundo teste de avaliação de conhecimentos de Física e Química A Componente de Física 11º Ano de Escolaridade Turma C 10 de Dezembro de 2008 Nome: Nº Classificação:
Leia mais(Testes intermédios e exames 2005/2006)
158. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log 3 (1 ) 1 (A) [,1[ (B) [ 1,[ (C) ], ] (D) [, [ 159. Na figura abaio estão representadas, em referencial o. n. Oy: parte do gráfico
Leia maisI. Cálculo Diferencial em R n
Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento
Leia maisTexto 07 - Sistemas de Partículas. A figura ao lado mostra uma bola lançada por um malabarista, descrevendo uma trajetória parabólica.
Texto 07 - Sistemas de Partículas Um ponto especial A figura ao lado mostra uma bola lançada por um malabarista, descrevendo uma trajetória parabólica. Porém objetos que apresentam uma geometria, diferenciada,
Leia maisAnálise e Processamento de Bio-Sinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Sinais e Sistemas. Licenciatura em Engenharia Física
Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Física Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide Slide 1 1 Tópicos: Representação de Sinais por
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia maisDESENVOLVIMENTO DE UM DINAMÔMETRO PARA MOTORES ELÉTRICOS EMPREGADOS EM VEÍCULOS EM ESCALA, COM MEDIDA DE DIRETA DE TORQUE E CARGA VARIÁVEL
DESENVOLVIMENTO DE UM DINAMÔMETRO PARA MOTORES ELÉTRICOS EMPREGADOS EM VEÍCULOS EM ESCALA, COM MEDIDA DE DIRETA DE TORQUE E CARGA VARIÁVEL Aluno: Vivian Suzano Orientador: Mauro Speranza Neto 1. Introdução
Leia maisAlém do Modelo de Bohr
Além do Modelo de Bor Como conseqüência do princípio de incerteza de Heisenberg, o conceito de órbita não pode ser mantido numa descrição quântica do átomo. O que podemos calcular é apenas a probabilidade
Leia maisModelo Matemático e Controle de um Robô Móvel. 2.1. Modelo do motor que aciona cada roda do robô
1. Introdução Modelo Matemático e Controle de um Robô Móvel Nesta aula serão apresentadas leis de controle que permitem a um robô móvel nãoholonômico navegar de maneira coordenada desde uma localização
Leia maisNuma turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma?
GUIÃO REVISÕES Equações e Inequações Equações Numa turma de 6 alunos, o número de raparigas ecede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? O objectivo do problema é determinar o número
Leia maisNão é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que pretende que não seja classificado.
Teste Intermédio de Matemática B 2010 Teste Intermédio Matemática B Duração do Teste: 90 minutos 13.04.2010 10.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Utilize apenas caneta ou esferográfica
Leia maisEvocar os conceitos do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), do MRU (movimento retilíneo uniforme) e a decomposição de forças.
14 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos Objetivos da segunda aula da unidade 1: Evocar os conceitos do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), do MRU (movimento retilíneo uniforme) e a decomposição
Leia mais2ª fase. 19 de Julho de 2010
Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) ª fase 19 de Julho de 010 Grupo I 1. Como só existem bolas de dois tipos na caixa e a probabilidade de sair bola azul é 1, existem tantas bolas
Leia maisPP 301 Engenharia de Reservatórios I 11/05/2011
PP 301 Engenharia de Reservatórios I 11/05/2011 As informações abaixo têm como objetivo auxiliar o aluno quanto à organização dos tópicos principais abordados em sala e não excluem a necessidade de estudo
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisExercícios 1. Determinar x de modo que a matriz
setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n
Leia maisUm sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:
Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: 2 3 6 a) 5 2 3 7 b) 9 2 3 Resolução de sistemas lineares Metodo da adição 4 100
Leia mais6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS
6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS Quando uma função f (z) não é diferenciável num complexo z 0 ; diremos que z 0 é uma singularidade de f (z) ; z 0 dir-se-á uma singularidade isolada de f (z) se, contudo, f
Leia maisFaculdade Sagrada Família
AULA 12 - AJUSTAMENTO DE CURVAS E O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Ajustamento de Curvas Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra, fazemos uma análise de regressão. Podemos dizer
Leia maisIdentifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS. Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I
Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ano Lectivo 009-10 - 1º Semestre Eame Final de ª Época em 0 de
Leia maisTRABALHO: CONTROLE DE UM SISTEMA PÊNDULO-CARRO
TRABALHO: CONTROLE DE UM SISTEMA PÊNDULO-CARRO Professor: Tiago Dezuo 1 Objetivos Desenvolver técnicas de controle por variáveis de estado clássicas e ótimas, realizando comparações de desempenho entre
Leia maisESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO
ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO Angelo Fernando Fiori 1 Bruna Larissa Cecco 2 Grazielli Vassoler 3 Resumo: O presente trabalho apresenta um estudo sobre os espaços vetoriais munidos de produto interno.
Leia maisFICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então:
FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de = 0. Então: (A) f tem necessariamente derivada finita em = 0; (B) f não tem com certeza derivada finita
Leia maisINSTITUTO TECNOLÓGICO
PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA
Leia maisO comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.
ESTATÍSTICA INDUTIVA 1. CORRELAÇÃO LINEAR 1.1 Diagrama de dispersão O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.
Leia maisCORPOS RÍGIDOS: As forças que actuam num corpo rígido podem ser divididas em dois grupos:
CORPOS RÍGIDOS: As forças que actuam num corpo rígido podem ser divididas em dois grupos: 1. Forças externas (que representam as acções externas sobre o corpo rígido) 2. Forças internas (que representam
Leia maisCAPÍTULO 2. Grafos e Redes
CAPÍTULO 2 1. Introdução Um grafo é uma representação visual de um determinado conjunto de dados e da ligação existente entre alguns dos elementos desse conjunto. Desta forma, em muitos dos problemas que
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA UFPB CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS - CCA Departamento de Solos e Engenharia Rural - DSER. Aula 02
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA UFPB CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS - CCA Departamento de Solos e Engenharia Rural - DSER Aula 02 Prof. Dr. Guttemberg da Silva Silvino Introdução Topografia Definição de Topografia
Leia maisAntenas e Propagação. Artur Andrade Moura. amoura@fe.up.pt
1 Antenas e Propagação Artur Andrade Moura amoura@fe.up.pt 2 Parâmetros fundamentais das antenas Permitem caracterizar o desempenho, sobre vários aspectos, das antenas Apresentam-se definições e utilização
Leia maisInstituto Superior de Engenharia do Porto Departamento de Engenharia Electrotécnica. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Instituto Superior de Engenharia do Porto Departamento de Engenharia Electrotécnica Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores SISEL - Sistemas Electromecânicos Eercícios de 006 . Considere
Leia maisTransformador Trifásico [de isolamento]
ISTITTO POLITÉCICO DE ISE ESCOLA SPERIOR DE TECOLOGIA Transformador Trifásico [de isolamento] Ligações do transformador trifásico de isolamento. Objectivos * Conhecer as possibilidades para a transformação
Leia maisEXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos PROVA 435/9 Págs. Duração da prova: 120 minutos 2005 1.ª FASE
Leia maisRoot Locus (Método do Lugar das Raízes)
Root Locus (Método do Lugar das Raízes) Ambos a estabilidade e o comportamento da resposta transitória em um sistema de controle em malha fechada estão diretamente relacionadas com a localização das raízes
Leia maisFichas de sistemas de partículas
Capítulo 3 Fichas de sistemas de partículas 1. (Alonso, pg 247) Um tubo de secção transversal a lança um fluxo de gás contra uma parede com uma velocidade v muito maior que a agitação térmica das moléculas.
Leia mais(Testes intermédios e exames 2010/2011)
(Testes intermédios e eames 00/0) 57. Na Figura, está parte da representação gráfica da função f, de domínio +, definida por f() = log 9 () Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio,
Leia mais5. Teoria Geral de Sistemas x Sistemas de Informações Empresariais
5. Teoria Geral de Sistemas x Sistemas de Informações Empresariais Texto-5 Profº Braulio TEORIA GERAL DE SISTEMAS Surgiu com Ludwig von Bertalanffy 1950/1968 A TGS afirma que se deve estudar os sistemas
Leia maisAula 3 OS TRANSITÒRIOS DAS REDES ELÉTRICAS
Aula 3 OS TRANSITÒRIOS DAS REDES ELÉTRICAS Prof. José Roberto Marques (direitos reservados) A ENERGIA DAS REDES ELÉTRICAS A transformação da energia de um sistema de uma forma para outra, dificilmente
Leia maisModelos, em escala reduzida, de pontes e barragens. Simuladores de voo (ou de condução), com os quais se treinam pilotos (ou condutores).
SIMULAÇÃO 1 Introdução Entende-se por simulação a imitação do funcionamento de um sistema real recorrendo a uma representação desse sistema. Com essa representação modelo, pretende-se realizar experimentações
Leia maisMecânica dos Fluidos. Unidade 1- Propriedades Básicas dos Fluidos
Mecânica dos Fluidos Unidade 1- Propriedades Básicas dos Fluidos Quais as diferenças fundamentais entre fluido e sólido? Fluido é mole e deformável Sólido é duro e muito Sólido é duro e muito pouco deformável
Leia maisMétodos de Sintonização de Controladores PID
3ª Aula de Controlo Inteligente Controlo PI iscreto Métodos de Sintonização de Controladores PI Os controladores PI são muito utilizados em aplicações industrias. A função de transferência que define o
Leia maisProva Escrita de Matemática A
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Prova Escrita de Matemática A 12.º Ano de Escolaridade Prova 635/2.ª Fase 11 Páginas Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância:
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura. (Números Complexos)
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura (Números Complexos) Jéssica Roldão de Oliveira Assis RA 160332 Campinas 2014 1 HISTÓRIA
Leia maisEA616B Análise Linear de Sistemas Resposta em Frequência
EA616B Análise Linear de Sistemas Resposta em Frequência Prof. Pedro L. D. Peres Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas 2 o Semestre 2013 Resposta em Frequência
Leia maisLaboratórios de CONTROLO (LEE) 2 o Trabalho Motor DC Controlo de Velocidade
Laboratórios de CONTROLO (LEE) 2 o Trabalho Motor DC Controlo de Velocidade Baseado no trabalho Controlo de Velocidade de um motor DC de E. Morgado, F. Garcia e J. Gaspar João Miguel Raposo Sanches 1 o
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE CIÊNCIAS INTEGRADAS DO PONTAL FÍSICA EXPERIMENTAL III INDUTORES E CIRCUITOS RL COM ONDA QUADRADA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE CIÊNCIAS INTEGRADAS DO PONTAL FÍSICA EXPERIMENTAL III INDUTORES E CIRCUITOS RL COM ONDA QUADRADA 1. OBJETIVO O objetivo desta aula é estudar o comportamento
Leia maisELETROTÉCNICA ELM ROTEIRO DA AULA PRÁTICA 01 A LEI DE OHM e AS LEIS DE KIRCHHOFF
ELETROTÉCNICA ELM ROTEIRO DA AULA PRÁTICA 01 A LEI DE OHM e AS LEIS DE KIRCHHOFF NOME: TURMA: DATA: / / OBJETIVOS: Ler o valor nominal de cada resistor através do código de cores. Conhecer os tipos de
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:
Leia maisMestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Eng Industrial e Gestão ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMec 010-11-0 1ºTESTE A duração do exame é horas + 30minutos. Cotação: As perguntas 1 e 6 valem valores,
Leia maisManual de Laboratório Física Experimental I- Hatsumi Mukai e Paulo R.G. Fernandes
Pêndulo Simples 6.1 Introdução: Capítulo 6 Um pêndulo simples se define como uma massa m suspensa por um fio inextensível, de comprimento com massa desprezível em relação ao valor de m. Se a massa se desloca
Leia maisConceito de Tensão. Índice
Conceito de Tensão Índice Breve Revisão dos Métodos da Estática 1 Tensões em Elementos Estruturais 2 nálise e Dimensionamento 3 Esforço xial; Tensão Normal 4 rincípio de Saint-Venant 5 Tensão Tangencial
Leia maisAPLICAÇÕES DA DERIVADA
Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,
Leia maisFaculdades Anhanguera
2º Aula de Física 2.1 Posição A posição de uma partícula sobre um eixo x localiza a partícula em relação á origem, ou ponto zero do eixo. A posição é positiva ou negativa, dependendo do lado da origem
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ELETRÔNICA SÉRIE DE EXERCÍCIO #A22 (1) O circuito a seguir amplifica a diferença de
Leia maisConstrução dos números racionais, Números fracionários e operações com frações
Construção dos números racionais, Números fracionários e operações com frações O número racional pode ser definido a partir da aritmética fechamento da operação de divisão entre inteiros ou partir da geometria
Leia maisLista 13: Gravitação. Lista 13: Gravitação
Lista 13: Gravitação NOME: Matrícula: Turma: Prof. : Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar. ii. Ler os enunciados com atenção. iii. Responder a questão
Leia maisUnidade II - Sistemas de Equações Lineares
Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 1- Situando a Temática Discutiremos agora um dos mais importantes temas da matemática: Sistemas de Equações Lineares Trata-se de um tema que tem aplicações dentro
Leia maisCálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU
Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) III Resolução de sistemas lineares por métodos numéricos. Objetivos: Veremos
Leia maisResumo de: THE FOUR STEPS TO THE EPIPHANY de Steve Blank de Diogo Miguel Jesus, Engenharia Informática, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 2011
Resumo de: THE FOUR STEPS TO THE EPIPHANY de Steve Blank de Diogo Miguel Jesus, Engenharia Informática, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 2011 INTRODUÇÃO Ouvir os potenciais futuros clientes, ir ao terreno
Leia maisFontes de Alimentação
Fontes de Alimentação As fontes de alimentação servem para fornecer energia eléctrica, transformando a corrente alternada da rede pública em corrente contínua. Estabilizam a tensão, ou seja, mesmo que
Leia maisSistemas e Circuitos Eléctricos
Sistemas e Circuitos Eléctricos 1º Ano/1º Semestre EACI 1º Laboratório: Introdução ao Material de Laboratório Pretende-se nesta aula de laboratório que o aluno se familiarize com o material/equipamento
Leia maisCOLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE BOM RETIRO. Plano de aula 05 junho de 2015. Bolsistas: Guimara Bulegon, Maiara Ghiggi e Viviane Polachini
COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE BOM RETIRO Plano de aula 05 junho de 2015 Bolsistas: Guimara Bulegon, Maiara Ghiggi e Viviane Polachini Supervisora: Raquel Marchetto Série: 2º ano do Ensino Médio Politécnico
Leia maisIntrodução aos Modelos Biomatemáticos - aulas
Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Teórico-Práticas Mestrado em BBC, 2008/2009 1 Capítulo 1 Nos exercícios 1) e 2) suponha que o crescimento é exponencial. 1. Entre 1700 e 1800 a população humana
Leia maisAutomatismos Industriais
Automatismos Industriais Introdução à Pneumática Nos actuais sistemas de automação a pneumática é um elemento muito importante pois está presente num vasto numero de aplicações, seja como sistema totalmente
Leia maisPARADOXO DA REALIZAÇÃO DE TRABALHO PELA FORÇA MAGNÉTICA
PARADOXO DA REALIZAÇÃO DE TRABALHO PELA FORÇA MAGNÉTICA Marcelo da S. VIEIRA 1, Elder Eldervitch C. de OLIVEIRA 2, Pedro Carlos de Assis JÚNIOR 3,Christianne Vitor da SILVA 4, Félix Miguel de Oliveira
Leia mais29/Abril/2015 Aula 17
4/Abril/015 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda
Leia maisLista de Exercícios - Unidade 8 Eu tenho a força!
Lista de Exercícios - Unidade 8 Eu tenho a força! Forças 1. (UFSM 2013) O uso de hélices para propulsão de aviões ainda é muito frequente. Quando em movimento, essas hélices empurram o ar para trás; por
Leia mais1 A Integral por Partes
Métodos de Integração Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004 Já conhecemos as regras de derivação e o Teorema Fundamental do Cálculo. Este diz essencialmente que se f for uma função bem comportada,
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA COLÉGIO TÉCNICO INDUSTRIAL DE SANTA MARIA Curso de Eletrotécnica
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA COLÉGIO TÉCNICO INDUSTRIAL DE SANTA MARIA Curso de Eletrotécnica Apostila de Automação Industrial Elaborada pelo Professor M.Eng. Rodrigo Cardozo Fuentes Prof. Rodrigo
Leia maisVibrações Mecânicas. Vibração Livre Sistemas com 1 GL. Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net
Vibrações Mecânicas Vibração Livre Sistemas com 1 GL Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Pernambuco 2015.1 Introdução Modelo 1
Leia maisSistemas de Controle Digital
ADL 24 Cap 13 Sistemas de Controle Digital Vantagens dos Computadores Digitais O uso de computadores digitais na malha leva às seguintes vantagens sobre os sistemas analógicos: (1) custo, (2) flexibilidade
Leia mais2) A área da parte mostarda dos 100 padrões é 6. 9. 2. 3) A área total bordada com a cor mostarda é (5400 + 3700) cm 2 = 9100 cm 2
MATEMÁTICA 1 Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado abaio, será repetido
Leia maisFaculdade de Computação
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Faculdade de Computação Disciplina : Teoria da Computação Professora : Sandra Aparecida de Amo Lista de Exercícios n o 2 Exercícios sobre Modelos de Máquinas de Turing
Leia maisAPOSTILA TECNOLOGIA MECANICA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de
Leia maisESCOLA NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE DEPARTAMENTO DE MÁQUINAS MARÍTIMAS
ESCOLA NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE DEPARTAMENTO DE MÁQUINAS MARÍTIMAS 4º Ano da Licenciatura em Engenharia de Máquinas Marítimas ºTESTE DE INTRUMENTAÇÃO (M42) Data -.2.2006 Duração - 2.5 horas ª Parte
Leia maisProg A B C A e B A e C B e C A,B e C Nenhum Pref 100 150 200 20 30 40 10 130
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 2 Lógica II Quando lemos um problema de matemática imediatamente podemos ver que ele está dividido em duas partes:
Leia maisSistema de equações lineares
Sistema de equações lineares Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo ( S) a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1
Leia maisUFV Universidade Federal de Viçosa DMA Departamento de Matemática MAT 138 Noções de Álgebra Linear
UFV Universidade Federal de Viçosa DMA Departamento de Matemática MAT 138 Noções de Álgebra Linear 1 2 a LISTA DE EERCÍCIOS - 2005/I 1. Resolva os sistemas abaixo e classifique-os quanto ao número de soluções:
Leia mais