Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal

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1 Guia de aulas: Equações diferenciais Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal 1º Semestre de 013

2 Índice 1.Introdução Equações Diferenciais de 1ª Ordem Equações Diferenciais Separáveis Modelagem Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem Aplicações EDO de º ordem com coeficientes constantes Solução geral da EDO homogênea de ª. Ordem e Coeficientes Constantes Equações Lineares Não-homogêneas de Segunda Ordem Aplicações Tabelas Algumas derivadas Algumas integrais... 3 Integração por partes:... 3 Algumas fórmulas trigonométricas: Revisão: Derivadas Revisão: Integrais Este símbolo indica uma Leitura Obrigatória do livro teto. Este símbolo indica uma série de Eercícios Sugeridos do livro teto.

3 A intuição não é um guia seguro Gödel

4 1.Introdução Equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) da função incógnita são chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função. Portanto, uma equação diferencial é uma relação entre uma função e suas derivadas. Neste curso, estudaremos alguns métodos de resolver equações diferenciais. Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como: F(, y, y, y,..., y (n) ) = 0 ou F(, y,, d y,..., n d y n ) = 0. Se a equação envolve apenas derivadas ordinárias (uma variável) temos uma equação diferencial ordinária. Se envolver derivadas parciais (mais de uma variável) temos uma equação diferencial parcial. As epressões seguintes são alguns eemplos de equações diferenciais. A. B. C. y sen d y y 0 D. E. F. 3 d y d y y 3 e y u u 0 t 4, onde u = (, t) 3 0 ORDEM: de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máima das derivadas da equação. 1ª. Ordem: y 3 4 d y d y 3ª. Ordem: y ª. Ordem: d y y 0 u u ; 0, onde u = (, t). t GRAU: de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem. d y y 0 0 ª. Ordem, 1º. Grau 1ª. Ordem, º. Grau

5 SOLUÇÃO: de uma equação diferencial é uma função y = f () a qual, juntamente com as suas derivadas, satisfaz a equação diferencial dada. Eemplo 1: Verificar se y = 4.e é uma solução particular da equação diferencial d y 0. Eemplo : Verificar se y = primeiro grau 1 ( y 1). 1 C. e 1 C. e é uma solução geral da equação diferencial de primeira ordem e Eemplo 3: Verificar que y = A.cos + B.sen é uma solução geral da equação diferencial y + y = 0.

6 SOLUÇÃO PARTICULAR: Uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução particular. Uma solução y = f() de uma equação diferencial de ordem n contendo constantes arbitrárias é chamada uma solução geral. Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem representa uma família de curvas conhecidas como curvas-solução uma para cada valor da constante arbitrária. Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de y, y 0, correspondente a um valor particular de, 0. Isto é, se y = f() pode ser uma solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y 0 = f( 0 ). O problema de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial. Eemplo 4: Mostre que y = C.e - é uma solução para a equação diferencial y + y = 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3. Eercícios Constatar a ordem e o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais. 1. y 5. y - 4y + y = y +.cos = 0 d y 3. 5y y 7. (y ) 3 - y + y = 0 4. y 0 8. y + e y =

7 Verificar se cada uma das funções dadas y = f() é uma solução da equação diferencial dada ; y = y ; y = + C 10. y 4 ; y = d y y 0; y = A.sen4 + B.cos4 11. y 4 ; y = d y 0 3 ; y =

8 . Equações Diferenciais de 1ª Ordem Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação diferencial envolvendo apenas primeira derivada..1. Equações Diferenciais Separáveis Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os termos contendo com e todos os termos contendo y com, obtendo-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o método de separação de variáveis. Método de Separação de Variáveis 1. Coloque a equação na forma diferencial M() + N(y) = 0 ou M() = - N(y). Integre para obter a solução geral M ( ) N( y) C. Eemplo 1: Determinar a solução geral da equação diferencial yy y 3 = 0. Obs.: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração de um termo na forma escrevemos agora du u ln u C em vez de du u ln u C du u. Estamos agora percebendo que a solução é válida apenas quando u é positivo. Lembrar também de incluir a constante de integração C., Lembrete: Propriedades para logaritmo na base e Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então: P1) ln (a. b) = ln a + ln b P3) ln (a ) =.ln a P) ln (a : b) = ln a - ln b P4) e lna = a

9 Eemplo : Resolver a equação diferencial y y '. 1 Eemplo 3: Resolver a equação diferencial (1 + y ) y(1 + )y = 0. Eemplo 4: Resolver a equação diferencial y = 0 sujeita à condição inicial y() = 1.

10 .. Modelagem Lei de Resfriamento de Newton A lei de resfriamento de Newton diz que a taa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura cte Tm do meio ambiente, isto é: dt/ dt = k(t Tm), em que k é uma cte de proporcionalidade. Eemplo: Um ovo duro, a 98º C, é colocado em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de 38º C. Suponha que durante o eperimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 0º C?

11 Coeficiente Angular Determine uma curva que seja definida pela condição de ter em todos os pontos (,y) a inclinação igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto. Se equação diferencial. y y() é a equação da curva, então, para resolver este problema devemos resolver a ( y) Transformação Química 100 gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformadas em detrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Deseja-se saber quanto açúcar foi transformado após t minutos. Se q é o número de gramas convertido em t minutos e k é a constante de proporcionalidade, então, a equação deste problema é dada por: Sabendo q(0) = 100. dq dt k( 100 q)

12 Eercícios 1. O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo uma taa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem t anos de uso, a taa de variação do seu valor é 0(t-10) reais por ano. Epresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina valia originalmente R$ 1.000,00, quanto valerá quando tiver 10 anos de uso? (V(t) = 110.t² -.00t + C e V(10) = R$ 1.000,00). Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taa aproimada de t -1/ pessoas por ano, sendo t o número de anos transcorridos após Em 1999, a população deste lugar era de pessoas. (a) Qual era a população, em 1990? (30.000) (b) Se este tipo de crescimento continuar no futuro, quantas pessoas estarão vivendo neste lugar, em 015? (45.000)

13 3. Em certa região, às 7 horas da manhã, o nível de ozônio no ar é de 0,5 partes por milhão. Ao meio-dia, sabe-se que, depois de t horas, a taa de variação do ozônio no ar será de milhão por hora. (a) Epresse o nível de ozônio como função de t. (Q(t) = 0,03.( t t²) 1/ + 0,07) 0,4 0,03t 36 16t t partes por (b) Quando ocorre o pico do nível de ozônio? Qual é o nível de ozônio, neste momento? (0,37 ppm até as 15h) 4. A taa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do meio circundante. Um objeto cuja temperatura era de 40 graus foi colocado num ambiente cuja temperatura é de 80 graus. Após 0 minutos, a temperatura do objeto chegou a 50 graus. Epresse a temperatura do objeto como função do tempo. (T(t) = e -0,014t )

14 .3 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem Forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n: n n-1 d y d y a n n n-1 n a a a y g() A linearidade significa que todos os coeficientes são funções de somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Quando n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem. Definição Equação Linear Uma equação diferencial que pode ser escrita na forma é chamada de equação linear. P.y Q(). O método para solução das Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem consiste em multiplicar equação toda por uma função (,y) chamada fator de integração. Método Fator Integrante (1) Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque a na forma abaio, isto é, faça o coeficiente de p( ) y f ( ) () Identifique P() e encontre o fator de integração ( ) e P( ) (3) Multiplique a equação obtida em pelo fator de integração: ( ) ( ) p( ) y ( ) f ( ) (4) O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a variável independente y; isto é, P( ) P( ) e y e f ( ) (5) Integre ambos os lados da equação encontrada e obtemos ( ) y ( ) f ( )

15 Eemplo: Encontre a solução geral das equações diferenciais a seguir: a) 3y b) y' e y

16 c) y' y 1 d) y y'

17 e) sent dt f) 4y 6 e

18 .4 Aplicações Circuito Elétrico RL Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a Segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor ( L( di / dt)) e da queda de tensão no resistor (ir) é igual à voltagem ( E( t)) no circuito (circuito em Série L-R). Portanto, obtemos a equação diferencial linear para a corrente i(t), di L Ri E(t) dt onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente é algumas vezes chamada de resposta do sistema., Circuito Elétrico RC A queda de potencial em um capacitor com capacitância C é dada por q ( t) / C, em que q é a carga no capacitor. Então, para o circuito em série R-C, a Segunda lei de Kirchhoff nos dá a equação R i 1 q E( t) C Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por dq i dt, logo temos a equação diferencial linear dq 1 R q E( t) dt C. Eemplo Suponha que um circuito simples a resistência é 550 (ohms), a indutância é de 4 H (henry) e a pilha fornece uma voltagem constante de 110 V (volts). Determine a corrente I se a corrente inicial é zero.

19 Eercícios: 1. Uma bateria de 1 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/ henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i, se a corrente inicial é zero. O que acontece quando. Resp.: 6(1 e i(t) 5 0t ) 6, 5 quando t. t. Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L-R no qual a indutância é de 0,5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i(t) se i ( 0) 0. Determine a corrente quando. Resp.: 3(1 e i(t) 5 500t ) 3, 5 quando t. t

20 3. Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de 00 ohms e a capacitância, 10-4 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t). Resp.: 1 e q(t) t 50t e, i(t). 4. Uma força eletromotriz (fem) de 00 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de 1000 ohms e a capacitância, farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se i(0) = 0,4. Encontre a carga quando. t Resp.: q(t) t e 500 1, 5 quando t.

21 3. EDO de º ordem com coeficientes constantes São equações da forma a y + b y + c y = f () (N.H.) onde a, b, c são constantes reais. A equação a y + b y + c y = 0, (H.) é chamada equação homogênea associada à não-homogênea. Eemplo: A equação y + 3y 5y = 0 é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea. A equação y + 5y + 6y = e é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem nãohomogênea. Teorema: Sejam u() e v() soluções LI de (H). Então, a solução geral de (H) é dada por: y H () = c 1 u() + c v(). Além disso, a solução de (NH) é da forma y NH () = c 1 u() + c v() + y P (), onde c 1 e c são constantes genéricas e y P () é uma solução particular de (NH). Eemplo 1: Em relação a equação y + 4y = 8e, mostre que: a) y H () = c 1 cos + c sen é a solução geral de (H); b) y P () = e é uma solução particular de (NH); c) y () = y H () + e é solução de (NH).

22 3.1 Solução geral da EDO homogênea de ª. Ordem e Coeficientes Constantes Forma Geral: ay + by + cy = 0 Suponha que y = e r, onde r é um parâmetro a ser determinado. Vem então y = r.e r e y = r.e r. Levando as epressões de y, de y e de y na Equação (H), obtemos: (ar + br + c).e r = 0, ou, como e r 0, ar + br + c = 0. que é chamada equação característica da equação diferencial (H). Teorema Solução geral de uma equação linear homogênea (H) Raízes Reais Distintas Se r 1 r são raízes reais distintas da equação característica, então a solução geral é: y = c 1. e r1 + c.e r. Raízes Reais Iguais Se r 1 = r são raízes reais iguais da equação característica, então a solução geral é: y = c 1. e r + c..e r = (c 1 + c.)e r. Raízes Compleas Se r 1 = + i e r = - i são raízes compleas da equação característica, então a solução geral é: y = c 1. e cos + c. e sen. Eemplo 1: Achar a solução geral da equação diferencial y + 6y + 1y = 0. OBS: Observe, no eemplo anterior, que, embora a equação característica tenha duas raízes compleas, a solução da equação diferencial é real.

23 Eemplo : Achar a solução do problema de valor inicial y + 4y + 4y = 0; y(0) = ; y (0) = 1. Eemplo 3: Achar a solução do problema de valor inicial: y + 5y + 6y = 0; y(0) = ; y (0) = 3.

24 Eercícios Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais. 01. y 5y 14y = 0 0. y y 8y = 0 y = C 1 e 7 + C e -. y = C 1 e 4 + C e y y = y 13 y + 15y = 0 y = C 1 e + C e - y = C 1 e 3/ + C e 5 Determinar a solução particular das seguintes equações diferenciais sujeitas às condições dadas: 05. y 4y = 0; y(0) = 3 e y (0) = 4 y = + e 4

25 06. y y y = 0; y(0) = e y (0) = 1 y = e + e y 8y + 15y = 0; y(0) = 4 e y (0) = y = -5e 5 + 9e y 6y + 9y = 0; y(0) = e y (0) = 4 y = e 3 e 3

26 3. Equações Lineares Não-homogêneas de Segunda Ordem Teorema Solução geral de uma equação linear não homogênea (NH) Seja ay + by + cy = F() uma equação diferencial linear não homogênea de ª ordem. Se y p, é uma solução particular dessa equação e se y h é a solução geral da equação homogênea correspondente, então: y = y h + y p. é a solução geral da equação não-homogênea. Como já temos as ferramentas para encontrar y h, vamos nos concentrar em formas de encontrar a solução particular y p. Se a função F() consiste em somas ou produtos de n, e m, cos, sen podemos encontrar urna solução particular pelo método dos coeficientes a determinar. A idéia do método é tentar uma solução y p do mesmo tipo que F(). Eis alguns eemplos: 1. Se F() = 5 + 4, escolha y p = A + B;. Se F() = e,+ 5e escolha y p = (A + B)e = Ae + Be ; 3. Se F() = ² + 9 cos7, escolha y p = (A + B + C) + C.sen7 + D.cos7. Depois, por substituição, determinamos os coeficientes dessa solução. Os próimos eemplos ilustram esse método. Eemplo: Encontre a solução geral da equação y - y 3y =.sen.

27 Encontre a solução geral da equação y y = + e. Eercícios Determine a forma de uma solução particular para: 01. y 8y + 5 y = 5 3 e - 7e - 0. y + 4y =.cos 03. y 9y + 14y = 3 5sen + 7e 7

28 Encontre a solução geral das seguintes equações: 04. y + 4y y = R. :y() = C e C e y + y = sen; y() = 0 e y () =. y() = 9.cos + 7sen + 4 5cos.

29 3.4 Aplicações Eemplo: Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por y + y = 0; y(0) = 0; y (0) = 1 (a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. (b) Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.

30 Eemplo : Se um sistema massa-mola com uma massa de kg e uma mola com constante de elasticidade igual 0,5 N/m é colocado em movimento, no instante t = 0, num meio em que a constante de amortecimento é igual a 1 N.s/m, determine a posição da massa em qualquer instante t, considerando a posição inicial igual u 0 e a velocidade inicial u 0. Eercícios 1. Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola e dado por y + 3y = 0; y(0) = 1; y (0) = 0 (a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. (b) Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.

31 . Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante igual a 3 N/m. Pendura-se na mola uma massa de kg e o sistema sofre a ação de uma força eterna de 3 cos(3t). Determine a função que descreve o movimento da massa em qualquer instante t, considerando a posição inicial igual u 0 e a velocidade inicial u 0.

32 4. Tabelas Algumas derivadas y = c y = 0 y = y = 1 y = c.u y = c. u y = u + v y = u + v y = u. v y = v. u + u. v y = u / v y = ( v.u - u v ) / v y = u y = u -1.u y = a u y = a u lna.u y = e u y = e u.u (10) y log a u y ' y = ln u y = ( u / u) u' / u.log a e y = u v y = v. u v -1. u + u v. ln u. v y = sen u y = cos u. u y = cos u y = - sen u. u y = tg u y = sec u. u y = cotg u y = - cosec u. u y = sec u y = sec u. tg u. u y = cosec u y = - cosec u. cotg u. u y = arc sen u y = u / 1 u y = arc cos u y = - u / 1 u y = arc tg u y = u / (1 + u ) y = arc cotg u y = - u / (1 + u ) y = arc sec u y = u / u. u 1 y = arc cosec u y = - u / u. u 1

33 Algumas integrais du u C du u u a e α u u ln u C α1 u du C α 1 u a du C lna du e u C senu du cos u C cosu du sen u C tgu du ln secu C cotgu du ln senu C cosecu du ln cosecu cotgu C secu du ln secu tgu C sec u du tgu C cosec u du - cotgu C secu.tgu du secu C cosecu.cot gu du - cosecu C du a u du a u u u du a u arc sen C a 1 u arc tg C a a 1 u arc sec a a C Integração por partes: b b dv u v a u v du. a b a

34 Algumas fórmulas trigonométricas: o sen sec cos sec 1 cos cos 1 cos sen sen sencos cos cos sen tg cos 1 cot g tg sec cos 1 tg cos sec 1 1 cot g 1 cos 1 sen sen sen( A B) sen A cos B cos A sen B cos( A B) cos A cos B sen A sen B senh(a B) senha cosh B cosh AsenhB cosh( A B) cosh A cosh B senh A senh B

35 Revisão: Derivadas 1. f()= f () = f ( ) 1 3 f ( ) ( 1) 3. f ( ) 3 4 f ( ) f 1 ( ) 3 3 f ( ) f ( ) 3 3 f ( ) 4

36 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f 3 4 ( 1) se f ( ) 4 1 f ( 1) 0

37 9. f 1 ( ) se f ( ) f ( ) f (3) se f ( ) f 5 ( 3) y e 3 y 6 e 3 e 1. y y e 4 e y ln 3 y ln

38 14. f ( ) sen ( 4 ) 3 4.cos 1sen f (t ) cos ( 3t 1) 6tsen ( 3t 1) 16. f ( ) cos sen f ( ) tg ( ) tg ( ).sec ( ) 18. f ( ) cos ( 5 ) 10cos ( 5 ). sen ( 5 ) 19. f ( ) sec ( 8 1) 8sec ( 8 1).tg ( 8 1) 0. f ( ) tg sec 0

39 Revisão: Integrais 3 a) 7 1 ln(3 7) C 3 b) ( 1 ) 3 C c) e 3 1 e 3 C 3 ln d) (ln ) + C

40 e) t 7 t 1 dt t c f) e 3 1 e 6 3 c g) sen t 1 dt cos t 1 1 cos t 1 c h) e 1 1 e e c 4

41 i) sen cos sen cos c j) e sen 1 e sen e cos c 5 k) ln3 1 ln 3 c l) tg sec tg c

42 m) n) 4 3 (1sen ) cos 0 1,875 4 o) 0 ( 1) 8,667