Fichas de sistemas de partículas

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1 Capítulo 3 Fichas de sistemas de partículas 1. (Alonso, pg 247) Um tubo de secção transversal a lança um fluxo de gás contra uma parede com uma velocidade v muito maior que a agitação térmica das moléculas. A parede desvia as moléculas sem variar o módulo da velocidade das mesmas. A força exercida pela parede sobre as moléculas é perpendicular às moléculas. (Isto não é estritamente verdadeiro para uma parede rugosa ). Determine a pressão exercida pelo gás na parede. SOLUÇÃO: 2nmv2 cos 2 (θ). 2. Calcule o momento do binário de forças, representado na figura, relativamente aos pontos O, A, B e C. SOLUÇÃO: 2RF u Z. 3. Mostre que o momento resultante de um conjunto de forças de resultante nula, tem o mesmo valor em relação a qualquer ponto do espaço. SOLUÇÃO: τ A = τ B + AB i ( F i ) τ A = τ B, atendendo a que r i,a = AB + r i,b 4. Cada uma das figuras seguintes representa uma barra homogénea de massa m e comprimento l em equilíbrio. Para cada uma das situações representadas: 12

2 (a) identifique todas as forças que actuam na barra, indicando o corpo que exerce cada uma das forças; (b) obtenha as equações escalares de equilíbrio da barra; (c) verifique se pode determinar as intensidades de todas as forças aplicadas na barra; SOLUÇÃO: Forças aplicadas: P, NA, N B, F aa, F ab ; P, NA, N B, F aa, F ab ; P, NA, F aa, T ; P, N A, N B, F aa, F ab ; P, N A, N B, F aa, F ab, T, F H ; P, T 1, T 2, F c, F H,, em que o peso é exercido pela Terra, as reacções normais e as forças de atrito são exercidas pelas superfícies de contacto, as tensões são exercidas pelos fios e F c, F H são as forças (de carregamento) exercidas pela carga e pelo homem, respectivamente. Equações escalares de equilíbrio: N B = F aa, P = F ab + N A, +P l 2 cos(α) N Bl sin(α) F ab cos(α) = 0; N A cos(30) F aa sin(60) F ab = 0, P = N A cos(30) + F aa cos(30) + N B, +P l 2 cos(30) N Al = 0; T sin(α) = F aa, P = N A + T sin(α), P l 2 sin(α) T l = 0; F a B + N A P cos(60) = 0, F aa + N B P sin(60) = 0, P l 2 + F a B l sin(30) + N B l cos(30) = 0; N B = F aa + T, P + F H = N A + F a B, P l 2 cos(α) + F H 2l 3 cos(α) N Bl sin(α) F ab l cos(α) = 0;T 1 + T 2 = F C + P + l F H, F c 5 P l 4 + T 2 l 2 F H( l 2 + l 5 ). Não é possível determinar as quatro intensidades (com três equações), não é possível, é possível, não é possível, não é possível e é possível. 5. (Alonso, prb 13.13, pg 271) Uma haste fina de 1 m de comprimento tem massa igual a 0,2 Kg. Há 5 corpos colocados ao longo dela, cada um com 1 kg, e situados a 0,25, 50, 75 e 100 cm, respectivamente de uma extremidade. Calcule o momento de inércia do sistema com relação a um eixo perpendicular à haste que passa por: (a) uma extremidade; 13

3 (b) segunda massa, (c) centro de massa. Calcule o raio de giração em cada caso. Verifique o teorema de Steiner. SOLUÇÃO: 1, 942 Kg m2 ; 0, 967 Kg m 2 ; 0, 642 Kg/, m A Terra (m T 5, Kg) move-se em torno do sol, a uma distância média de Km e com um período de 3, s, e ao mesmo tempo gira em torno do seu eixo NS, com um período de rotação de 8, s. Sabendo que o raio da Terra é aproximadamente igual a 6370 km e que o raio de giração de uma esfera de raio R, relativamente a um eixo principal, é igual a 2/5R, calcule: (a) o momento angular orbital da Terra em relação ao sol; (b) o momento angular interno (ou spin) da Terra, em relação ao seu centro. SOLUÇÃO: 2, Kg m 2 /s; 7, Kg m 2 /s. 7. (Alonso, prb 13.7, pg 257) A figura representa dois sistemas de partículas constituídos por duas esferas iguais, cada uma de massa m, colocadas sobre braços ligados a um suporte, e que estão rodando em torno do eixo Z, com velocidade angular ω. Despreze a massa dos braços. Calcule os momentos angulares dos sistemas representados, relativamente ao ponto O. Verifique que, no caso da figura b), L O I Z ω mas L OZ = I Z ω. SOLUÇÃO: L O = 2m R 2 ω; L O = 2m R 2 sin(φ)ω u Zo ; L Z = 2m (R sin(φ)) 2 ω = I Z ω. 8. (Alonso, prb 13.13, pg 269 ) Explique porque o único movimento possível de um sólido rígido em relação ao seu centro de massa é uma rotação. Para apoiar a sua resposta, justifique a possibilidade de se decompor o momento angular de um sólido rígido em dois termos. 9. Mostre que o momento angular de um sólido plano, que roda em torno de um eixo perpendicular ao sólido, relativamente a um ponto do eixo de rotação, é paralelo ao vector velocidade angular. SOLUÇÃO: Resolvido na aula teórica. 10. Mostre que a razão de variação com o tempo do momento angular de um sistema de duas partículas, relativamente a um ponto arbitrário, é igual ao momento total, relativo ao mesmo ponto, das forças externas que actuam sobre o sistema. A generalização deste resultado para um sistema de N partículas constitui a lei fundamental da dinâmica de rotação. SOLUÇÃO: Resolvido na aula teórica. 11. Mostre que a componente do momento angular segundo a direcção do eixo de rotação de um sólido rígido, é proporcional ao produto do momento de inércia em relação a esse eixo pelo vector velocidade angular. SOLUÇÃO: Resolvido na aula teórica. 14

4 12. (Alonso, prb pg271) Uma roda que gira está sujeita a um torque de atrito de 10 N.m o longo do seu eixo. O raio da roda é de 0,6 m, a sua massa de 100 kg e ela gira a 175rad.s 1. Quanto tempo leva a roda a parar? Quantas voltas ela dará antes de parar? SOLUÇÃO: 10,5 min; 8773 rad 13. (Alonso, prb pg306) O volante de uma máquina a vapor tem 200 kg de massa e um raio de giração de 2 m. Quando ele gira à razão de 120 rpm, a válvula de injecção de vapor é fechada. Supondo que o volante pára em 5 min, qual é o torque devido ao atrito aplicado ao eixo do volante? Qual é o trabalho realizado pelo torque durante esse tempo? SOLUÇÃO: 14. (Alonso, prb 13.21, pg306) A parte de um motor em rotação tem uma massa de 15 Kg e um raio de giração de 15 cm. (a) Calcule o momento angular e a energia cinética quando elas estão a girar à velocidade de 1800 rpm. (b) Qual é o torque e a potência necessários para que essa velocidade angular seja atingida em 5s? SOLUÇÃO:63, 6 Kgm2 /s; 12,72 N m 15. (Alonso, pg306) Um camião de massa igual a 9072 kg move-se com uma velocidade de 6,6 m.s-1. O raio de cada roda é de 0,45 m, a massa é de 100 kg e o raio de giração é igual a 0,30 m. Calcule a energia cinética total do camião. 16. Considere a figura representada abaixo. Em qual das seguintes situações é mais fácil equilibrar a haste? Justifique as suas afirmações. 17. O sólido plano, representado na figura abaixo, está fixo no ponto O. O sólido é composto por uma barra de massa M e comprimento L fixa a um disco de massa m e raio r. Quando o sólido é ligeiramente desviado da posição vertical de equilíbrio este oscila com m.h.s. em 15

5 torno de um eixo perpendicular ao sólido e que passa pelo ponto O. Determine o período de oscilação do sólido. Supondo que M=m=1 Kg e L=2r=1 m, calcule novamente o período de oscilação do sólido. SOLUÇÃO: α = d2 θ I sistema ; Quanto menor for a aceleração angular de desequilíbrio maior o tempo de reacção para compensar o momento desequilibrante do peso... dt 2 = M mão( P ) 18. (Fundamentos, pg320) Um iô-iô consiste num cilindro de 80 g de massa em torno do qual está enrolado um fio com 60 cm de comprimento. (a) Se se deixar cair o iô-iô verticalmente, mantendo fixa a extremidade livre do fio, determine a velocidade do iô-iô quando ele alcança a outra extremidade do fio; (b) Na situação anterior, qual é a tensão no fio? SOLUÇÃO:2,8 m/s; 0,261 N. 19. Indique como se pode determinar o momento de inércia de um sólido usando um cabo com um coeficiente de torção conhecido κ. SOLUÇÃO: κ θ = I d2 θ dt ω 2 = κ 2 I T = 2π I κ 20. (Fundamentos, pg320) Determine a aceleração dos corpos representados na figura, bem como as tensões no fio. SOLUÇÃO:1, 96 ms 2 ; 78,4 N; 58,8 N 16

6 21. Considere a figura: (a) Determine a distância d alcançada pelo anel da figura ao subir pelo plano inclinado. (b) E se fosse um disco sólido, homógeneo, com a mesma massa do anel? SOLUÇÃO: v 2 o g sin(α) ; 3v 2 o 4g sin(α) 17