Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Capítulo 8 Equações Diferenciais Ordinárias Vários modelos utilizados nas ciências naturais e exatas envolvem equações diferenciais. Essas equações descrevem a relação entre uma função, o seu argumento e algumas de suas derivadas. Como exemplo, podemos considerar o segunda lei de Newton para o movimento: o vetor momento p R 3 de um corpo sob ação de uma força F R 3 satisfaz a seguinte equação, d dt p p = F. A solução da equação é uma função que depende da variável t, pt), cuja derivada é diretamente proporcional à função Ft). Se conhecemos a dependência explícita de Ft) na variável t, então pt) é determinada pela integral de F. Se por outro lado Ft) depende também de p, por exemplo, Ft) = ft, pt)), então a lei de Newton, nesse caso, assume a forma da equação p = ft, p). Essa última equação é uma equação diferencial ordinária de 1 a ordem. O termo ordinária indica que as derivadas presentes à equação são tomadas com respeito a uma única variável no nosso caso, t). O termo 1 a ordem indica que apenas p e sua primeira derivada estão presentes à equação. Neste capítulo vamos estudar uma classe de equações diferenciais ordinárias denominadas problemas de valor inicial que caracterizam-se pela informação adicional do valor da função pt) em algum t = t 0, ou seja, pt 0 ) = p 0, em geral, essa condição é suficiente para garantir que a solução da equação p = ft, p) pt 0 ) = p 0 é única para todo t pertencente ao intervalo em que a solução existe. A seguir vamos estudar alguns métodos numéricos que permitem construir soluções aproximadas para as equações diferenciais ordinárias.

2 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias Exercícios 8.2. Método da série de Taylor Seja a equação diferencial y x) = fx, y) yx 0 ) = y ) Vamos supor que a solução yx) possui uma expansão em série de Taylor em alguma vizinhança de x 0, nesse caso, a solução pode ser escrita como yx) = yx 0 ) + y x 0 ) x x 0 ) y x 0 ) x x 0 ) n! yn) x 0 ) x x 0 ) n +... De acordo com 8.1) as derivadas de y calculadas em x 0, y j) x 0 ), j = 1, 2,... podem ser calculadas pela regra da cadeia: y x 0 ) = y x) x=x0 = fx, yx)) x=x0 = fx 0, y 0 ), y x) x=x0 = f f x, y) + x)) x y x, y)y x=x 0 = f x x 0, y 0 ) + f y x 0, y 0 )y x 0 ), e assim por diante para as demais derivadas. Dessa forma podemos encontrar uma aproximação para a solução yx) na vizinhança de x 0 através do truncamento da série de Taylor na ordem n e do uso das derivadas y j) x 0 ) calculadas através da equação 8.1) e da regra da cadeia. O erro de truncamento nessa abordagem é O x x 0 ) n+1). Exemplo: Seja a equação diferencial ordinária y = x 2 + y 2 y0) = 0, 8.2) vamos aproximar a solução da equação pela série de Taylor em torno do ponto x = 0. Para tanto devemos calcular o valor das derivadas de y nesse ponto: y 0) = x 2 + yx) 2) x=0 = y0) 2 = 0, pois y0) = 0. pois y 0) = 0. y 0) = 2x + 2yx)y x) ) x=0 = 0, y 3) 0) = 2 + 2y x) 2 + 2yx)y x) ) x=0 = 2,

3 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 101 pois y 0) = 0. Até aqui temos então a aproximação yx) 2x3 3! = x3 3, pois y0) = y 0) = y 0) = 0 e y 3) 0) = 2. Vamos continuar a calcular as derivadas. y 7) 0) = y 5) 0) = y 6) 0) = y 4) 0) = 6y x)y x) + 2yx)y 3) x)) x=0 = 0, 6 y x) ) 2 + 8y x)y 3) x) + 2yx)y 4) x)) x=0 = 0, 20y x)y 3) x) + 10y x)y 4) x) + 2yx)y 5) x)) x=0 = 0, 2 20 y x)) 3) + 30y x)y 4) x) + 12y x)y 5) x) + 2yx)y x)) 6) = 202) 2 = 80. x=0 Portanto os primeiros termos da série de Taylor para a solução yx) são 1 yx) = 1 3 x ! x7 + Ox 11 ), ou seja, na vizinhança de x = 0, a solução pode ser aproximada até a ordem Ox 11 ) por yx) 1 3 x x7. x i 1 3 x3 i 1 3 x3 i x7 i yx i ) Tabela 8.1. Comparação entre as aproximações e a solução yx) para a equação 8.2) Como podemos observar pelo exemplo anterior, a aproximação se degrada conforme nos afastamos da condição inicial. O erro de truncamento é uma potência de x x 0 ), portanto quanto mais afastado de x 0 estiver x, maior será o erro de truncamento cometido. Observação. Devemos lembrar que mesmo que todos os termos da série estivessem presentes, isto por si só, não garante que a série seja capaz de representar exatamente a solução yx) para 1 Se continuarmos a expansão veremos que a próxima derivada não nula é y 11) 0).

4 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 102 qualquer x. Isto só acontece se a solução for uma função analítica em todo plano complexo. Como contra-exemplo, podemos considerar a expansão em série da função gx) = 1 1 x, a série 1 + x + x x n +... com infinitos termos é capaz de representar gx) apenas no intervalo x < 1. Um modo de controlar o erro de truncamento para intervalos maiores consiste em adotar uma série de pontos x i, i = 0, 1, 2,... onde x 0 corresponde à condição inicial em 8.1), e realizar a expansão de Taylor em torno de cada ponto x i. Dessa forma determinamos uma aproximação para a solução em uma vizinhança próxima de x i ; ao contrário do que ocorre quando aproximamos a solução pela expansão em série de Taylor em torno da origem. No entanto, para realizar as expansões em torno de x i, devemos conhecer o valor da solução y no ponto 2 x i, yx i ). Se i = 0, então yx 0 ) é conhecido exatamente é a condição inicial), nos demais casos não conhecemos exatamente yx i ) mas podemos utilizar a expansão em série em torno do ponto anterior e a partir dela determinar o valor aproximado de yx i ). Vamos partir da condição inicial. No ponto x 0, a solução da EDO deve ser igual a y 0, ou seja yx 0 ) = y 0, então a partir da equação 8.1) e da regra da cadeia podemos calcular o valor das derivadas y j) x 0 ), isto nos permite construir uma aproximação à solução yx), ψ 0 x), válida na vizinhança de x 0, dada pela série de Taylor truncada no termo da n-ésima derivada: ψ 0 x) = yx 0 ) + y x 0 )x x 0 ) n! yn) x 0 )x x 0 ) n yx). A partir dessa série encontramos uma aproximação para yx 1 ) dada por y 1 = ψ 0 x 1 ) yx 1 ). O processo pode ser então repetido construindo uma nova série de Taylor truncada ψ 1 x) em torno do ponto x 1 e repetir o procedimento para encontrar a aproximação de yx 2 ) dada por y 2 = ψ 1 x 2 ). Dessa forma somos capazes de construir uma iteração para que aproxima o valor da solução nos pontos x i, i = 1, 2,... Por simplicidade, vamos adotar a seguinte notação, y j) i é a aproximação para a j ésima derivada de yx) no ponto x = x i, calculada a partir de y i, da EDO 8.1) e da regra da cadeia. Se os pontos x i estiverem igualmente espaçados de h, então x i = x 0 +ih. Dessa forma, podemos montar a recorrência para as aproximações da solução y nos pontos x i. y i+1 = y i + y ih y i h ! y3) i h n! yn) i h n, 8.3) Exemplo: Vamos aplicar esse método à equação do exemplo anterior. Nesse caso, os pontos x i = x 0 + ih, são da forma x i = ih já que no nosso caso x 0 = 0. De acordo com a EDO e a regra da cadeia, as derivadas são dadas por y x) = x 2 + yx) 2 y i = ih) 2 + y 2 i, 2 e a partir do valor da solução em x i e da EDO, podemos determinar o valor das demais derivadas y x i), y x i),...

5 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 103 y x) = 2x + 2yx)y x) = 2x + 2yx)x 2 + yx) 2 ) e = 2x + 2x 2 yx) + 2yx) 3 y i = 2ih + ih) 2 y i + y 3 i ), y 3) x) = 2 + 2y x)) 2 + 2yx)y x) = 2 + 2x 2 + yx) 2 ) 2 + 2yx)2x + 2x 2 yx) + 2yx) 3 ) = 21 + x 4 + 2xyx) + 4x 2 yx) 2 + 3yx) 4 ) y 3) i = 21 + ih) 4 + 2ihy i + 4ih) 2 y 2 i + 3y 4 i ). Dessa forma podemos aproximar yx) até a ordem Oh 4 ) através da relação de recorrência y i+1 = y i + ih) 2 + yi 2 ) h+ ih + ih) 2 y i + yi 3 ) h ih) 4 + 2ihy i + 4ih) 2 yi 2 + 3y 4 ) i h 3. 3 A tabela seguinte inclui os dados obtidos pela equação de recorrência acima com h = 0.1. x i 1 3 x3 i 1 3 x3 i x7 i y i, h = 0.1 yx i ) Tabela 8.2. Comparação entre as aproximações e a solução yx) para a equação 8.2) 8.3. Método de Euler O método de Euler consiste em construir a relação de recorrência 8.3) até a a ordem h, isto é, utilizamos a informação sobre y x i ) apenas. Ou seja, y i+1 = y i + y i h. Como pela equação 8.1),

6 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 104 y x i ) = fx i, yx i )) y i = fx i, y i ), o método de Euler consiste na relação de recorrência y i+1 = y i + hfx i, y i ), para i = 0, 1, 2,..., onde yx 0 ) = y 0 é a condição inicial. Uma das vantagens da fórmula de Euler consiste na desnecessidade de calcular as derivadas de y nos pontos x i, o que pode ser uma tarefa penosa como ilustram os exemplos anteriores. Exemplo: Vamos aplicar o método de Euler para encontrar uma solução aproximada para e EDO que temos estudado em exemplos até a agora y = x 2 + y 2 y0) = 0 Nesse caso, os pontos x i = x 0 + ih, são da forma x i = ih já que x 0 = 0. De acordo com o método o valor da solução y no ponto x i é dado por y i que satisfaz a seguinte relação de recorrência : y i+1 = y i + h ih) 2 + yj 2 ), onde y 0 = 0 segundo a condição inicial. x i y i y i yx i ) Tabela 8.3. Comparação entre as aproximações dadas pelo método de Euler com espaçamento h = 0.1, h = e a solução yx) para a equação 8.2) O exemplo anterior ilustra o comportamento da aproximação conforme o espaçamento entre os pontos é diminuído. Gostaríamos que quando h 0 o método convirja para a solução exata naturalmente, se não existisse erros de arredondamento). De fato, se a EDO satisfizer algumas condições gerais, isso acontece. Vamos estudar o comportamento dos erros cometidos pela aproximação quando h 0. Erro de truncamento O método de Euler consiste em truncar, a cada ponto x i, a série de Taylor para a solução da EDO em 1 a ordem. Portanto, supondo que a solução é conhecida exatamente no ponto x i, a expansão da

7 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 105 solução em torno desse ponto é tal que existe um ξ [x i, x] tal que yx) = yx i ) + hy x i ) h2 y ξ). Então o valor da solução y calculada no ponto x i+1 é dado pela série anterior calculada em x = x i+1 : yx i+1 ) = yx i ) + hfx i, yx i )) h2 y ξ). Essa última equação permite que estimemos o erro local ε i+1 calculado pelo método de Euler: y i+1 = y i + hfx i, y i ).. = yxi+1 ) y i+1 dado que y i+1 é Subtraindo as duas últimas equações temos ε i+1 = ε i + h fx i, yx i )) fx i, y i )) h2 y ξ), 8.4) onde ξ [x i, x i+1 ]. Para continuar a análise serão necessárias algumas hipóteses sobre o comportamento da solução y e da função f. Vamos supor que a solução y possua segunda derivada limitada no intervalo em que está definida. Assim, se a solução está definida em um intervalo I = x 0, x max ), então existe um M < tal que y x) M para todo x I. Uma outra hipótese é que a função f é Lipschitz no segundo argumento na variável y) para todo x I, ou seja, para qualquer x I, existe um L <, que independe de x, tal que fx, y 1 ) fx, y 2 ) L y 1 y 2 estamos supondo também que y é limitada no intervalo I). Assumindo essas hipóteses e tomando o valor absoluto na equação 8.4) temos que como yx i ) y i = ε i temos finalmente ε i+1 ε i + hl yx i ) y i h2 M, ε i hl) ε i h2 M. 8.5) A condição inicial é conhecida exatamente, yx 0 ) = y 0, portanto ε 0 = 0 e assim, de acordo com 8.5) ε h2 M, ε hl) ε h2 M ε i hl) 1 2 h2 M h2 M, ε hl) ε h2 M 1 + hl) h2 M hl) 1 2 h2 M h2 M, por indução chegamos a desigualdade para o erro acumulado na n-ésima iteração ε n 1 2 h2 M n hl) j, j=0

8 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 106 o somatório é uma série geométrica, n 1 j=0 1 + hl)j = 1 + hl)n 1, portanto hl ε n hm 1 + hl)n 1, 2L considerando o fato de que 1 + x) n e nx para quaisquer n e x positivos, temos finalmente que ε n h M 2L elnh 1) = h M 2L elxn x 0) 1), 8.6) onde na última igualdade, utilizamos o fato de que x n = x 0 + nh. A desigualdade 8.6) nos diz que a dependência do erro cometido pela aproximação de y no ponto x n é limitado por um termo linear em h. Como M, L, x n e x 0 são constantes finitas, então lim ε n M h 0 2L elxn x 0) 1) lim h = 0. h 0 Portanto, desconsiderando os erros de arredondamento, a aproximação construída pelo método de Euler converge para a solução da EDO no limite em que o espaçamento entre os pontos se anula Método Runge-Kutta A análise de erros de truncamento no método de Euler pode ser aplicada também ao método da série de Taylor de modo semelhante ao que estudamos na seção anterior. Isto permite estabelecer as hipóteses que garante a convergência desse método de maneira geral. Como vimos em exemplos, uma das dificuldades na aplicação do método da série de Taylor deve-se à crescente complexidade dos termos associados as j-ésimas derivadas da solução. Uma alternativa consiste em aproximar essas derivadas pela sua derivada numérica. Vamos considerar a seguinte EDO: y = fx, y) yx 0 ) = y 0. A série de Taylor da solução em torno de um ponto x j é dada por yx) = yx j ) + x x j )y x j ) x x j) 2 y x j ) + Ox x j ) 3 ), o termo y x j ) é calculado explicitamente através da EDO, y x j ) = fx j, yx j )). Já o termo y x j ) pode ser calculado como a derivada numérica da função y x) fx, yx)) no ponto x j, ou seja: y x j ) y x j + h) y x j ) h = fx j + h, yx j + h)) fx j, y j ), h em seguida, aproximamos yx j + h) yx j ) + hy x j ) = yx j ) + hfx j, yx j )), assim y x j ) f x j + h, yx j ) + hf x j, yx j )) ) fx j, y j ). h

9 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 107 A partir dessa aproximação, vamos desenvolver o termo y j da série de Taylor 8.3) truncada na ordem n = 2. Vamos supor então que o espaçamento h utilizado na aproximação de y i é um múltiplo do espaçamento entre os pontos no método da série de Taylor, ou seja, h = λh, onde h é o espaçamento entre os pontos x j e x j+1. Então y j+1 = y j + hfx j, y j ) h2 f xj + λh, yx j ) + λhf x j, yx j ))) λh fx ) j, y j ) λh = y j + h 1 1 ) fx j, y j ) + 1 ) 2λ 2λ f x j + λh, yx j ) + λhf x j, yx j ))), de forma simplificada temos então y j+1 = y j + h α 1 k 1 + α 2 k 2 ), 8.7) onde α 1 = 1 1 2λ, α 2 = 1 α 1, k 1 = fx j, y j ) 8.8) e k 2 = f x j + λh, y j + λhk 1 ). 8.9) as expressões dadas por 8.7), 8.8) e 8.9) constituem o método de Runge-Kutta de dois estágios. A denominação dois estágios se deve ao fato de que o valor y j+1 é calculado em dois estágios, no primeiro calculamos o termo k 1 que é utilizado no segundo estágio ao calcularmos o termo k 2. Quando λ = 1 2, o método é conhecido como método de Euler corrigido, quando λ = 2 3, método de Heun. Exemplo: Método de Euler Corrigido Seja a EDO y = x 2 + y 2 y0) = 0. Então o método de Euler corrigido consiste na aproximação y j da solução y nos pontos x j = jh, definida pela relação y j+1 = y j + hk 2, onde y 0 = 0 dado pela condição inicial da EDO), k 2 = x j + h ) 2 + y j + h ) k 1 e k 1 = x j ) 2 + y j ) 2. A tabela seguinte ilustra o comportamento da aproximação com h = 0.1.

10 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 108 x i y i yx i ) Tabela 8.4. Comparação entre a aproximação dada pelo método de Euler corrigido com espaçamento h = 0.1 e a solução yx) para a equação 8.2) Exemplo: Método de Heun Seja a EDO y = x 2 + y 2 y0) = 0. Então o método de Heun consiste na aproximação y j da solução y nos pontos x j = jh, definida pela relação y j+1 = y j hk hk 2, onde y 0 = 0 dado pela condição inicial da EDO), k 1 = x j ) 2 + y j ) 2 e k 2 = x j + 2 ) 2 3 h + y j ) 3 hk. A tabela seguinte ilustra o comportamento da aproximação com h = 0.1.

11 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 109 x i y i yx i ) Tabela 8.5. Comparação entre a aproximação dada pelo método de Heun com espaçamento h = 0.1 e a solução yx) para a equação 8.2) O princípio fundamental dos métodos de Runge-Kutta consiste na combinação das estimativas de derivadas com diversos espaçamentos de modo que a equação recursiva resultante possua os mesmos termos que a série de Taylor da solução até uma determinada ordem. A generalização do método de Runge-Kutta de n passos é dada pela seguintes expressões: n ) y j+1 = y j + h α i k i i=1 e os termos k i são definidos pela seguinte equação recursiva, e k 1 = fx j, y j ) ) i 1 k i = f x j + µ i h, y j + h λ i,l k l para i = 2, 3,..., n. O ponto x 0 corresponde à condição inicial yx 0 ) = y 0. l=1 8.10) Os parâmetros λ i,l,µ i e α i devem ser determinados de modo que a aproximação seja a mais exata possível. Ou seja, vamos supor que levando em conta a forma de todas as funções k i x j, y j, h), i = 1, 2,..., n de uma equação recursiva 8.10) com n estágios, a mesma possa ser exprimida através de uma função gx j, y j, h): y j+1 = y j + h gx j, y j, h). 8.11) Devemos então escolher os coeficientes de modo que o polinômio de Taylor em h da solução yx j+1 ) = yx j + h) seja igual, até um grau máximo p, à serie de Taylor em h do lado direito de 8.11), ou seja, p m=0 1 p 1 m! ym) x j ) h m = y j + h m=0 1 m g m! h m x j, y j, 0) h m.

12 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 110 O caso p = 0 implica a igualdade yx j ) = y j. Nos demais casos, a exigência de que a equação acima deva ser válida para um h 0 qualquer, implica as seguintes equações para m = 1, 2,..., p: y m) x j ) = m dm 1 dh m 1 n )) i 1 α i f x j + µ i h, y j + h λ i,l k l. 8.12) h=0 i=1 Vamos estudar as situações em que temos p = 1 e p = 2. Vamos começar com um método de Runge-Kutta de um único estágio, ou seja l=1 y j+1 = y j + α 1 h fx j, y j ). Nesse caso a equação 8.12) com p = 1 implica y x j ) = α 1 fx j, y j ), como y x j ) = fx j, y j ) temos que a equação é satisfeita com α 1 = 1. Nesse caso, o método de Runge-Kutta de um único passo é idêntico ao método de Euler. A equação para p = 2 não poder ser satisfeita nesse método pois d dh α 1f x j, y j )) h=0 = 0. Vamos analisar o método de Runge-Kutta de dois estágios, y j+1 = y j + h α 1 fx j, y j ) + α 2 f x j + µ 2 h, y j + hλ 2,1 fx j, y j ))). Nesse caso, a equação 8.12) com p = 1 implica y x j, y j ) = α 1 + α 2 )fx j, y j ), como y x j, y j ) = fx j, y j ) temos então que α 1 + α 2 = ) A equação 8.12) para p = 2 implica y f x j ) = 2 α 2 µ 2 x x j, y j ) + α 2 λ 2,1 fx j, y j ) f ) y x j, y j ), como temos então que e y x j ) = f x x j, y j ) + fx j, y j ) f y x j, y j ) 2α 2 µ 2 = ) 2α 2 λ 2,1 = ) Portanto as três equações 8.13), 8.14) e 8.15) devem ser satisfeitas simultaneamente. Não é difícil verificar que tanto o método de Heun quanto o método de Euler corrigido as satisfazem. Na realidade, há uma infinidade de escolhas, já que são 4 incógnitas e apenas três equações. Por outro

13 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 111 lado é possível verificar que a equação 8.12) para p = 3 nunca pode ser satisfeita por um método Runge-Kutta de dois estágios. Através dessa análise é possível verificar que a ordem do método Runge-Kutta é igual ao seu número de estágios até o método de 4 estágios, a partir desse número de estágios, a ordem cresce menos rapidamente do que o número de estágios, por exemplo, um método de 5 estágios possui ordem 4 como o de 4 estágios. Para obter ordem 5 são necessários 6 estágios. A ordem do método de Runge-Kutta é importante pois permite obter informação sobre a taxa de convergência do método com relação ao espaçamento h. Por exemplo, sabe-se 3 que uma equação diferencial com solução no intervalo x 0, x) aproximada nos pontos x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 + 2h,...,x = x 0 + Nh por y 1, y 2,..., y N que satisfazem as relações de recorrência de um método Runge-Kutta de ordem p é tal que Método Runge-Kutta Clássico 4 estágios) max yx 0 + jh) y j = Oh p ). 0 j N O método Runge-Kutta de 4 estágios clássico é descrito pelo seguinte conjunto de relações de recorrência: y j+1 = y j + h 6 k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), onde e k 1 = fx j, y j ), k 2 = f x j h, y j + 1 ) 2 hk 1, k 3 = f x j h, y j + 1 ) 2 hk 2 k 4 = f x j + h, y j + hk 3 ). A aproximação é tal que o erro absoluto no intervalo x 0, x) é dado por max yx 0 + jh) y j = Oh 4 ) 0 l N onde x = x 0 + Nh. Ou seja, o método é de 4 a ordem. Exemplo: Seja a EDO y = x 2 + y 2 y0) = 0. Então o método Runge-Kutta clássico de 4 estágios consiste na aproximação y j da solução y nos pontos x j = jh, definida pela relação y j+1 = y j + h 6 k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), 3 Veja a referência: Henrici, P. Discrete Variable methods in Ordinary Differential Equations, J. Willey & Sons, Inc., 1962).

14 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 112 onde y 0 = 0 dado pela condição inicial da EDO), k 2 = k 3 = k 1 = x j ) 2 + y j ) 2, x j + 1 ) 2 2 h + y j ) 2 hk, x j + 1 ) 2 2 h + y j + 1 ) 2 2 hk 2 e k 4 = x j + h) 2 + y j + hk 3 ) 2. A tabela seguinte ilustra o comportamento da aproximação com h = 0.1. x i y i yx i ) Tabela 8.6. Comparação entre a aproximação dada pelo método Runge-Kutta clássico com espaçamento h = 0.1 e a solução yx) para a equação 8.2) 8.5. Métodos de múltiplos passos Os métodos Runge-Kutta são denominados métodos de passo único pois a aproximação y j+1 depende explicitamente de y j apenas. Nesta seção vamos considerar os métodos de múltiplos passos. Um método de i passos parar aproximar a solução da EDO y = fx, y) y0) = 0, possui a forma geral i i y j+1 = α l y j+1 l + h β l fx j+1 l, y j+1 l ), 8.16) l=1 l=0 onde x j = x 0 + jh. Os coeficientes α 1, α 2,..., α i e β 0, β 1,..., β i são os parâmetros do método. Nos casos em que β 0 0, a relação de recorrência 8.16) determina um método implícito. Essa denominação se deve ao fato de que o valor y j+1 está implicitamente definido por 8.16) nos

15 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 113 casos em que β 0 0. Note que nesses casos temos y j+1 no lado esquerdo da equação e um termo hβ 0 fx j+1, y j+1 ) no lado direito, dessa forma o valor de y j+1 é determinado geralmente através da solução numérica da equação não linear. Uma classe muito grande de métodos de múltiplos passos é formada pelos métodos de Adams. Esses métodos são caracterizados pela seguinte escolha de parâmetros: α 1 = 1 e α l = 0 para todo l 1. A sua importância é devida ao fato de fora dessa classe de métodos, em geral os métodos de múltiplos passos não são estáveis. Os métodos de Adams subdividem-se em dois grandes grupos: os métodos explícitos β 0 = 0), denominados métodos de Adams-Bashforth e os métodos implícitos β 0 0), denominados métodos de Adams-Moulton Método de Adams-Bashforth O método de Adams-Bashforth de i passos possui a forma i y j+1 = y j + h β i fx j+1 l, y j+1 l ), l=1 onde os primeiros coeficientes β l são os da seguinte tabela l β 1 β 2 β 3 β 4 2 3/2 1/ /12-16/12 5/ /24-55/24 37/24-9/24 Tabela 8.7. coeficientes β i no método de Adams-Bashforth de l passos Método de Adams-Moulton O método de Adams-Moulton de i passos possui a forma i y j+1 = y j + h β i fx j+1 l, y j+1 l ), l=0 onde os primeiros coeficientes β l são os da seguinte tabela l β 0 β 1 β 2 β 3 β 4 1 1/2 1/ /12 8/12-1/ /24 19/24-5/24 1/ / / / /720-19/720 Tabela 8.8. coeficientes β i no método de Adams-Moulton de l passos.

16 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias Exercícios 1) A velocidade de um corpo em queda livre pode ser descrita pela seguinte equação dv dt = v2. A partir da equação diferencial, encontre o valor da velocidade terminal valor da velocidade que implica dv = 0) e através do método Runge-Kutta de 4 estágios determine uma aproximação para dt o tempo que um corpo leva para alcançar 50% da velocidade terminal a partir da condição inicial v0) = 0. 2) Considere a equação diferencial ordinária para o pêndulo simples, d 2 θ dt 2 + g senθ) = 0, l onde g é a aceleração da gravidade e l o comprimento do pêndulo. Utilize o método Runge-Kutta de 4 estágios para determinar uma aproximação para a solução da equação do pêndulo simples no caso em que g = 10 e l = 1 com condição inicial θ0) = π 4, dθ 0) = 0 nos pontos t = 0.1, 0.2,..., 1.0. dt Respostas v T 1) velocidade terminal, v T, é aquela que implica dv dt v T ) = vT 2 = 0, ou seja, = De acordo com o método R-K de 4 estágios, aproximamos a solução v nos pontos t i por v i vt i ), para i = 0, 1, 2,... Inicialmente realizmos a escolha, t i = ih com h = 1. De acordo com o método onde e v 0 = v0) = 0. A escolha h = 1 implica v i+1 = v i + h 6 k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), k 1 = vi 2, k 2 = v i + h 2 1) 2 k, k 3 = v i + h 2 2) 2 k, k 4 = v i + hk 3 ) 2 v 1 = , v 2 = , v 3 = , v 4 = Como 1 2 v T = a aproximação v 3 vt 3 ) está próxima do valor exato. De acordo

17 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 115 com a escolha h = 1, t 3 = 3. Se as aproximações forem refeitas com h = 0.5 notaremos que as aproximações obtidas com espaçamento h = 1. são exatas para os primeiros dígitos. 2) Por meio da nova variável ωt) = dθ t) reescrevemos a E.D.O. de segunda ordem como o dt seguinte sistema de E.D.O de primeira ordem: dω dt = g l senθ) dθ dt = ω com condição inicial ω0) = 0 e θ0) = π. De acordo com o método Runge-Kutta de 4 estágios, 4 a aproximação ω i ωt i ), θ i θt i ) é determinada pelo conjunto de equações onde ω i+1 = ω i + h 6 kω 1 + 2kω 2 + 2kω 3 + kω 4 ) θ i+1 = θ i + h 6 kθ 1 + 2kθ 2 + 2kθ 3 + kθ 4 ), kω 1 = g l sen θ i), kω 2 = g θ l sen i + h ) 2 kω 1, kω 3 = g θ l sen i + h ) 2 kω 2, kω 4 = g l sen θ i + hkω 3 ), kθ 1 = ω i, kθ 2 = ω i + h 2 kθ 1, kθ 3 = ω i + h 2 kθ 2, kθ 4 = ω i + hkθ 3 e ω 0 = 0, θ 0 = π 4.

18 Capítulo 8. Equações Diferenciais Ordinárias 116 No caso em que g = 10 e l = 1, a escolha t i = ih com h = 0.1 determina as aproximações ω 1 = e θ 1 = ω 2 = e θ 2 = ω 3 = e θ 3 = ω 4 = e θ 4 = ω 5 = e θ 5 = ω 6 = e θ 6 = ω 7 = e θ 7 = ω 8 = e θ 8 = ω 9 = e θ 9 = ω 10 = e θ 10 =