5. Sistemas Não lineares

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1 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 5. Sistemas Não lineares Objectivo: Após completar este módulo, o aluno deverá ser capaz de: ) Aproimar um sistema não linear por um sistema linearizado em torno de um ponto de equilíbrio; ) Aproimar um sistema não linear por uma combinação de múltiplos sistemas lineares; 3) Traçar qualitativamente o retrato de fase de um sistema não linear de ª ordem, com base na linearização em torno dos pontos de equilíbrio e dos sinais da derivada.

2 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares Um modelo para sistemas não-lineares Vimos que muitos sistemas não lineares podem ser representados pelo modelo de estado não-linear: d f (, u) (0) 0 y( t) h( ) A primeira equação representa o modleo da dinâmica do estado A segunda equação representa o modelo dos sensores, que relaciona o estado com as observações y.

3 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 3 Eistência e unicidade da solução É condição suficiente para que a solução de d eista e seja única, que f f ( ) ( ) 0 0 seja contínua numa vizinhança de 0. Nos sistemas lineares, a solução eiste sempre e é única (Porquê?). Nos sistemas não-lineares é possível encontrar eemplos em que f não é única num ponto, pelo qual passam duas soluções (o teorema não é aplicável).

4 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 4 Tem duas soluções: Repare-se que Um eemplo de não unicidade de solução d t () t 3 3 ( 0 ) 0 3 e () t 0 f d não é contínua para 0 (e portanto o teorema de unicidade não é aplicável).

5 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 5 Singularidades na solução A solução da equação de estado dos sistemas lineares eiste para todo o tempo, entre o instante inicial e +. Nos sistemas lineares, a solução pode tender para +, mas apenas quando o tempo tende para +. Considere-se no entanto a equação não linear: d () 0 0 Esta equação pode ser facilmente integrada por separação de variáveis: ( t) 0 d t ( t) 0 t A solução só eiste para t < 0 t) t ( t 0 y Simulação com 0 0.

6 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 6 Pontos de equilíbrio Define-se ponto de equilíbrio como um ponto no espaço de estado tal que, se o estado fôr iniciado nele, permanecerá constante no tempo. Dada a equação d f ( ) os pontos de equilíbrio correspondem a valores do estado constantes, os quais são por conseguinte dados pelas raízes da equação algébrica: f ( ) 0

7 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 7 Pontos de equilíbrio dos sistemas Lineares Para um sistema linear autónomo, descrito pela equação de estado d A os pontos de equilíbrio são dados pelas raízes da equação algébrica linear: A 0 Se a matriz A não é singular, há um único ponto de equilíbrio, dado por 0. Se a matriz A é singular, há uma infinidade de pontos de equilíbrio, que formam um hiperplano que passa sempre pela origem. Ao contrário, nos sistemas não lineares podem eistir múltiplos pontos de equilíbrio isolados.

8 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 8 Determinação numérica dos pontos de equilíbrio A determinação numérica dos pontos de equilíbrio faz-se com um método numérico que resolva o sistema de equações 0 ) ( f ou seja 0 ),,, ( 0 ),,, ( n n n f f K L K A solução pode ser obtida com a função fsolve do MATLAB (Optimization toolbo). Uma outra alternativa é usar a função trim.

9 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 9 A função fsolve do MATLAB Informação adicional: Help sobre Nonlinear Systems of Equations, Nonlinear Equations with Analytic Jacobian e fsolve. Eemplo: Resolver o sistema de equações f f ( ( ) ) 0 0 Criar no directório de trabalho o ficheiro f.m com o seguinte conteúdo: function ff(); f()((()-)^)*(); f()((()-3)^)*(); Correr fsolve(@f,[5 6])

10 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 0 Linearização em torno de um ponto de equilíbrio Seja um ponto de equilíbrio do sistema não linear & f () Pretende-se aproimar a dinâmica de um incremento de equilíbrio por um modelo linear. Δ em torno do ponto + Δ

11 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares & f () d d ( + Δ) f ( + Δ) d f + Δ f ( ) + d d 0 Δ e f ( ) 0 (porquê?) d f Δ d Δ

12 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares A linearização do sistema não linear Conclusão & f () em torno do ponto de equilíbrio (solução de f ( ) 0 sistema linear em que d Δ AΔ com a matriz A dada por Δ é o incremento em torno de. A f d ) é dada pelo

13 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 3 Eercício Obtenha uma aproimação linear do sistema com entrada u dado por & f (, u) em torno do ponto de trabalho dado por e u u, supondo que a entrada u e o estado em torno do qual se faz a variação estão em equilíbrio, ou seja, que se tem f (, u ) 0

14 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 4 Eemplo: Suspensão magnética i Desprezando o atrito: m & ϕ(, i) mg

15 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 5 Massa da bola: kg A força da gravidade é mg kg 9.8ms 8 0 A bola está em equilíbrio quando a força electromagnética iguala o peso. De acordo com a característica ϕ (, i), para uma corrente i i 600mA a resultante das forças é nula quando a bola está na 3 N posição m.

16 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 6 Na posição m e na corrente i i 600mA, a 3 força electromag. vem dada por ϕ (, i ) 8 0 N e iguala o peso.

17 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 7 Linearização da característica de força: ϕ ( + Δ, i + Δi) ϕ(, i ) + K Δ + K Δi i +K K é a inclinação no ponto da curva de força versus ao longo da curva i i 600mA. O seu valor é aproimadamente 4 N / m.

18 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 8 Ki é a taa de variação de força com a corrente no ponto. No ponto, quando Quando Assim: i i 700mA, a força é de 0 3 N i i 500mA, a força é de N K i 0.4N / A

19 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 9 Aproimação linear: m & ϕ(, i) mg ϕ ( + Δ, i + Δi) ϕ(, i ) + K Δ + K i Δi Assim: + Δ i i + Δi m d Δ K Δ + d K i Δi d d && ( + Δ) Δ ou seja, em torno do ponto de equilíbrio: Δ 667Δ Δi

20 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 0 Referência sobre o eemplo anterior Franklin, Powell e Emami-Naeini. Feedback control of dynamic systems. Addison Wesley.

21 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares Linearização em torno de um ponto de equilíbrio: Eemplo d d Os pontos de equilíbrio correspondem aos pontos de intersecção da recta com a hipérbole. São dados por (-, -) e (,).

22 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares Interpretação geométrica da solução do sistema de equações: (,) d d 0 0 (-,-)

23 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 3 d d A matriz das primeiras derivadas é f d f d f d f d Esta matriz deve ser calculada em cada um dos pontos de equilíbrio.

24 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 4 Ponto de equilíbrio (-,-): f d f d f d f d Ponto de equilíbrio (,): f d f d f d f d Estes resultados podem ser obtidos numericamente com a função linmod.

25 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 5 Rede de modelos locais (Local Model Network LMN) Objectivo: Aproimar um modelo não linear por uma combinação pesada de modelos lineares válidos localmente. Eemplo: Modelo de uma bomba com dinâmica não linear φ(n) Dinâmica N baio N φ(n) N Dinâmica N médio N + N φ(n) Dinâmica N alto N

26 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 6 Modelo de estado não linear & f (, u) Linearização em torno de um ponto ( i, ui) não necessariamente de equilíbrio: f f & f ( i, ui) + Δi + Δui +K i i u u u u u i i

27 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 7 O plano (, u) é coberto por N regiões (não necessariamente disjuntas) cada uma delas associada a um modelo linearizado em torno de ( i, ui) (ditos modelos locais). u 3

28 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 8 O modelo global consiste na soma pesada das saídas dos diversos modelos locais: u Cálculo dos pesos Modelo Modelo u + y Modelo 3

29 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 9 Eemplo: LMN do motor de um camião

30 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 30 Propriedades locais e propriedades globais As redes de modelos locais não replicam necessariamente bem as propriedades globais dos sistemas que aproimam. Por eemplo, os todos os modelos locais podem ser estáveis, mas isso resultar num modelo global instável. Isto depende dos pesos e da maneira como se processam as transições entre estados entre zonas representadas por modelos locais diferentes. O LMN tem no entanto um uso crescente, tal comno as técnicas baseadas em modelos múltiplos.

31 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 3 Referência sobre LMN T. A. Johansen, K. J. Hunt e H. Fritz. A software environment for gainscheduled Controller design. IEEE Control Systems Magazine, April 998. Esta referência pode facilmente ser encontrada no IEEEXPLORE, acessível através da rede sem fios do IST.

32 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 3 Traçado qualitativo das soluções no plano de estado A observação dos sinais da derivada (que indica se as variáveis são crescentes, decrescentes ou constantes) e a linearização permitem, para sistemas de ª ordem (com duas variáveis de estado), ter uma ideia do andamento qualitativo das soluções no plano de estado. Vamos dedicar a nossa atenção a este assunto.

33 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 33 Bibliografia Há muitas referências que tratam o assunto a nível introdutório, tal como é feito aqui. O seguinte teto tem eemplos sobre dinâmica das populações, e trata a chamada teoria qualitativa das equações diferenciais: Braun, M. Differential Equations and their applications. Springer. Cap. 4 Um outro eemplo que dá um tratamento um pouco mais completo e aborda outros assuntos deste capítulo é: Robinson, R. C. An introduction to dynamical systems continuous and Discrete. Pearson (Prentice Hall). Caps. 4, 5.

34 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 34 Consequências da unicidade da solução Através de um ponto do espaço de estado passa no máimo uma trajectória. Uma solução que comece num ponto que não seja de equilíbrio, não pode atingir um ponto de equilíbrio num intervalo de tempo finito t Se isto fosse possível, por este ponto passariam duas soluções.

35 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 35 Uma trajectória que passe pelo menos pelo menos através de um ponto que não seja ponto de equilíbrio, não pode reencontrar-se a si própria, a menos que seja uma curva fechada. Não pode suceder se o ponto A não é A ponto de equilíbrio.

36 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 36 Uso dos sinais da derivada Quando a derivada de uma variável é positiva, a variável aumenta Quando a derivada é negativa, diminui Quando é nula, a variável mantém-se constante Podemos usar a informação sobre os sinais das derivadas para determinar o sentido de andamento das trajectórias no plano de estado. Repare-se que a equação se escreve d f ( ) pelo que para cada ponto, a derivada é f() e pode saber-se o seu sinal.

37 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 37 d Eemplo: Pêndulo não amortecido d sin( ) 3π π π 0 π π 3π

38 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 38 Relação entre o sistema não linear e as suas linearizações A intuição sugere-nos que eiste uma relação entre a solução da equação não-linear e a solução da equação linearizada em torno do ponto de equilíbrio considerado (pensemos na origem para fiar ideias). No entanto, a intuição nem sempre é o melhor guia Repare-se que embora duas equações possam ser parecidas, nada nos garante que os comportamentos qualitativos das suas soluções não sejam muito diferentes. Os eemplos de sensibilidade a parâmetros sugerem que nem sempre a nossa intuição inicial se verifica.

39 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 39 Há no entanto situações em que eiste uma relação estreita entre as soluções do sistema não-linear e da sua linearização em torno de um dado ponto de equilíbrio. Estudam-se a seguir as condições precisas em que podemos tirar conclusões sobre o comportamento local de um sistema não linear a partir do estudo da sua linearização em torno de pontos de equilíbrio.

40 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 40 Nota Os resultados seguintes referem-se frequentemente à origem como ponto de equilíbrio. Isto é feito sem perda de generalidade. Com efeito se fôr um ponto de equilíbrio de d f ( ) então a origem é um ponto de euilíbrio de com z. dz f (z)

41 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 4 O sistema linear Definição (Pontos de equilíbrio simples) d A diz-se simples se a matriz A é não singular. Um ponto de equilíbrio de um sistema não-linear diz-se simples se o sistema linearizado em torno dele fôr simples. Repare-se que um sistema não linear pode ter vários pontos de equilíbrio, sendo alguns simples e outros não.

42 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 4 Relação entre o comportamento de sistemas lineares e não-lineares Suponhamos que o sistema d f ( ) tem um ponto de euilíbrio simples em 0. Numa vizinhança da origem os comportamentos no plano de estado do sistema não linear e da sua linearização são qualitativamente equivalentes, desde que o sistema linearizado não tenha valores próprios imaginários puros.

43 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 43 Eemplo em que não há equivalência de comportamento A) d d + ( + ) + ( + ) e B) d d ( + ) ( + ) Os seus comportamentos em torno do ponto de equilíbrio (0,0) são muito diferentes: A é instável e B é estável A B

44 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 44 No entanto, ambos têm a mesma linearização em torno da origem, dada por d d Os valores próprios das matrizes do sistema linearizado em ambos os casos são imaginários puros.

45 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 45 Para se perceber como foi construído este eemplo, tenha-se em consideração que, em coordenadas polares ( r,θ ), as equações são dr d r 3 θ e dr r dθ Com base nestas equações, mostre que no primeiro caso a origem é um ponto de equilíbrio instável e, no segundo caso, um ponto de equilíbrio estável. 3

46 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 46 Nota sobre o Teorema da Variedade Central De acordo com o eposto anteriormente, quando há valores próprios da matriz do sistema linearizado que são imaginários puros, não se pode, conhecendo a estabilidade do sistema linearizado, dizer nada sobre a estabilidade do ponto de equilíbrio em torno do qual se fez a linearização. No entanto o Teorema da Variedade Central (Center Manifold Theorem) permite estudar a estabilidade do sistema original a partir de um problema mais simples, em que se estuda a estabilidade de um sistema com ordem n-p, sendo n a ordem do sistema original e p o número de valores próprios com parte real nula.

47 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 47 Outro eemplo de não aplicabilidade do Teorema: Pontos de equilíbrio não simples Sistema não linear Sistema linearizado em torno da origem d d d d A presença do termo não-linear modifica completamente neste caso o comportamento qualitativo da solução.

48 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 48 Classificação da dinâmica em torno dos pontos de equilíbrio jω Foco estável jω Nó estável jω Centro σ σ σ Plano compleo jω Foco instável Plano de estado Plano compleo jω Nó instável Plano de estado Plano compleo jω Ponto de sela Plano de estado σ σ σ Plano compleo Plano de estado Plano compleo Plano de estado Plano compleo Plano de estado Consoante a disposição no plano compleo dos valores próprios da matriz da dinâmica do sistema linearizado, assim será o andamento local das trajectórias de estado. Repare-se que no caso dos centros, não se pode dizer nada sobre o correspondente sistema não-linear.

49 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 49 Método para traçado qualitativo das soluções Determinar os pontos de equilíbrio; Determinar o tipo dos pontos de equilíbrio (nó, foco, estável, instável, ); A partir dos sinais da derivada, determinar os possíveis sentidos de andamento das variáveis de estado em cada uma das regiões do plano Incorporar outro tipo de informações (por eemplo, eistência de trajectórias de estado fechadas); Traçar o andamento qualitativo das trajectórias de estado tendo em conta os passos anteriores.

50 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 50 Eemplo de traçado das trajectórias no plano estado d d Os pontos de equilíbrio são dados por (-, -) e (,).

51 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 5 Ponto de equilíbrio (-,-): f d f d f d f d Os valores próprios desta matriz são ± j. O ponto é portanto um foco instável.

52 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 5 Ponto de equilíbrio (,): f d f d f d f d Os valores próprios desta matriz são ±. É portanto um ponto de sela.

53 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 53 Vectores próprios (definem as direcções das assimptotas do ponto de sela): Associado ao valor próprio + : Associado ao valor próprio :

54 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 54 O campo de vectores associado à equação e o retrato de fase são:

55 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 55 s Células sãs d Dinâmica de infecção pelo HIV Vírus livres c k β Células infectadas μ dt s dt βtv * dt * βtv μt dv * kt μv T Número de células T-CD4+ sãs 3 por unidade de volume [ mm ] [ μl] * T Núm. células T-CD4+ infectadas por unidade de volume 3 [ mm ] [ μl] v Número de partículas de vírus por unidade de volume 3 [ mm ] [ μl]

56 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 56 Pontos de equilíbrio Os pontos de equilíbrio obtêm-se igualando as derivadas a zero: dt s dt βtv 0 * dt * βtv μt 0 dv * kt μv 0 Há dois pontos de equilíbrio, correspondentes, respectivamente, a estados em que não há infecção e em que há infecção.

57 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 57 Estados de equilíbrio: Ausência de infecção () Fase assimptomática () 0 0 * d s v T T β μ μ β μ μ β μ μ d ks k d s k v T T *

58 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 58 Sistema linearizado em torno de um ponto de equilíbrio Ponto de equilíbrio: [ ] T v T T 0 * 0 0 Dinâmica linearizada em torno deste ponto de equilíbrio: μ β μ β β β k T v T v d A

59 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 59 Estabilidade dos pontos de equilíbrio A quantidade R 0 βsk dμ μ determina a estabilidade do estado equilíbrio em que se desenvolve a infecção. Se R < 0 o equilíbrio () (não infecção) é assimptoticamente estável e o vírus não se desenvolve. Se R > 0 o equilíbrio () é instável e o equilíbrio () é localmente assimptoticamente estável. O vírus vai espalhar-se após a infecção, atingindo-se o equilíbrio ().

60 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 60 Eemplo t Tempo d k Taa de mortalidade das células T sãs Taa de produção dos viriões pelas células T infectadas s Termo de fonte das células T sãs Dias 0.0 por dia 00 por célula 0 3 mm por dia β Taa de infecciosidade dos viriões livres mm por dia μ Taa de mortalidade do vírus.4 por dia μ Taa de mortalidade das células T infectadas 0.4 por dia

61 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 6 Equilíbrio () Ausência de infecção Ponto de equilíbrio: [ ] * T T T v [ ] T Matriz da dinâmica do sistema linearizado: A Esta matriz tem valores próprios -0.0, 0.83 e Há um valor próprio real positivo pelo que o ponto de equilíbrio é instável.

62 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 6 E torno do ponto de equilíbrio (), o valor próprio correspondente ao estado v é muito maior em valor absoluto que os outros dois. Isto sugere que é possível simplificar o modelo, considerando apenas os estados T e * T, uma vez que v atinge muito mais rapidamente o equilíbrio (em termos das outras duas variáveis). Por outro lado, os valores próprios correspondentes a T e T * são um positivo e o outro negativo, o que sugere um comportamento tipo ponto de sela no plano de estado destas variáveis, com um modo estável associado a T e um modo instável associado a * T.

63 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 63 Ponto de equilíbrio: Equilíbrio () Infecção (fase assimptomática) [ ] * T T T v [ ] T Matriz da dinâmica do sistema linearizado: A Esta matriz tem valores próprios ± j e Todos os valores próprios têm parte real negativa, pelo que o ponto de equilíbrio é estável.

64 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 64 Uma vez mais, o valor próprio associado a v é muito maior em valor absoluto que os outros dois. Isto sugere uma vez mais que é possível simplificar o modelo, considerando apenas os estados T e equilíbrio (em termos das outras duas variáveis). * T, uma vez que v atinge muito mais rapidamente o Por outro lado, os valores próprios correspondentes a T e * T são compleos conjuugados, o que sugere um comportamento tipo foco estável no plano destas variáveis.

65 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 65 Retrato de fase (tridimensional) Carga viral 5000 v [cópias/mm 3 ] T inf [células/mm 3 ] T [células/mm 3 ] 000

66 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 66 Eemplo: O PLL O PLL (Phase Lock Loop - malha de captura de fase) é um dispositivo não linear usado para resolver problemas de Telecomunicações (desmodulação de fase) e de Controlo (controlo de velocidade de precisão). Sinal cuja fase se pretende estimar Detector de fase Filtro A Sinal em fase com o sinal de entrada Oscilador controlado por tensão O PLL gera no ponto B um sinal em fase com o sinal de entrada em A, cuja fase se pretende determinar. B

67 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 67 Modelo de um PLL: d d sin ( θi ) Admite-se que a fase do sinal de entrada é constante. A constante θ i representa a fase da sinusóide de entrada que se pretende estimar. A variável de estado representa a estimativa dessa fase. Mostre que Ponto A: θ 0 i são dois pontos de equilíbrio do sistema. Ponto B: θ i π + 0

68 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 68 a) Calcule o sistema linearizado em torno de cada um destes ponto de equilíbrio. b) Para cada um dos sistemas linearizados que obteve em a) calcule os valores próprios e classifique-os qualitativamente (diga se são estáveis ou instáveis e se se trata de um nó, de um foco, de um centro ou de um ponto de sela). c) Diga, justificando, se pode concluir que o sistema não linear é assimptoticamente estável em torno de cada um dos pontos de equilíbrio acima referidos.

69 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 69 Eercício simples Determine os pontos de equilíbrio e esboce o retrato de fase do sistema: d d ) (

70 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 70 Eercício Nas impenetráveis florestas da Brutópia eistem dois animais que competem entre si pela mesma fonte alimentar. Trata-se do Marsupilami (Marsupilamis Simpaticus L.) e do Monstro da Tasmânia (Monstrus Ferocissimus L.), representados em fotos (muito difíceis de obter) na figura. Fig. O Marsupilami (à esquerda) e o Monstro da Tasmânia, cumprimentando os alunos de Modelação e Simulação.

71 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 7 Depois de porfiados esforços e após observações eperimentais em que correram grandes riscos (quer o Marsupilami, quer o Monstro da Tasmânia são vegetarianos, mas os Brutopianos não) uma equipa de valentes biólogos do financiada pela FCT chegou à conclusão que as populações de Marsupilamis e de Monstros da Tasmânia podem ser modelados pelo sistema de equações diferenciais não linreares: d d ( M σ α ) ( M σ α )

72 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 7 Particularize para a situação em que M M, α α 0. 5 e σ σ. Determine todos os pontos de equilíbrio no primeiro quadrante do espaço de estados (isto é, para 0, 0 ). Observe que há um deles que resulta da intersecção de duas rectas que correspondem a lugares geométricos em que as derivadas se anulam. a) Faça um diagrama em que representa estas rectas. Determine o ponto de equilíbrio em que as popuilações não se anulam simultâneamente, graficamente e analiticamente.

73 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 73 b)linearize o sistema em torno do ponto de equilíbrio em que ambas as populações são diferentes de zero. Que conclusões tira sobre a estabilidade deste ponto? c) Considere agora os outros pontos. Repita a linearização. d) Determine as zonas em que cada uma das derivadas é positiva e negativa. e) Esboce o retrato de fase do sistema. f) É possível observar-se durante um período de tempo longo uma situação em que apenas poucos casais de Monstros da Tasmânia coeistem com um número significativo (da ordem das centenas) de Marsupilamis?

74 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 74 Plano de estado.8.6 Monstro da Tasmânia [Milhares] Marsupilami [Milhares]

75 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 75 Linearização em torno do ponto de equilíbrio onde ambos coeistem: eq A V D

76 Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 76 Linearização em torno do ponto de equilíbrio onde só há Marsupilamis: eq 0 A V D