e a temperatura do gás, quando, no decorrer deste movimento,

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1 Q A figura mostra em corte um recipiente cilíndrico de paredes adiabáticas munido de um pistão adiabático vedante de massa M kg e raio R 5 cm que se movimenta sem atrito. Este recipiente contém um mol de H na temperatura i 7 o C e submetido à pressão atmosférica P o devido a uma trava externa que fixa a posição do pistão. Verifica-se que após a trava ser liberada o pistão passa a executar um movimento oscilatório. a (05 Determine a pressão o volume e a temperatura e do gás quando no decorrer deste movimento o pistão passar pela posição de equilíbrio. b (05 Mostre que se o cilíndro for suficientemente longo o movimento oscilatório do pistão será harmônico simples de período τ M R sendo γ C P. γ C V c (05 Usando as condições iniciais obtenha a expressão para o volume do gás V (t em função do tempo. d (05 Desenhe num diagrama P V o processo termodinâmico seguido pelo gás em cada ciclo de oscilação especificando os valores numéricos das variáveis P nos estados extremos do sistema. e (05 Determine o trabalho W realizado em cada meio ciclo de oscilação do pistão. GABARIO Q a Inicialmente a condição de equilíbrio para o pistão será dada por F pres. + 0 ( P o A P o + /A 05 atm. Pela equação de estado do sistema temos que (R i /P i. Usando isto e o fato de que a transformação durante o movimento é adiabática então ( /γ ( /γ P i V γ i Ve γ Pi Pi R i P i 4 litros. Para obtermos a temperatura de equilíbrio basta usarmos que e R e 30 K 9 o C. b Quando solto a equação de movimento do pistão será obtida por F R M d y dt ŷ F pres. + M d y dt ŷ [P (y P o] Aŷ ŷ sendo y a posição do pistão relativa ao fundo do recipiente P (y + V (y + V. Contudo sendo a transformação adiabática teremos que V γ cte. ( P e e V γ e 0 V γ P +γ ev γ V 0 P γ e ( Pe V.

2 Nesta altura se considerarmos que V A(y y e Ay sendo y a posição do pistão relativa à sua posição de equilíbrio então teremos que ( ( APe P γ y APe P (y γ y P (y P o + ( A γ APe y. Portanto levando este resultado na equação de movimento encontraremos M d y dt ŷ γ ( A y ŷ d y dt + ω y 0 sendo ω cuja solução será da forma y (t y A cos (ωt + φ e com período já que A πr. τ π ω c O volume do gás com o passar do tempo será dado por τ R M γ V (y + V + Ay V (t + Ay A cos (ωt + φ. γa M Dessa forma se considerarmos as condições iniciais do problema { dv (0 V V (0 0 i + Ay A cos φ dt ωy A sen φ 0 portanto levando isto na equação para V (t encontraremos { φ 0 y A ( /A V (t + ( cos (ωt V (t [ cos (3 6 t] litros. d O sistema descreverá um processo adiabático cíclico cujos estados extremos são definidos por P i i 4 6 litros 00 atm 300 K e V f 3 8 litros P f ( γ /V Pi f 05 atm P f V f /R K f que se encontra ilustrado diagrama P V acima. e Usando o fato de que o processo é adiabático (Q if 0 e a primeira lei da termodinâmica teremos que a variação da energia interna do sistema e o trabalho realizado sobre ele serão dados por ( U if W if c V f i U if W if 74 8 J onde usamos o fato de que para este gás c V 5R/.

3 Q A figura mostra um fio composto de dois pedaços emendados de fios de aço e alumínio de mesma área de seção transversal a mm com densidades volumétricas ρ 7 80 g/cm 3 no caso do aço e 60 g/cm 3 para o alumínio. Sabe-se que o fio de aço tem L 86 6 cm de comprimento que na extremidade do fio de alumínio está dependurado um bloco com M 0 kg de massa e que a distância entre a junção dos fios e a roldana de suporte é L 60 cm. Ao usar uma fonte externa de frequência variável para criar ondas transversais no fio composto determine: a (0 a velocidade de propagação v das ondas progressivas em cada pedaço do fio composto; b (0 a frequência mais baixa f o a ser ajustada na fonte que originará uma onda estacionária com nodo na junção dos fios; c (05 os comprimentos de onda λ em cada pedaço e o número n de nodos observados para esta onda estacionária no fio composto. GABARIO Q a v µ ρ V v L µ ρ al L a ρ a (0 kg (9 8 m /s (7800 kg /m 3 (0 6 m m /s (0 kg (9 8 m /s (600 kg /m 3 (0 6 m 94m /s b ratando-se de um fio com extremidades fixas então sabemos que portanto f v n L L /n e λ L /n ρ a ; f v n λ L a. Contudo a vibração acontece no mesmo fio de modo que devemos ter f f e impondo esta condição nas expressões que encontramos anteriormente obteremos n L ρ 5 n L. Assim sendo os menores valores inteiros que satisfazem a condição acima serão n 5 e n de forma que levando qualquer um deles nas expressões obtidas para f ou f encontraremos que 33 Hz. f o c Os comprimentos de onda em cada pedaço do fio composto será dado por 5 L 34 6 m ; λ L 60 m. Por sua vez o número total de nodos no fio composto terá o valor n n + n + 8. A figura abaixo ilustra o modo de vibração da corda para esta situação. 3

4 Q3 Um fluido gira com velocidade angular constante ω em relação ao eixo vertical central (tomado como eixo y de um reservatório cilíndrico. a (0 Mostre que a variação da pressão na direção radial é expressa por dp dr ρω r b (05 Faça p p c no eixo de rotação (r 0 e mostre que a pressão p em um ponto qualquer a uma distância r vale p p c + ρω r c (0 Assuma que a pressão varia com a profundidade de acordo com p ρgh. Mostre que a superfície do líquido possui a forma de um parabolóide de revolução isto é uma seção transversal vertical da superfície pode ser representada pela curva y ω r g. GABARIO Q3 a A força resultante sobre um pequeno elemento de volume do fluido de massa dm a uma distância r do eixo é a responsável pela sua aceleração centrípeta logo ela é igual a df rω dm. Então df dr rω dm dr b Integrando do eixo do cilindro (onde p p c até r temos r p p c + 0 dp dr rω ρ ρω r dr p c + ρω r c A pressão em qualquer ponto do líquido é então dada por p p 0 + ρω r ρgy onde p 0 é a pressão na superfície e y é a profundidade medida a partir da superfície. A superfície é definida por p p 0 logo ρr ω ρgy 0 y r ω g 4

5 Q4 A estrutura vazia de um balão junto com a cabine tem massa 850 kg. Cheio de ar ele adquire um volume V litros. Em um belo dia de inverno do ano 785 em condições normais de temperatura e pressão (CNP i.e K e p Pa Jacques e Etienne de Montgolfier cada um com massa 75 kg decidem dar uma volta no balão. Considerando o ar como um gás diatômico: a (3 Calcule a temperatura mínima até a qual o ar do balão tem que ser aquecido para subir? b ( Determine a quantidade de calor Q necessária para aquecer o ar até a temperatura desejada calculada no ítem (a. GABARIO Q4 a O empuxo ρ 0 gv 0 tem que ser maior ou igual ao peso total: P ρ( gv 0 + onde M 000 kg e ρ( é a densidade do ar quente dentro do balão. Com p 0 e V 0 constantes a densidade é proporcional ρ( ao número de moles que é inversamente proporcional à temperatura: ρ 0 n( n 0 0. Achamos então ρ 0V 0 0 ρ 0 V 0 M 33 K b emos que C p 7 R (gás diatômico e donde δq n( C p d n 0 0 C p d 7 n 0R 0 d Q 7 ( n 0R 0 ln 7 ( 0 p 0V 0 ln J 0 FORMULÁRIO cágua 0 cal g C c gelo 0 5 cal g C L fusao 80 cal /g (gelo L vapor J/kg (água cal 486 J R 8 3 J mol K m H mol 0g /mol C P C V + nr C V q nr q número de graus de liberdade. W nr ln ( Vf W γ (p i p f V f v som 340 m /s g 9 8 m /s P + ρv + ρgy cte v µ v B ρ f vsom+vo v som v f f (aprox. da fonte (f e do observador (o ρágua kg/m 3 ρ gelo kg/m 3 ρ Fe kg/m 3 ρ ar 3 kg /m 3 P atm N/m 5