Comprimentos de Curvas e Coordenadas Polares Aula 38

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1 Comprimentos de Curvas e Coordenadas Polares Aula 38 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 12 de Junho de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Uma curva no plano R 2 é uma função γ que associa a cada t em um intervalo I um ponto γ(t) = (x(t),y(t)) R 2. A medida que t percorre o intervalo I o ponto γ(t) = (x(t),y(t)) descreve um traço no plano. Exemplos a)γ(t)=(2+t,3+3t), t R b)γ(t)=(cost,sent), t [0,2π], c)γ(t)=(t,t 2 ), t R d)γ(t)=(3cost,2sent), t [0,2π].

3 Sejam x,y : [a,b] R funções continuamente diferenciáveis e vamos procurar uma fórmula para o comprimento do traço descrito pela curva γ(t) = (x(t),y(t)), t [a,b] no plano. Procedemos como antes, aproximando o comprimento da curva pelo comprimento de uma poligonal.

4 Seja P : a = t 0 < t 1 < < t np = b uma partição do intervalo [a,b] e considere a poligonal de vértices γ(t 0 ),γ(t 1 ),,γ(t np ). Então, o comprimento desta poligonal é n P i=1 γ(t i ) γ(t i 1 ) = = n P i=1 n P i=1 n P i=1 (x(t i ) x(t i 1 )) 2 +(y(t i ) y(t i 1 )) 2 (x(ti ) ) x(t i 1 ) 2 ( ) y(ti ) y(t i 1 ) 2 + (t i t i 1) t i t i 1 t i t i 1 (x (τ i )) 2 +(y (τ i )) 2 (t i t i 1 )

5 Assim, o comprimento do traço da curva γ é definido por L := lim P 0 n P i=1 γ(t i ) γ(t i 1 ) = b a (x (t) 2 +y (t) 2 dt Exemplo Calcular o comprimento da espiral x(t) = e t cost, y(t) = e t sent, 0 t π.

6 Fixado um semi-eixo Ox (eixo polar) no plano com origem O (pólo), qualquer ponto P do plano fica determinado pelo ângulo θ [0,2π) que OP faz com o eixo polar (contado a partir do eixo polar e no sentido anti-horário) e do comprimento ρ > 0 do segmento OP. Os números θ e ρ são chamados coordenadas polares de P.

7 Conhecidas as coordenadas polares de P e fixando um sistema ortogonal de coordenadas em que a origem coincida com o pólo e o primeiro quadrante coincida com { (θ,ρ) : θ [0, π 2 ],ρ 0}. Então P = (x,y) se, e somente se, x = ρcosθ, y = ρsenθ e ρ = x 2 +y 2, cosθ = x y senθ = x 2 +y2, x 2 +y 2. Convencionaremos que se ρ < 0 o par (θ,ρ) corresponde ao par simétrico relativamente ao pólo do par (θ, ρ).

8 Exemplo Esboçar as curvas descritas pelos pontos (θ, ρ(θ)) nos casos a) ρ(θ) = θ, θ [0,2π], b) ρ(θ) = senθ, 0 θ π c) ρ(θ) = 1 cosθ, θ [0,2π], d) ρ(θ) = cos2θ,θ [0,2π].

9 Se ρ : [α,β] [0, ) e R é a região do plano dada por {(θ,r) : θ [α,β], e 0 r ρ(θ)}, a área de R é dada por Exemplos A(R) = 1 2 β α ρ(θ) 2 dθ Calcular a área da região delimitada pela cardióide ρ(θ) = 1 cosθ. Calcular a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas ρ = 3, ρ = 3cosθ e ρ = 1+cosθ.

10 Se ρ : [α,β] [0, ) é uma função continuamente diferenciável, o comprimento L da curva descrita pelos pontos (θ,ρ(θ)), θ [α,β] é β L := ρ(θ) 2 +(ρ (θ)) 2 dθ α Exemplo Calcule o comprimento da curva ρ = senθ, θ [0,π].

11 dos Capítulos 11, 12 e 13 do Livro do Guidorizzi, Volume 1, e das listas 11, 12, 13 e 14.