Circuitos de 2 ª ordem: RLC. Parte 1

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1 Circuitos de 2 ª ordem: RLC Parte 1

2 Resposta natural de um circuito RLC paralelo Veja circuito RLC paralelo abaixo: A tensão é a mesma e aplicando a soma de correntes que saem do nó superior temos: v R t 1 dv + vdτ + I + C L dt 0 0 = 0

3 Diferenciando uma vez em relação a t temos: 1 R dv dt + v L + C 2 d v 2 dt = 0 Dividindo por C temos: 2 d v dt + 1 RC dv dt + v LC = 0 A equação acima é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.

4 Solução geral da eq. diferencial de segunda ordem A abordagem clássica para resolver a eq. anterior é admitir que a solução seja de forma exponencial, isto é, que a tensão seja na forma: v=ae st em que A e s são constantes desconhecidas. Substituindo a expressão acima na equação diferencial temos: Ae st s 1 ( s ) = RC LC Assim para que seja solução, a expressão entre parênteses deve ser zero A equação acima é denominada equação característica da eq. diferencial. 0 s 1 ( s ) = RC LC 0

5 As duas raízes são: ou: em que: α é a frequência de Neper (rad/s) e ω 0 é a frequência de ressonância (rad/s)

6 Resposta natural- RLC paralelo A resposta natural de um RLC paralelo é da forma: s1t s2t v = A1 e + A2e

7 Formas de resposta natural de um circuito RLC paralelo Observando as expressões das raízes da eq. característica vemos que existe três resultados possíveis: 1. Se ω 02 < α 2, ambas as raízes serão reais e distintas, nesse caso a resposta é dita superamortecida; 2. Se ω 02 > α 2, ambas as raízes serão complexas e conjugado uma da outra, nesse caso a resposta é dita subamortecida; 3. Se ω 02 =α 2, ambas as raízes serão reais e iguais e diz-se que a resposta é criticamente amortecida. O amortecimento afeta o modo como a resposta atinge o seu valor final.

8 Resposta superamortecida As raízes são reais e distintas. Os valores das constantes A 1 e A 2 são encontradas pelas condições iniciais, especificamente pelos valores de v(0 + ) e dv(0 + )/dt que, por sua vez, são determinados pela tensão inicial no capacitor e pela corrente inicial no capacitor que depende da corrente inicial do indutor. v(0 + ) = A 1 + A 2 e dv(0 + )/dt = s 1 A 1 + s 2 A 2 dv(0 + )/dt = i C (0 + )/C e i C (0 + )= -V 0 /R I 0 Vejamos o exemplo a seguir

9 Exemplo 1 Tendo o circuito ao lado, determine: A corrente inicial em cada ramo O valor inicial de dv/dt A expressão de v(t) O gráfico de v(t) Sabendo que v(0 + ) = 12 V e i L (0 + ) = 30 ma Solução: A corrente no indutor mantém a corrente inicial de 30mA. O capacitor mantém a tensão de 12 V inicialmente, assim: i R = 12/200 = 60mA. Logo: i C (0 + ) = -i L (0 + ) i R (0 + ) = - 90 ma

10 Exemplo 1 dv(0 + )/dt = i C (0 + )/C = / 0, = -450kV/s As raízes da eq. característica são determinadas pelos valores de R, L e C. Como as raízes são reais e distintas, sabemos que a resposta é superamortecida.

11 Exemplo 1 Logo: 12 = A 1 + A 2 e = A A 2 Resolvendo as duas eqs. temos: A 1 = - 14 V e A 2 = 26 V Substituindo esses valores na expressão de tensão temos: v = (-14 e -5000t + 26e t ) V, t 0

12 Exemplo 1 O gráfico de v(t) é mostrado abaixo:

13 Resposta subamortecida Por conveniência expressamos as raízes conforme abaixo: Em que : é a frequência amortecida.

14 Utilizando a identidade de Euler a resposta fica: Substituindo A 1 + A 2 por B 1 e j(a 1 -A 2 ) por B 2, temos:

15 Pela equação da resposta, observamos que ela é oscilatória com frequência ω d. A amplitude da oscilação diminui exponencialmente. A rapidez com que as oscilações diminuem é determinada por α ( fator de amortecimento ou coeficiente de amortecimento). Se não houver amortecimento α = 0. Isso ocorre de R tende para o infinito.

16 Exemplo 2 Tendo o circuito abaixo e sabendo que V 0 =0 e I 0 =-12,25 ma. Determine: a) As raízes b) v e dv/dt em t=0 + c) A expressão de v(t) d) O gráfico de v(t)

17 Solução a) Temos que ω 02 > α 2, logo a resposta é subamortecida.

18 b) A tensão inicial é zero, logo a corrente no resistor é zero e temos que: O valor inicial da derivada dv/dt é: c) B 1 = 0 e B 2 = 98000/ω d = 100 V, temos portanto:

19 O gráfico de v(t) é mostrado abaixo:

20 Se no exemplo anterior R tende-se ao infinito a resposta seria: v= 98sen1000t V, t 0 A oscilação é sustentada Em um sistema subamortecido a resposta oscila em torno do valor final. Em um sistema superamortecido, a resposta aproxima-se do valor final sem oscilar. Simulação no PSPICE

21 Resposta criticamente amortecida Temos nesse caso ω 02 =α 2 s 1 =s 2 = - 1/(2RC) A resposta é : em que A 0 = A 1 + A 2. v = (A 1 + A 2 ) e -αt = A 0 e -αt A equação acima não pode satisfazer as duas condições iniciais independentes V 0 e I 0 com apenas uma cte arbitrária A 0. Logo a resposta tem a forma abaixo:

22 Raramente se encontra na prática sistemas criticamente amortecidos.

23 Exemplo 3 Tendo o circuito do exemplo anterior determine: a) R que resulta uma resposta de tensão criticamente amortecida b) v(t) c) O gráfico de v(t)

24 Solução a)temos que ω 0 = 1000 e como ω 0 = α, logo α = 1000 = 1/(2RC) R = 4000 Ω b) Pela condições iniciais temos: D 2 = 0 e D 1 = V/s A expressão de v(t) é:

25 c) O gráfico de v(t) é:

26 Resposta a um degrau de um RLC paralelo Tendo o circuito abaixo: i L + i C + i R = I i L + C dv/dt + v/r = I (1) v= L di L /dt dv/dt = L d 2 i L /dt 2 Logo: i L + (L/R) di L /dt + (LC) d 2 i L /dt 2 = I Dividindo por LC por: d 2 i L /dt 2 + (1/RC) di L /dt + i L /LC = I/LC

27 Solução via abordagem direta Já foi visto que para a resposta natural são três possíveis soluções para v: Substituindo em (1) temos:

28 A solução para uma equação diferencial de segunda com uma força forçante constante é igual à resposta forçada mais uma função resposta natural. v = V f + {função da mesma forma que a resposta natural} i = I f + {função da mesma forma que a resposta natural}

29 Exemplo 4 A energia inicial armazenada no circuito abaixo é zero. Em t=0, uma fonte de corrente cc de 24 ma é aplicada ao circuito. R = 400 Ohms. a) Qual é o valor inicial da corrente no indutor? b) Qual o valor de di L /dt? c) Determine as raízes da eq. característica. d) Determine a expressão numérica de i L quando t 0.

30 Solução a) A corrente i L = 0. b) A tensão inicial no capacitor é zero, logo di L (0 + )/dt = 0. c) Logo: ω 02 < α 2, as raízes são reais e distintas. Assim:

31 d) A resposta portanto será: Vamos encontrar A 1 e A 2: Temos: i L (0) = I f + A 1 + A 2 = 0 e di L (0)/dt = s 1 A 1 + s 2 A 2 = 0 Resolvendo, temos: A 1 = -32 ma e A 2 = 8 ma A solução numérica para i L (t) é :

32 Exemplo 5 O resistor do circuito anterior é aumentado para 625 Ohms. Determine i L ( t) para t 0. Solução: ω 02 permanece o mesmo. O aumento de R diminui α para 3,2 x 10 4 rad/s. Logo, ω 02 > α 2 e as raízes são complexas conjugadas. A resposta é subamortecida e é dada por: Com α = rad/s, ω d = rad/s e I f = 24mA.

33 Pelas condições iniciais determina-se B 1 e B 2 : A solução numérica para i L (t) é:

34 Exemplo 6 O resistor do circuito anterior está ajustado agora para 500 Ohms. Determine i L para t 0. Solução: ω 02 permanece o mesmo e agora α torna-se 4 x 10 4 rad/s, o que corresponde a amortecimento crítico. Logo a forma da resposta é: D 1 e D 2 são determinadas pelas condições iniciais.

35 A solução numérica para i L é : O gráfico das três soluções pode ser visto abaixo:

36 Exercício Para o circuito abaixo, R=500 Ohms, L = 0,64 H e C = 1µF e I= -1 A. A tensão inicial no capacitor é 40 V e a corrente inicial no indutor é 0,5 A. Determine: a) i R (0 + ) b) i C (0 + ) c) di L (0 + )/dt d) as raízes e) i L (t) para t 0 f) v(t) para t 0