c) O elevador desc e c om movimento uniformemente retardado de ac eleraç ão igual a 3 m/ s 2.

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1 Capítulo 3 D in âm ica E x e rc íc io 3.1 : Um homem de massa 90 kg está dentro de um elevador. Determine a força q ue o p iso ex erce sob re o homem em cada um dos seguintes casos: a) O elevador sob e c om veloc idade c onstante. b ) O elevador desce com velocidade constante. c) O elevador desc e c om movimento uniformemente retardado de ac eleraç ão igual a 3 m/ s 2. d) O cab o do elevador p arte. E x e rc íc io 3.2 : Uma sonda meteorológica com a massa de 2 0 kg encontra-se susp ensa de um b alão de hélio, p or meio de uma corda. a) S e, na sua viagem estratosférica, o b alão sub ir com uma aceleração máx ima de grandeza 3.5 m/ s 2, q ual é a tensão mínima q ue a corda deverá sup ortar? b ) E m q ue condições seria a tensão na corda igual ao p eso da sonda? c) S e a sonda e o b alão c aírem vertic almente c om ac eleraç ão de grandez a 4.9 m/ s 2, q ual é a força q ue a corda ex erce sob re a sonda? R ep resentar, num diagrama, as forças q ue actuam na sonda p ara cada uma das 3 situaç ões. 27

2 Exercício 3.3: Dois blocos e, de massas m = 2 kg e m = 1 kg respectivamente, estão em contacto e sobre uma mesa plana sem atrito. Uma força horizontal é aplicada a um dos blocos: F F ig u ra 3.1 : E x ercício 3.3. a) Se a força, com intensidade 3 N, for aplicada com o sentido indicado na fi gura 3.1, determinar a força de contacto entre os dois blocos. b) M ostrar que, se uma força com igual grandeza mas sentido oposto for aplicada não no bloco mas no bloco, a força de contacto entre os dois blocos será 2 N (de valor diferente do encontrado na alínea anterior). Exercício 3.4 : Um bloco com 3 kg de massa é colocado sobre um bloco de massa igual a 5 kg, como mostra a fi gura 3.2. dmita que não há atrito entre o bloco e a superfície sobre a qual está colocado. Os coefi cientes de atrito estático e cinético entre os dois blocos são 0.2 e 0.1, respectivamente, e todas as superfícies em contacto são horizontais. F F ig u ra 3.2: E x ercício 3.4. a) Q ual a força máxima que, aplicada paralelamente à superfície, sobre o bloco, movimenta o sistema sem que os blocos se desloquem um em relação ao outro? b) Q ual a aceleração dos blocos na situação da alínea anterior? c) Q ual a aceleração do bloco, se a força aplicada no bloco exceder o valor calculado na primeira alínea? 28

3 Dinâmica Exercício 3.5: Dois blocos e, de massas m e 10 m, respectivamente, estão colocados ao lado um do outro, sobre uma mesa plana e horizontal. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre os blocos e a mesa são µ e e µ c. Estando o conjunto dos blocos inicialmente em repouso, aplica-se-lhes uma força horizontal como se indica na figura 3.3. F F Figura 3.3: Exercício 3.5. a) Determinar a função F 1 (m,µ e ) que representa a intensidade máxima da força F 1, aplicada sobre o corpo, de modo a que o sistema se mantenha em repouso. b) Obter a função F 2 (m,µ e ), intensidade máxima da força horizontal F 2, aplicada sobre o corpo, para a qual o sistema ainda se mantém em repouso. c) C omparar os valores das intensidades das forças exercidas por um bloco sobre o outro, em cada um dos casos anteriores. d) Determinar a função a(f 1,m,µ c), aceleração do movimento dos blocos, se a intensidade da força F 1 aplicada em for maior que a de F 1 referida na primeira alínea. e) Retire-se a força F 1 e aplique-se F 2 = F 1 movimento de cada um dos blocos? em ; qual será a aceleração do f) P ara as situações descritas nas duas alíneas anteriores, quais serão as intensidades das forças que cada um dos blocos exerce sobre o outro? Exercício 3.6 : Os blocos e representados na figura 3.4 têm massas de 1 kg e 2 kg, respectivamente. O bloco está preso à parede por uma corda horizontal e sobre está a ser exercida uma força F horizontal de intensidade 12.5 N. Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre e vale 0.25 e que o corpo está na eminência de se mover, determine: a) O coeficiente de atrito estático entre e a superfície em que está apoiado. b) tensão na corda. 29

4 Dinâmica F Figura 3.4: Exercício 3.6. c) Sabe-se que o coeficiente de atrito cinético entre e é 10% inferior ao coeficiente de atrito estático. Se o corpo entrar em movimento, quanto passará a valer a tensão no fio? Exercício 3.7: O bloco representado na figura 3.5 está prestes a cair! Sabendo que as massas da esfera e do bloco são iguais, e que o coeficiente de atrito estático entre todas as superfícies em contacto é µ, determine: m m Figura 3.5: Exercício 3.7. a) o ângulo θ(µ); b) a grandeza da tensão no fio T (m, µ). Exercício 3.8 : Um corpo de massa 50 g desce um plano inclinado, de altura 1 m e inclinação 30, partindo do repouso da posição mais elevada do plano. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e a superfície do plano é a) Representar num esquema todas as forças aplicadas no corpo e calcular a velocidade com que o corpo atinge a base do plano. b) Calcular a velocidade com que o corpo atingiria a base do plano se não houvesse atrito.

5 Exercício 3.9: Um bloco de 60 N de peso está apoiado num plano inclinado sem atrito, que forma um ângulo de 20 com a horizontal. O bloco é empurrado para cima por uma força de 30 N paralela ao plano. Qual é a aceleração do bloco? Exercício 3.10 : Supondo que os dois blocos, de massas m 1 = 200 g e m 2 = 130 g, representados na figura 3.6 podem deslizar sobre as superfícies em que assentam sem atrito, determine a aceleração de cada um e a tensão no fio. m m 6 0 º 3 0 º Figura 3.6: Exercício Exercício 3.11: Dois blocos, de iguais dimensões, mas feitos de materiais distintos, encontram-se sobre um plano inclinado. F azendo variar a inclinação θ do plano, verifica-se que o bloco começa a deslizar para uma inclinação θ 1, enquanto que o bloco só começa a deslizar para um ângulo θ 2 = 2θ 1. Determinar, em cada um dos casos representados na 3.7, o valor do ângulo θ para o qual o conjunto começa a deslizar, considerando que, em qualquer dos casos, os blocos são apenas justapostos e que não há movimento relativo entre eles. I II III Figura 3.7: Exercício Exercício 3.12: a) Qual a força paralela ao plano que deverá ser aplicada a uma partícula de massa m = 50 g, para que se encontre em repouso sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 20 com a horizontal? Suponha que o atrito entre o plano e a partícula é desprezável. 31

6 b) Se a mesma partícula for colocada sobre um outro plano com a mesma inclinação, sendo o coeficiente de atrito estático entre o plano e a partícula µ = 0.5, calcule a força máxima que se lhe pode aplicar, paralelamente ao plano, no sentido ascendente e no sentido descendente sem que ela se mova. Qual é o valor da força de atrito se a força aplicada paralelamente ao plano for nula? Exercício 3.13: Um bloco de massa M = 500 g desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal, unido por um fio a um corpo de massa m = 200 g (ver figura 3.8 ). No instante t = 0 s o bloco movia-se para a esquerda e passados 5 s volta a passar pela posição inicial, movendo-se em sentido contrário. Calcule a velocidade inicial e o espaço percorrido pelo bloco durante os primeiros 5 s do movimento. M Figura 3.8: Exercício Exercício 3.14: Nos extremos de uma corda, que passa por uma roldana com eixo fixo, estão penduradas, a uma altura h = 2 m do chão, dois corpos cujas massas são m 1 = 100 g e m 2 = 200 g (ver figura 3.9). No momento inicial os corpos estão em repouso. Determinar a tensão da corda, quando os corpos se movem e o tempo ao fim do qual o corpo de massa m 2 atinge o chão. m 1 h m 2 Figura 3.9: Exercício

7 Exercício 3.15: Os corpos e representados na figura 3.10 têm massas iguais a 3 kg e 2 kg, respectivamente. O corpo está ligado ao chão pelo fio 2 e ao corpo pelo fio 1, que passa pela gola de uma roldana fixa presa ao tecto. Despreze o atrito e a massa da roldana e considere os fios inextensíveis e sem massa (roldana e fios ideais). 1 2 Figura 3.10: Exercício a) Calcule a tensão no fio 2. b) Se cortar o fio 2, ao fim de quanto tempo os corpos e estão afastados entre si de 2 m, medidos na vertical? Exercício 3.16: Nos extremos de um fio que passa por duas roldanas fixas, foram suspensos dois pratos de balança; em cada um dos pratos foram colocados corpos de peso total P, tal como indica a figura Se de um dos pratos da balança se retirarem alguns corpos, ficando o peso nesse prato reduzido a 2 3 P, qual deverá ser o peso P que se deve adicionar ao outro prato, para que a tensão no fio continue a ter o mesmo valor? Figura 3.11: Exercício

8 Exercício 3.17: No eixo de uma roldana móvel foi pendurado o corpo de peso P (como mostra a figura 3.12). Com que força F é necessário puxar o extremo da corda, passando por uma segunda roldana, para que o corpo se mova com aceleração a no sentido ascendente? E para que o corpo fique em repouso? massa das roldanas e da corda são desprezáveis e o fio considerado inextensível. F Figura 3.12: Exercício Exercício 3.18: O sistema representado na figura 3.13 está inicialmente em repouso, sendo as massas dos corpos, e C, respectivamente, iguais a m, 2 m e 1.6 m. s massas das roldanas e dos fios podem ser desprezados, e estes considerados inextensíveis. Se o sistema for libertado, calcular: C Figura 3.13: Exercício a) aceleração de cada um dos corpos. b) s intensidades das forças que os fios exercem sobre cada um dos corpos. 34

9 Exercício 3.19: Qual é a força com que é necessário empurrar o bloco de massa M (figura 3.14) para que os corpos de massas m 1 e m 2 não se movimentem em relação ao bloco de massa M? Despreze todos os atritos, bem como as massas da roldana e do fio, que se pode considerar inextensível. m M m Figura 3.14: Exercício Exercício 3.20: Considere a situação representada na figura 3.15, em que não h á atrito em nenh uma superfície. Q ual dev erá ser a relação entre as massas para que m 3 não se mov imente em relação a m 2? Q ual é, neste caso, a aceleração do conjunto? m 3 m 2 α m 1 Figura 3.15 : Exercício Exercício 3.21 : U ma curv a de raio 12 0 m é projectada para uma v elocidade de circulação de 18 m/ s. a) Q ual será o ângulo correcto para a inclinação da estrada se suposermos que não h á atrito entre os pneus e a estrada? b ) S e a curv a não for inclinada, qual é o coeficiente mínimo de atrito entre os pneus e a estrada de modo que àquela v elocidade não h aja derrapagens? 35

10 Exercício 3.22: Um carro desloca-se numa estrada a 80 km/h, entrando numa curva de 300 m de raio. a) Se a superfície da estrada estiver coberta com uma fina camada de gelo, qual deve ser a inclinação mínima da curva para que o carro possa descrevê-la? b) Quando o gelo funde, deix ando a descoberto a superfície rugosa da estrada, o coeficiente de atrito entre esta e os pneus do carro é 0.4. Qual é então a máx ima velocidade com que o automóvel pode dar a curva (cuja inclinação é a calculada na alínea anterior) sem derrapar? O valor encontrado depende da massa do carro? Exercício 3.23: Uma curva de uma estrada forma um arco de circunferência de 135 m de raio. a) Se a curva tiver 7.4 de inclinação, para que velocidade foi projectada? Considere o atrito desprez ável. b) Se o coeficiente de atrito entre o piso e os pneus de um carro que se encontre a dar a curva for 0.4, qual é a máx ima velocidade com que este poderá dar a curva (sem se despistar)? Exercício 3.24 : Um fio de comprimento L, que se encontra preso a um ponto fix o, tem numa ex tremidade uma massa m que gira em torno de um eix o vertical com velocidade angular constante ω. D eterminar o ângulo θ que a corda faz com a vertical. Exercício 3.25 : Um avião desloca-se horiz ontalmente com uma velocidade constante de 36 0 km/h arrastando um objecto com massa igual a 20 kg, o qual se encontra suspenso do avião por meio de uma corda que forma com a vertical um ângulo de 6 0. a) D etermine a força de resistência do ar ex ercida sobre o objecto. b) P assando o avião a descrever circunferências de raio tal que a trajectória do objecto suspenso é uma circunferência de raio 500 m, descrita com a velocidade mencionada inicialmente, determine a tensão da corda. 36

11 Exercício 3.26: Uma pequena esfera encontra-se dentro de um tubo de vidro que roda com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical (ver figura 3.16). O atrito da esfera com o tubo de vidro é desprezável. Qual deverá ω h θ Figura 3.16: Exercício ser a frequência de rotação do tubo para que a esfera permaneça em equilíbrio na posição indicada? Exercício 3.27 : Um corpo que serve de suporte a um foguete assenta sem atrito sobre um plano horizontal, preso por um fio de comprimento 0.5 m a um ponto fixo O, como mostra a figura O conjunto, cuja massa pode considerar-se constante e igual a 0.5 kg, parte do repouso no instante t = 0 s, com o fio esticado e passa então a descrever uma trajectória circular, centrada em O. O foguete ligado ao corpo tem uma direcção tangente à trajectória e comunica ao corpo uma aceleração tangencial constante de módulo 2 m/s 2. O combustível do foguete dura apenas 10 segundos e tem massa desprezável. O Figura 3.17 : Exercício a) R epresentar num esquema a posição, a velocidade e a aceleração do conjunto no instante t = 5 s, indicando a posição inicial escolhida. b) Se o fio não suportar tensões superiores a 50 N, verificar se ele parte ou não, antes de o combustível acabar. c) Se for usado um fio que não parte, caracterizar o movimento do conjunto a partir do momento em que acaba o combustível do foguete. 37

12 Exercício 3.28: Um bloco de 10 kg de massa repousa sem atrito, sustentado por uma corda com 2 m de comprimento, sobre um plano inclinado que pode girar em torno do eixo como mostra a figura º Figura 3.18 : Exercício a) Determine a tensão na corda quando a velocidade de rotação do conjunto constituído pelo plano inclinado e pelo bloco for igual a 10 rot/minuto. b) Determine a velocidade angular a partir da qual o bloco começa a elevar-se e abandona o plano. Exercício 3.29 : O carrocel de cadeiras suspensas representado na figura 3.19 roda com uma velocidade angular de 1.25 rad/s. 4m θ 2 m Figura 3.19: Exercício a) Se o peso de cada cadeira for 10 N, calcular o ângulo θ quando na cadeira se senta uma pessoa que pesa 500 N. b) E ste ângulo aumenta ou diminui se na cadeira estiver uma pessoa mais pesada? E a tensão do fio? 38

13 Exercício 3.30: Um jovem encontra-se sobre uma balança-dinamómetro que, por sua vez, se encontra sobre uma plataforma que desliza, sem atrito, sobre um plano inclinado (ver figura 3.20). Se o peso habitual do jovem for 50 kgf quanto marcará a balança dinamómetro nesta situação? 30º Figura 3.20: Exercício

14 3.1 Soluções da dinâmica Solução 3.1: a) F = 882 N. b) F = 882 N. c) F = 1152 N. d) F = 0 N. Solução 3.2: a) T mín ima = 266 N. b) Se o movimento for rectilíneo e uniforme. c) F orça vertical, de baixo para cima, com intensidade igual a 98 N. Solução 3.3: a) 1 N. Solução 3.4: a) F = N. b) a = 1.96 m/s 2. c) a = 0.98 m/s 2. Solução 3.5: a) F 1 = 11µ e mg. b) F 2 = 11µ e mg. c) N (1) N (2) = 10µ e mg = µ e mg 40 d) a = F 1 11m µ cg.

15 e) a = F 1 11m µ cg. f) N (1) = F 1 N (2) = 1 11 F 1 Solução 3.6: a ) µ e = b ) T = N. c) T = N. Solução 3.7 : a ) tan (θ) = 1 3µ. b ) T = mg µ 2. Solução 3.8 : a ) v = m / s. b ) v = m / s. Solução 3.9 : a = m / s 2. Solução : a = m / s 2 ; T = N. Solução : θ = i) θ 1 ii) 2 θ 1 iii) a rcta n m ta n (2θ 1 )+m ta n (θ 1 ) m +m Solução : a ) F = N. b ) F m á x im a a sc e n d e n te = N F m á x im a d e sc e n d e n te = N N ã o se a p lica n d o n en h u m a fo rça, a fo rça d e a trito é N. 41

16 Solução 3.13: v o = 7 m/s; O bloco percorre 17.5 m nos primeiros 5 s. Solução 3.14 : T = 1.31 N; t = 1.11 s Solução 3.15 : a) T = 9.8 N. b) t = 1.01 s. Solução 3.16: P = P. Solução 3.17: M ov endo-se para cima : F = m g+a 2 E m repouso : F = mg 2 Solução 3.18: a) b) a = 0 m/s 2 a = 4.9 m/s 2 a C = 2.45 m/s 2 F = mg F = mg F C = 2mg Solução 3.19: F = (M + m 1 + m 2 ) m 2 m 1 g. Solução 3.20: tan α = a = g tan α m 1 m 1 +m 2 +m 3 Solução 3.21: a) θ = 15.4 b) µ = Solução 3.22: 42 a) θ = 9.5.

17 b) v máxima = 42.3 m/s = 152 k m/h. Solução 3.23: a) v = 13.1 m/s = 47 k m/h. b) v = 27.2 m/s = 98 k m/h. Solução 3.24: Solução 3.25: a) F = 339 N. b) T = 560 N. θ = arccos g ω 2 L Solução 3.26: f = 1 2π g h tan 2 (θ) Solução 3.27: a) D iag rama. b) P arte. c) Movimento circular uniforme, com velocidade escalar ig ual a 20 m/s. Solução 3.28: a) 65.4 N. b) 3.13 rad/s. Solução 3.29: a) θ = 41. b) O âng ulo não varia, enq uanto q ue a tensão no fi o é proporcional ao peso da pessoa. 43

18 Solução 3.30: P medido = kgf. 44