Aula 3 OS TRANSITÒRIOS DAS REDES ELÉTRICAS

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1 Aula 3 OS TRANSITÒRIOS DAS REDES ELÉTRICAS Prof. José Roberto Marques (direitos reservados) A ENERGIA DAS REDES ELÉTRICAS A transformação da energia de um sistema de uma forma para outra, dificilmente ocorre de forma abrupta, embora ocorram casos em que o tempo de transformação é muito pequeno. A conversão da energia de uma forma para outra, geralmente é precedida de distúrbio transitório decorrente da redistribuição das energias no sistema sob a ação de transformação. Nos sistemas elétricos os casos mais simples ocorrem no circuitos RL e RC e RLC em série, onde as lei de conservação da energia permite escrever: Para ocaso simples de um circuito RL sob ação de tensão CC podemos escrever utilizando a lei das malhas de Kirchhoff e o produto de potência: Esta expressão permite identificar claramente que durante o transitório a parcela corresponde a energia dissipada por efeito joule no circuito, enquanto que a parcela corresponde a energia que está sendo armazenada no indutor. Após a acomodação do circuito, ou seja, após o circuito entrar em regime permanente com o fim do distúrbio transitório o indutor deixa de afetar o circuito (no caso de CC) e apenas o resistor tem efeito no que consideramos operação em regime permanente. A modelagem matemática do circuito permite a determinação dos efeitos do distúrbio transitório e seus efeitos e devido ao comportamento dos vários elementos do circuito elétrico, esta modelagem é feita utilizando equações diferenciais, as quais tem solução na forma padrão para os casos mais simples. Na maior parte dos problemas práticos, tanto a modelagem dos circuitos como sua solução são bastante complexas, o que nos leva a adotar modelos simplificados, que mesmo assim tem somente tem solução numérica com o auxílio de simulações computacionais. Em geral as soluções podem ser obtidas por:

2 a) Utilização da matemática formal em casos suficientemente simples onde os parâmetros R, L e C são considerados lineares. b) Simplificação considerando certos termos desprezíveis. c) Solução gráfica ou numérica utilizando cálculos ponto a ponto. d) Simulação utilizando computadores. Conceitos básicos sobre equações diferenciais AS formas mais básicas de equações diferenciais com coeficientes constantes são: Equação diferencial de primeira ordem. Onde a é uma constante e a solução obtida por integração é: Onde a constante de integração k é obtida pelo conhecimento das condições inicial do sistema. A solução geral do sistema pode ser realizada utilizando a técnica do operador linear, de forma que a equação original tenha a forma. Como D é o expoente da expressão exponencial do resultado, a solução tem a forma. O caso mais geral de equação diferencial de primeira ordem tem a forma: Onde B é uma função do tempo ou uma constante. Para esses casos, a solução da equação diferencial tem duas partes, uma denominada solução da parte homogênea, que corresponde a solução fazendo B=0, como no caso inicial e outra denominada solução particular relacionada a função B. Em circuitos elétricos, a solução da parte homogênea é denominada solução do transitório natural ou simplesmente solução do transitório enquanto que a p- parcela relacionada a função de excitação ou fonte que aciona o circuito elétrico, é denominada solução de regime permanente. Exemplo 1 Circuito RL em série No caso do circuito elétrico da figura 1 a equação diferencial é:

3 Utilizando o operador D=d/ dt temos: Figura 1 Circuito RL em série Obtemos a solução da parte transitória fazendo E=0, ou: Assim temos como solução da parte homogênea ou da parte correspondente ao transitório. Por sua vez a solução particular é uma constante, ou: O que indica que i(t) tem sua parcela correspondente a solução particular constante. Se é uma constante, sua derivada é zero portanto. Somando as duas soluções, temos: Como as condições iniciais indicam que i(t 0 )=0 temos: Com isso temos a solução: Para. Voltado a explanação inicial notamos que a expressão final da corrente indica que temos um regime permanente caracterizado pela lei de Ohms onde que permanece após o final da parte transitória, ou seja após a

4 ocorrência o distúrbio transitório o circuito acomoda a corrente no valor. Exemplo 2 Circuito RC em série A solução de um circuito RC série é bastante similar. A figura 2 mostra este circuito cuja equação, admitindo que o capacitor está inicialmente descarregado é: Esta é uma equação integral como a tensão no capacitor é dada pela expressão: Podemos determinar a tensão no capacitor substituindo a expressão da tenão no capacitor e pela corrente obtida através dela na expressão inicial para o circuito do capacitor, assim temos: Figura 2 Circuito do exemplo 2 A solução da parte homogênea da equação da tensão no capacitor é: A solução da parte homogênea é. Como no caso anterior a solução da parte particular é constante, assim como a derivada de uma constante é zero temos:

5 Assim temos: Das condições iniciais temos que, que substituindo na expressão da solução completa indique que, portanto a solução final é: Como obtemos a solução da corrente no circuito: Assim a corrente no circuito é: Equação diferencial de segunda ordem. A forma geral de uma equação diferencial de segunda ordem é: Utilizando o operador D, determinamos a solução da parte homogênea: Cujas soluções são e que nos leva a solução da parte homogênea: O comportamento da solução depende exclusivamente do parâmetros a e b da equação diferencial, ou seja a solução dada por: O que leva a três tipos de solução: a) Solução superamortecida duas raízes reais distintas b) Solução criticamente amortecida duas raízes reais iguais c) Solução subamortecida duas raízes complexas conjugadas Analisando cada caso:

6 Solução superamortecida duas raízes reais distintas A solução deste caso é a já adiantada na expressão anterior, ou seja: Solução criticamente amortecida duas raízes reais iguais Neste caso e a solução é dada por: Solução subamortecida duas raízes complexas conjugadas Neste último caso e e a solução é dada por: Neste caso k 1 e k 2 são constantes complexas e conjugadas, ou seja e, que substituindo na solução genérica fornece: Como podemos escrever: Assim para sistemas de segunda ordem a solução da parte homogênea, com k g =2k é: Onde k g e são constantes dependentes das condições iniciais. Exemplo 3 Circuito RLC em série Figura 3 Circuito RLC em série

7 A equação de malha do circuito é: Derivando esta expressão obtemos: Utilizando o operado. Assim temos a solução geral: Para o caso de raízes superamortecidas é necessário que Como a fonte de tensão do exemplo é CC, a corrente de regime do circuito é zero, uma vez que capacitores não conduzem corrente contínua. Daí a solução neste caso será: Onde as constantes A e B devem ser determinadas a partir das condições iniciais da corrente e sua derivada. No caso em questão, daí: Por sua vez, quando a chave é fechada toda a tensão da fonte se concentra sobre a indutância, assim, no instante t=0,. Ou: Assim obtemos:

8 Que permite escrever, na condição inicial com t=0: Que juntamente com permite a determinação das constantes k 1 e k 2. Para o caso de raízes criticamente amortecidas é necessário que Neste caso a solução do circuito para a corrente é: Que é zero para t=0. No instante t=0,, portanto: Logo O valor de pico da corrente neste caso pode ser obtido derivando a expressão da corrente e igualando o resultado a zero.

9 De onde obtemos a corrente de pico no circuito. Como neste caso 1/ (ver solução da equação de 2º grau). Para o caso de raízes subamortecidas é necessário que Como nos casos anteriores, a corrente de regime permanente é zero e o transitório de corrente tem a forma generalizada para este caso: Como i(t=0)=0m temos: Como a corrente não pode ser nula durante a ocorrência do transitório, presumível que Como a tensão no instante inicial se concentra na indutância, e a expressão na indutância tem a forma: Podemos escrever: Como k não pode ser negativo devido ao fato que isso transformaria a carga de receptora de energia em geradora de energia, então,. Assim: Assim a corrente na carga é: O que confirma a situação de.

10 Equação diferencial ordem superior a segunda. Neste caso a solução é uma composição dos termos já estudados, ou seja a solução geral para o caso de ordem é: Para a condição de raízes diferentes que podem ser complexas conjugadas (em pares) ou distintas gerando uma combinação das soluções já estudadas.