PP 301 Engenharia de Reservatórios I 11/05/2011

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1 PP 301 Engenharia de Reservatórios I 11/05/2011 As informações abaixo têm como objetivo auxiliar o aluno quanto à organização dos tópicos principais abordados em sala e não excluem a necessidade de estudo e de complementação de conhecimentos através das referências indicadas na Agenda da Aula ou no Programa do curso. Dra. Rosângela B. Z. L. Moreno DEP/FEM Bloco C/ Piso 3/ Sala zanoni@dep.fem.unicamp.br Ajuste de Histórico Generalidades Regressão Linear pelo Método dos Mínimos Quadrados Aplicações (modelos de influxo) Modelo de Schilthuis Modelo de Hurst modificado Modelo de de van Everdingen & Hurst Qualidade do Ajuste Estimativa de Parâmetros Não-Lineares Método de Newton Método de Gauss-Newton Método de Gauss-Marquardt Normalização Qualidade do ajuste Convergência do processo 1

2 Ajuste de Histórico - Generalidades Objetivos: a determinação dos parâmetros do reservatório a determinação dos parâmetros do aqüífero a determinação do modelo de influxo de água. Modelo de aqüífero Volumes de óleo e/ou gás do reservatório previsão do comportamento do reservatório. Procedimento Parâmetros Modelos matemáticos Ajuste Dados de Histórico Diferença aceitável Ajuste de Histórico - Generalidades Definição: processo de otimização, onde se procura minimizar as discrepâncias entre o modelo e os dados. Foi visto: A aplicação da EBM à dados de histórico para determinação de mecanismo de produção = Ajuste de Histórico. Esta aula: Abordagem complementar Tratamento matemático formal Aplicações: estimativa do volume original de gás e/ou de óleo parâmetros do modelo de influxo de água. Processos de Ajuste: modelo matemático do sistema reservatório-aqüífero é uma função linear dos parâmetros a serem estimados Regressão Linear (mínimos quadrados ou dos mínimos valores absolutos). modelo matemático é uma função não-linear dos parâmetros a serem estimados problema de otimização 2

3 Ajuste de Histórico Regressão Linear pelo Método dos Mínimos Quadrados Modelo: (Reta) Erros ou imprecisões (x preciso): Método: Objetivo: estimativa dos parâmetros a e b do modelo No ponto de mínimo Solução: resolver sistema de equações Ajuste de Histórico Regressão Linear pelo Método dos Mínimos Quadrados Se desejável a atribuição de diferentes pesos w i para os valores da variável independente (y i ), resolver o seguinte sistema de equações: pesos w i Para a minimização do erro na variável x, o modelo torna-se: ou solucionar 3

4 Ajuste de Histórico Regressão Linear pelo Método dos Mínimos Quadrados Modelo: Erros ou imprecisões (x preciso): Método: minimização da função abaixo (Polinômio de 2º.grau) Objetivo: estimativa dos parâmetros a, b e c do modelo No ponto de mínimo solucionar Ajuste de Histórico Regressão Linear pelo Método dos Mínimos Quadrados Qualidade: Medida absoluta Desvio padrão dos erros Desvio padrão dos resíduos Medida relativa coeficiente de determinação, R 2, se o modelo f não tem um termo constante, se o modelo f contém um termo constante. representa a média aritmética dos valores y i. R 2 é uma medida da relevância dos parâmetros no modelo, exceto y R 2 =1 ajuste perfeito!!! coeficiente de correlação (R). 4

5 Ajuste de Histórico Aplicações Modelo de Schilthuis Regime permanente vazão de água proveniente do aqüífero Influxo acumulado Para um reservatório de óleo sem capa de gás, com influxo de água, ou y a b x Ajuste de Histórico Aplicações Modelo de Hurst modificado Vazão de água do aqüífero Influxo acumulado, C e c são constantes Média das pressões no contato Tempo médio de T Admitindo-se N conhecido (ex.: pelo método volumétrico), EBM histórico de influxo (We) é conhecido e portanto We Admitindo-se v como correto, pode-se determinar as constantes C e c do modelo! y a b x 5

6 Ajuste de Histórico Aplicações Modelo de Hurst modificado Vazão de água do aqüífero Influxo acumulado, C e c são constantes Média das pressões no contato Tempo médio de T Admitindo-se N conhecido (ex.: pelo método volumétrico), EBM histórico de influxo. Admitindo-se t como correto, pode-se determinar as constantes C e c do modelo! y a b x Ajuste de Histórico Aplicações Modelo de van Everdingen & Hurst Influxo acumulado y x Função-objetivo (somatória de erros): No ponto de mínimo: de du ( U ) = 0 Obtém-se a constante de influxo U! 6

7 Ajuste de Histórico Estimativa de Parâmetros Não-Lineares Modelo: EBM é uma função não-linear dos parâmetros a serem estimados. Objetivos: Estimativa dos parâmetros do sistema aqüífero-reservatório sem o emprego da técnica de tentativa e erro. Estimativa simultânea dos parâmetros desconhecidos. Estimativa de parâmetros não-lineares = problema de otimização = regressão não-linear. Ajuste de Histórico Função-modelo: F (representa matematicamente o modelo físico a ser ajustado aos dados) Dados: {xi, yi} o conjunto de n observações das variáveis dependente (x) e independente (y) do modelo. Função-objetivo: Aplicações usando EBM: Variável independente (x) tempo Variável dependente (y) termos conhecidos da EBM Função-modelo F modelo do sistema aquífero-reservatório Como F é não linear, minimização da função-objetivo requer algum tipo de linearização dessa função antes que o vetor possa ser estimado! 7

8 Ajuste de Histórico Método de Newton Função-objetivo: Função-objetivo linearizada: matriz Hessiana é o gradiente da função-objetivo com respeito aos parâmetros do sistema é o deslocamento do argumento (variação do vetor de parâmetros, ) em relação à estimativa inicial aproximação de E, dada por uma expansão em série de Taylor até o termo de segunda ordem em torno de uma estimativa inicial do vetor de parâmetros desconhecidos, Ajuste de Histórico Método de Newton Minimização da função-objetivo: O problema deve ser resolvido iterativamente!!! Uma vez resolvida esta equação, o novo vetor-solução é obtido por: 8

9 Ajuste de Histórico Método de Newton Considerações: A matriz Hessiana H é simétrica. As derivadas da função-modelo F em relação aos componentes do vetor podem ser calculadas analítica ou numericamente. Se a função F for conhecida somente no campo de Laplace, as derivadas são determinadas primeiramente no campo de Laplace e posteriormente invertidas para o campo real através de um método numérico (ex.: algoritmo de Stehfest). Se a função-modelo é complexa, os cálculos das derivadas de 2ª. ordem da matriz Hessiana, podem demandar grande tempo computacional. Não há garantia de que a matriz Hessiana H seja positiva-definida Dificuldades do método de Newton: O processo poderá convergir para o mínimo da função-objetivo ou para um ponto de inflexão ou para um ponto de máximo. Se a matriz H é mal-condicionada (há correlação entre parâmetros ou há insensibilidade da função-modelo em relação a alguns dos parâmetros), o processo pode convergir lentamente ou divergir. Ajuste de Histórico Método de Gauss-Newton Motivação: evitar dificuldade causada pelo fato de a matriz H não ser positiva-definida Solução: desprezar o termo que inclui as derivadas de segunda ordem Vantagens: Neste caso, a matriz H é sempre positiva-definida Há convergência garantida, se não ocorrer outra dificuldade. O tempo computacional é reduzido. 9

10 Ajuste de Histórico Método de Gauss-Marquardt Motivação: evitar dificuldade devidas ao mau condicionamento da matriz Hessiana H (ex.: autovalor de H próximo de zero). Solução 1: adição de um número pequeno e positivo aos elementos da diagonal da matriz Hessiana, Vantagem: a matriz H torna-se positiva-definida e em princípio processo iterativo torna-se convergente. Solução 2: normalização dos coeficientes da matriz H e do vetor do lado direito daquela equação. adição de um número pequeno e positivo aos elementos da diagonal da matriz Hessiana normalizada Após a solução do sistema, os valores são renormalizados para se obter a solução final. Vantagem: melhora a estabilidade do processo pois reduz o número de condição (razão entre o maior e o menor autovalor (em valores absolutos) da matriz). Infinito a matriz é singular; Alto a matriz é mal-condicionada) Ajuste de Histórico Método de Gauss-Marquardt Método de Newton Método de Gauss-Newton 10

11 Ajuste de Histórico Normalização Minimização da função-objetivo: Normalização: Solução Final: Ajuste de Histórico Método de Gauss-Newton normalizado Solução Final: n n n n Método de Gauss-Marquardt normalizado n 11

12 Ajuste de Histórico Método de Gauss-Marquardt Método de Gauss-Marquardt normalizado n Procedimento: Solução Final: Ajuste de Histórico Qualidade Qualidade intervalos de confiança aproximados onde valor estimado do parâmetro erro médio quadrado : valor da distribuição t para um nível de significância e (n np) graus de liberdade. 12

13 Ajuste de Histórico Convergência do processo Qualquer que seja o método empregado, o processo iterativo se encerra quando a diferença entre duas avaliações consecutivas dos parâmetros ou da funçãoobjetivo é menor que uma tolerância preestabelecida. iteração é um número pequeno escolhido pelo analista. Referência(s) ROSA, A. J.; CARVALHO, R. S. & XAVIER, J. A. D: Engenharia de Reservatórios de Petróleo. Editora Interciência Ltda p. Cap. 9. Apêndice Função linear Função não linear Desvio padrão Erro Resíduo Matriz (identidade, simétrica, positivodefinida...): m%c3%a1tica) Séries de Taylor: Vetor Gradiente: Matriz Hessiana: Autovalor de matriz: Número de condição: razão entre o maior e o menor autovalor (em valores absolutos) da matriz Matriz singular: Matriz mal-condicionada: há correlação entre parâmetros ou há insensibilidade da função-modelo em relação a alguns dos parâmetros Um problema é dito mal condicionado quando um pequeno arredondamento num dado de entrada muda muito os dados de saída. 13

14 Apêndice Matriz mal condicionada (exemplo) Esta matriz designa-se Matriz de Hilbert, e é extremamente mal condicionada. Com efeito, já para m = 3 obtemos Cond 1 = 28375, e para m = 4 já atinge , continuando a crescer fortemente! Temos, assim, problemas de condicionamento e consequentemente de instabilidade numérica, para este tipo de matrizes Referências ROSA, A. J.; CARVALHO, R. S. & XAVIER, J. A. D: Engenharia de Reservatórios de Petróleo. Editora Interciência Ltda p. Cap. 9. Spiegel, M. R.: Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas Coleção Schaum, McGraw-Hill, Abramowitz, M.; Stegun, I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.. U.S. Department of Commerce. Online version available at: L_DISPLAY_bookid=528&VerticalID=0 14